Elementi di calcolo delle

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Elementi di calcolo delle probabilità

• Il calcolo delle probabilità ha avuto origine con i giochi d’azzardo per valutare l’alea (casualità) legata alle puntate sui dadi e sulle carte da gioco

• Attualmente il calcolo delle probabilità trova applicazioni in numerose discipline tecniche e scientifiche

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• Il concetto di probabilità trova rispondenza nel linguaggio comune senza necessità di definizioni:

“Prendi l’ombrello, è probabile che oggi piova”

• Tuttavia è necessario definire la probabilità in termini matematici (“numerici”) al fine di poter trattare questo concetto naturale anche in modo quantitativo

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• Esistono diverse formulazioni del concetto di probabilità che nel corso del tempo sono state proposte, classificabili in due categorie:

– definizione con criteri oggettivi;

– definizione con criteri soggettivi, cioè basati sulla percezione individuale di una realtà fisica.

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Definizione a priori della probabilità (o classica)

• Definizione:

– La probabilità di un evento E è definita come il rapporto tra il numero s dei risultati favorevoli (cioè il numero dei risultati che determinano E) ed il numero n dei risultati possibili:

  n E s

P

purché i risultati siano tutti ugualmente possibili e tra loro incompatibili

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Definizione a posteriori della probabilità (o frequentista)

• Definizione :

– Se si definisce come frequenza assoluta ne, o semplicemente frequenza, di un evento E il numero di volte in cui si è presentato l’evento favorevole, detto N il numero di volte in cui si è ripetuto l’esperimento nelle medesime condizioni, il rapporto:

N f

E

n

e

viene chiamato frequenza relativa

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Definizione a posteriori della probabilità (o frequentista)

• La definizione frequentista della probabilità è quella che assume come valore della probabilità di un evento E il valore limite a cui tende la frequenza relativa di quell’evento al tendere del numero delle prove ad infinito

lim

f P   E 1

P

E

  E f

E N

P  lim

N

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Definizione di probabilità soggettiva

• La definizione di probabilità soggettiva verte sulla misura in cui un soggetto ritiene che si verifichi l’evento in questione

• La definizione quantitativa è associata ad un tasso relativo ad un’ipotetica scommessa sull’evento stesso.

• P[E] = tasso a cui si è disposti a giocare sull’evento E

(non sapendo su cosa scommette un eventuale giocatore)

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Definizione assiomatica di probabilità

• Le definizioni di probabilità fin qui presentate non sono in generale utilizzabili per vari motivi.

• Per ovviare a questa assenza di generalità delle definizioni presentate la scelta preferibile sul piano teorico (non operativo in generale) è quella di utilizzare una definizione assiomatica di probabilità.

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• Definizione:

– Si dice fenomeno casuale (o aleatorio) un fenomeno empirico il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzato cioè dalla proprietà che la sua osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati

• Definizione:

– L’insieme costituito da tutte le osservazioni possibili, cioè tutti i risultati possibili a priori, viene detto spazio campione S (Sample Space)

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• Definizione:

– Definiamo un evento E un sottoinsieme di S

• Definizione:

– Nella loro totalità gli eventi formano lo spazio degli eventi A

S E

Diagramma di Venn

S

E F

EF

Evento intersezione

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• …

• …

• Definizione:

– Due eventi E ed F si dicono incompatibili o mutuamente escludentisi se gli insiemi delle loro descrizioni sono disgiunti, cioè se

E S

F

Eventi incompatibili

E F

EF

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Assiomi di Kolmogoroff

• Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che ha come dominio lo spazio degli eventi, come codominio l’intervallo [0,1] e che soddisfa i seguenti assiomi:

  E E A

P  0  

  S 1

P

  

 

 

i

i i

i

P E

E P

con Ei eventi (di A) che si escludono a vicenda

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