ANALISI NUMERICA
LT e LM in Matematica, a.a. 2010/11, 7 cfu
Docente: M. Vianello, Dip.to di Matematica Pura e Applicata (laboratorio: M. R. Russo e A. Sommariva)
Programma del corso:
Densit`a e migliore approssimazione: convergenza della migliore approssi- mazione, teoremi di densit`a di Weierstrass (polinomi e polinomi trigonometrici), teorema di Jackson, teorema della proiezione ortogonale e applicazioni.
Interpolazione: il problema generale di interpolazione, insiemi unisolventi e formula determinantale di Lagrange, il caso polinomiale univariato e multivari- ato, costante di Lebesgue, stima fondamentale per l’errore di interpolazione, stabilit`a, cenni all’interpolazione polinomiale prodotto tensoriale, cenni ai punti di Fekete.
Polinomi ortogonali: ortogonalizzazione della base monomiale, relazione di ricorrenza, teorema degli zeri, polinomi ortogonali classici, polinomi di Cheby- shev.
Quadratura: formule di quadratura come funzionali, formule algebriche e com- poste, formule gaussiane, teorema di Polya-Steklov e corollari, stabilit`a, teorema di Stieltjes, cenni alle formule prodotto.
Algebra lineare numerica: teorema fondamentale di invertibilit`a e appli- cazioni (teorema di Gershgorin sulla localizzazione degli autovalori); metodi iterativi per sistemi lineari: teorema sulla convergenza delle approssimazioni successive, precondizionamento, metodo del gradiente, test di arresto dello step e del residuo; metodi per il calcolo di autovalori e autovettori: quoziente di Rayleigh, il metodo delle potenze e varianti, il metodo QR.
Algebra non lineare numerica: soluzione di sistemi di equazioni non lineari:
contrazioni e iterazioni di punto fisso, stime di convergenza e stabilit`a; il metodo di Newton, convergenza locale e velocit`a di convergenza, test di arresto dello step, Newton come iterazione di punto fisso.
Differenze finite per ODEs e PDEs: problemi ai valori iniziali: i metodi di Eulero (esplicito ed implicito), convergenza e stabilit`a nei casi Lipschitziano e dissipativo, il metodo trapezoidale (Crank-Nicolson), equazioni e sistemi stiff, stabilit`a condizionata e incondizionata; problemi ai valori al contorno: differenze finite per l’equazione di Poisson 1d e 2d, struttura del sistema lineare e conver- genza, considerazioni computazionali; il metodo delle linee per l’equazione del calore 1d e 2d, connessione con i sistemi stiff.
Laboratorio: esercitazioni in Matlab su: interpolazione e quadratura, metodi iterativi per sistemi lineari e per il calcolo di autovalori, differenze finite per problemi ai valori iniziali e al contorno (www.math.unipd.it/∼alvise/didattica).
per maggiori dettagli e la bibliografia si veda la dispensa online “Spunti di analisi numerica”: http://www.math.unipd.it/∼marcov/studenti.html
