Equazione del calore e metodo delle linee.

Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Consideriamo l’

equazione del calore







=

+ G , 0 < x < 1, t > 0

u(0, t) = d

(t), u(1, t) = d

(t), t ≥ 0

u(x , 0) = f (x ), 0 ≤ x ≤ 1

(1)

La soluzione u

pu`

o essere interpretata come la temperatura

di un bastoncino di lunghezza 1, dove con u

(x , t) si intende

la temperatura nel punto x all’istante t.

Le funzioni G , d

, d

, f , sono assunte sufficientemente

Sia m > 0 intero e siano

h

= 1/m,

x

= jh

con j = 0, 1, . . . , m.

Si pu`

o mostrare che per j = 1, 2, . . . , m − 1 e ξ

∈ (x

, x

), se

la soluzione `

e sufficientemente regolare,

∂

u

∂x

(x

, t) =

u(x

, t) − 2u(x

, t) + u(x

, t)

Da

=

+ G ,

∂x2

(x

, t) ≈

x

,

una volta posto u

(t) := u(x

, t), ci riconduciamo a studiare invece

dell’equazione del calore, il sistema di m − 1 equazioni differenziali

Di conseguenza, posto uj(t) := u(xj, t), approssimiamo numericamente la soluzione del sistema di equazioni differenziali

u_j0(t) = uj +1(t) − 2uj(t) + uj −1(t) h2

x

+ G (xj, t), j = 1, . . . , m − 1. (3)

Risolto (3), si avr`a una approssimazione della soluzione dell’equazione del calore per xj = jhx per j = 1, . . . , m − 1 e t ≥ 0. Il procedimento appena descritto `e noto in letteratura comemetodo delle linee.

Nel risolvere il sistema dobbiamo far attenzione alle condizioni sul bordo u0(t) = d0(t), um(t) = d1(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0 1 2 3 4 5 t _u 1(t) u2(t) u3(t) u4(t) f(x) d 0(t) d1(t)

Esempio

Vediamo per esempio il caso in cui m = 5. Da

uj0(t) =

uj +1(t) − 2uj(t) + uj −1(t)

h2 x

+ G (xj, t), j = 1, 2, 3, 4,

il sistema diventa, ricordando i contributi del bordo,

Il sistema differenziale uj0(t) = (uj +1(t) − 2uj(t) + uj −1(t))/h2x+ G (xj, t),

j = 1, . . . , m − 1, pu`o essere riscritto matricialmente. Posto

u(t) := [u1(t), . . . , um−1(t)]T u0:= [f (x1), . . . , f (xm−1)]T g(t) := 1 h2 x d0(t), 0, . . . , 0, 1 h2 x d1(t) T + [G (x1, t), . . . , G (xm−1, t)]T A = 1 h2 x       −2 1 0 0 . . . 0 1 −2 1 0 . . . 0 0 1 −2 1 . . . 0 . . . . 0 0 0 0 1 −2       (4)

otteniamo che (3) `

e equiv. al sistema di eq. differenziali (lineari)

Nota.

Si vede che la matrice a predominanza diagonale

A = 1 h2 x       −2 1 0 0 . . . 0 1 −2 1 0 . . . 0 0 1 −2 1 . . . 0 . . . . 0 0 0 0 1 −2       (6) `

e simmetrica (e quindi diagonalizzabile) e definitanegativa(per i teoremi di Gershgorin).

`

e quadrata di ordine m − 1 e i suoi autovalori sono, per j = 1, . . . , m − 1

λj= − 2 − 2cos(j π_m) h2 x = −2m21 − cos( j π m) m2_h2 x =−2m2  1 − cos(j π m)  .

dove, visto che hx = 1/m, abbiamo sfruttato che m2h2x= (mhx)2= 1.

`

Nota.

Sotto ipotesi opportune di regolarit`a delle funzioni d0, d1, G , f , si pu`o mostrare

che per CT indipendente da hx, denotando con u∗ la soluzione esatta di (1),

max j =1,...,m−1t∈[0,maxT]|u ∗ (xj, t) − uj(t)| ≤ CTh 2 x Nota.

La matrice quadrata A di dimensione m − 1 non `e in generale troppo malcondizionata, ma comunque peggiora al diminuire di hx.

m hx [|λmin|, |λmax|] cond(A)

Tra i metodi pi`

u comuni nel risolvere il problema differenziale (di

Cauchy)



u

(t) = F (t, u(t))

u(0) = u

(7)

citiamo il metodo di

Eulero esplicito

(posto u

= u(t

))



u

= u

+ hF (t

, u

)

u

assegnato

(8)

e quello di

Eulero implicito



u

= u

+ hF (t

, u

)

Nel nostro caso

F (t, v(t)) := Av(t) + g(t)

e quindi il metodo di

Eulero esplicito

genera la successione



v

= v

+ h

(Av

+ g(t

))

v

assegnato

(10)

Nota.

Osserviamo che a differenza del metodo esplicito, poich`e 

(I − htA)vn+1= vn+ htg(tn+1)

v0assegnato

(13)

ad ogni iterazione si richiede la soluzione di un’equazione (che nel nostro caso `e lineare). Essendo A definita negativa, si vede che (I − γA) `edefinita positiva

per γ ≥ 0 (e quindi non singolare).

A partire da Eulero esplicito ed Eulero implicito si definiscono i cosidetti

θ−metodiin cui, con v0assegnato,

vn+1= (1 − θ) (vn+ ht(Avn+ g(tn))) + θ (vn+ ht(Avn+1+ g(tn+1)))

Per

θ = 0si ottiene il metodo diEulero esplicito;

θ = 1si ottiene il metodo diEulero implicito;

Consideriamo l’equazione del calore nel caso

G ≡ 0,

d

≡ 0, d

≡ 0,

cio`

e







=

, 0 < x < 1, t > 0

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t ≥ 0

u(x , 0) = f (x ), 0 ≤ x ≤ 1

(14)

Si dimostra che la soluzione esatta u

= u

(x , t) tende a 0

per t → +∞;

Posto u(t) := [u1(t), . . . , um−1(t)]T, u0:= [f (x1), . . . , f (xm−1)]T g(t) := 1 h2 x d0(t), 0, . . . , 0, 1 h2 x d1(t) T + [G (x1, t), . . . , G (xm−1, t)]T= 0_Rm−1

il problema continuo discretizzato come proposto precedentemente con

u0(t) = Au(t) + g(t), u(0) = u0. (15)

diventa

u0(t) = Au(t), u(0) = u0 (16)

che `e possibile risolvere numericamente con un generico θ-metodo

vn+1= (1 − θ) (vn+ htAvn) + θ (vn+ htAvn+1) (17)

con v0assegnato.

In tal caso fissato ht, posto tn= nht, determiniamo vn≈ u∗n ove

u∗n = (u ∗

n,i)i =1,...,m−1, u∗n,i= u ∗

(xi, tn),

Teorema (Stabilit´a Eulero esplicito)

Detta A la matrice definita in (6) con hx = 1/m, la successione

vn+1= vn+ htAvn, con v0assegnato e ht > 0, risulta infinitesima se e solo se

ht< h2x 1 − cos((m − 1)π/m). (18) In particolare se ht≤ h2 x 2 (19) allora la successione vn→ 0.

La disuguaglianza (19) `e molto severa. Se per avereaccuratezza, utilizziamohx molto piccolo, per avere lastabilit`a asintoticail passoht

deve essere piccolissimo. Questo comporta molte ”valutazioni” di Eulero esplicito con A di grandi dimensioni.

Dimostrazione.

Nel caso di Eulero esplicito abbiamo che la soluzione esatta u∗(tn+1) ´e

approssimata da vn+1verificante

vn+1= vn+ htAvn= (I + htA)vn (20)

Siccome A `e diagonalizzabile, abbiamo che per qualche S , A = S−1ΛS , con Λ diagonale. Postown= S vn, osserviamo che

wn→ 0 ⇔ vn→ 0.

Per il teorema del confronto, da

0 ≤ kwnk = kSvnk ≤ kSkkvnk

deduciamo che se vn→ 0 allora wn→ 0. Viceversa, da

0 ≤ kvnk = kS−1wnk ≤ kS−1kkwnk

Da

wn+1 = S vn+1= S (vn+ htAvn) = wn+ htSAvn

= wn+ htSS−1ΛS vn= wn+ htΛwn=(I + htΛ)wn.

se wn= (wn,i)i, Λi ,i = λi, essendo Λ diagonale, la i -sima equazione diventa

wn+1,i = (1 + htλi)wn,i

e di conseguenza

wn+1,i = (1 + htλi)wn,i = (1 + htλi)2wn−1,i = . . . = (1 + htλi)n+1u0,i e quindi wn→ 0 se e solo se

Da

ht <_max 2 i =1,...,m−1|λi|,

maxi|λi| = 2(1 − cos((m − 1)π/m))/hx2,

deduciamo che la successione vn→ 0 se e solo se

ht < h2 x 1 − cos((m−1)π_m ). (21) Infine da 1 − cos (m − 1)π m  < 2 ⇔1 2 < 1 1 − cos((m−1)π_m ) ⇔ hx2 2 < h2x 1 − cos((m−1)π_m ) abbiamo che se ht ≤ h2_x 2 allora necessariamente ht≤ h2x 2 < hx2 1 − cos((m−1)π_m )

Teorema (Stabilit´a Eulero implicito)

Detta A la matrice definita in (6) con hx= 1/m, la successione vn+1= vn+ htAvn+1,

con v0assegnato e ht> 0, risulta infinitesima.

Dimostrazione. (Facoltativa)

Da det(I − htA) > 0,vn+1= vn+ htAvn+1 equivale avn+1= (I − htA)−1vn. Inoltre,

esistendo S tale che A = S−1ΛS, con Λ diagonale, postown:= Svn,

wn+1 = Svn+1= S(I − htA)−1vn= S(S−1S − htS−1ΛS)−1vn

= S(S−1(I − htΛ)S)−1vn= SS−1(I − htΛ)−1Svn=(I − htΛ)−1wn.

Se wn= (wn,i)i, Λi ,i= λi, la i -sima equazione diventawn+1,i= (1 − htλi)−1wn,i e

quindi, da

wn+1,i= (1 − htλi)−1wn,i= . . . = (1 − htλi)−(n+1)u0,i

il metodo converge asintoticamente a 0 se e solo se

|1/(1 − htλi)| < 1, i = 1, . . . , m − 1.

Teorema (Stabilit´a Crank-Nicolson)

Detta A la matrice definita in (6) con hx= 1/m, la successione

vn+1= (1/2)(vn+ htAvn+1) + (1/2)(vn+ htAvn)

con v0assegnato e ht> 0, risulta infinitesima.

Dimostrazione. (Facoltativa)

Nel caso di Crank-Nicolson, essendo I − (ht/2)A definita positiva, si ha facilmente

vn+1= (1/2)(vn+ htAvn+1) + (1/2)(vn+ htAvn) ⇔ vn+1= (I − ht 2A) −1_{(I +}ht 2A)vn. (22) Essendo A = S−1ΛS, con Λ diagonale, posto wn= Svn,

Da wn+1= (1 − ht 2Λ) −1 (1 +ht 2Λ)wn la i -sima equazione diventa

wn+1,i = 1 +ht 2λi 1 −ht 2λi wn,i e quindi wn+1,i= 1 +ht 2λi 1 −ht 2λi wn,i= . . . = 1 +ht 2λi 1 −ht 2λi !n+1 w0,i

e come nel caso scalare converge a 0 se e solo se |1 +ht

2λi|

|1 −ht 2λi|

< 1

che `e sempre verificata poich`e λi< 0. Visto che vn→ 0 se e solo wn→ 0, la

Nota. (Facoltativa)

Si dimostra che le matrici dei sistemi lineari dei metodi di Eulero implicito sono molto meglio condizionate della matrice A del sistema differenziale. Nel caso di Eulero implicito, ad ogni iterazione, bisogna risolvere un sistema del tipo (I − htA)vn+1= vn.

Osserviamo che λmin(A) ≈ −4/h2

x,

essendo 1 − cos(x ) ≈ x2_{/2 per x ≈ 0, mh} x= 1, λmax(A) = −2(1 − cos(π/m)) h2 x ≈ −2(π/m) 2 2h2 x = −π2 da cui, poich`e A `e simmetrica,

cond2(A)= maxk|λk| mink|λk| = λmin(A) λmax(A)≈ −4/h2 x −π2 = 4 π2_h2 x . Inoltre da λmin(I − htA) = 1 − htλmax(A),

λmax(I − htA) = 1 − htλmin(A), per htπ2 1,