Analisi e Geometria 2 Secondo appello

(1)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Docente: 13–09–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati.

Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 8xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

∀(x, y) ∈ D , q(x, y) ≤ q(x 0 , y 0 ).

(c) Trovare, se esiste, il valore massimo di q su D .

(2)

2. Consideriamo la funzione

f (x, y) = − ln p x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

(a) Calcolare l’integrale doppio

I(a) = Z Z

C

_a

f (x, y) dxdy

dove 0 < a < 1 e C a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

lim

a→0

⁺

I(a)

e darne un’interpretazione geometrica.

(3)

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

F(x, y, z) = (x − y)i + (x + z)j + (−x − y)k e le due superfici

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 4 − x ² − y ² , z ≥ 0}

e

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 4, z = 0}

entrambe orientate con il versore normale che punta verso l’alto.

(a) Sulla base di considerazioni teoriche (senza fare conti), trovare una relazione tra il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 e il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 2 .

(b) Trovare il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 mediante il calcolo di un integrale di superficie.

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

(4)

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (1, 0, 0) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(b) Posto a = (1, 0, 0) , trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione a × x = (0, 1, 1) .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori

di T a ?

(5)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Docente: 13–09–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati.

Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 6xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

∀(x, y) ∈ D , q(x, y) ≤ q(x 0 , y 0 ).

(c) Trovare, se esiste, il valore massimo di q su D .

(6)

2. Consideriamo la funzione

f (x, y) = − ln x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

(a) Calcolare l’integrale doppio

I(a) = Z Z

C

_a

f (x, y) dxdy

dove 0 < a < 1 e C a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

lim

a→0

⁺

I(a)

e darne un’interpretazione geometrica.

(7)

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

F(x, y, z) = (x − 2y)i + (2x + z)j + (x + y)k e le due superfici

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 9 − x ² − y ² , z ≥ 0}

e

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 9, z = 0}

entrambe orientate con il versore normale che punta verso l’alto.

(a) Sulla base di considerazioni teoriche (senza fare conti), trovare una relazione tra il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 e il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 2 .

(b) Trovare il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 mediante il calcolo di un integrale di superficie.

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

(8)

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (0, 0, 1) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(b) Posto a = (0, 0, 1) , trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione a × x = (1, 1, 0) .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori

di T a ?

(9)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Docente: 13–09–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati.

Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. Consideriamo la funzione

f (x, y) = − ln p x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

(a) Calcolare l’integrale doppio

I(a) = Z Z

C

a

f (x, y) dxdy

dove 0 < a < 1 e C _a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

lim

a→0

⁺

I(a)

e darne un’interpretazione geometrica.

(10)

2. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 8xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x ₀ , y ₀ ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

∀(x, y) ∈ D , q(x, y) ≤ q(x 0 , y 0 ).

(c) Trovare, se esiste, il valore massimo di q su D .

(11)

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

F(x, y, z) = (x − y)i + (x + z)j + (−x − y)k e le due superfici

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 4 − x ² − y ² , z ≥ 0}

e

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 4, z = 0}

entrambe orientate con il versore normale che punta verso l’alto.

(a) Sulla base di considerazioni teoriche (senza fare conti), trovare una relazione tra il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 e il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 2 .

(b) Trovare il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 mediante il calcolo di un integrale di superficie.

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

(12)

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (1, 0, 0) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(b) Posto a = (1, 0, 0) , trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione a × x = (0, 1, 1) .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori

di T a ?

(13)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Docente: 13–09–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati.

Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. Consideriamo la funzione

f (x, y) = − ln x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

(a) Calcolare l’integrale doppio

I(a) = Z Z

C

a

f (x, y) dxdy

dove 0 < a < 1 e C _a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

lim

a→0

⁺

I(a)

e darne un’interpretazione geometrica.

(14)

2. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 6xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x ₀ , y ₀ ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

∀(x, y) ∈ D , q(x, y) ≤ q(x 0 , y 0 ).

(c) Trovare, se esiste, il valore massimo di q su D .

(15)

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

F(x, y, z) = (x − 2y)i + (2x + z)j + (x + y)k e le due superfici

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 9 − x ² − y ² , z ≥ 0}

e

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 9, z = 0}

entrambe orientate con il versore normale che punta verso l’alto.

(a) Sulla base di considerazioni teoriche (senza fare conti), trovare una relazione tra il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 e il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 2 .

(b) Trovare il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 mediante il calcolo di un integrale di superficie.

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

(16)

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (0, 0, 1) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(b) Posto a = (0, 0, 1) , trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione a × x = (1, 1, 0) .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori

di T a ?

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Docente: 13–09–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati.

Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. Si considerino la funzione q(x, y) = x 2 + 8xy + y 2 e l’insieme D = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

∀(x, y) ∈ D , q(x, y) ≤ q(x 0 , y 0 ).

(c) Trovare, se esiste, il valore massimo di q su D .

2. Consideriamo la funzione

f (x, y) = − ln p x 2 + y 2 definita sul piano bucato R 2 \ {(0, 0)} .

(a) Calcolare l’integrale doppio

I(a) = Z Z

C

f (x, y) dxdy

dove 0 < a < 1 e C a = {(x, y) ∈ R 2 | a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

lim

a→0

I(a)

e darne un’interpretazione geometrica.

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R 3 ,

F(x, y, z) = (x − y)i + (x + z)j + (−x − y)k e le due superfici

S 1 = {(x, y, z) ∈ R 3 | z = 4 − x 2 − y 2 , z ≥ 0}

e

S 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 4, z = 0}

entrambe orientate con il versore normale che punta verso l’alto.

(a) Sulla base di considerazioni teoriche (senza fare conti), trovare una relazione tra il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 e il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 2 .

(b) Trovare il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 mediante il calcolo di un integrale di superficie.

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S 1 , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R 3 ?

4. Se a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ` e un vettore non nullo di R 3 , denotiamo con T a : R 3 → R 3 l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x 1 , x 2 , x 3 ) in R 3 associa il prodotto vettoriale T a (x) = a × x .

(a) Posto a = (1, 0, 0) , trovare una base del sottospazio Ker T a .

(b) Posto a = (1, 0, 0) , trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione a × x = (0, 1, 1) .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R 3 . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R 3 .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R 3 . Esiste una base di R 3 formata da autovettori

di T a ?

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Docente: 13–09–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati.

Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. Si considerino la funzione q(x, y) = x 2 + 6xy + y 2 e l’insieme D = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

∀(x, y) ∈ D , q(x, y) ≤ q(x 0 , y 0 ).

(c) Trovare, se esiste, il valore massimo di q su D .

2. Consideriamo la funzione

f (x, y) = − ln x 2 + y 2 definita sul piano bucato R 2 \ {(0, 0)} .

(a) Calcolare l’integrale doppio

I(a) = Z Z

C

f (x, y) dxdy

dove 0 < a < 1 e C a = {(x, y) ∈ R 2 | a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

lim

a→0

I(a)

e darne un’interpretazione geometrica.

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R 3 ,

F(x, y, z) = (x − 2y)i + (2x + z)j + (x + y)k e le due superfici

S 1 = {(x, y, z) ∈ R 3 | z = 9 − x 2 − y 2 , z ≥ 0}

e

S 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 9, z = 0}

entrambe orientate con il versore normale che punta verso l’alto.

(a) Sulla base di considerazioni teoriche (senza fare conti), trovare una relazione tra il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 e il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 2 .

(b) Trovare il flusso di rot F attraverso la superficie orientata S 1 mediante il calcolo di un integrale di superficie.

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S 1 , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R 3 ?

4. Se a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ` e un vettore non nullo di R 3 , denotiamo con T a : R 3 → R 3 l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x 1 , x 2 , x 3 ) in R 3 associa il prodotto vettoriale T a (x) = a × x .

(a) Posto a = (0, 0, 1) , trovare una base del sottospazio Ker T a .

(b) Posto a = (0, 0, 1) , trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione a × x = (1, 1, 0) .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R 3 . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R 3 .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R 3 . Esiste una base di R 3 formata da autovettori

di T a ?

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria 2 Secondo appello

Docente: 13–09–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati.

1. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 8xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

f (x, y) = − ln p x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

dove 0 < a < 1 e C a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 4 − x ² − y ² , z ≥ 0}

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 4, z = 0}

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (1, 0, 0) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori

1. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 6xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

f (x, y) = − ln x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

dove 0 < a < 1 e C a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 9 − x ² − y ² , z ≥ 0}

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 9, z = 0}

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (0, 0, 1) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori

f (x, y) = − ln p x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

dove 0 < a < 1 e C _a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

2. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 8xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x ₀ , y ₀ ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 4 − x ² − y ² , z ≥ 0}

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 4, z = 0}

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (1, 0, 0) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori

f (x, y) = − ln x ² + y ² definita sul piano bucato R ² \ {(0, 0)} .

dove 0 < a < 1 e C _a = {(x, y) ∈ R ² | a ² ≤ x ² + y ² ≤ 1} . (b) Calcolare il limite

2. Si considerino la funzione q(x, y) = x ² + 6xy + y ² e l’insieme D = {(x, y) ∈ R ² | x ² + y ² ≤ 1} . (a) Spiegare perch´ e D ` e chiuso e limitato e perch´ e q ` e continua su D .

(b) Dire se esiste un punto (x ₀ , y ₀ ) ∈ D che soddisfi la seguente condizione:

3. Si considerino il campo vettoriale, definito su R ³ ,

S 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | z = 9 − x ² − y ² , z ≥ 0}

S 2 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² ≤ 9, z = 0}

(c) Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S ₁ , calcolando esplicitamente un integrale di linea.

(d) Il campo vettoriale F ` e conservativo in R ³ ?

4. Se a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ` e un vettore non nullo di R ³ , denotiamo con T _a : R ³ → R ³ l’applicazione lineare che a ogni vettore x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in R ³ associa il prodotto vettoriale T _a (x) = a × x .

(a) Posto a = (0, 0, 1) , trovare una base del sottospazio Ker T _a .

(c) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore di R ³ . Scrivere la matrice rappresentativa dell’applicazione lineare T a rispetto la base canonica di R ³ .

(d) Sia a = (a 1 , a 2 , a 3 ) un (qualunque) vettore non nullo di R ³ . Esiste una base di R ³ formata da autovettori