Esercizio 1 Calcolare il lim x→+∞(π − 2 arctang x) x. Esercizio 2
Cosa significa affermare che un numero y ∈ R appartiene all’immagine di una funzione reale di variabile reale f : A → R ? (Si dice anche che y `e un valore assunto da f , ma non `
e questa la risposta: `e solo un modo equivalente di dire la stessa cosa) Determinare l’immagine della funzione
f (x) = 1 x2− 4
usando esclusivamente la definizione di immagine.
Esercizio 3
Provare che se una funzione `e definita in un intervallo, `e ivi derivabile e ha derivata nulla (in ogni punto del suo dominio), allora `e costante.
Esercizio 1
Calcolare il seguente integrale:
Z 2
−1
|x2− 1| x dx.
Esercizio 2
Determinare i punti estremanti della restrizione di f (x) = |2 − x2| all’intervallo [−2, 3].
Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr`a valutato).
Esercizio 3
Cosa significa affermare che la retta y = ax + b `e l’asintoto sinistro di una funzione (reale di variabile reale) f ?
Provare che y = ax + b `e l’asintoto sinistro di f solo se lim
x→−∞
f (x) x = a.
Esercizio 1
Calcolare la derivata della seguente funzione: g(x) =
Z 2x+4π
2x
| cos t| dt .
Esercizio 2
Calcolare il seguente integrale:
Z 2
0
dx 3x2+ 4.
Esercizio 3
Esercizio 1
Determinare (se esiste) l’asintoto sinistro della funzione f (x) = cos(1/x) +p3x2− 2x .
Esercizio 2
Determinare i punti estremanti della restrizione di f (x) =
Z x
0
sign(t + 1) dt all’intervallo [−2, 3].
Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr`a valutato).
Esercizio 3
Esercizio. Provare che se una funzione f : (a, b) → R `e strettamente monotona, allora non ammette n´e massimo n´e minimo.
Esercizio 1
Un punto materiale di massa (a riposo) m si muove con velocit`a (scalare) v. La sua energia cinetica (relativistica) E(v) `e data dal prodotto dell’incremento di massa ∆m dovuto al movimento per il quadrato della velocit`a della luce: E(v) = ∆m c2. Sapendo che la massa in movimento del punto materiale `e
m(v) = q m 1 −vc22
,
si determini la formula di MacLaurin del secondo ordine di E(v).
Esercizio 2
Determinare i punti estremanti della restrizione di
f (x) = max{1 − x, x − 2} all’intervallo [−2, 3].
Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr`a valutato).
Esercizio 3
Esercizio 1
Determinare il dominio della seguente funzione: f (x) =√1 − x + log 1 − 1 x . Esercizio 2
Determinare due costanti a e b tali che a ≤
Z 2 1
2x + cos x
2 + x + x2 dx ≤ b.
C’`e ampia libert`a nella scelta delle suddette costanti, purch´e la loro esistenza sia corret-tamente giustificata.
Esercizio 3
Esercizio 1 Calcolare il lim x→+∞(π − 2 arctang x) x. Esercizio 2
Cosa significa affermare che un numero y ∈ R appartiene all’immagine di una funzione reale di variabile reale f : A → R ? (Si dice anche che y `e un valore assunto da f , ma non `
e questa la risposta: `e solo un modo equivalente di dire la stessa cosa) Determinare l’immagine della funzione
f (x) = 1 |x| − 3 usando esclusivamente la definizione di immagine.
Esercizio 3
Provare che se una funzione `e definita in un intervallo, `e ivi derivabile e ha derivata nulla (in ogni punto del suo dominio), allora `e costante.
Esercizio 1
Determinare la media della funzione
f (x) = |x2− 2| nell’intervallo [0, 2]. Esercizio 2 Calcolare il lim x→+∞ Z x+3 x 2t t + 4dt . Esercizio 3
Provare che se la retta y = ax + b `e l’asintoto sinistro di una funzione f (x), allora lim
x→−∞
f (x) x = a .
Esercizio 1 Calcolare il lim x→0 1 − 2x 1/ sen x . Esercizio 2
Determinare i punti estremanti della restrizione di f (x) = Z 2x 0 1 − t |t + 4|dt all’intervallo [−1, 2).
Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr`a valutato).
Esercizio 3
Spiegare per quale motivo il dominio della funzione log x := Z x 1 1 tdt ` e la semiretta (0, +∞).
