Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 11 – a.a. 2007-2008
Dott. Simone Zuccher 14 Febbraio 2008
Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova `e pregato di segnalarli all’autore (zuccher@sci.univr.it).
1 Integrali indefiniti immediati (o quasi)
Richiami utili per il calcolo degli integrali
• Propriet`a:
1.
Z
f (x) dx = F (x) + c, c ∈ R, ovvero le primitive di una funzione f(x) differiscono tutte per una costante.
2.
Z
[f (x) ± g(x)] dx = Z
f (x) dx ± Z
g(x) dx 3.
Z
kf (x) dx = k Z
g(x) dx
• Integrali immediati, o quasi, vedi tabella 1, pagina 2 Esercizio 1.1 Calcolare i seguenti integrali.
Z
cot x dx [log | sin x| + c]
Z
tan x dx [− log | cos x| + c]
Z
sin(ax) dx
·
−1
acos(ax) + c
¸ Z
cos(ax) dx · 1
asin(ax) + c
¸ Z √
x dx · 2
3
√x3+ c
¸ Z
√ 1
x + a dx £2√
x + a + c¤
Z x
√a + x2 dx £√a + x2+ c¤
Z x
√a − x2 dx £−√
a − x2+ c¤
Risoluzione. Si applichino le conoscenze relative agli integrali immediati ed altri integrali notevoli (vedi tabella 1, pagina 2).
Integrali fondamentali Altri integrali notevoli
Z
xαdx = xα+1
α+ 1+ c, α 6= −1
Z
f0(x) · [f(x)]α dx = [f (x)]α+1
α+ 1 + c, α 6= −1
Z 1
x dx = log |x| + c
Z f0(x)
f(x) dx = log |f(x)| + c
Z
ax dx = ax
log a+ c, a > 0 ∧ a 6= 1 Z
f0(x) · af(x)dx = af(x)
log a + c, a > 0 ∧ a 6= 1 Z
ex dx = ex+ c
Z
f0(x) · ef(x) dx = ef(x)+ c
Z
sin x dx = − cos x + c
Z
f0(x) · sin[f(x)] dx = − cos[f(x)] + c
Z
cos x dx = sin x + c
Z
f0(x) · cos[f(x)] dx = sin[f(x)] + c
Z 1
(cos x)2 dx = tan x + c
Z f0(x)
[cos f (x)]2 dx = tan[f (x)] + c
Z 1
(sin x)2 dx = − cot x + c
Z f0(x)
[sin f (x)]2 dx = − cot[f(x)] + c
Z 1
√1 − x2 dx = arcsin x + c
Z f0(x)
p1 − [f(x)]2 dx = arcsin[f (x)] + c
Z 1
1 + x2 dx = arctan x + c
Z f0(x)
1 + [f (x)]2 dx = arctan[f (x)] + c
Tabella 1: Tabella degli integrali notevoli
Esercizio 1.2 Dimostrare, sotto l’ipotesi a > 0, le seguenti uguaglianze.
Z 1
√a2− x2 dx = arcsinx a + c
Z 1
a2+ x2 dx = 1
aarctanx a + c Risoluzione. Si applichino le conoscenze relative agli integrali immediati ed altri integrali notevoli (vedi tabella 1, pagina 2).
Esercizio 1.3 Calcolare i seguenti integrali.
Z 1
(5x + 3)6 dx
·
− 1
25(5x + 3)5 + c
¸ Z √
x + 2 dx h
2
3p(x + 2)3+ ci
Z x
√2 − 3x2 dx
·
−1 3
√2 − 3x2+ c
¸ Z
1 x√
x2− 1 dx £− arcsinx1 + c¤ Z
sin5x cos x dx · 1
6sin6x + c
¸ Z
(arcsin x)2
√1 − x2 dx · 1
3(arcsin x)3+ c
¸
Z 1
(1 + x2) arctan x dx [log | arctan x| + c]
Z 1
(arcsin x√
1 − x2 dx [log | arcsin x| + c]
Z 1
x log x dx [log | log x| + c]
Z (log x)n
x dx, n 6= −1 · (log x)n+1 n + 1 + c
¸
Z sin(2x)
1 + (sin x)2 dx [log(1 + (sin x)2) + c]
Z
3xex2 dx · 3
2ex2 + c
¸
Risoluzione. Si applichino le conoscenze relative agli integrali immediati ed altri integrali notevoli (vedi tabella 1, pagina 2).
2 Integrali che richiedono alcune manipolazioni della funzione integranda
Negli esercizi che seguono sar`a necessario manipolare la funzione integranda in modo da ricondursi ad integrali immediati (o quasi) visti precedentemente.
Esercizio 2.4 Tenendo conto delle uguaglianze goniometriche note, calcolare i seguenti integrali.
1.
Z
sin2x dx 2.
Z
cos2x dx
Risoluzione. Dalla formula di duplicazione del coseno cos(2x) = cos2x − sin2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x si ha
1. sin2x = 1 − cos(2x)
2 = 1
2−cos(2x)
2 , quindi Z
sin2x dx = Z 1
2 dx−
Z cos(2x) 2 dx = 1
2x − sin(2x) 4 + c.
2. Osservando che cos2x = 1 + cos(2x)
2 , si ottiene Z
cos2x dx = Z 1
2 dx+
Z cos(2x) 2 dx = 1
2x + sin(2x) 4 + c.
Esercizio 2.5 Tenendo conto delle uguaglianze goniometriche note, calcolare i seguenti integrali.
1.
Z 1
sin x dx 2.
Z 1
cos x dx
Risoluzione. Dalla formula di duplicazione del seno sin(2x) = 2 sin x cos x si ottiene sin x = 2 sinx2cosx2, da cui
1.
Z 1
sin x dx =
Z 1
2 sinx2 cosx2 dx = Z 1
2
1
tanx2cos2 x2 dx =
Z ¡tanx2¢0
tanx2 dx = log¯
¯
¯tan x 2
¯
¯
¯ + c.
Si dimostri, per esercizio ed utilizzando gli stessi passaggi, che in generale vale la seguente
Z 1
sin(x + a) dx = log
¯
¯
¯
¯
tanµ x + a 2
¶¯
¯
¯
¯
+ c (2.6)
2. Utilizzando la (2.6), dopo aver osservato che cos x = sin(x + π/2), si ottiene
Z 1
cos x dx =
Z 1
sin(x + π2) dx = log¯
¯
¯tan
³x 2 + π
4
´¯
¯
¯ + c
Esercizio 2.7 Tenendo conto delle uguaglianze goniometriche note, calcolare i seguenti integrali.
1.
Z 1
sin x cos x dx 2.
Z 1
sin2x cos2x dx Risoluzione.
1.
Z 1
sin x cos x dx =
Z 1
tan x cos2x dx = log |tan x| + c 2.
Z 1
sin2x cos2x dx =
Z 1
(sin x cos x)2 dx =
Z 1
[(sin(2x))/2]2 dx = 2
Z (2x)0
[sin(2x)]2 dx =
−2 cot(2x) + c
1.
Z hx + k
mx + n dx = h
mx + km − hn
m2 log |mx + n| + c 2.
Z hx + k
mx2+ n dx = h
2mlog |mx2+ n| + k
√mnarctanµr m nx
¶
+ c, m · n > 0
Risoluzione.
1.
Z hx + k
mx + n dx = 1 m
Z hmx + mk
mx + n dx = 1 m
Z hmx + mk + hn − hn
mx + n dx =
1 m
Z h(mx + n) + km − hn
mx + n dx = h
m Z
1 dx + km − hn m2
Z m
mx + n dx = h
mx +km − hn
m2 log |mx + n| + c 2.
Z hx + k
mx2+ n dx = h
Z x
mx2+ n dx + k
Z 1
mx2+ n dx = h
2m
Z 2mx
mx2+ n dx + k n
1 pm/n
Z pm/n
(pm/nx)2 + 1 dx = h
2mlog |mx2+ n| + k
√mnarctanµr m nx
¶ + c
Esercizio 2.9 Calcolare
Z 3x + 2 4x + 5 dx.
Risoluzione. Eseguendo gli stessi passaggi del primo esempio dell’esercizio prece- dente, si ottiene
Z 3x + 2
4x + 5 dx = 1 4
Z 12x + 8
4x + 5 dx = 1 4
Z 12x + 8 + 15 − 15
4x + 5 dx =
1 4
Z 12x + 15 − 7
4x + 5 dx = 3 4
Z
1 dx − 7 4
Z 1
4x + 5 dx = 3 4x − 7
16log |4x + 5| + c.
Alternativamente, bastava sostituire h = 3, k = 2, m = 4, n = 5 nella formula risolutiva vista nell’esempio 1 dell’esercizio 2.8.
Esercizio 2.10 Calcolare
Z 1
3x2+ 2 dx.
Risoluzione. Eseguendo gli stessi passaggi del secondo esempio dell’esercizio2.8, si ot- tiene
Z 1
3x2 + 2 dx = 1 2
Z 1
3
2x2 + 1 dx = 1 2
Z 1
³q3 2x´2
+ 1
dx = 1 2
r 2 3
Z
q3 2
³q3 2x´2
+ 1 dx =
√1
6arctanµ 3 2x
¶ + c.
Alternativamente, bastava sostituire h = 0, k = 1, m = 3, n = 2 nella formula risolutiva vista nell’esempio 2 dell’esercizio 2.8.
Esercizio 2.11 Dimostrare, nel caso ∆ = b2− 4ac < 0, la seguente uguaglianza Z hx + k
ax2+ bx + c dx = h
2alog |ax2+ bx + c| + 2ak − bh a√
4ac − b2 arctan
µ 2ax + b
√4ac − b2
¶ + c
Risoluzione. hx + k
ax2+ bx + c = h x + k/h
ax2+ bx + c = h
2a·2ax + 2ak/h ax2+ bx + c = h
2a·2ax + 2ak/h + b − b ax2+ bx + c = h
2a ·
· 2ax + b
ax2+ bx + c + 2ak/h − b ax2+ bx + c
¸ . Quindi,
Z hx + k
ax2+ bx + c dx = Z h
2a · 2ax + b
ax2 + bx + c dx + Z h
2a · 2ak/h − b
ax2+ bx + c dx = h
2alog |ax2+ bx + c| + Z h
2a · 2ak/h − b ax2+ bx + c dx.
Per integrare la seconda parte, si osservi che h
2a· 2ak/h − b
ax2+ bx + c = 2ak − bh
2 · 1
a2x2+ abx + ac = 2ak − bh
2 · 1
(ax +b2)2+ ac − b42 = 2ak − bh
2 · 1
(ax +2b)2+ 4ac−b4 2 = 2ak − bh
2 · 1/(4ac−b4 2)
4
4ac−b2(ax + b2)2+ 1 = 2ak − bh
2 · 4
4ac − b2 · 1 (√2ax+b
4ac−b2)2+ 1 = 2ak − bh
2 · 4
4ac − b2 ·
√4ac − b2
2a ·
√ 2a 4ac−b2
(√2ax+b
4ac−b2)2+ 1 = 2ak − bh
a√
4ac − b2 ·
√ 2a 4ac−b2
(√2ax+b
4ac−b2)2+ 1. Pertanto,
Z h
2a · 2ak/h − b
ax2+ bx + c dx = 2ak − bh a√
4ac − b2
Z √ 2a
4ac−b2
(√2ax+b
4ac−b2)2+ 1 dx = 2ak − bh
a√
4ac − b2 arctan
µ 2ax + b
√4ac − b2
¶
+c. Sommando i due contributi si ottiene l’uguaglianza data. Si noti che il risultato del secondo integrale dell’esercizio 2.8 si ottiene immedia- tamente dalla formula precedente ponendo a = m, b = 0, c = n.
Esercizio 2.12 Calcolare
Z 3x + 2 x2+ x + 1 dx.
Risoluzione. Eseguendo gli stessi passaggi dell’esercizio precedente, si ottiene
Z 3x + 2
x2+ x + 1 dx = 3
2
Z 2x + 4/3
x2+ x + 1 dx = 3 2
Z 2x + 1 + 4/3 − 1
x2+ x + 1 dx = 3 2
Z 2x + 1 + 1/3
x2+ x + 1 dx = 3 2
Z 2x + 1
x2+ x + 1 dx+
1 2
Z 1
x2+ x + 1 dx = 3
2log |x2+ x + 1| +1 2
Z 1
(x + 1/2)2+ 3/4 dx = 3
2log(x2+ x + 1) +
√1 3
Z 2/√
3
³2x+1√ 3
´2
+ 1
dx = 3
2log(x2+ x + 1) + 1
√3arctanµ 2x + 1
√3
¶
+ c =.
Alternativamente, bastava sostituire h = 3, k = 2, a = 1, b = 1, c = 1 nella formula risolutiva vista nell’esercizio 2.11.
3 Integrali per parti
Richiami utili al calcolo di integrali per parti.
• L’integrazione per parti utilizza l’uguaglianza Z
[f0(x) · g(x)] dx = f(x) · g(x) − Z
[f (x) · g0(x)] dx
• Schema riassuntivo per la scelta di f0(x) e g(x) nel caso si abbia l’integrale del loro prodotto: vedi tabella 2. Si noti che 1 = x0 rientra nel caso xn.
f0(x) g(x)
sin x se moltiplicato per xn cos x se moltiplicato per xn ex se moltiplicato per xn xn se moltiplicato per log x xn se moltiplicato per arcsin x xn se moltiplicato per arccos x xn se moltiplicato per arctan x xn se moltiplicato per arccot x
Tabella 2: Scelta di f0(x) e g(x) nell’integrazione per partiR [f0(x) · g(x)] dx
Esercizio 3.13 Calcolare Z
x cos x dx.
Risoluzione. Scegliendo, secondo la tabella 2, pagina 7, f0(x) = cos x e g(x) = x, si ha f (x) =R cos x dx = sin x e g0(x) = 1, quindi
Z
x cos x dx = x · sin x − Z
sin x dx = x · sin x + cos x + c.
Esercizio 3.14 Calcolare Z
x log x dx.
Risoluzione. Scegliendo, secondo la tabella 2, pagina 7, f0(x) = x e g(x) = log x, si ha f (x) = x2/2 e g0(x) = 1/x, quindi
Z
x log x dx = x2
2 · log x − 1 2
Z
x dx = x2
2 µ
log x −1 2
¶ + c.
Esercizio 3.15 Calcolare Z
log x dx.
Risoluzione. Scegliendo, secondo la tabella2, pagina7, f0(x) = 1 e g(x) = log x, si ha f (x) = x e g0(x) = 1/x, quindi
Z
log x dx = x · log x − Z
1 dx = x (log x − 1) + c.
Esercizio 3.16 Calcolare Z
arctan x dx.
Risoluzione. Scegliendo, secondo la tabella2, pagina7, f0(x) = 1 e g(x) = arctan x, si ha f (x) = x e g0(x) = 1/(1 + x2), quindi
Z
arctan x dx = x · arctan x −
Z x
1 + x2 dx = x · arctan x −1
2log(x2 + 1) + c.
Esercizio 3.17 Calcolare Z
x2ex dx.
Risoluzione. Scegliendo, secondo la tabella 2, pagina 7, f0(x) = ex e g(x) = x2, si ha f (x) = ex e g0(x) = 2x, quindi
Z
x2ex dx = x2 · ex − Z
2x · ex dx = x2 · ex − 2
µ
x · ex− Z
ex dx
¶
+ c = ex(x2− 2x + 2) + c.
Esercizio 3.18 Calcolare Z
(log x)2 dx.
Risoluzione. Scegliendo, secondo la tabella 2, pagina 7, f0(x) = 1 e g(x) = (log x)2, si ha f (x) = x e g0(x) = 2
xlog x, quindi Z
(log x)2 dx = x · (log x)2 − 2 Z
log x dx = x£(log x)2− 2 log x + 2¤ + c.
Esercizio 3.19 Calcolare, per parti, Z
(sin x)2 dx.
Risoluzione. Scegliendo f0(x) = sin x e g(x) = sin x, si ha f (x) = − cos x e g0(x) = cos x, quindi
Z
(sin x)2 dx = − sin x · cos x + Z
(cos x)2 dx = − sin x · cos x + Z
[1 − (sin x)2] dx = − sin x · cos x +
Z
1 dx − Z
sin x)2 dx, ovvero Z
(sin x)2 dx = − sin x · cos x + x −
Z
sin x)2 dx, da cui Z
(sin x)2 dx = 1
2(x − sin x cos x) + c = 1 2x −1
4sin(2x) + c (si confronti questo risultato con l’esercizio2.4).
Esercizio 3.20 Calcolare, per parti,
Z x
(sin x)2 dx.
Risoluzione. Scegliendo f0(x) = 1
(sin x)2 e g(x) = x, si ha f (x) = − cot x e g0(x) = 1, quindi
Z x
(sin x)2 dx = −x · cot x + log | sin x| + c.