Esercizio 1. Si consideri la lagrangiana L(q, ˙ q) = 1

Compito di Istituzioni di Fisica Matematica 26 Gennaio 2016

(usare fogli diversi per esercizi diversi)

Esercizio 1. Si consideri la lagrangiana L(q, ˙ q) = 1

2 ( ˙ q ² + q ² ), q, ˙ q ∈ R.

1. Trovare la soluzione t 7→ ¯ γ(t) delle equazioni di Eulero-Lagrange per L tale che ¯ γ(0) = 0,

˙¯

γ(0) = 1 e mostrare che non ci sono punti coniugati a (t, q) = (0, 0) sull’estremale ¯ γ.

2. Calcolare l’espressione dell’azione lagrangiana

S(t 1 , q 1 ) = Z t

0

L(γ(t; t 1 , q 1 ), ˙γ(t; t 1 , q 1 ))dt

come funzione delle coordinate (t 1 , q 1 ), dove per ogni (t 1 , q 1 ), con t 1 6= 0, la funzione t 7→

γ(t; t 1 , q 1 ) ` e la soluzione dell’equazione di Eulero-Lagrange per L tale che γ(0; t 1 , q 1 ) = 0, γ(t 1 ; t 1 , q 1 ) = q 1 .

3. Scrivere l’espressione della funzione di Hamilton H associata ad L e mostrare che S(t 1 , q 1 ) soddisfa l’equazione di Hamilton-Jacobi per H.

Esercizio 2. Sia F ∈ C ^∞ (R ² ; R) una funzione regolare ed n > 1 un numero intero. Si consideri la funzione di Hamilton

H(p, q) =

n

X

j=1

F  X ⁿ

h=1

α jh p h ,

n−j+1

X

h=1

q h

 ,

con p = (p ₁ , . . . , p _n ), q = (q ₁ , . . . , q _n ) ∈ R ⁿ ed α _jh ∈ R per ogni j, h = 1 . . . n.

1. Trovare dei valori dei coefficienti α _jh per cui le relazioni

P j =

n

X

h=1

α jh p h , Q j =

n−j+1

X

h=1

q h , j = 1 . . . n

definiscono una trasformazione canonica

R ⁿ × R ⁿ 3 (p, q) 7→ (P, Q) ∈ R ⁿ × R ⁿ ,

con P = (P 1 , . . . , P n ), Q = (Q 1 , . . . Q n ), tale che le nuove coordinate Q siano separabili nell’equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione di Hamilton nelle variabili (P, Q).

2. Scelta F (x, y) = ¹ ₄ (x ² + y ² ) ² , per x, y ∈ R, determinare la soluzione t 7→ (p(t), q(t)) del sistema hamiltoniano definito da H con

p _j (0) = 0, j = 1 . . . n, q ₁ (0) = 1, q _j (0) = 0, j = 2 . . . n.

Esercizio 3. Si consideri il sistema hamiltoniano con funzione di Hamilton H _ (I, ϕ) = 1

2 (I ₁ ² + I ₂ ² ) +  sin(ϕ ₁ − ϕ ₂ ), con

I = (I 1 , I 2 ) ∈ R ² , ϕ = (ϕ 1 , ϕ 2 ) ∈ T ² ,   1.

1. Determinare una funzione generatrice di una trasformazione canonica vicina all’identit` a (I, ϕ) 7→ (I ^Ψ

⁰ , ϕ ⁰ )

tale che la hamiltoniana H  ⁽¹⁾ = H _ ◦ Ψ ⁻¹ _ non dipenda da ϕ ⁰ al primo ordine in .

2. Determinare una funzione generatrice di una trasformazione canonica vicina all’identit` a (I ⁰ , ϕ ⁰ ) ^Φ 7→ (˜I, ˜

ϕ)

tale che la hamiltoniana H  ⁽²⁾ = H  ⁽¹⁾ ◦ Φ ⁻¹ _ non dipenda da ˜ ϕ al secondo ordine in .