Progettazionedi strutturesandwichin materiale composito

Marino Quaresimin (Università di Padova)

Introduzione

Le strutture sandwich in ma- teriale composito hanno avu- to e continuano ad avere una larghissima diffusione in nu- merosi settori industriali gra- zie alle loro caratteristiche di resistenza, rigidezza e legge- rezza, molto utili al progetti- sta nella realizzazione di componenti in grado di as- sociare pesi contenuti ad elevate prestazioni struttura- li. Nel settore nautico, accanto alle tradizionali e consolidate applicazioni per imbarcazioni da diporto, a vela e a motore, le pannella- ture sandwich cominciano ad essere largamente impiegate anche in traghetti veloci di grandi dimensioni e in nume- rose imbarcazioni militari, come nel caso della corvetta

“Visby” della marina svede- se, il cui scafo, realizzato completamente a struttura sandwich con laminati in carbonio / epossidica, con- sente un notevole incremento delle prestazioni e la possibi- lità di sfruttare l’effetto

“stealth”.

Le elevate prestazioni di rigi- dezza e resistenza specifiche di questa particolare catego- ria di elementi strutturali de- rivano dall’applicazione di un concetto estremamente semplice. In una struttura sottoposta a flessione le su- perfici esterne risultano esse- re quelle più sollecitate e tanto più le superfici esterne sono distanti dal piano neu- tro tanto più la struttura è rigida e resistente. Risulta pertanto evidente come un

pannello sandwich, con pelli esterne rigide e resistenti in- collate ad un’anima interna compatta ma a bassa densità, rappresenti la naturale solu- zione al problema.

In [Fig. 1] viene riportato un esempio dove vengono con- frontati rigidezza e peso di

un pannello in diverse confi- gurazioni, ottenute facendo variare solamente lo spessore dell’anima, a parità di altre condizioni: risulta evidente, all’aumentare dello spessore dell’anima, il notevolissimo incremento della rigidezza a fronte di un aumento di peso estremamente contenuto.

Materiali tipici per la realizza- zione delle pelli sono i lamina- ti in materiale composito, i pannelli multistrato in legno e a volte fogli sottili di lega leg- gera di alluminio. Per l’anima vengono utilizzate schiume polimeriche espanse oppure honeycomb (nido d’ape) in le- ga leggera di alluminio oppure aramidico.

Introduction

Composite sandwich struc- tures are widely spreading in many industrial fields due to their excellent strength, stiff- ness and lightness properties, resulting a very useful tool for the designers.

In the boatbuilding industry the sandwich structures are used since long time for small boats, but recently they are applied successfully even in the construction of large fast ferries as well as in many mil- itary ships like the “Visby”

corvette of the Swedish ma- rine. In this case, the 72-meter hull is completely made in carbon-epoxy sandwich pan- els giving a “stealth” effect associated to a strong perfor- mance increase.

The high specific strength and stiffness properties of a sand- wich panel result from the ap- plication of a very simple con- cept. In a structure subjected to bending, the external sur-

faces are those undergoing the highest stresses; moreover, the higher is the distance bet- ween external surfaces and neutral plane, the stronger and the stiffer the structure is.

It is therefore clear that a sandwich panel with high strength and stiffness skins bonded to a light, compact co- re is the obvious and natural solution to the problem.

[Fig. 1] compares stiffness and weight for different configura- tions of a sandwich panel obtained by varying the core thickness only and leaving the other parameters unchanged:

a very strong increase in the panel stiffness can be obtain- ed by increasing the core thickness with only a slight increment in the panel weight.

Common materials for the sandwich skins are composite or wood laminates and thin aluminium sheets. Polymeric expanded foams are instead frequently used as core which, for more demanding applica- tions, can be made also in alu- minium or aramidic honey- comb.

It is quite difficult to define, and probably does not exist, the best combination of con- stituents because the choice of materials depends not only on strength and stiffness require- ments but also on process and cost considerations. More- over, other interesting proper- ties of the constituents can have influence on the design choices, like for instance fire and environment resistance, thermal and acoustic insula- tion, vibration damping, buoy- ancy and damage tolerance.

Progettazione

di strutture sandwich in materiale composito

Structural design of composite

sandwich

[Fig. 1] - Influenza dello spessore dell'anima sulla rigidezza flessionale e sul peso di un pannello sandwich (pelli: laminato carbonio-epossidica, anima: schiuma strutturale) / Influence of core thickness on stiffness and weight of a sandwich panel (skins: carbon/epoxy laminates, core:

expanded polymeric foam

Non esiste, in assoluto, una combinazione di materiali migliore di altre poiché la scelta dei materiali da utiliz- zare per la realizzazione dei pannelli è legata non solo al- le problematiche di resisten- za e rigidezza, ma anche a valutazioni sul processo da utilizzare e sul costo di pro- duzione. Inoltre, le proprietà dei singoli costituenti garan- tiscono ai pannelli sandwich anche numerose altre interes- santi caratteristiche quali iso- lamento termico e acustico, assorbimento delle vibrazio- ni, galleggiabilità, resistenza al fuoco ed agli ambienti ag- gressivi e buona resistenza al danneggiamento che posso- no condizionare ulteriormen- te la scelta.

La progettazione di strutture sandwich Da quanto esposto, appare evidente come le strutture sandwich possano rappresen- tare la soluzione ideale per moltissime applicazioni in- dustriali, in particolare nel settore nautico. Tuttavia, pro- prio la peculiarità della loro struttura stratificata multi- materiale impone una parti- colare attenzione in fase di calcolo progettuale. Limi- tando la discussione ai soli aspetti strutturali, la corretta previsione della deformabi- lità, ma soprattutto della resi- stenza delle strutture ai cari- chi in esercizio può essere effettuata solamente median- te metodologie analitiche so- fisticate, per la già citata com- plessità intrinseca e, come verrà discusso nel seguito, per i numerosi modi di cedi- mento che si possono ma- nifestare.

Risulta quindi indispensabile una accurata valutazione spe- rimentale delle proprietà dei materiali utilizzati, ma anche la messa a punto di metodo- logie numeriche o analitiche affidabili, in grado di deter- minare con precisione lo stato tensionale presente nei pannelli e di confrontarlo, mediante opportuni criteri di resistenza, con i valori limite

imposti dalle diverse moda- lità di cedimento.

Nel seguito del lavoro ven- gono sinteticamente riassunti ed esemplificati alcuni aspet- ti fondamentali nella proget- tazione di una

struttura sandwich quali:

- la caratterizza- zione sperimen- tale di pannelli sandwich e dei ma- teriali costituenti;

- le modalità di ce- dimento;

- l’analisi dello stato tensionale dovuto all’azione dei ca- richi esterni;

- l’analisi di resi- stenza e l’ottimiz- zazione.

Caratterizzazione spe- rimentale

Il primo importante obiettivo dell’attività sperimentale è la valutazione accurata delle caratteristiche elastiche e di resistenza dei costituenti per fornire dati utili al progettista per la scelta dei materiali più adatti e per la corretta appli- cazione o la validazione dei modelli di previsione analiti- ci e/o numerici. Spesso infat- ti i dati forniti dai produttori sono carenti ma soprattutto non contemplano l’influenza del processo specifico sulle caratteristiche finali dei ma- teriali impiegati. Inoltre, nel caso dei laminati in materia- le composito, è estremamen- te difficile reperire tutte le caratteristiche necessarie, in particolare le proprietà fuori piano, ed è quindi indispen- sabile la loro determinazione diretta. La verifica sperimen- tale delle prestazioni dei ma- teriali impiegati può risultare indispensabile anche per le prove di qualificazione spes- so richieste dai diversi Enti di certificazione.

La tipologia di prove esegui- bili, sui singoli costituenti (pelli e anima) e sul pannello completo, è estremamente nu- merosa e per una descrizione completa ed esaustiva delle normative e metodologie di

Design of Sandwich Structures

On the basis of the brief intro- duction, the sandwich struc- tures seem to be the best solu- tion for several in- dustrial applica- tions, particularly in the boatbuilding and marine indus- try. Nevertheless, the peculiar mor- phology of a sand- wich, namely the layered and multi- material structure, requires a special attention during the design phase. Re- liable stiffness and strength prediction can be made, in fact, only by using suitable, accurate methodologies for the intrin- sic structural complexity and,

as will be discussed later, for the several failure modes a panel can experience.

It is therefore required an accu- rate experimental characteri- sation of the materials together with the development of reli- able, analytical or numerical procedures suitable to precise- ly assess the stress fields in the

panels and compare them with the limits imposed by the fail- ure criteria related to the differ- ent modes of failure.

Some fundamental topics in the design of a sandwich struc- ture are summarised and dis- cussed in the remaining part of the paper:

- experimental characterisa- tion of sandwich panels and constituent materials:

- failure modes:

- analysis of the stress fields due the action of external loads:

- strength analysis and opti- misation.

Experimental Charac- terisation

The first aim of this activity is the assessment of the elastic and strength properties of the constituents.

This helps the designer in choosing the more appropri- ate materials as well as in the validation of numerical or analytical prediction models.

Moreover, for composite ma- terials, there is very often a lack of reliable data, hence an experimental evaluation is needed, sometimes even to comply with the requirements of the certification Bodies.

There is a great variety of ex- perimental tests and proce- dures and a very interesting and exhaustive overview is re- ported in the handbook edited by Zenkert (1).

In the same book, as well as in refs. (2) and (3), typical prop- erties of engineering materi- als commonly used for sand- wich applications are present- ed. Among the most important tests, at least the tension and compression test on the skins, the compression, shear and bending tests on the core and the bending test on the whole sandwich panel should be mentioned.

Some examples of the exper- imental activity on con- stituent materials and sand- wich panels, carried out in the laboratories of the De- partment of Management and Engineering at University of Padova, are presented in [Fig. 2-4].

[Fig. 2] - Prova di tra- zione con estensometro biassiale su laminato carbonio/epossidica Tensile test with bi-axial extensometer on a car- bon/ epoxy laminate

[Fig. 3] - Prova di taglio su core in honeycomb in lega di allumi- nio / Shear test on aluminium honeycomb core

Failure Modes

The intrinsic multi-layer, mul- ti-material structure of the sandwich panels has a direct influence on the several fail- ure modes the panels can

experience, which can involve the skins, the core or even the complete structure due to the interaction of the constituents.

Depending on panel geome- try, material properties and loading conditions one or mo- re failure modes may result more critical, reducing there- fore the load bearing capabil- ity of the whole structure. A- mong the more important and also more frequent modes of failure, at least those present- ed in [Fig. 5] and summarised below should be mentioned:

- skin failure (in tension or com- pression);

- core shear failure and shear crimping;

- buckling;

- skin wrinkling or dimpling;

- indentation;

- delamination at the skin/ co- re interface or near metal inserts.

For each mode of failure an appropriate failure criteria is available, suitable to provide an evaluation of the critical loading conditions for the activation of the mode under analysis. The stresses associ-

ated to the critical loads have then to be compared with the stress fields acting on the structure due to the externally applied loads. Without going into the analytical details of the formulations for the differ- ent failure criteria, which is beyond the aim of the this paper, it is worth noting that the failure modes are, at least to a certain ex- tent, conditioned by the behaviour of the struc- ture. As already men- tioned, the skins sus- tain, mainly, the ben- ding actions and this induces in the skins tensile and compres- sive stresses which are the main causes of their failure. On the other hand, the core fails mainly due to the shear actions. External com- pressive loads may lead to overall buckling of the panel and to the subsequent possible fail- ure of skins and core which can reach the critical conditions in tension/com- pression or shear, respective- ly. Compressive loads may lead also to local instability of the skins (wrinkling and dim- pling), which can occur also on the compressed face of a panel under bending. The indentation is a typical failure mode of the foam cores con- sisting in the local crushing of the foam due to the applica- tion of an external load on a too reduced skin area. The delamination, instead, may appear at the skin/core inter- face near the free edges as well as near the inserts re- quired in the structure. In both cases the integrity of the structure is deeply compro- mised. The delamination at the skin/core interface, how- ever, can be reduced or even avoided by a proper choice of the adhesive and a careful control of the manufacturing process. In the presence of inserts, particularly if metal- lic, the good adhesion and therefore the delamination re- main a critical problem; in prova si rimanda il lettore

all’interessante manuale edi- to da Zenkert (1). Nello stes- so lavoro, così come in (2) e (3), sono presentate anche in- teressanti panoramiche sulle proprietà dei materiali costi- tuenti di maggiore interesse ingegneristico.

Tra le prove più importanti e di più frequente esecuzione è comunque opportuno ricor- dare almeno le prove di resi- stenza a trazione e a com- pressione delle pelli, le prove di compressione, flessione e taglio sull’anima e le prove di flessione a 3 e 4 punti sui pannelli completi. Alcuni e- sempi dell’attività di caratte- rizzazione sperimentale di materiali e strutture sandwi- ch svolta presso i laboratori del Dipartimento di Tecnica e Gestione dei sistemi indu- striali dell’Università di Pa- dova sono riportati nelle [Fig. 2-4].

Modalità di cedimento Data la particolare natura multistrato e multimateriale di una struttura sandwich, le possibili cause di cedimento sono diverse e molteplici e possono interessare le pelli, l’anima oppure la struttura completa. In funzione della geometria, delle proprietà dei materiali utilizzati e delle condizioni di carico, alcuni modi di cedimento saranno più critici di altri, limitando le prestazioni e la capacità portante della struttura. Tra le principali e più frequenti modalità di cedimento è op- portuno ricordare almeno le seguenti, schematicamente rappresentate in [Fig. 5]:

- rottura delle pelli (per trazio- ne o compressione);

- rottura a taglio o per instabi- lità dell’anima;

- instabilità globale (buck- ling);

- instabilità locale delle pelli (wrinkling o dimpling);

- indentazione;

- delaminazione all’interfac- cia pelle-anima o in corrispon- denza di inserti.

Per ognuna delle modalità di cedimento citate sono dispo- nibili adeguati criteri di resi- stenza, con formulazioni più o meno complesse in grado di fornire una previsione delle condizioni tensionali critiche per l’attivazione del modo di cedimento conside- rato. Questi valori critici andranno in seguito confron- tati con le condizioni tensio- nali presenti nella struttura per effetto dei carichi esterni applicati. Senza entrare nel merito della trattazione teori- ca dei diversi criteri di cedi- mento, che esula dagli scopi del presente lavoro, è possi- bile ricordare che i diversi modi di cedimento sono al- meno in qualche misura con- dizionati dal comportamento della struttura stessa. Si è già detto, e verrà ulteriormente chiarito nel seguito, come le pelli sopportino principal- mente la componente flessio- nale della sollecitazione do- vuta ai carichi esterni e que- sto comporta la nascita di tensioni di trazione e com- pressione nelle pelli stesse, causa principale del loro ce- dimento. Per la stessa ragio- ne, l’anima cede prevalente- mente a taglio. Carichi di compressione possono poi generare fenomeni di instabi- lità globale che, oltre a com- promettere la funzionalità della struttura possono porta- re a cedimento le pelli e l’a-

[Fig. 4] - Prova di flessione a tre punti su pannello sandwich in laminato carbo- nio/epossidica con anima in schiuma polimerica / Three-point bending test on a carbon/epoxy skin, polymeric foam core sandwich panel

[Fig. 5] - Principali modi di cedimento di un pannello sandwich / Main failure modes of a sandwich panel

nima per raggiungimento del- le condizioni limite, rispet- tivamente a trazione/compres- sione e a taglio. Carichi di compressione eccessivamen- te elevati possono essere anche la causa di instabilità locale delle pelli, fenomeno che si manifesta a volte an- che sulla faccia compressa di pannelli sottoposti a sola flessione.

L’indentazione, cioè lo sfon- damento locale dell’anima, può essere dovuto all’appli- cazione di carichi elevati su aree troppo ristrette del pan- nello. La presenza di elevate tensioni all’interfaccia pella- anima, in corrispondenza dei bordi liberi del pannello o in prossimità di inserti metalli- ci, può essere la causa di delaminazioni che compro- mettono la funzionalità della struttura. Questo problema può di solito essere evitato all’interfaccia pelle-anima scegliendo un adesivo ade- guato e controllando accura- tamente il processo produtti- vo. In corrispondenza di e- ventuali inserti metallici, do- ve una buona adesione risul- ta più difficile, la possibile delaminazione rimane invece un aspetto critico e viene solitamente analizzato me- diante tecniche di meccanica della frattura.

È importante ricordare che, in condizioni di esercizio, le strutture sono normalmente soggette a carichi variabili nel tempo e quindi a solleci- tazioni di fatica. In fase di analisi delle diverse modalità di cedimento, risulta quindi necessario considerare oppor- tunamente la ciclicità dei carichi applicati e non sola- mente i loro effetti statici.

Analisi tensionale e de- formabilità

L’analisi tensionale e di rigi- dezza di strutture sandwich viene svolta tipicamente uti- lizzando le teorie “classiche”

sviluppate a partire dalla teo- ria della trave e ampiamente discusse da Allen in (4). L’i- potesi principale è che le pelli sopportino, in virtù del-

le maggiori proprietà elasti- che, tutta la componente flessionale della sollecitazio- ne, mentre le componenti di taglio siano sopportate com- pletamente dall’anima; sono inoltre ipotizzate eguali de- formate per la pelle superio- re ed inferiore ed una distri- buzione degli spostamenti lineare lungo lo spessore del- l’anima. Sulla base di queste ipotesi è possibile giungere a formulazioni semplificate di facile utilizzo (3-4), che però risultano sufficientemente corrette solamente per un’a- nalisi preliminare della strut- tura.

Infatti, per poter descrivere in maniera esatta la deforma- bilità e lo stato di tensione di una struttura complessa qua- le un pannello sandwich e soprattutto per poter conside- rare gli effetti locali (carichi concentrati, inserti, interfac- ce anima-pelli) è necessario utilizzare modelli analitici più sofisticati, le teorie di sovrapposizione o le teorie di ordine superiore (5-6), oppu- re analisi numeriche ad ele- menti finiti. Le teorie di so- vrapposizione e di ordine su- periore sono state sviluppate con minori ipotesi semplifi- cative e consentono una mi- gliore e più accurata de- scrizione, dal punto di vista tensionale, dei fenomeni lo- cali. Tuttavia, il maggiore grado di sofisticazione viene pagato con una notevole com- plessità formale e di imple- mentazione. Un’interessante analisi comparativa tra le diverse metodologie è stato effettuata da Van Straalen (7) nell’ambito del progetto DOGMA [Design Optimi- sation and Guidelines for Multimaterial Applications].

Gli strumenti più adeguati per l’analisi di strutture reali realizzate con pannelli sand- wich sembrano comunque essere i codici di calcolo agli elementi finiti. Le notevoli potenzialità computazionali dei computer più recenti con- sentono inoltre l’analisi di strutture a geometria molto complessa con un elevato gra- do di accuratezza.

these cases, the analysis of de- lamination onset and growth is usually made by using frac- ture mechanics approaches.

Eventually, it is important to note that the external loads are always variable in intensi- ty and cyclic in time, therefore inducing fatigue.

This fact has to be properly taken into account during the analysis of the different failure modes for the design of the structure.

Stress and Stiffness Analysis

A common approach in the stress and stiffness analysis of sandwich structures is the application of the “classical”

theory, adapted from the beam theory and widely discussed by Allen in ref. (4). The main hypothesis is that the skins, due to the higher elastic prop- erties, react to the bending actions, while the shear actions are sustained by the core. Moreover the deformed shape of upper and lower skins are thought to be identi- cal and a linear displacement distribution is assumed through the core. It is thus possible to obtain quite simple, easy to use formulations (3,4); their accuracy, however, is ade- quate for a preliminary analy- sis only. In fact, the intrinsic complexity of a sandwich structure requires more so- phisticated methodologies for the displacement, strain and stress field assessment.

Suitable methods are the su- perposition approach, the

higher-order theories and the Finite Element Analysis. The superposition approach and the higher-order theories were developed under a re- duced number of preliminary hypotheses, allowing there- fore a greater accuracy in the description of the local phe- nomena, particularly for the stress distribution. A draw- back is represented, however, by the complexity of the ana- lytical formulation and the difficulties in the development of closed form solutions even for simple and common engi- neering cases. An interesting overview and comparison of the different approaches was presented by Van Straalen (7) in the frame of the DOGMA project [Design Optimisation and Guidelines for Multi- material Applications].

Considering the complicated geometry of the real sandwich structures, the more suitable tools for the structural analy- sis seem to be the Finite Element codes.

A great accuracy in the analy- sis can be reached even for large, complicated structures due to the huge computational capabilities of the recent com- puters. The Finite Element modelling of a sandwich struc- ture can be approached in many different ways. [Fig. 6]

shows two possible strategies:

the simplest bi-dimensional way, by using layered shell elements and a tri-dimen- sional model where both skins and honeycomb cells are modelled with shell elements.

[Fig. 6] - Simulazione mediante analisi ad elementi finiti di una prova di flessione a 4 punti su un pannello sandwich con anima in honeycomb / Finite element simulation of a four-point bending test on a honeycomb core sandwich panel

Per la modellazione di una struttura sandwich con ele- menti finiti sono possibili svariati approcci. In figura 6 sono esemplificate due tra le possibili strategie: la più sem- plice possibile, bidimensiona- le, con elementi shell stratifi- cati e la seconda, forse anche fin troppo complessa, in cui le pelli sono modellate con ele- menti shell stratificati e l’ani- ma in honeycomb è modella- ta anch’essa con elementi shell. Tra le altre possibili strategie di modellazione si può prevedere la modellazio- ne delle pelli con elementi shell e l’anima con elementi solidi isotropi oppure ortotro- pi (nel caso di honeycomb) e, infine, l’utilizzo di elementi solidi stratificati per le pelli e di elementi solidi per l’anima.

Una ulteriore possibile solu- zione, utile per la valutazione dello stato di tensione attra- verso lo spessore di un pan- nello è rappresentata dall’uti- lizzo di modelli bidimensio- nali realizzati con elementi

“plane” in stato piano di de- formazione.

Anche nel caso delle analisi ad elementi finiti, come per le tecniche analitiche, il maggior grado di dettaglio e le maggiori informazioni che si possono ottenere con sofi- sticati modelli solidi tridi- mensionali [Fig. 6] vengono pagati con tempi di modella- zione e di soluzione molto elevati e con un aumento del- la complessità nel trattamen- to dei risultati. Poiché l’ana- lisi tensionale degli effetti locali richiede spesso un ele- vato grado di raffinatezza nel modello, una possibile solu- zione di compromesso consi- ste nell’effettuare un’analisi preliminare della struttura su modelli semplici di soli ele- menti shell con successiva sotto-modellazione tridimen- sionale delle zone maggior- mente critiche. Una ulteriore soluzione consiste nella mo- dellazione della struttura da analizzare in parte con soli elementi shell e utilizzare una modellazione 3D nelle zone di critiche o di maggio- re interesse (8). Questo ulti-

mo approccio richiede tutta- via una notevole esperienza e soprattutto una accurata fase di calibrazione e taratura delle procedure per l’accop- piamento di elementi di tipo diverso.

Indipendentemente dalla stra- tegia di modellazione scelta, l’utilizzo di dati di input cor- retti ed adeguati, con partico- lare riferimento alla pro- prietà dei materiali utilizzati, assume un’importanza fon- damentale data la loro note- vole influenza sulla risposta dei modelli. Questa conside- razione può sembrare banale ed ovvia ma in realtà non lo è per la frequente difficoltà nel reperire dati affidabili so- prattutto sulle proprietà ela- stiche e di resistenza out-of- plane (fuori piano) dei lami- nati in composito e delle strutture in honeycomb.

Con l’obiettivo di valutare l’influenza della strategia di modellazione e delle pro- prietà elastiche dei costituen- ti sulla deformabilità e sullo stato di tensione in strutture sandwich in materiale com- posito, è stata effettuata una estesa attività di analisi spe- rimentale e numerica e i ri- sultati sono stati presentati in (9). Sono state considerate diverse tipologie di modelli ad elementi finiti (solo ele- menti shell, elementi shell per le pelli e solidi per l’ani- ma, elementi solidi per pelli ed anima) e i risultati nume- rici in termini di rigidezza e campo di deformazione, so- no stati confrontati con quel- li ottenuti dalle prove speri- mentali a flessione su pan- nelli in composito con anima in schiuma oppure honey- comb. È stata riscontrata una notevole influenza delle pro- prietà elastiche fuori piano sulle previsioni della rigidez- za e del campo di deforma- zione dei pannelli, confer- mando la necessità di una accurata determinazione spe- rimentale delle proprietà ela- stiche stesse. L’influenza della strategia di modellazio- ne, pur sempre elevata, è risultata maggiore nel caso dei pannelli con anime in

Moreover, it is possible to model the skins with layered shell elements and the core with isotropic (in the case of foam) or orthotropic (in the case of honeycomb) solid ele- ments or, alternatively, to use layered solid elements for the skins and solid elements for the core. A further possible solution for a through-the- thickness analysis is the bi- dimensional modelling of a panel section with 2D ele- ments under plane strain con- ditions.

As said for the analytical methods, even by using finite element analysis, the greater degree of accuracy obtained for instance by using sophisti- cated 3D solid models is paid in terms of modelling and solution time as well as in a more complicated evaluation of the results. The correct a- nalysis of the stress fields due to the local effects requires, however, very accurate and refined models. In the attempt to satisfy the accuracy re- quirements and limit the draw- backs, after a preliminary analysis on a shell element model, a submodelling of the critical zones of the structure can be carried out by using 3D solid models. Another option is the combined use of 2D (shell) and 3D (solid) ele- ments in the same FE model (8). In this case, however, great attention and experi- ence is required for the cali- bration of the model and for the validation of the coupling procedure between 2D and 3D elements.

Despite the modelling strate- gy adopted, the use of correct input data for the constituent properties is of fundamental importance, considering their great influence on the final results. This note seems to be obvious and trivial but, actu- ally, it is very important in- deed due to the frequent lack- ing of reliable data for com- posite laminates and honey- comb cores, particularly for the out-of-plane properties.

An extensive numerical and experimental program on com- posite sandwich panels was

carried out with the aim to define an efficient and reliable way for the FE modelling as well as to evaluate the influ- ence of the elastic properties of the constituents on the stiff- ness and strain field numeri- cal assessment. The results are reported in ref. (9). Se- veral solutions were consid- ered for the sandwich model- ling, namely shell elements, shell elements for skins and solid elements for core, solid elements for both skins and core. The FE results were compared with those obtained during three and four point bending tests on sandwich pa- nels made with carbon/ epoxy skins and aluminium honey- comb or polymeric foam core.

The comparison highlighted a great influence of the out-of- plane elastic properties of both skin laminates and cores in the estimation of the stiff- ness and the strain fields of the panels by means of FE models, suggesting therefore the need of a careful experi- mental assessment. The mod- elling strategy and the choice of the elements were found to have a greater influence in the case of panels with polymeric foam core, due to the limited elastic properties of the foam with respect to the honey- comb.

Strength Analysis, De- sign and Optimisation After the assessment of the global and local stress fields deriving from the externally applied loads and once identi- fied the failure modes and the relevant limit conditions, it is possible to begin the final de- sign phase of the structure. A two-phase approach is the more effective way to design a sandwich structure. In the first preliminary phase, a glo- bal analysis by means of the classical theories provides an indication of thickness, strength and elastic properties for skins and core and in the sec- ond phase the design is refi- ned by considering the local effects such as delamination at the interface, inserts and

schiuma polimerica per ef- fetto delle limitate proprietà elastiche e della maggiore comprimibilità della schiuma rispetto alle strutture in ho- neycomb.

Analisi di resistenza, progettazione ed otti- mizzazione

Una volto noto lo stato ten- sionale derivante dalle con- dizioni di vincolo e di carico applicate alla struttura, indi- viduati i possibili modi di cedimento e le relative con- dizioni limite è possibile pas- sare alla fase di progettazio- ne vera e propria.

L’approccio più razionale ed efficace alla progettazione di una struttura sandwich pre- vede fondamentalmente due momenti: una prima fase pre- liminare in cui viene effet- tuata l’analisi globale della struttura con l’utilizzo di teo- rie semplificate, fornendo una prima indicazione sulle dimensioni degli spessori di pelli e anima e sulle loro pro- prietà elastiche e di resisten- za. Una fase successiva, di rifinitura, in cui vengono va- lutati gli effetti di condizioni locali, quali ad esempio pro- blemi all’interfaccia pelle- anima, inserti metallici o ca- richi concentrati. Al termine di questa fase vengono ride- finite, se necessario, le carat-

teristiche della struttura o di parti di essa.

Questa filosofia è recepita da una procedura di calcolo attualmente in fase di imple- mentazione presso il Dipar- timento di Tecnica e Gestio- ne dei sistemi industriali del- l’Università di Padova (10).

La metodologia sviluppata è finalizzata al calcolo, al di- mensionamento e all’otti- mizzazione di strutture sand- wich in materiale composito e opera secondo il diagram- ma di flusso riportato in [Fig. 7].

Durante la prima fase di ana- lisi, per evitare sovradimen- sionamenti della struttura è

opportuno considerare simul- taneamente le condizioni li- mite relative ai diversi modi di cedimento, determinando le caratteristiche dei costi- tuenti in maniera tale da ren- dere il più possibile equiva- lenti i gradi di criticità di cia- scun modo di rottura. Uno strumento utile a questo sco- po è rappresentato dalle Fail- ure Mode Maps (FMM) o mappe dei modi di cedimen- to (11, 12), che vengono co- struite esprimendo il carico critico relativo a ciascun mo- do di rottura in funzione de- gli spessori e delle proprietà elastiche e di resistenza dei materiali utilizzati per le pelli e per l’anima. La for- mulazione esplicita delle

concentrated loads modifying, if necessary, the geometry and the properties of the structure at local or global level. This approach is on the basis of a procedure for the design and optimisation of sandwich pan- els, which is under develop- ment at the Department of Management and Engineering - University of Padova. The flow chart of the procedure, implemented in the MATLAB^® code, is presented in [Fig. 7].

During the preliminary design phase it is important to con- sider, simultaneously, all the possible failure modes, evalu- ating thickness and properties of the constituents such as to

make all the failure modes equally likely to occur, there- fore avoiding overdesign of the structure. A possible tool for this aim is represented by the Failure Mode Maps (11, 12). The FMM are built by expressing the critical load for each failure mode as a function of thickness and properties of skins and core.

An example of FMM is shown in [Fig. 8], where the changes in the failure mode as a func- tion of core density and skin thickness can be identified.

The common point of the three zones represents the iso-criti- cal condition for the three modes of failure.

However, the explicit formula- tion of the different limit con-

ditions is possible for few cases only and therefore an optimisation procedure is usu- ally required, in parallel, to comply with the strength and stiffness requirements by keep- ing the minimum weight for the structure. It is also worth noting that the stiffness re- quirements are frequently mo- re demanding than those re- ferred to the strength.

[Fig. 9] shows an example of optimisation. Once fixed the properties for skins and core, the critical conditions for each failure mode as well as the stif- fness constraint are expressed as a function of the core thick- ness and this allows to evalu- ate the minimum skin thickness suitable to comply with the more critical condition im- posed (Point A in figure 9, core thickness 68.4 mm, skin thick- ness = 0.3 mm). Although the combination of the thickness thus obtained satisfies the strength/stiffness requirements, it is not necessarily that pro- viding the minimum weight for the panel. A further step is therefore required to identify a new combination of thickness which simultaneously satisfies the strength/stiffness and mini- mum weight requirements (Point B in [Fig. 9], core thick- ness 35.2 mm, skin thickness = 1.18 mm). At this point can start the second, more sophisti- cated phase of the procedure, usually more demanding in terms of time, due to the need of a careful evaluation of the structure strength after consid- ering the local effects (loca- lised loads and constraints, skin/core interface, inserts, ab- rupt changes in geometry). An exhaustive presentation of this design phase is, again, beyond the scope of this paper. It is only worthwhile to remember the need of an accurate evalu- ation of the local stress fields by using suitable analytical or numerical methodologies, as discussed above and also well presented in the many papers published by Thomsen on this topic (13-14).

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[Fig. 7] - Diagramma di flusso del programma per l’analisi di strutture sandwich in materiale composito (10) Flow chart of the design and optimisation procedure of composite sandwich structures (10)

condizioni limite per i diver- si modi di cedimento è tutta- via possibile solamente in alcuni casi e quindi per poter garantire il rispetto dei vin- coli progettuali di resistenza o di rigidezza mantenendo il minimo peso della struttura è spesso necessaria, in paralle- lo, anche una fase di ottimiz- zazione.

Un esempio di FMM è ripor- tato in [Fig. 8] dove è possibi- le individuare la variazione delle modalità di cedimento al variare del rapporto relativo tra densità del core e spessore delle pelli. In corrispondenza del punto comune alle tre zone i tre modi di cedimento, rottura o instabilità delle pelli e rottura del core, hanno lo stesso grado di criticità.

È opportuno ricordare come la resistenza ai carichi appli- cati non rappresenti l’unico obiettivo progettuale, ma co- me invece i limiti di rigidez- za imposti alla struttura dalle condizioni di esercizio costi- tuiscano generalmente il vin- colo più stringente. Molto spesso, inoltre, viene richie- sto il minimo peso della struttura pur garantendone la resistenza oppure una prede- terminata rigidezza.

In [Fig. 9] viene presentato un esempio di ottimizzazione:

una volta fissate le proprietà dei materiali costituenti le pelli e l’anima è possibile esprimere le condizioni re- lative ai diversi modi di cedi- mento e la rigidezza della struttura in funzione dello spessore, ad esempio, dell’a- nima e determinare il valore dello spessore minimo delle pelli per garantire il rispetto della condizione più critica tra quelle imposte (punto A in [Fig. 9], spessore anima 68.4 mm spessore pelli = 0.3 mm).

La combinazione di spessori così ottenuta, pur rispettando i limiti di resistenza e/o di rigidezza, può tuttavia non essere la configurazione che garantisce il minor peso alla struttura ed è quindi necessa- rio effettuare un ulteriore pas- saggio per arrivare ad indivi- duare la combinazione otti- male dei parametri geometrici

(punto B in [Fig. 9], spessore anima 35.2 mm spessore pelli

= 1.18 mm).

Inizia a questo punto la se- conda fase del processo pro- gettuale, solitamente la più sofisticata e onerosa in termini di tempo, per l’esigenza di ana- lizzare con un adeguato grado di dettaglio le limitazioni alla resistenza della struttura dovu- te agli effetti locali (carichi e vincoli localizzati, zone di interfaccia pelle-anima, pre- senza di inserti, brusche varia- zioni geometriche). Una tratta- zione esaustiva di questa com- plessa fase progettuale non è compatibile con le finalità del presente lavoro. È opportuno solamente ricordare l’esigenza imprescindibile di una deter- minazione accurata dello stato di tensione locale e per fare questo è indispensabile l’utiliz- zo di adeguate metodologie analitiche o numeriche come discusso in precedenza e come ben documentato dai numerosi lavori sull’argomento svilup- pati da Thomsen (13-14).

Bibliografia / Referen- ces

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http://www.dogma.org.uk (8) Krueger R. A Shell/3D mode- ling technique for delaminations in composite laminates, Proc. of the

[Fig. 8] - Mappa dei modi di cedimento per un pannello sandwich con pelli in laminato vetro/epossidica (σσ^uts = 150 MPa e Elaminato= 15000 MPa) e anima in schiuma espansa sottoposto a flessione a 3 punti / Failure mode map for a sandwich panel with glass/epoxy skins (σσ^uts= 150 MPa e Elaminate = 15000 MPa) and polymeric foam core under three-point bending

[Fig. 9] - Ottimizzazione resistenza-rigidezza-peso di un pannello sandwich 1000x300 mm sottoposto a flessione a 3 punti, carico 5000 N, rigidezza = luce/50, pelli in laminato vetro/epossidica σσ^uts= 200 MPa e Elaminato= 25000 MPa, anima in schiuma polimerica ρρ= 250 kg/m³ / Stiffness-strength-weight optimisation for a 1000x300mm sandwich panel under three-point bending, load 5000 N, stiffness = span/50, glass/epoxy skins (σσ^uts=200 MPa e E^laminate= 25000 MPa) polymeric foam core ρρ= 250 kg/m³

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