Equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado

Sommario

1. Definizioni ... 1

1.1. Forma normale e formula risolutiva ... 1

1.2 La formula ridotta ... 2

1.3 Equazioni pure, spurie e monomie ... 2

1.3.2 Equazioni pure ... 2

1.3.3 Equazioni spurie... 3

1.3.4 Equazioni monomie ... 3

1.4 Parabola con asse parallelo all’ asse 𝑦. ... 3

1.5 Regola di cartesio ... 4

1.6 Scomposizione di un trinomio di secondo grado. ... 5

1. Definizioni

Un’ equazione di secondo grado è un’equazione in cui il massimo grado della variabile, solitamente indicata con 𝑥, è 2.

Per tale motivo in un’equazione di secondo grado si possono avere al massimo due soluzioni reali che chiameremo 𝑥₁ ed 𝑥₂.

1.1. Forma normale e formula risolutiva

La forma normale delle equazioni di secondo grado è: 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, in cui 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sono i coefficienti dell’equazione e, in particolare, 𝑐 viene detto termine noto.

Quando un’equazione di secondo grado è posta in forma normale, possiamo ricavare le sue soluzioni attraverso la seguente formula.

𝑥₁=^{−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎

(1) 𝑥_1,2=^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎

𝑥₂=^{−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎

Esempio

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 2𝑥 = 2 ⇒ 𝑥²− 1 + 2𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥²+ 2𝑥 − 3 = 0;

𝑥_1,2=^{−2±√4+12}₂ ⇒^−2±√16₂ =^−2±4₂ ; 𝑥₁ =⁻²⁻⁴

2 = −^{6 3}

2 1= −3; 𝑥₂=⁻²⁺⁴

2 = 1

Il termine interno alla radice: 𝑏²− 4𝑎𝑐 viene chiamato Δ (delta).

Il numero di soluzioni dell’equazione cambia al variare del segno del Δ.

• Se Δ > 0, avremo che √Δ ∈ ℝ, quindi l’equazione di secondo grado ammette due soluzioni¹ reali e distinte.

• Se Δ = 0, avremo √Δ = 0, quindi l’equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti², date da: 𝑥1,2= −_2𝑎^𝑏;

• Se Δ < 0, avremo ³ √Δ ∉ ℝ, questo significa che non esisteranno soluzioni dell’ equazione nell’insieme dei numeri reali ℝ, ovvero 𝑥1,2∉ ℝ.

1.2 La formula ridotta

Consideriamo la forma normale delle equazioni di secondo grado: 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se il coefficiente 𝑏 è pari allora, per calcolare le soluzioni dell’equazione, possiamo applicare la seguente formula ridotta:

𝑥_1,2=⁻

𝑏 2±√(^𝑏

2)²−𝑎𝑐

𝑎 ; in cui (^𝑏₂)²− 𝑎𝑐 =^Δ₄. In sintesi si ha:

𝑥1=⁻

𝑏 2−√^Δ

4

𝑎

(2) 𝑥1,2=⁻

𝑏 2±√^Δ

4

𝑎

𝑥2=⁻

𝑏 2+√^Δ

4

𝑎

1.3 Equazioni pure, spurie e monomie

Un’equazione di secondo grado in forma normale si dice pura se 𝑏 = 0 e, quindi, si presenta come segue:

(3) 𝑎𝑥²+ 𝑐 = 0

Si risolve semplicemente portando il termine noto a destra e dividendo per 𝑎.

Fatto questo le soluzioni della (3) saranno: 𝑥_1,2= ±√^−𝑐

𝑎. Considerazioni importanti:

• le soluzioni della (3) esistono se e solo se il segno di 𝑎 ed il segno di 𝑐 sono diversi;

• se, invece 𝑐 ed ha hanno lo stesso segno, la (3) non ammette soluzioni reali;

• la tre non ammette soluzioni coincidenti.

Esempio: 𝑥²−⁴

9= 0 ⇒ 𝑥_1,2= ±²

3

1 Le soluzioni di un’equazione vengono chiamate anche radici, da non confondere con le radici dei radicali.

2 Si usa anche dire soluzione doppia.

3 Normalmente si usa dire che il radicale non esiste in ℝ

1.3.3 Equazioni spurie

Le equazioni di secondo grado spurie non presentano il termine noto.

(4) 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 = 0

Per risolvere queste equazioni bisogna raccogliere la 𝑥, ottenendo: (5) 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0.

Una delle soluzioni della (5) è 𝑥₁= 0, l’altra si ricava ponendo: (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ⇒ 𝑥₂= −^𝑏

𝑎. Esempio:3𝑥²− 9𝑥 = 0 ⇒ 3𝑥(𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝑥₁= 0; 𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥₂= 3.

1.3.4 Equazioni monomie

Nelle equazioni monomie si ha 𝑏 = 𝑐 = 0 e quindi queste si presentano nel seguente modo:

(6) 𝑎𝑥² = 0 ⇒ 𝑥_1,2= 0

1.4 Parabola con asse parallelo all’ asse 𝑦.

Una parabola con asse parallelo all’ asse 𝑦 ha la seguente equazione:

(7) 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sono i coefficienti della parabola.

Scopo di questo paragrafo non è trattare integralmente la teoria della parabola ma evidenziare tutti i nessi tra la parabola e le equazioni di secondo grado.

Graficamente la nostra parabola può essere rappresentata come segue:

Ponendo nell’equazione della parabola 𝑦 = 0 otteniamo proprio un’equazione di secondo grado.

𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ⟶⏟

𝑦=0

𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Vediamo come le soluzioni di un’equazione di secondo grado cambiano al cambiare della posizione della parabola corrispondente parabola. Per semplicità consideriamo una parabola con 𝑎 > 0.

Le soluzioni dell’equazione di secondo grado, corrispondente ad una parabola, si trovano sull’asse 𝑥.

I coefficienti 𝑎, 𝑏 e 𝑐 determinano la forma della parabola. In particolare 𝑎 determina la concavità della parabola.

Se 𝑎 < 0 la parabola ha concavità verso il basso, se 𝑎 > 0 la parabola ha concavità verso l’alto.

Si possono verificare 3 situazioni che ci indicano quante soluzioni ha una parabola.

1. La parabola non interseca l’asse 𝑥.

2. La parabola ha il vertice⁴ sull’asse 𝑥

1.5 Regola di cartesio

Sia data un’equazione di secondo grado in forma normale 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Confrontiamo tra loro i segni dei coefficienti 𝑎, 𝑏 e 𝑐.

Definizione: una permanenza si ha quando i coefficienti di un termine e del successivo hanno lo stesso segno (sono concordi).

Definizione: una variazione si ha quando i coefficienti di un termine e del successivo non hanno lo stesso segno (sono discordi).

4 Il vertice della parabola è il punto più basso (𝑎 > 0) o più alto (𝑎 < 0) della parabola stessa.

I valori delle ascisse corrispondenti ai punti 𝐴(𝑥_𝑎, 0); 𝐵(𝑥_𝑏, 0) sono proprio le soluzioni dell’equazione di secondo grado corrispondente alla parabola.

In questo caso l’equazione 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 non ammette soluzioni.

In questo caso l’equazione 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ha un’unica soluzione che è l’ascissa del vertice 𝑉(𝑥_𝑉, 0).

Esempio: 2𝑥²− 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 1𝑣𝑎𝑟 (𝑎, 𝑏); 1𝑝𝑒𝑟𝑚(𝑏, 𝑐) Regola di Cartesio

Se abbiamo un’equazione di secondo grado ridotta in forma normale: 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con Δ ≥ 0

• ad ogni variazione dei coefficienti corrisponde una soluzione positiva;

• ad ogni permanenza dei coefficienti corrisponde una soluzione negativa.

Esempio: 2𝑥²− 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 1𝑣𝑎𝑟 (𝑎, 𝑏); 1𝑝𝑒𝑟𝑚(𝑏, 𝑐) ⇒ 1𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎; 1𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.

1.6 Scomposizione di un trinomio di secondo grado.

Se abbiamo un trinomio di secondo grado 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 questo binomio può essere scomposto nel seguente modo: 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂), in cui.

• 𝑎 è il coefficiente di 𝑥² nel trinomio;

• 𝑥₁ ed 𝑥2 sono le soluzioni dell’equazione di secondo grado 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, corrispondente al trinomio.

Esempio.

Scomporre il trinomio 2𝑥²+ 3𝑥 − 2.

svolgimento.

• Scriviamo l’equazione 2𝑥²+ 3𝑥 − 2 = 0 e la risolviamo.

Δ = 9 + 16 = 25 ⇒ 𝑥_1,2=^−3±5

4 ⇒ 𝑥₁= −⁸

4= −2; 𝑥₂=²

4=¹

2

• Scompongo il trinomio. 2𝑥²+ 3𝑥 − 2 = 2 ⋅ (𝑥 + 2) (𝑥 −¹

2).