1. Introduzione
2. Sintesi di doppi bipoli passivi: il coefficiente di riflessione e la matrice di scattering.
3. Progetto di filtri: filtri passivi, progetto di un filtro di Butterworth e di Chebichev; filtri passa-basso, passa-alto, trasformazioni in frequenza.
4. Filtri digitali.
5. Filtri attivi
6. Teoria qualitativa dei circuiti dinamici non lineari:
esistenza ed unicità della soluzione, biforcazioni.
Flussi monodimensionali e bidimensionali: flussi, equilibri, stabilità, linearizzazione, cicli limite
Caos e circuiti caotici 7. Esponenti di Lyapunov
PROGRAMMA
1915 Primi filtri elettrici per ripetitori
Tutte le applicazioni di trattamento e trasmissione dei segnali
Un filtro è un calcolatore analogico
• componenti poco precisi, soggetti a variazioni di temperatura ed all’invecchiamento
• tecnologia semplice
• realizzazione poco costosa
• dispositivo affidabile
Filtri analogici
Un filtro elettrico è un dispositivo progettato per
•separare
•far passare
•o sopprimere
un gruppo di segnali da diversi segnali che utilizzano lo stesso canale di trasmissione.
Altera l’ampiezza e/o la fase di un segnale rispetto alla frequenza (modifica le ampiezze delle varie componenti e/o le loro relazioni di fase).
Idealmente non aggiunge nuove frequenze al segnale in ingresso nè modifica le componenti in frequenza del segnale.
Ha un guadagno che dipende dalla frequenza del segnale.
E' difficile trovare un sistema elettronico che non impieghi un filtro.
indesiderato
Esempio
Esempi
❖Eliminare ciò che contamina il segnale (rumore nei sistemi di comunicazione)
❖Separare componenti in frequenza rilevanti da quelle irrilevanti
❖Demodulare segnali
❖Limitare i segnali in banda prima del campionamento
❖Convertire i segnali campionati in continui
❖Migliorare la qualità di segnali audio (altoparlanti)
❖Sintesi del parlato
❖Equalizzazione
❖Su larga scala televisione e radio
❖Su scala più piccola i componenti elettronici base usati nei telefoni, nella televisione, nella radio, nei radar e nei computer.
•Quasi tutte le apparecchiature elettroniche utilizzano dei filtri per scopi diversi.
•Nelle radiocomunicazioni i filtri passa banda nei ricevitori migliorano la ricezione limitando l'amplificazione ai soli segnali desiderati. La larghezza di banda dei filtri adoperati nei sistemi di comunicazione varia, secondo le applicazioni, da meno di 1 Hz a molti MHz.
•Il filtro passa basso, applicato all'uscita dei raddrizzatori di alimentazione dei circuiti elettronici, elimina le componenti alternate della componente continua.
•L'azione selettiva dei filtri viene anche ampiamente utilizzata per suddividere l'uscita degli amplificatori audio in più bande rivolte a sistemi di altoparlanti differenziati in frequenza di risposta.
Filtro ADSL: una volta inserito sulle prese dove si utilizza un telefono, tale filtro provvederà a escludere tutte le frequenze audio superiori ai 25 KHz, eliminando cosi' il leggero rumore di fondo dovuto al collegamento dati sulle frequenze
superiori.
Tecnicamente il filtro ADSL è un circuito RC passivo, in cui i valori dei componenti elettronici sono calcolati in base alle frequenze audio che occorre lasciar passare e quelle che invece occorre filtrare.
Si monta semplicemente tra la presa telefonica e il telefono.
Filtri per armoniche
Utenze non lineari (inverter, soft starter, raddrizzatori, saldatrici, elettronica di potenza, illuminazione non a filamento, presse, forni, etc.) in impianti elettrici industriali e del terziario →
armoniche di corrente che si riversano in rete, inquinando e distorcendo le forme d’onda su altri carichi → filtri per
armoniche sia passivi che attivi che migliorano la power-quality complessiva della rete, effettuando anche il rifasamento alla frequenza di rete se opportunamente dimensionati.
1) filtri passivi → banchi LC serie con frequenza di risonanza pari all’ordine dell’armonica di corrente che si vuole eliminare. In questo modo il bipolo LC presenta una X molto bassa in corrispondenza dell’armonica che si desidera eliminare la quale circolerà nel bipolo non interessando l’intera rete.
Filtro economico, facile da collegare e mettere in funzione.
Solo per uno o due ordini armonici → I filtri a banda larga non sono molto efficaci. Possibilità di risonanza.
Necessità di dispendioso lavoro di progettazione
2) filtri attivi → eliminano in modo automatico le armoniche di corrente presenti in rete entro una vasta gamma di frequenze.
Sfruttando la tecnologia elettronica, immettono un sistema di armoniche in grado di annullare quelle presenti in rete.
http://www.ledlamp.it/files/CompactNSX_Rilevamento_e_filtraggio _delle_armoniche.pdf
Filtro di rete antidisturbo EMI in presa schuko - dispositivi elettrici/elettronici 230V-16A.
Blocca i disturbi della rete e protegge il carico e la rete.
E' obbligatorio in tutti i dispositivi che possono arrecare disturbi alla rete elettrica o essere influenzati dai disturbi.
Viene usato comunemente in lavatrici, lavastoviglie e alimentatori per computer.
E’ possibile dotare altri dispositivi di tale filtro installando il filtro tra la presa a muro e l'apparato da filtrare.
Filtri passivi (resistori, capacitori ed induttori)
•problemi di costi e ingombri
•minore sensibilità rispetto ai filtri attivi
•larghezza di banda fino a 500kHz
•Guadagno minore di uno
In genere i vantaggi nell’utilizzo dei filtri attivi superano gli svantaggi in applicazioni relative alla trasmissione di voci e dati. Per questo sono utilizzati in quasi tutti i sistemi
elettronici sofisticati di comunicazione ed elaborazione dei segnali.
Poiché XL=wL, valori elevati di reattanza richiedono alle basse frequenze valori elevati di induttanza.
Ex. L=1mH f=1 MHz → XL=6.28 kW
f=100 Hz → XL=0.628 W Valori elevati di induttanza richiedono:
• elevato numero di spire della bobina → aumento della R, della dimensione e del costo dell’induttore
• materiali ferromagnetici con elevata m
Gli induttori sono generalmente incompatibili con la miniaturizzazione
Filtri attivi
Filtri e induttori
Filtri attivi (resistori, capacitori ed elementi attivi)
•economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti integrati)
•produzione di serie
•pesano poco e occupano poco spazio
•larghezza di banda finita (<30kHz)
•Guadagno anche maggiore di uno, amplificano il segnale filtrato
•Assenza di effetto caricante: collegamento in cascata di più celle filtranti che grazie alla loro bassa impedenza d’uscita non risentono dell’influenza del carico.
•Effetti delle capacità parassite ridotte (a causa delle dimensioni ridotte)
•Deriva (> sensibilità alle variazioni delle caratteristiche dei componenti attivi a fronte di modifiche ambientali)
• Richiedono una sorgente di alimentazione
I filtri sono definiti dai loro effetti sul segnale nel dominio della frequenza → descrizioni analitiche e grafiche nel dominio della frequenza
•Curve di guadagno vs frequenza
•Curve di fase vs frequenza
•Tools matematici nel dominio della frequenza
Risposta in frequenza
Esprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio della frequenza.
E’ la trasformata di Fourier della risposta all’impulso h(t)
Vi(s) + Vu(s)
-
+ -
Risposta in ampiezza/Guadagno Risposta in fase
+ -
+ - )
(s
H Funzione di trasferimento
s=jw
Vi(jw) H( jw) Vu(jw) Risposta in frequenza s=jw
H(j w )=M(w)ejf M(w) f(w)
passa-banda
w
passa-tutto
M(w)
wc w K
passa-basso
wc K
w K
M(w)=|H (jw)|
w K
w1 w2 w1 w2
passa-alto
K
w
elimina-banda (notch)
M(w)
M(w) M(w) M(w)
( )
CAUSALE NON
quindi è
ideale filtro
Il
0 2 0
1 2
1
è impulsiva risposta
ente corrispond
La
. altrove
0 per ) 1
ω (j ha
ideale basso
passa filtro
Il
=
=
=
=
−
−
e dω πjt e sen(ωπt t) per th(t) π
H
ω C t ω j ω
ω
t j
C
C C C
C
w w
w w
h(t)
La risposta dovrebbe esistere prima dell’applicazione dell’impulso?!
M(w)
L’ordine di un filtro
•è la più alta potenza della variabile s nella H(s).
•è pari al n. di capacitori e induttori indipendenti nel circuito (un capacitore ottenuto combinando 2 o più capacitori è ancora un capacitore/ possono esistere casi patologici).
Maggiore è l’ordine del filtro
•più è costoso perchè usa più componenti e più è difficile da costruire.
•più è efficace nel discriminare tra segnali a diverse frequenze
Tanto più alto è l’ordine del filtro reale, tanto più si avvicina al filtro ideale
Ordine di un filtro
Performance nel rapporto di frequenze
Ad esempio, spesso si vuole
•sapere quanta attenuazione si ha a 2wc e a 0.5 wc.
•avere le curve di risposta in ampiezza e fase che coprano un ampio range di frequenze (difficile con scala delle f lineare)
Scala delle ampiezze in db Poichè anche il range delle ampiezze può essere molto grande, la scala delle
ampiezze è usualmente espressa in db
(20log|H(jw)|).
Scala in frequenza logaritmica fornisce peso uguale a uguali rapporti di frequenze.
La forma delle curve di risposta dipende dalle rete che le realizza db/ottava→fattore 2 nelle f
db/decade→ fattore 10 nelle f
Poli Ordine Pendenze (slope)
1 polo 1° ordine 6 dB/ottava 20 dB/decade
2 poli 2° ordine 12 db/ottava 40 dB/decade 4 poli 4° ordine 24 dB/ottava 80 dB/decade 8 poli 8° ordine 48 dB/ottava 160 dB/decade
Ottava
Un'ottava è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è doppia della minore.
Decade La decade è
l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è dieci volte la minore.
Scala di frequenza logaritmica e scala delle ampiezze in db
Notare la simmetria
Picco→vicino alla frequenza di risonanza/centrale
frequenze di metà potenza
) 1
(
2+
= +
s s
s s H
Scale lineari
Matematica dei filtri
Filtri di ordine elevato difficili da descrivere→occorre un modello matematico generale
•usa termini standard per descrivere le caratteristiche del filtro
•semplifica l’applicazione dei computers ai problemi di progetto dei filtri.
H(s)=N(s)/D(s)
Funzione di trasferimentoPer una rete di di ordine n (n capacitori e induttori)
I valori dei coefficienti determinano le caratteristiche del filtro.
Esempio: filtro passa banda del II ordine
Q=f(a1)
1
0 1 1
1
0 1 1
1
...
) ...
(
a s
a s
a s
a
b s
b s
b s
k b s
H n
n n n
m m m m
+ +
+ +
+ +
+
= + −
−
− −
n = 2, m = 1
) 1
(
2+
= +
s s
s s
H
zeri
poli
Zeri e poli sono reali o complessi coniugati
Diagramma poli-zeri Rete stabile → poli con parte reale negativa
Poli immaginari→ risposta sinusoidale non smorzata Poli reali negativi → risposta esponenziale smorzata
Poli cc con parte reale negativa → risposta sinusoidale smorzata
k 2
Esempio: filtro passa banda del II ordine pm)
Filtri attivi o a
capacità commutate Coppia di poli cc
H è il prodotto di funzioni di trasferimento del II ordine (anche del I)→
Filtro composto da blocchi elementari connessi in cascata
HLP filtro del IV ordine, cascata di H1 e H2
H1 e H2, filtri del II ordine k 3
= H1· H2
LP=Low Pass
I parametri dipendono da quantità osservabili
k è un fattore di scala del guadagno w0 è un fattore di scala della frequenza
Nella risposta in ampiezza, k e w0 alterano l’ampiezza o la scala delle frequenze ma non la forma.
La forma dipende da Q che è determinato
da D(s) (log)
4
kk k
k’
k k
Sovraelongazione vicino alla f di risonanza
Passa Basso (PA) Segnale rumoroso
Filtri passa basso
Segnale filtrato
ripple
(variazione del guadagno)
•curve monotone
•curve con sovraelongazione
•curve con ripple
Filtri passa basso
•La funzione di rete di un passa basso del 1° ordine
max 0
max
0 0 0
2 2
0 0
7 . 0 7
. 2 0
) (
) 0 (
2
0 )
(
H k k
H
k H
H
k k k
H
=
=
=
=
=
=
+
=
w
w w
w w
w w
w w
w w
0 0 0 0
) (
) (
w w
w w
w w
= +
= +
k j j
H
k s s
H w0 pulsazione naturale
k guadagno (in continua)
w0
-3db
w0 =wt pulsazione di taglio/di roll-off/di cut off
R
) (t v
L
) (t vR
( ) ( )
1
/ 1
/ 1 / 1 /
1 / ) 1
(
0
=
=
=
= +
= +
=
k
RC
RC j
RC C
j R
C j V
j V H
t
c
w w
w w
w w R
) (t v
C vc(t) 𝑉𝑐
𝑉
Ri
Cf
- + )
(t
vi vu (t)
Rf
1 1
ingressi.
gli per tutti stessa
la rimane ,
diverse con
ingressi diversi
sommo Se
da dipende 1 non
1 1 1
1 ) 1
(
0
0 0
=
−
=
→
−
=
=
=
+
−
= +
−
=
−
=
i f f
i
i i
f f t
f f
f i
f f
f f
i i
f
R k R
C k R
R C R
R
C j R
C R C
R j
C R j
R Z
j Z H
w
w w
w
w w w w
Filtro attivo
•La funzione di rete di un passa basso del 2° ordine
( )
=
+
−
=
k
0
) (
0 0 0
2 2 0
2 2
0
2 0
w w
w w
w w
w w w
w w w
Q k Q
H k
02 2 0
02 02
2 0
2 0
) (
) (
w w w
w w w
w
w w w
+ +
−
=
→
=
+ +
=
Q j j k
H j
s
Q s s
s k H
w0 pulsazione naturale k guadagno
Q fattore di merito
k =1
Per un certo campo di valori di Q (Q alto), |H| ha un massimo nelle vicinanze di f0:
max 2 0 2
max 4
1 1 /
| ) (
2 | 1 1
Q Q f
Q H f
f = − = −
.
| ) (
|
,
max0
max
f H f Q
f =
Fra i filtri che non presentano il picco, quelli con sono quelli con decadenza più rapida e ftaglio=ft=f0 (Butterworth) .
2
= 2
Q
C L Q R
k
LC
1 1
1
0
=
=
w
= LR
) (t v
C vC (t)
02 2 0
02 2
) (
) /(
1 ) /(
) 1 (
w w w
w w w
w w w
+ +
−
=
+ +
−
=
Q j j k
H
LC L j
R j LC
H
1 ) 1
( = 2 + + s s
s H
Calcolare
w
0,k,Q.Esempio 2
Un convertitore ac/dc consente di realizzare un alimentatore in continua partendo da una rete di alimentazione in corrente alternata
Ingresso c.a. = Uscita c.c.
Il trasformatore isola galvanicamente l’uscita in continua dall’ingresso in alternata ed adatta la tensione di rete alla tensione di uscita richiesta.
Il raddrizzatore è un componente non lineare che converte l’energia da alternata a unidirezionale.
Il filtro assolve la funzione di far passare solo la componente continua dello spettro prodotto dal raddrizzatore e di bloccare tutte le altre righe dello spettro (armoniche)
Vi 230 V 50 Hz
Vo
La tensione (corrente) all’uscita del raddrizzatore non è
rigorosamente continua ma possiede un certo residuo (ripple) Per far passare la sola componente continua si utilizza un filtro passa-basso
Filtro LC ad ingresso induttivo Filtri ad ingresso capacitivo
Un gruppo di continuità è costituito da un convertitore alternata/continua (convertitore AC) che, grazie a un raddrizzatore e a un filtro, converte la tensione alternata della rete elettrica in
continua; una o più batterie in cui viene immagazzinata l'energia fornita dal primo convertitore;
un secondo convertitore continua/alternata (convertitore CA o inverter) che prelevando energia dal raddrizzatore o dalle batterie in caso di mancanza di rete elettrica, fornisce corrente al carico collegato.
Il filtro passa-basso induttivo è spesso preferito negli alimentatori per la bassa resistenza d'uscita.
D'altra parte, se peso ridotto e dimensioni compatte sono priorità rispetto alla bassa resistenza elettrica il filtro passa-basso capacitivo potrebbe avere più senso.
The inductive low-pass filter is the pinnacle of simplicity, with only one component comprising the filter.
The capacitive version of this filter is not that much more complex, with only a resistor and capacitor needed for operation. However, despite their increased complexity, capacitive filter designs are generally preferred over inductive because capacitors tend to be "purer" reactive components than inductors and therefore are more predictable in their behavior. By "pure" I mean that capacitors exhibit little resistive effects than inductors, making them almost 100% reactive.
Inductors, on the other hand, typically exhibit significant dissipative (resistor-like) effects, both in the long lengths of wire used to make them, and in the magnetic losses of the core material.
Capacitors also tend to participate less in "coupling" effects with other components (generate and/or receive interference from other components via mutual electric or magnetic fields) than inductors, and are less expensive.
However, the inductive low-pass filter is often preferred in AC-DC power supplies to filter out the AC "ripple"
waveform created when AC is converted (rectified) into DC, passing only the pure DC component. The primary reason for this is the requirement of low filter resistance for the output of such a power supply. A capacitive low- pass filter requires an extra resistance in series with the source, whereas the inductive low-pass filter does not.
In the design of a high-current circuit like a DC power supply where additional series resistance is undesirable, the inductive low-pass filter is the better design choice. On the other hand, if low weight and compact size are higher priorities than low internal supply resistance in a power supply design, the capacitive low-pass filter might make more sense.
Filtro passa-basso capacitivo nella progettazione di circuiti con componenti o gruppi sensibili al "rumore" elettrico.
Il rumore è accoppiato attraverso la capacità parassita e la mutua induttanza e arriva alla linea in corrente continua che alimenta il carico sensibile.
Il capacitore di disaccoppiamento ha un’impedenza molto bassa (C=1mF) rispetto al rumore AC e lo assorbe.
Filtri passa alto
•La funzione di rete di un passa alto del 1° ordine
=
+
=
2
0
) (
0 0 0
2 2
0
w w
w w
w w
w w
w w
k k k
H
0 0
) (
) (
w w
w w
w
= +
= +
j k j j
H
s k s s
H w0 = wt pulsazione di taglio
k guadagno
R
) (t v
L v (t)
L
( )
1
/ 1
/ 1 /
) 1 (
0
=
=
=
= +
= +
=
k
RC
RC j
j C
j R
R V
j V H
t
R
w w
w
w w w
R
) (t v
C
) (t vR
Esempio
Il circuito crossover accoppia un amplificatore audio a degli altoparlanti di tipo woofer o tweeter. Un solo altoparlante non sarebbe in grado di riprodurre tutta la gamma delle frequenze acustiche.
Tweeter R1
Woofer R2
C
L
+
- R1 R2
C L Vs
T W
Un woofer è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte bassa dell’intervallo delle frequenze audio (<3 kHz), non gli acuti.
Un tweeter è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte alta dell’intervallo delle frequenze audio (3-20 kHz), non bassi e medio bassi.
Un valore tipico è R=8 W.
V1 V2
+ +
- -
Canale di amplificatore
stereo
Crossover a due vie
. P.B /
) (
P.A.
1 1
) (
2 2 2
2 2
2
1 1
1 1
1
L j R
L R
L j R
R V
H V
C j R
j C
R j
C R j V
H V
s s
= +
= +
=
= +
= +
=
w w w
w
w w
w w
w0 w
)
1(w H )
2(w H
w0 pulsazione di taglio/di crossover
Midrange
Passa banda
frequenze medie, tra 350Hz e 8kHz
Lo stesso principio si usa nelle TV
•30Hz - 4MHz (immagini) →ampl. video
•4.5MHz (audio) → ampl. audio
Crossover a tre vie
Esempio
Nel circuito cross-over a due vie R1=R2=6W. Determinare L e C se deve risultare f0=2.5kHz.
H L L
R
F C C
R
m
w
m
w
382 2500
2
61 . 10 2500
1 2
0 2 0 1
→
=
=
→
=
=
Nel filtro sono utilizzate tre resistenze ceramiche (da 10 Ohm/5 W nella cella del mid-woofer superiore e da 2,2 Ohm/5 W e 5,6 Ohm/5 W in quella del
tweeter),
tre induttanze, di cui due inguainate in materiale plastico (da 8 mH sul mid-woofer basso, da 0,9 mH sul superiore e da 0,3 mH nella cella passa alto del tweeter),
4 condensatori: tre elettrolitici bipolarizzati (dei CYC da 56, 33 e 10 μF/100 V) mentre in serie al tweeter c'è un poliestere CYC da 5,6 μF/250 V.
http://nuke.nonsoloaudiofili.com/IndianaLineTesi560/tabid/274/Default.aspx
T
Ri Ci
- + )
(t
vi vu(t)
Rf
i f
i i t
i i
i f
i i
f i
f
R k R
C R
C j R
R j R
C R j
R Z
j Z H
−
=
=
=
+
−
= +
−
=
−
=
1
1 ) 1
(
0
w
w
w w
w w
Filtro attivo
L R
) (t v
C
) (t vL
=
= Q k
w
0−
−
−
− + +
−
−
−
= −
+ +
−
= −
+ +
=
w w w
w w w
w w w
w w
j j
H
Q j j
H
Q s s
s s H
* )
(
) (
) (
2
02 2 0
2 2 0 0
2
2
completare
•Passa alto del 2° ordine
1 )
( 2
2
+
= +
s s
s s H
Filtri passa banda
Filtri del II ordine
•Approssimazione poco costosa dei filtri ideali
•Blocco elementare per costruire filtri più complessi di tutti i tipi
•Ordine minimo per realizzare passa e oscura banda (notch)
k guadagno
w0 pulsazione di centrobanda/centrale/di risonanza (valore di picco)
Q fattore di qualità
w1 pulsazione di taglio inferiore/di metà potenza w2 pulsazione di taglio superiore
( )
0
2 0 2
0
0
2 0 2
0
0 0
0
2 2 0
2 2 0
0
1, 2
( )
( )
0 ( )
0
/ 2 s Q
H s k
s s
Q
j Q
H j k
j Q
Q k
H k
Q k w
w w
w w
w w w w w
w w
w w w w
w w w w w w w
w w w
=
+ +
= =
− + +
=
=
− + =
( ) ( ) ( )
2 2
0 0
2 2 2
2 2
2 2
2 2 0 2 2 0
0 0
2 2
2 2 2 0
0
0
2
2 0
0
( ) 1
2 2
2
( ) 1 2
2
Q k Q
H k
Q Q
Q Q
H j k Q
w w
w w
w w w w w w w w w
w w w w
w w
w w
w w w
= = =
− + − +
− + =
= + − =
B.
e' stretta piu'
tanto e'
elevato piu'
tanto Fissato
Banda di
Ampiezza
1 Q
per e simmetrich e
considerar possono
si
a rispetto e
simmetrich sono
non taglio
di pulsazioni Le
: positive quelle
soluzioni, 4
delle prendendo,
0
,
2
.
2 1 4
1 1
0 2 0 1
0 0 2
, 1
2 0 1
2 0 2
1
0 2 1,2
Q Q B
Q
Q Q
w w w w
w w w
w w
w w
w w
w
w w
=
=
−
→
=
→
=
+
=
0 1
0
=
−
w w w
Q w
Il numero di possibili caratteristiche di risposta in banda passante è infinito, ma hanno tutte la stessa forma di base.
L R
) (t v
C
) (t vR
R Q L
L R Q
k
LC
LC L
R j
L R j L C
j R j R
H
0 0
0
2
1 1
1 1 )
(
w w
w
w w
w w w
w
=
→
=
=
=
+ +
= −
−
+
=
PBanda
R
C
- + )
(t
vi 2R vu(t)
R (A-1)R C
R
AQ k
Q A
RC
=
= −
=
3 1
1 w0
I filtri passivi garantiscono una buona selettività a patto che il fattore di merito sia elevato. Ad esempio nel filtro RLC serie:
Rs
R Q L
= +
ext
w0
Rs resistenza dell’avvolgimento
Rext tutte le altre resistenze del circuito,
Q è effettivamente elevata se le resistenze sono piccole;
Rs dipende dal numero di spire dell’ avvolgimento e dalla conducibilità del materiale usato.
Bobine a radiofrequenza (kHz — 300 GHz)→ L piccolo→ poche spire→ bobine con Rs piccola→ Q elevato, → nel campo delle radiofrequenze, i filtri RLC sono molto usati
Nel campo audio→ L elevata→ molte spire → bobine ingombranti e costose. In campo audio, sono molto usati i filtri attivi.
Si dimostra che non si possono realizzare filtri passivi del II ordine con Q elevato senza l’uso di induttanze
Spesso utilizzati per sopprimere il rumore di rete a 50Hz.
Filtri oscura banda/notch
Filtri di ordine elevato
Spesso realizzati come cascata di filtri del II ordine (quando n è dispari occorre anche uno stadio del I ordine).
)
1(s
V H1(s) V2(s) H2(s) V3(s) Vn(s) Hn(s) Vn+1(s)
Cascata di n stadi del II ordine
Uscita stadio i = ingresso stadio i+1
Molto spesso il comportamento di uno stadio cambia quando viene connesso ad un altro stadio (caricamento). Il secondo stadio ‘carica’ il primo
) (s
Vi Zi(s) +- H(s)Vi(s) Zu(s)
Modello circuitale di uno stadio adatto all’analisi del caricamento
)
1(s
V Zi1(s) +
- H1V1
Zu1(s)
V2 Zi2(s) +
- 2 2 V H
Zu2(s)
)
3(s V
' 2 1
1 2 1
2 2
2 2 3
V V
Z H Z
V Z
V H V
i u
i
= +
=
1 1 2' H V V =
Ciò si può eliminare rendendo infinita la Zi2 o nulla la Zu1
1 2 1
2 2
1 3
1 1 2 1
2 2
2 2 3
Z H Z
H Z V
H V
V Z H
Z H Z V
H V
i u
i
i u
i
= +
=
= +
=
Senza il 2° stadio si avrebbe Invece si ha
Il 2° stadio carica il 1°.
I filtri di Sallen Key hanno Zu=0, pertanto possono essere collegati in cascata senza caricare l’uscita.
=
i
H
iH
I filtri RLC hanno Zu0, e Zi
i
Hi
H
1 2
2
1 0 ,
H H H
Z
Zu i
=
=
= o se
Se (se il secondo stadio NON carica il primo)
Esempio
Sallen Key Passa Banda – Calcolo della Zu
C
+ -
) (s Vi
R
R (A-1)R R C
2R Vu(s) Iu(s)
=0
=
Vi
u u u
I Z V
1 2
3
− = + −
=
− +
− =
− + +
+
) 0 1 (
2 0 /
1
/ 0 1 /
1
2 2
2 1
2
2 1
1 1
1
R A
V V
R V
R V sC
V V
sC V V
R V V
sC V R
V
u
u
u
(V3=V2)
Vu= 0 → Zu= 0
697 Hz
941 Hz 852 Hz 770 Hz
1
ABC 2
DEF 3 GHI
4
JKL 5
MNO 6 PRS
7
TUV 8
WXY 9
*
oper
0 #
1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz
Esempio
Individuazione di segnali generati da un telefono in multifrequenza (devono essere individuati i 10 digit decimali da 0 a 9 e 2 bottoni * e # usati per scopi speciali)
Banda bassa
Banda alta
Come si individuano i numeri da chiamare?
Quando viene composto un n. di telefono viene trasmesso un insieme di segnali alla centralina dove vengono decodificati.
1 segnale =
=1 coppia di toni sinusoidali
1209 Hz
1336 Hz
1477 Hz 697 Hz
941 Hz 852Hz 770 Hz
BP1 D1
BP2 D2
BP3 D3
BP4 D4
Passa basso
Passa alto
BP5 D5
BP6 D6
BP7 D7
BP Filtri passa-banda D Rivelatore
A Amplificatore
Ogni filtro passa-banda fa passare un solo tono ed è seguito da un rivelatore D che si attiva quando la sua tensione supera un determinato livello. L’uscita del rivelatore fornisce il segnale in corrente continua necessario al sistema di commutazione per connettere l’utente al numero chiamato.
Al sistema di switch A
•Nessun effetto sull’ampiezza del segnale alle diverse frequenze.
•Modifica della fase
Sono tipicamente usati per introdurre phase shifts nei segnali, per cancellare anche parzialmente phase shifts dovuti ad altra circuiteria o mezzi di trasmissione.
Filtri passa tutto o phase-shift
s) (ritardo,
/
rad) (fase,
w f
f In ritardo
Le funzioni di trasferimento viste finora per i filtri del II ordine condividono lo stesso denominatore.
Tutti i numeratori sono costituiti da termini trovati nel denominatore:
•il numeratore del passa-alto è il primo termine (s2) al denominatore,
•il numeratore del passa banda è il secondo termine (w0s/Q),
•il numeratore del passa-basso è il terzo termine (w02)
il numeratore dell’oscura banda è la somma del primo e del terzo.
•Il numeratore per la funzione di trasferimento passa tutto è un po’ diverso, nel senso che include tutti i termini del denominatore, ma uno dei termini ha un segno negativo.
.
1 ) 1
( 2
2
+ +
+
= −
s s
s s s
H
Il valore assoluto del guadagno è uguale all'unità a tutte le frequenze, ma la fase varia con la frequenza.
02
2 w0 w
+
+ s
s Q
