Un esempio euristico: lavoro di una forza, valore di un’azione → integrale stocastico e formula di Itˆo

0. Preludio (1 ora) [1]

Introduzione.

• Descrizione del corso: obiettivi, prerequisiti, propedeuticit`a.

[13/01]

• Un esempio euristico: lavoro di una forza, valore di un’azione → integrale stocastico e formula di Itˆo.

1. Richiami di calcolo delle probabilit`a (6,5 + 1,5 = 8 ore) [9]

Spazi misurabili.

• σ-algebre, generatori, basi, σ-algebra di Borel.

[14/01a]

• Applicazioni misurabili, stabilit`a per sup, inf, lim sup, lim inf, somma, ecc.

• σ-algebra σ(X) generata da X.

• σ-algebra prodotto Spazi di probabilit`a.

• Misura, probabilit`a e loro propriet`a [14/01b]

• Completamento di uno spazio di misura

• Variabili aleatorie, eventi, {X ∈ A}.

• Valore atteso.

• Spazi L^p, varianza, covarianza e matrice delle covarianze.

• Teoremi di convergenza (Monotona, Fatou, Dominata).

[15/01a]

• Disuguaglianze: Markov, Chebychev, Jensen, H¨older, Cauchy-Schwarz.

Legge di una variabile aleatoria.

• Legge di una variabile aleatoria e suo significato.

• Passaggio alla misura immagine: X ∼ µ ⇒ E(f (X)) =R f (x) µ(dx).

• Leggi su Rⁿ: densit`a, funzione di ripartizione, trasformazioni lineari.

[15/01b]

Indipendenza.

• Indipendenza di σ-algebre, variabili aleatorie, eventi.

• Misura prodotto e indipendenza.

[16/01a]

• Lemma di Borel-Cantelli.

• Esercizio: se {X_n}_n∈N sono i.i.d. Exp(λ), si ha q.c. lim sup_n→∞Xn/ log n = 1/λ.

Funzioni caratteristiche in Rⁿ.

• Definizione e propriet`a principali (principio d’identit`a, somma di v.a. indipendenti, [16/01b]

teorema di convergenza di L´evy).

1

Leggi normali in Rⁿ e processi gaussiani.

• Definizione: funzione caratteristica, matrice delle covarianze, densit`a.

• Propriet`a: stabilit`a per trasformazioni affini (es. proiezioni, somma), indipendenti se e solo se scorrelate.

• Definizione elementare processo stocastico (no filtrazione), processi gaussiani, loro [20/01]

legge su R^T (= leggi finito-dimensionali) determinate da media e covarianza.

Convergenza di leggi e di variabili aleatorie.

• Convergenza debole di misure di probabilit`a.

• Nozioni di convergenza per variabili aleatorie (in legge, in probabilit`a, quasi certa, in L^p) e loro relazioni.

• Esercizi sulle variabili normali (foglio 1, es. 2,4). Il limite in L² (o anche in legge – [21/01a]

solo enunciato) di una successione di variabili normali `e normale.

2. Moto browniano (8,5 + 3,5 = 12 ore) [21]

Moto browniano.

• Definizione moto browniano: processo stocastico reale {B_t}_t≥0 tale che B0 = 0, [21/01b]

incrementi indipendenti, B_t− B_s∼ N (0, t − s) e traiettorie continue q.c.

• Definizione equivalente: processo gaussiano con media E(B_t) = 0, covarianza E(B_sB_t) = s ∧ t e traiettorie continue q.c.

• Leggi finito-dimensionali. Se B_t`e un moto browniano, lo sono anche −Bt, Bt0+t− B_t0, [22/01^a₂]

{B_t0−t− B_t0}_0≤t≤t0, ^√1_cB_ct, tB_1/t (tranne continuit`a in zero).

• Esistenza del moto browniano: costruzione di Paul L´evy.

[22-23/01^a₂b^a₂]

• Continuit`a in t = 0 di ^√1_cBct −→ legge dei grandi numeri per il moto browniano.

[23/01^a₂]

• Continuit`a delle traiettorie e misurabilit`a di sup_t∈[0,1]B_t,R1

0 B_tdt, inf{t > 0 : B_t= 0}

[23/01b]

• Def. di funzione a variazione finita. Variazione quadratica del moto browniano.

• Esercizi sul moto browniano (foglio 2, es. 1,2).

[27/01]

• Esercizi sul moto browniano (foglio 2, es. 3).

[28/01a]

• Le traiettorie del moto browniano sono q.c. a variazione infinita su ogni intervallo.

• Propriet`a delle funzioni a variazione finita, integrale di Stieltjes.

[28/01b]

• La filtrazione naturale σ({X_u}_0≤u≤s) di un processo stocastico X.

• Definizione equivalente di moto browniano: sostituire “incrementi indipendenti” con [29/01a]

“B_t− B_s `e indipendente da G_s:= σ({B_u}_0≤u≤s)”.

• (Ir)regolarit`a delle traiettorie del moto browniano: legge del logaritmo iterato (solo enunciato) e sue conseguenze (non differenziabilit`a).

• Processi stocastici (gaussiani) indipendenti.

[29/01b]

• Moto browniano multidimensionale.

• Esercizi sul moto browniano (foglio 3, es. 1,2) [03/02]

• Esercizi sul moto browniano (foglio 3, es. 2,3) [04/02a]

3. Processi stocastici (5 + 1,5 = 6,5 ore) [27,5]

Processi stocastici.

• Definizione di processo stocastico {X_t}_t∈T adattato a una filtrazione {Ft}_t∈T. [04/02b]

• Processi (q.c.) continui, cadlag, cad, misurabili, progressivamente misurabili. Continuo e adattato ⇒ progressivamente misurabile.

• Ipotesi standard per una filtrazione, ampliamento abituale.

Moto browniano (reprise).

• Definizione {F_t}_t-moto browniano: processo stocastico adattato con B₀= 0, B_t− B_s [05/02a]

indipendente da Fs, Bt− B_s∼ N (0, t − s) e traiettorie q.c. continue.

• Propriet`a di Markov semplice per un {Ft}_t≥0-moto browniano n-dimensionale.

• Se B `e un {F<sub>t</sub>}<sub>t</sub>-moto browniano, `e anche un {F_t+}_t-moto browniano.

• Legge 0-1 di Blumenthal.

[05/02b]

• Tempi d’arresto e loro propriet`a. Tempo d’ingresso in un chiuso/aperto. Se X `e progressivamente misurabile e τ tempo d’arresto, Xτ `e una v.a. Fτ-misurabile.

• Approssimazione di un tempo d’arresto τ con una successione decrescente di tempi [06/02a]

d’arresto discreti {τ_n}_n∈N.

• Propriet`a di Markov forte per il moto browniano.

• Principio di riflessione: legge di sup_t∈[0,1]B_t. [06/02b]

• Il moto browniano come applicazione a valori in C([0, ∞), R): la misura di Wiener.

• Esercizi sul moto browniano (foglio 4, es. 2,1) [10/02]

• Esercizi sul moto browniano (foglio 4, es. 1) [11/02^a₂]

4. Speranza condizionale e martingale (4 + 1,5 = 5,5 ore) [33]

Speranza condizionale e martingale.

• Richiamo definizione e propriet`a principali della speranza condizionale [11/02^a₂]

• Definizione di (sub,super)martingale, trasformazione sotto funzioni convesse.

[11/02b]

• Se B = {B_t}_t≥0`e un moto browniano, i processi {B_t}_t≥0, {B_t²−t}_t≥0, {e^{λBt−λ2t/2}}_t≥0 sono martingale.

Martingale a tempo discreto.

• Tempi d’arresto. (Sub)martingale arrestate restano (sub)martingale.

• Teorema d’arresto per tempi d’arresto limitati. Disuguaglianza massimale.

[12/02a]

Martingale a tempo continuo.

• Esistenza di modificazione cadlag, (sub)martingale arrestate restano (sub)martingale, [12/02b]

teorema d’arresto per tempi d’arresto limitati (solo enunciati).

• Disuguaglianza massimale.

• Applicazione: legge di B_τ−a,b con B moto browniano e τ−a,btempo d’uscita da (−a, b).

• Martingale di quadrato integrabile: variazione quadratica.

[13/02^a₂]

• Esercizi su moto browniano e martingale (foglio 5, es.1,3) [17/02]

• Esercizi su moto browniano e martingale (foglio 5, es.2) [18/02^a₂]

5. Integrale stocastico (7,5 + 1 = 8,5 ore) [41,5]

• Estensione di operatori lineari e isometrici su spazi di Banach.

[13/02^a₂]

• Considerazioni preliminari sull’integrale stocastico. Integrale di processi semplici.

[13/02b]

• Spazio M² di processi progressivamente misurabili in L²([0, ∞) × Ω).

• Densit`a dei processi semplici in M². [18/02^a₂]

• Isometria dell’integrale per processi semplici → integrale stocastico per processi in [18/02b]

M².

• Prime propriet`a. Integrale stocastico come funzione dell’estremo di integrazione.

[19/02a]

• L’integrale stocastico per processi in M² `e una martingala di quadrato integrabile e [19/02b]

ammette una versione continua.

• Integrale stocastico e tempi d’arresto, localit`a dell’integrale stocastico (enunciati).

[20/02a]

• Localizzazione: integrale stocastico per processi in M²_loc.

• Propriet`a dell’integrale stocastico in M²_loc (enunciati).

[20/02b]

• Martingale locali. L’integrale stocastico per processi in M²_loc`e una martingala locale.

• Esercizi sull’integrale stocastico (foglio 6).

[24/02]

• Martingale locali positive (risp. dominate) sono supermartingale (risp. martingale).

[25/02^a₂]

6. Calcolo stocastico e applicazioni (8,5 + 1 = 9,5 ore) [51]

• Formula di Itˆo per il moto browniano: euristica.

[25/02^a₂]

• Formula di Itˆo per il moto browniano: dimostrazione. Differenziale stocastico.

[25/02b]

• Processi di Itˆo, formula di Itˆo generale (enunciato).

[26/02a]

• Moto browniano geometrico.

• Supermartingala esponenziale, criterio di Novikov (enunciato).

[26/02b]

• Integrale stocastico, processi di Itˆo e formula di Itˆo multidimensionali (enunciati).

• Funzioni armoniche. Transienza/ricorrenza del moto browniano in R^d. [27/02a]

• Il problema di Dirichlet in domini limitati.

[27/02b]

• Esercizi sul calcolo stocastico (foglio 7).

[03/03]

• Introduzione al Teorema di Girsanov.

[04/03a]

• Dimostrazione del Teorema di Girsanov.

[04/03b]

• Dimostrazione del Teorema di Girsanov. Applicazione: Formula di Cameron-Martin.

[05/03a]

7. Equazioni differenziali stocastiche (4 + 1 = 5 ore) [56]

• Introduzione, definizione di soluzioni, nozioni di unicit`a. Lemma di Gronwall.

[05/03b]

• Teorema di unicit`a per traiettorie ed esistenza forte con ipotesi standard.

[06/03a]

• Teorema di esistenza forte di soluzioni con ipotesi standard.

[06/03b]

• Esercizi di riepilogo (foglio 8).

[10/03]

• Formula di Feynman-Kac.

[11/03a]

8. Rimorsi (1 ora) [57]

• Precisazioni: continuit`a dei processi di Itˆo, formula di integrazione per parti stocastica, [11/03b]

Formula di Cameron-Martin

• Rappresentazione delle martingale della filtrazione browniana (enunciato).

• Teorema di Dambis-Dubins-Scwarz (enunciato).