Elementi di calcolo delle probabilità
• Il calcolo delle probabilità ha avuto origine con i giochi d’azzardo per valutare l’alea (casualità) legata alle puntate sui dadi e sulle carte da gioco
• Attualmente il calcolo delle probabilità trova applicazioni in numerose discipline tecniche e scientifiche
• Il concetto di probabilità trova rispondenza nel linguaggio comune senza necessità di definizioni:
“Prendi l’ombrello, è probabile che oggi piova”
• Tuttavia è necessario definire la probabilità in termini matematici (“numerici”) al fine di poter trattare questo concetto naturale anche in modo quantitativo
• Esistono diverse formulazioni del concetto di probabilità che nel corso del tempo sono state proposte, classificabili in due categorie:
– definizione con criteri oggettivi;
– definizione con criteri soggettivi, cioè basati sulla percezione individuale di una realtà fisica.
Definizione a priori della probabilità (o classica)
• Definizione:
– La probabilità di un evento E è definita come il rapporto tra il numero s dei risultati favorevoli (cioè il numero dei risultati che determinano E) ed il numero n dei risultati possibili:
n E s
P
purché i risultati siano tutti ugualmente possibili e tra loro incompatibili
Definizione a posteriori della probabilità (o frequentista)
• Definizione :
– Se si definisce come frequenza assoluta ne, o semplicemente frequenza, di un evento E il numero di volte in cui si è presentato l’evento favorevole, detto N il numero di volte in cui si è ripetuto l’esperimento nelle medesime condizioni, il rapporto:
N f
E n
eviene chiamato frequenza relativa
Definizione a posteriori della probabilità (o frequentista)
• La definizione frequentista della probabilità è quella che assume come valore della probabilità di un evento E il valore limite a cui tende la frequenza relativa di quell’evento al tendere del numero delle prove ad infinito
lim f P E 1
P
E E f
E NP lim
NDefinizione di probabilità soggettiva
• La definizione di probabilità soggettiva verte sulla misura in cui un soggetto ritiene che si verifichi l’evento in questione
• La definizione quantitativa è associata ad un tasso relativo ad un’ipotetica scommessa sull’evento stesso.
• P[E] = tasso a cui si è disposti a giocare sull’evento E
(non sapendo su cosa scommette un eventuale giocatore)
Definizione assiomatica di probabilità
• Le definizioni di probabilità fin qui presentate non sono in generale utilizzabili per vari motivi.
• Per ovviare a questa assenza di generalità delle definizioni presentate la scelta preferibile sul piano teorico (non operativo in generale) è quella di utilizzare una definizione assiomatica di probabilità.
• Definizione:
– Si dice fenomeno casuale (o aleatorio) un fenomeno empirico il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzato cioè dalla proprietà che la sua osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati
• Definizione:
– L’insieme costituito da tutte le osservazioni possibili, cioè tutti i risultati possibili a priori, viene detto spazio campione S (Sample Space)
• Definizione:
– Definiamo un evento E un sottoinsieme di S
• Definizione:
– Nella loro totalità gli eventi formano lo spazio degli eventi A
S E
Diagramma di Venn
S
E F
EF
Evento intersezione
• …
• …
• Definizione:
– Due eventi E ed F si dicono incompatibili o mutuamente escludentisi se gli insiemi delle loro descrizioni sono disgiunti, cioè se
E S
F
Eventi incompatibili
E F
EF
Assiomi di Kolmogoroff
• Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che ha come dominio lo spazio degli eventi, come codominio l’intervallo [0,1] e che soddisfa i seguenti assiomi:
E E A
P 0
S 1
P
i
i i
i
P E
E P
con Ei eventi (di A) che si escludono a vicenda
