Lezioni di ELETTROTECNICA Elettrotecnica generale

Lezioni di

ELETTROTECNICA

Elettrotecnica generale

M.Fauri, F.Gnesotto, G.Marchesi, A.Maschio Editore Progetto Leonardo, Bologna

Indice

Capitolo 1: Corrente elettrica, campo elettrico, tensione elettrica

Capitolo 2: Reti elettriche lineari in regime stazionario Capitolo 3: Campo di corrente

Capitolo 4: Elettrostatica

Capitolo 5: Elettromagnetismo

Capitolo 6: Reti elettriche in regime sinusoidale Capitolo 7: Sistemi trifase

Appendice A: Sistema di misura internazionale (SI) Appendice B: Richiami sui campi vettoriali

Appendice C: Operazioni con grandezze sinusoidali

Indice del cap.6A

 Capitolo 6A

 Reti elettriche in regime sinusoidale

 6.1 Introduzione al regime sinusoidale

 6.1.1 Regime quasi stazionario

 6.1.2 Regime periodico

 6.1.3 Regime alternato

 6.1.4 Regime sinusoidale

 6.2 Rappresentazioni delle grandezze sinusoidali

 6.2.1 Rappresentazione in funzione del tempo

 6.2.2 Rappresentazione fasoriale

 6.2.3 Rappresentazione (o notazione) simbolica

 6.2.4 Rappresentazione usuale delle grandezze sinusoidali

 6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale

 6.3.1 Generatore di tensione sinusoidale

 6.3.2 Generatore di corrente sinusoidale

 6.3.3 Impedenza e ammettenza

 6.3.4 Resistore

 6.3.5 Condensatore

 6.3.6 Induttore

 6.3.7 Impedenza e ammettenza equivalenti

 6.4 Potenza in regime sinusoidale

6.1 Introduzione al regime sinusoidale

 La quasi totalità dell’energia elettrica viene prodotta, trasmessa ed utilizzata facendo uso di tensioni e correnti variabili nel tempo con legge sinusoidale

 La frequenza della sinusoide nel sistema elettrico europeo è stata fissata a 50 Hz (60 Hz USA e Giappone, …); per applicazioni particolari, si fa uso anche di

frequenze molto diverse da questa

 I possibili regimi di funzionamento di una qualunque rete elettrica sono:

Regime sinusoidale

Regime alternato Regime periodico

Regime quasi stazionario

Rete elettrica in regime qualunque

6.1 Introduzione al regime sinusoidale

6.1.1 Regime quasi stazionario



Si definisce regime quasi stazionario:



le variazioni di corrente e di tensione si propagano

istantaneamente (cioè a velocità infinita) all’intera rete e in cui si trascurano gli scambi energetici associati alla

radiazione elettromagnetica



Tutta la trattazione dell’elettrotecnica si riferisce al

regime quasi stazionario

6.1 Introduzione al regime sinusoidale

6.1.2 Regime periodico - 1



Nel regime periodico le grandezze elettriche seguono nel tempo una legge:



n



T

 f frequenza si misura in Hertz [

Hz

 La relazione che lega frequenza e periodo:

   

a t  a t  nT

f  T 1

a(t)

t T



Per una grandezza periodica a(t) si definisce:



Valore massimo:



Valore medio nel periodo:



Valore efficace :



Resistore R percorso da una corrente periodica i(t) :



La potenza istantanea dissipata sul resistore, per la legge di Joule:



Il valore medio su un periodo:

6.1 Introduzione al regime sinusoidale

6.1.2 Regime periodico - 2

  



A_M  max a t

 

A 1

T a t dt

m 0





 

A 1

T a t dt ²

0

  T

   

p t  Ri t ²

   

P 1

T R i t dt R 1

T i t dt RI

2 0

T 2

0

T 2

  

 

 

 

6.1 Introduzione al regime sinusoidale

6.1.3 Regime alternato



Una grandezza periodica si dice alternata se:



Se il periodo è formato da due semiperiodi simmetrici rispetto all’asse t , si definisce:



fattore di forma della semionda:



dove A'

è il valore medio nella semionda

 0 A m

K A

f A'

m



  ^{t d t}

a T 2

A 1

m

^ 



a(t)

t T

T/2

6.1 Introduzione al regime sinusoidale

6.1.4 Regime sinusoidale - 1

 Una

grandezza sinusoidale



 ^pulsazione

f



 angolo di fase

 Il valore medio nel periodo è nullo



Valore medio nel semiperiodo



Valore efficace



Fattore di forma

   

a t  A sen t _M   



 



T

A A A

A

m M M

M

'   







 

1



T 2 sen t dt 1 T 2

1 cos t

2 0.636A

T 2

0 T 2

M

0 

 



A 1

T A sen t dt A

2 0.707A

M

M

M

2 2

0

  T ^  

K A

A' 2 2 1,11

f

m

   

a(t)

t

6.1 Introduzione al regime sinusoidale

6.1.4 Regime sinusoidale - 2



Date due grandezze sinusoidali isofrequenziali:



a(t) si dice, rispetto alla grandezza b(t) :



In anticipo di fase se  > 



In quadratura in anticipo



In ritardo di fase se  < 



In quadratura in ritardo



In fase se  = 



In opposizione di fase se

   

a t  A _M sen   t  ^{b t}   ^{ B} _M ^sen  ^{ t  } 

  

 



    

a(t) b(t)

a(t)

b(t) a(t)

b(t)

a(t) b(t)

6.2 Rappresentazioni delle grandezze sinusoidali



Si usa rappresentare le grandezze sinusoidali in tre modi:



Rappresentazione in funzione del tempo

 Onerosa e quindi sostituita dalle seguenti:



Rappresentazione Fasoriale



Rappresentazione Simbolica



Le due ultime rappresentazioni costituiscono delle trasformazioni dal dominio temporale della

rappresentazione delle grandezze sinusoidali a due domini “equivalenti” :



Nello spazio cartesiano  Rappresentazione Fasoriale



Nello spazio complesso  Rappresentazione Simbolica

6.2 Rappresentazioni delle grandezze sinusoidali 6.2.2 Rappresentazione fasoriale



Se:



Si costruisca un vettore:

 di modulo costante

A

 che ruoti in senso antiorario

 velocità angolare



 per

t

0



x



La proiezione del vettore sull’asse y è uguale alla grandezza sinusoidale da rappresentare

   

a t  A sen t _M   

 

y  A

sen  t  



Il vettore rotante è detto vettore elettrico o fasore

 Esso rappresenta una grandezza scalare e non vettoriale!

x y

AM





6.2 Rappresentazioni delle grandezze sinusoidali 6.2.3 Rappresentazione simbolica - 1



La rappresentazione fasoriale è di tipo grafico



La rappresentazione simbolica è invece una rappresentazione algebrica



Qualsiasi fasore può essere rappresentato nel piano complesso come:



Se il fasore è di modulo costante e ruota a velocità angolare  ^:



Il coefficiente della parte immaginaria di questo numero complesso coincide con la grandezza sinusoidale da

rappresentare

A a jb   ^{A  a 2  b 2}

  arctg b a

   

A a jb A   

cos  t    j A

sen  t  

X , Re(A) Y , Im(A)

AM





a

b

6.2 Rappresentazioni delle grandezze sinusoidali 6.2.3 Rappresentazione simbolica - 2



Per proprietà trigonometriche, si ha:



Il termine:

 è un numero complesso costante e pari ad per

t

0



Se lo si moltiplica per il numero complesso variabile

 si ottiene il numero complesso variabile che rappresenta la grandezza sinusoidale



Tale numero complesso variabile, per la formula di Eulero :



ed è detto fattore di rotazione

 

   

 

  

A A cos t cos sen t sen jsen t cos jcos t sen

A cos cos t jsen t jsen cos t jsen t A cos jsen cos t jsen t

M

M

M

    

    

  

       

     

   

 

A_M cos





A

   

A a jb A   _Mcos  t   j A_Msen  t





cos t   jsen  t  e ^{j  t}

6.2 Rappresentazioni delle grandezze sinusoidali

6.2.4 Rappresentazione usuale delle grandezze sinusoidali



Quando si rappresenta una grandezza sinusoidale in notazione fasoriale o in notazione simbolica :



modulo  valore efficace della grandezza

 anziché il valore massimo

 In notazione simbolica si omette di scrivere il fattore di rotazione

 Esempio:

 valore efficace: V

 fase:

ATTENZIONE AL QUADRANTE

 perciò, in funzione del tempo, la tensione è:

 La pulsazione



t

e j ^

V   30  j 40

a arctg 40

 30

 

v(t) 2 50 sen t arctg 40

    30

50 40

30²  ² 

x y

AM





a

b







M cos jsen cos t jsen t A A

A    

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.1 Generatore di tensione sinusoidale



E’ un bipolo che impone ai suoi morsetti una tensione:



Il simbolo del generatore di tensione sinusoidale è:

+ E

.

   

e t  E _M sen  t  

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.2 Generatore di corrente sinusoidale



E’ un bipolo che impone, nel lato in cui è inserito, una corrente:



Il simbolo del generatore di corrente sinusoidale è:

   

j t  J _M sen  t  

J

.

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.3 Impedenza e ammettenza - 1



Bipolo lineare (no gener.) con la convenzione dell’utilizzatore



Poiché l’equazione caratteristica di un bipolo lineare è un’equazione differenziale lineare:

 se la tensione applicata:

 allora la corrente:



In notazione simbolica:

 è un

operatore complesso

  t  V   t   

v

sen

  t  I   t   

i

sen

 ^{ } 





 







I jsen e V

I e V

I V Ie

Ve e

I e V I

Z V

j j j

M j

M

    





cos



 

 ^  ^  ^  ^   ^V

^e

^e

 V cos jsen cos t jsen t V 

 ^{  }  ^{  }  ^{ I}

^e

^e

 I cos jsen cos t jsen t

I



+ ^v(t)

i(t)

Re Im ^V



I

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.3 Impedenza e ammettenza - 2



L’operatore complesso:



impedenza misura in Ohm [  ^]





Il modulo di è il rapporto



L’argomento di è indicato con

 E’ il

ritardo



L’operatore complesso si esprime come:

Z

I Z   V

 ^{ jsen } 

I V I

Z  V  cos 



 

Z

I V 

Z

 ( )

Z  Z cos   j sen 

Re Im

^V 

I





  

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.3 Impedenza e ammettenza - 3



In notazione simbolica:



Nel dominio del tempo, se: ^v   ^t  ^V

^sen    ^t

i t V

Z

I

( )  sen (  t   )  sen (  t   )

 ^{ }(cos )

 



jsen Ie

e Ze Ie

I Ve ^{j j j}

j

j   

 ^



Re Im

^V 

I

^{ }

 ^cos  ^{ }  ^{(   )} 





    



 e

I jsen

Z V Ze

Ve Z

I V

j



 

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.3 Impedenza e ammettenza - 4



Il reciproco dell’impedenza :



ammettenza



L’ammettenza si esprime:

 Il suo modulo misura in Siemens [

S



è l’argomento di



è l’argomento di

 Z

 _Y



 ^{ }

 ( ) ( )

Y  Y cos   jsen   Y cos   jsen 

       

2 2

Im Re

Im Re

1 1

Z j Z Z

Z Z

j Z

Z V

Y I

















   

 





Y

Z

V

Y   I

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.4 Resistore



Applicando a R la v(t):



Per la legge di Ohm la corrente sarà:

 caratterizzata dalla stessa fase della tensione



In notazione simbolica:

 per cui l’impedenza risulta:

 numero reale



 = 0

v (t)

i (t)

V 

I ^R

+

   

v t  V _M sen   t 

     

i t v t R

V R

  M sen  t  

 

I V

 R

  Z V 

I R

 

. V



 ^.

I

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.5 Condensatore

 Applicando a C la v(t):

 La corrente ha ampiezza:

 è in quadratura in anticipo rispetto alla tensione

 In notazione simbolica:

 L’impedenza di un condensatore:

 Reattanza capacitiva:

 Argomento:

 L’ammettenza sarà:

X

+

V

I

   

v t  V

sen  t  

     

i t C dv t

dt CV_M CV_M

      

 

 cos  t   sen  t  

2 M

M

CV

I  

v (t)

i (t)

V C j e

V C

I











  Z V

I j j

  1   1





X _C   1

 C 

Z  jX _C





Y  j C 

. V

 . 

I

 2



6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale 6.3.6 Induttore

 Applicando a

L

v(t)

 da cui:

 La corrente ha ampiezza:

 è in quadratura in ritardo rispetto alla tensione

 In notazione simbolica:

 L’impedenza di un induttore:

 Reattanza induttiva:

 Argomento:

 L’ammettenza corrispondente:

   

v t V_Msen





   

di dt

v t L

V

L^M t

  sen   ^{i t}

 

     

L

V

L dt V

V

M M

M

      

   

 







L sen t

2

 

  

   

L I

V

 

v (t)

i (t)

LV L j

e I V

j

 

 ² 1















 

 

  Z V I

L

j j L

 

 

 

X

  L  Z  jX _L

+

V

I

X_L





2

Y j

  1 L



. V





. I



2 

6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale

6.3.7 Impedenza ed ammettenza equivalenti - 1

 I bipoli lineari elementari si possono combinare in

serie

parallelo

 L’impedenza ai morsetti si ottiene da relazioni

serie

parallelo

 Come risultato, si ottiene

impedenza equivalente



R

resistenza equivalente



X

reattanza equivalente

 >0 l’argomento



impedenza ohmico-induttiva

 <0 l’argomento



impedenza ohmico-capacitiva



R

X



Z _e  R _e  jX _e

n serie

e serie

e serie

e

R jX Z Z Z

Z 





 

 

   

n par

e par

e par

e

R jX Z Z Z

Z     

1 1

1 1

1

2 1







 









2 1

2 2 1

2

2 Z Z

Z jX Z

R

Z_{par par par}







 



 



 _{ }





 



 

e e e

R arctg X



6.3 Componenti di rete in regime sinusoidale

6.3.7 Impedenza ed ammettenza equivalenti - 2

 L’inverso di , detto

ammettenza equivalente



G

conduttanza equivalente



B

suscettanza equivalente

 >0 l’argomento _e è positivo ammettenza ohmico-capacitiva

 <0 l’argomento _e è negativo ammettenza ohmico-induttiva



G

B

S

S



 

Y 1

Z

1 R jX

R Z

j X Z

G jB

e

e e e

e e 2

e

e 2 e e

 

    

Z _e

 

 



 

e e

e

G

arctg B



6.4 Potenza in regime sinusoidale - 1



Sezione di misura su linea a due fili che collega due parti di una rete:

 fissati i versi convenzionali per

v(t)

i(t)



la potenza istantanea che fluisce da A a B :

+ v (t)

i (t)

Rete A Rete B

     

p t  v t i t 

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 2



Siano v(t) ed i(t) sinusoidali:



stessa pulsazione 



i(t) sia in ritardo rispetto a v(t) dell’angolo 



 coincidente con l’argomento di se la rete di destra è un bipolo che non contiene generatori



Per comodità l’origine dei tempi sia con =0

Z_e

  ^{t  V}  ^{ t  } 

v

sen

  ^{t  I}  ^{ t    } 

i

sen

       

 

 

p t v t i t V I

V I t

V I t

M M

M M

M M

    

   

    

 











sen t sen t

2 cos cos 2

2 cos sen 2

2

  

  

   

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 3



Potenza attiva

potenza reale

 Il valore medio nel periodo della potenza p(t) , coincide con il termine costante

 cos è il fattore di potenza

 La potenza attiva P è positiva se

 Il termine sinusoidale di pulsazione

2

potenza fluttuante

P V I

VIcos

M M

 

2 cos  

  _



 



  







 cos 2 2 2

) 2

( V I  t  VIsen  t  

t

p

VI cos

 t T

VI p(t)

     

2 2

 esiste una frazione di T in cui

p(t)<0

 per cui c’è scambio di energia nei due sensi

 cos VI

VI 

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 4



Può essere riscritta:

 

   





 

p cos cos 2

   

 

p t VI

VIcos VI sen

   

  

cos cos2 t cos sen2 t sen 1 cos2 t sen2 t

    

   



Sempre >=0



P

rete A

rete B



Flusso energia unidirezionale



Valor medio nullo

 Energia scambiata tra A e B

VI cos

t



VI sen

 t

 ^t 

VI cos  1  cos 2 

t sen

VIsen  2 

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 5



Potenza istantanea:



Potenza attiva [W]:



Potenza fluttuante:



Potenza reattiva [VAR]:



Valor massimo del termine di

potenza istantanea cui corrisponde una energia scambiata



Q>0



Q<0

     

p t  v t i t 



cos VI

P 

 

 



  

 2 2

)

( t VIsen  t   p



en VI

Q  s

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 6



Rappresentazione fasoriale:



P  prodotto di V con la proiezione di I lungo V



Q  prodotto di V con la componente di I

ortogonale a V

. V

. I



I sen 

I cos 

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 7



In regime sinusoidale si definiscono altre due potenze:



Potenza apparente [VA]:



Dalle definizioni precedenti:



Potenza complessa

 prodotto della tensione in notazione simbolica per il coniugato della corrente



In generale:

 la parte reale:

P

 il coefficiente dell’immaginario:

Q

 il modulo:

N

VI N 

N ²  P ²  Q ²

 I V 

S  

 

v t  2 V sen(





 

i t  2 I sen(  t   )

P arctg Q

N Q

P S

jQ P

S

VI j VI

VIe I

V S

Ie I

Ve V

j j

j











































2 2

) (

sen cos













6.4 Potenza in regime sinusoidale - 8



Resistore

 La potenza istantanea è sempre positiva: un resistore può solo dissipare (convenzione utilizzatore)

 La potenza reattiva è nulla

V 

I ^R 0

 

R RI V

VI P

2  2





 0 Q

P

N 

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 9



Condensatore



La potenza media è nulla e l’energia oscilla con pulsazione 2 tra 0 ed il valore massimo



Esiste uno scambio di energia con la rete

X

+

V

I

   / 2 

0 sen

2 2

2

 

  











C

C

X

I V C X

CV I VI

VI

Q   

 0 P

Q VI

N   

1

2 CV

6.4 Potenza in regime sinusoidale - 10



Induttore



La potenza media è nulla e l’energia oscilla con pulsazione 2 tra 0 ed il valore massimo



Esiste uno scambio di energia con la rete

+

V

I

X_L

   / 2

 0 P

0 sen

2 2

2



  







L

L

X

I V L X

LI V VI

VI

Q   

Q VI

N  

1

2 LI _M ²

6.6 Risonanza

6.6.1 Risonanza serie - 1

 L’impedenza del circuito:

I +

L C

R

. V

.

+

Z R j   

 

 

L 

C 1

 Ha modulo:

 E argomento:

Z  R  

 

2 2

L 1

 C



 

arctg 

L C

  1

R

 Lo studio di queste 2 in funzione di



lim Z



  lim Z



 

 

  



LC 1

lim   2



 

0

lim   2





LC 0  ₀  1

  



L C X

X_{L C}

 ¹





6.6 Risonanza

6.6.1 Risonanza serie - 2





pulsazione di risonanza

 per =₀:

 l’impedenza è puramente resistiva

 la potenza assorbita è solo attiva

 le potenze reattive Q_L = -Q_C

 V_L = V_C sono in opposizione di fase

 Se R = 0 l’impedenza diventa un c.c.

 Alimentando il bipolo

R-L-C

ampiezza costante e pulsazione variabile,

I= I() :

 Si definisce

fattore di merito

 F>> 1 nell’ intorno di ₀

Z ,



2

2

-

₀ L

¹_C

 R



Z



I

₀ 

R =0 R =0

F V

V ris

V

V ris

L R

C L 0

0

  

  

 

    



1 1

RC R L C

 In circuiti in cui ci si può avvicinare a condizioni di risonanza serie, bisogna perciò fare attenzione sia alle sollecitazioni dielettriche sui componenti che alla sicurezza degli operatori od utenti

6.6 Risonanza

6.6.2 Risonanza parallelo - 1

 L’impedenza del circuito:

I +

L C

R .

V .

Z

R j



  

 



1

1  1

C 

L

 Ha modulo:

 E argomento:

Z

R



 

 



1

1 1

2

2

C L

 

   

 

arctg 

L C

1 R

 Lo studio di queste 2 in funzione di



Y G j   

 



C



L

1 Y  G  

 

2 2

C L

 

1  

 

arctg

C L

 

  1

G

lim Y

0

 

lim Y



 



 ^{Y  G}

min

L C X

X_{L C}

 ¹





  



LC 1

lim ₀ 2

   lim

 

 

6.6 Risonanza

6.6.2 Risonanza parallelo - 2





pulsazione di risonanza

 per =₀:

 l’ammettenza è puramente resistiva

 la potenza assorbita è solo attiva

 le potenze reattive Q_L = -Q_C

 I_L = I_C sono in opposizione di fase

 Se G = 0 l’impedenza diventa un c.a.

 Si definisce

fattore di merito



F>> 1



Y ,



2

2

-

₀ C

 L 1





 ^Z

R 1

Y

 In circuiti in cui ci si avvicina a condizioni di risonanza parallelo, le

I

= I

I

 bisogna fare attenzione:

 sforzi elettrodinamici

 sovrariscaldamento dei componenti

F I

I ris

I

I ris

R L

C L

0

  0

 

  

 

   

  RC R C L

6.7 Misure di grandezze elettriche in regime sinusoidale 6.7.1 Lo strumento elettrodinamico in regime sinusoidale

 Se

i

i

F

F

B

n



I_f

C_m  B a I N b sen_m   k I' _f I sen_m 

^{  f I} 

^{ I}



 

 

i I

i I

f f

m m

 

 

2 sen t 2 sen t

 

 

   

 

 

C  k I I '

cos cos     2  t     sen 

 L’equipaggio mobile ha:

 un certo momento d’inerzia

 un certo smorzamento viscoso

 è un sistema del secondo ordine che agisce da filtro meccanico passa-basso ovvero non si muove per coppie applicate a frequenze superiori ad una certa frequenza di taglio

 Se si costruisce l’equipaggio mobile in modo che la pulsazione di taglio sia < 2 , l’indice non segue la coppia pulsante ed è sensibile solo al valor medio della coppia

 L’indice sta fermo e all’equilibrio:

 Allora:

 

k"   k' I I cos

   sen 

 

 

  f I I _{f m} cos   

6.7 Misure di grandezze elettriche in regime sinusoidale

6.7.2-3 Milliamperometro & Amperometro

 Le bobine vanno collegate in serie:

I

  

I _f  I _m  I

 

  f I

I .

I .

I .

f m

 Le bobine sono collegate in parallelo:

 lo strumento deve essere realizzato in modo che:

I_f

I_m

   

     

Z I_{m m} R_m  jX_m I_m Z I_{f f}  R_f  jX_f I_f

 Essendo:

 La condizione perché le correnti siano in fase:

f k Z Z_m 



 ^R

R

X X

L L

m f

m f

m f

 



 

I

 k I

^{  f}  ^k  ^{1  k I} 

   ^{ f ' I}

 Si ha inoltre che:

6.7 Misure di grandezze elettriche in regime sinusoidale

6.7.4-5 Voltmetro & Wattmetro

 Le bobine sono in serie tra loro e connesse in

serie ad un resistore campione di valore

R

.

R

+ V

.

v

I .

+

V .

+ I

.

f

I .

m

R v

v f

m

R

I V I

I 





   

 Se la reattanza è molto minore di

R

^{  f } _ ^{ V} _R

^ _ ^{ }  

v 2

f " V

 Strumento a 4 morsetti:

 Se la reattanza è molto minore di R_v:





 

I V

m R

v



I V 





  

 

 ^{ }   ^{  }  ^{    }

  f I

I

cos   f I

I

cos  f ' VI cos

 L’indicazione è funzione della potenza attiva che transita sulla linea elettrica

 il verso del flusso di energia dipende dal collegamento e dei morsetti delle due bobine