MOTI
Meccanica:
branca della fisica che studia il moto dei corpi e le forze che lo fanno variare
Cinematica:
descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi
Dinamica:
è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto
Per descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate:
Caso monodimensionale
• Coordinate cartesiane
Origine delle Coordinate (posizione dell’osservatore)
O
Oggetto
Coordinata - spesso indicata con x
Origine delle Coordinate
O
Oggetto
Coordinata - spesso indicata con - x
Caso Bidimensionale
• Coordinate Cartesiane
• Ascissa x
• Ordinata y
O x
y
---> (x,y)
• Coordinate Polari
• Distanza Radiale r
• Angolo θ θ θ θ
O
---> (r, θ)
r
θ
E’ ovviamente possibile trasformare le coordinate cartesiane in polari e viceversa
( )
) sin(
cos θ
θ r
y r x
=
=
=
+
=
x y y x
r
arctan
2 2
θ
Per descrivere un moto è necessario, una volta specificata la posizione del corpo, definire lo spostamento, la velocità e l’accelerazione.
Spostamento: lo spostamento di un corpo è il vettore il cui modulo è la distanza fra la posizione iniziale e la posizione finale del moto misurata lungo la retta che li congiunge. La direzione è quella della retta che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale. Il verso è quello rivolto dalla posizione iniziale alla posizione finale.
Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore spostamento.
Per definire lo spostamento è necessario aver definito in precedenza sia l’origine del sistema di coordinate che il sistema di coordinate da usare. Altrimenti non sapremmo da dove far partire il vettore posizione.
A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoria.
Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore spostamento infinitesimo dsche descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicine
ds
Il vettore spostamento infinitesimo
risulta quindi essere un segmentino della traiettoria.
La traiettoria risulta essere composta dalla somma di tutti i vettori
spostamento infinitesimo.
ds ds ds ds ds
0
01
op
1op
s = −
La traiettoria è il percorso del corpo nel piano xy (o nello spazio xyz).
ATTENZIONE
Attenzione: lo spostamento ∆ ∆ ∆ ∆s nell’intervallo t
0,t può non
coincidere con la traiettoria !
Equazione Oraria
( ) t OP t
t OP
tempo t
t f OP
y x
3 37 log
5 3
) (
+
−
=
+
=
=
=
t s x
t
2s
3s
2s
1t
3t
1t s y
t
2s
2s
1t
1L’equazione oraria permette di determinare le componenti del
vettore posizione del corpo in studio in qualsiasi istante di tempo t
Il concetto di diagramma orario è cosa ben diversa dalla traiettoria
Nel diagramma orario l’asse delle x rappresenta il tempo, quello delle y una coordinata
Un moto mono-dimensionale si rappresenta in un diagramma orario a 2D
Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento, definire quanto velocemente un corpo si muove
Velocità: La velocità di un corpo è, per definizione, il rapporto fra lo spazio percorso (cioè lo spostamento) e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerlo
Poiché ho bisogno del vettore spostamento, anche la velocità dovrà essere un vettore.
Modulo: |vettore spostamento| / intervallo di tempo Direzione: quella del vettore spostamento
Verso: quella del vettore spostamento
Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore velocità
A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento, e la velocità, diventano sempre più prossimi alla tangente alla traiettoria.
Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore velocità istantanea v(t) che dà la velocità di un punto materiale nell’istante t. La velocità istantanea risulta essere tangente alla traiettoria
dt ds t
t v s
t t v s
t
ist t
⇒
= −
− ⇒
=
→ 2 1
12 1
2 12
1 2
lim [ ] [ ]
[ ] s
v = m
Diagramma Orario
Curva di velocità
dt v
ist= ds
Problema svolto 2.2 – pag. 16 – HRW
Moto di una cabina di ascensore
dt ds t
t
X v X
t t
X v X
b c
b c
t ist t
b c
b c
b c
− ⇒
= −
− ⇒
= −
lim
→In un diagramma orario la velocità istantanea calcolata nel punto generico x rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la traiettoria nel
punto x
dt x x ds
v ( )
) ( =
x
Per descrivere un moto è anche necessario, una volta specificato lo spostamento e la velocità, definire quanto velocemente un corpo cambia la
sua velocità
Accelerazione: L’accelerazione di un corpo è, per definizione, il rapporto fra il vettore variazione di velocità istantanea e l’intervallo di tempo associato
Poiché ho bisogno del vettore variazione di velocità, anche la accelerazione dovrà essere un vettore.
Modulo: |vettore variazione di velocità| / intervallo di tempo Direzione: … dipende da caso a caso
Verso: … dipende da caso a caso
Tanto più la velocità iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore accelerazione
A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo è possibile definire il vettore accelerazione istantaneaa(t) che dà la accelerazione di un punto materiale nell’istante t.
dt dv t
t
v a v
t t
v a v
t
ist t
⇒
−
= −
− ⇒
= −
→ 2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
lim [ ] [ ]
[ ] s
2a = m
Nota:
Lo spostamento infinitesimo è un segmentino di traiettoria La velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria
L’accelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla traiettoria
Analogamente che per lo spostamento….
t v t
v
tempo dt t
t f t d
g v
y x
1 37
3 ) ) (
(
2
+
=
=
=
=
=
Permette di conoscere le componenti della velocità di un corpo in qualsiasi tempo t
v x
t
v y
t
Un discorso analogo vale per l’accelerazione
Accelerazione, velocità e spostamento sono legate tra loro
da relazioni matematiche
a a
at v
at x
2 2
2
=
=
=
=
=
=
=
dt dz dt dy dt dx
dt ds
dt ds
dt ds
v v v dt
t ds v
z y x
z y x
) (
=
=
=
=
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
dt t a
dt t a
dt t a dt
t a dt
t v
dt t v
dt t v dt
t v t
s
z y x
z y x
) (
) (
) ( )
( )
( ) (
) ( )
( )
(
=
=
∫
∫
∫
∫
dt t a
dt t a
dt t a dt
t a t
v
yx
) (
) (
) ( )
( )
(
• Spostamento infinitesimo
=
−
=
−
=
−
=
=
dz z
z
dy y
y
dx x
x s
ds
1 2
1 2
1 2 12
• Velocità istantanea
• Accelerazione istantanea
=
=
=
=
2 2
2 2
2 2
2 2
dt s d
dt s d
dt s d
dt s d
dt dv
dt dv
dt dv
dt a dv
z y x
z y x
Composizione dei moti (moto del proiettile)
Un proiettile di massa m viene sparato con velocità v = 25 m/s ad un angolo α rispetto al suolo. Qual è la traiettoria? Qual è la gittata del cannone? Quale è la massima altezza raggiunta dal proiettile?
(Trascurare l’attrito).
Quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata ?
Moto Circolare
Coordinate Polari (1D)
) 2 (
) ) (
(
) ) (
( ) 2 (
) / (
) (
1 2 2
2
= −
=
=
=
=
=
=
=
t s t
t s t
T
) (rad/s dt
d θ dt a d
angolare ione
accelleraz a
s dt rad
dθ
angolare velocità
rad o angolare
spostament θ
θ θ
π ν ω
ω π ω ω
ω
r v
θ
) 2 (
) ) (
(
) ) (
( ) 2 (
) (
1 2 2
2
= −
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
r s t t v
t s v t r T
a r a
) dt (m/s
x d dt a dv
ziale one tangen accelerazi
a r v
(m/s) dt
v dx
e tangenzial velocità
v
m e
tangenzial o
spostament x
r x
t t t
t t t t t t
ν π
π ω ϑ
θ
