A questo punto i bambini possono essere invitati a dire se conoscono delle figure geometriche che presentano assi di simmetria e/o centri di simmetria.

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1 Modulo 3/4 – Trasformazioni geometriche

MODULO 3/4

- TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE - (Supporto didattico)

1. Alcuni obiettivi da far conseguire agli alunni entro la quinta classe della scuola primaria riguardano sostanzialmente un capitolo della geometria che va sotto il nome di “trasformazioni geometriche”. Si tratta dei seguenti obiettivi:

- Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri.

- Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse.

- Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando, ad esempio, la carta a quadretti).

Si tratta di fare cose minime, senza la pretesa di anticipare concetti che non sono alla portata di bambini di 9-10 anni.

Riguardo al primo punto, ciò che qui interessa sono le simmetrie e precisamente le figure che presentano particolari simmetrie, vale a dire rette di simmetria e/o centri di simmetria. In realtà l’argomento è in qualche misura collegato al secondo punto. In effetti, la “simmetria assiale” è detta pure “riflessione” (e anche “ribaltamento”) e la “simmetria centrale” è un caso particolare di “rotazione” e precisamente una rotazione di 180°. Sennonché, il primo punto è elencato tra gli obiettivi da conseguire entro la III classe ed il secondo tra quelli da conseguire entro la V classe. Ne discende che, per quanto concerne le simmetrie bisogna anticipare una trattazione autonoma da quello che sarà lo sviluppo del secondo punto.

Occupiamoci allora di questo aspetto particolare.

Si può incominciare facendo vedere ai bambini disegni del tipo di figura 1 e figura 2, che il maestro fa alla lavagna, proponendo loro di stabilire se riescono a trovare in tali disegni qualche particolarità. La discussione va guidata ovviamente. Si possono cambiare i disegni, facendone altri ma sullo stesso genere.

fig. 1 fig. 2

La discussione può vertere su domende del tipo:

- Cosa si può dire delle coppie di pallini rossi o di pallini blu o di pallini verdi rispetto al pallino nero? (fig. 1).

- Cosa sulle coppie di pallini rossi o verdi o blu rispetto alla retta? (fig. 2).

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Non si esclude che sarà una discussione sterile che non approderà a nulla di veramente concreto (sarebbe comunque una discussione utile), ma può darsi che qualcosa emerga. In ogni caso sarà poi il maestro a tirare le fila e partendo proprio dai disegni suddetti spiegherà quanto segue:

- I pallini di ogni coppia (rossi, verdi o blu – fig. 1) hanno la caratteristica di essere gli estremi di un segmento che ha il pallino nero come punto di mezzo. Si dicono simmetrici rispetto al punto in cui è situato il pallino nero. Punto che è detto centro della simmetria.

- I pallini di ogni coppia (rossi, verdi o blu – fig. 2) hanno la caratteristica di essere gli estremi di un segmento la cui retta è perpendicolare alla retta data ed il cui punto medio si trova su questa retta. Si dicono simmetrici rispetto alla retta. Retta che è denominata asse della simmetria.

Volendo, il maestro può ampliare la discussione con altri disegni come quelli delle figure 3 e 4, avviare una nuova discussione e giungere alla seguente conclusione:

- Le due figure rosse (fig. 3) sono costituite da punti due a due simmetrici rispetto al pallino nero. Si dicono simmetriche rispetto al punto in cui è situato il pallino nero.

- Le due figure verdi (fig. 4) sono formate da punti a due a due simmetrici rispetto alla retta. Si dicono simmetriche rispetto alla retta.

fig. 3 fig. 4

Per far poi familiarizzare gli alunni con le simmetrie centrali e assiali nel piano si possono proporre loro esercizi piuttosto semplici, come quelli che qui appresso indichiamo a titolo esemplificativo (si può facilitare il compito disegnando le figure su carta a quadretti).

- Considerata la figura evidenziata col contorno in blu, disegnare la sua simmetrica rispetto al centro di simmetria O (fig. 5).

- Considerata la figura evidenziata col contorno in blu, disegnare la sua simmetrica rispetto alla retta a (fig. 6).

fig. 5 fig. 6

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- Due rette, una orizzontale ed una verticale, dividono il piano in 4 quadranti. In uno qualunque di essi si disegni una figura (per esempio la stessa figura 5). Si costruisca quindi la figura simmetrica di tale figura rispetto alla retta orizzontale e la figura simmetrica della nuova figura trovata rispetto alla retta verticale. Cosa si può dire di questa ultima figura rispetto a quella di partenza?

Finalmente si può andare all’obiettivo vero e proprio e spiegare quand’è che un determinato punto è centro di simmetria di una data figura ed una determinata retta è asse di simmetria di una figura. Precisamente:

- Un determinato punto è centro di simmetria di una data figura se i punti della figura sono due a due simmetrici rispetto a quel punto (fig. 7).

- Una determinata retta è asse di simmetria di una data figura se i punti della figura sono due a due simmetrici rispetto a quella retta (fig. 8).

fig. 7 fig. 8

A questo punto i bambini possono essere invitati a dire se conoscono delle figure geometriche che presentano assi di simmetria e/o centri di simmetria.

A titolo di esempio:

- Il triangolo isoscele ha un asse di simmetria ma non ha un centro di simmetria.

- Il triangolo equilatero ha 3 assi di simmetria ed ha il centro di simmetria.

- Il rettangolo ha due assi di simmetria ed ha il centro di simmetria.

- Il rombo ha due assi di simmetria ed ha il centro di simmetria.

- Il quadrato ha 4 assi di simmetria ed ha il centro di simmetria.

- Il cerchio ha il centro di simmetria e “infiniti” assi di simmetria.

2. L’argomento “simmetrie” può essere esteso alle figure solide, purché lo si limiti al centro di simmetria ed ai piani di simmetria. La ricerca di assi di simmetria riteniamo che sia troppo impegnativa e non alla portata dei bambini ai quali ci rivolgiamo. L’argomento, ad ogni buon conto, non dovrebbe essere affrontato prima della IV classe.

Già la ricerca dei piani di simmetria nel cubo potrebbe rivelarsi un’attività con un discreto livello di difficoltà.

A beneficio dell’insegnante diciamo che in un cubo ci sono 9 simmetrie piane:

- 3 simmetrie rispetto a ciascuno dei 3 piani mediani (piano mediano è un piano parallelo a due facce opposte ed equidistante da esse: siccome ci sono 3 coppie di facce parallele, ci sono di conseguenza 3 piani mediani);

- 6 simmetrie rispetto a ciascuno dei 6 piani diagonali (piano diagonale è un piano contenente due spigoli paralleli ma non appartenenti alla stessa faccia: siccome ci sono 6 coppie di spigoli siffatti, ci sono di conseguenza 6 piani diagonali).

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Un’attività che può suscitare l’interesse dei bambini, magari dei più grandicelli (classi IV/V) è di scoprire se e quali oggetti esistenti in natura presentano delle simmetrie.

Alcuni esempi:

- Il corpo umano, che ha la stessa simmetria del triangolo isoscele;

- Il quadrifoglio, che ha la stessa simmetria del quadrato;

- Il trifoglio, che ha la stessa simmetria del triangolo equilatero;

- Il segno “ ” dell’infinito (o, se si vuole, il simbolo 8 per indicare il numero “otto”

nell’usuale sistema di numerazione), che ha la stessa simmetria di un rettangolo o di un rombo;

- L’uomo di Vitruvio (vedere la moneta “italiana” da un euro), che ha la stessa simmetria del triangolo isoscele.

Ecco, infine una figura (fig. 9) che illustra una ricca collezione di oggetti sui quali si può ragionare di simmetrie assiali. Si tratta, in realtà, di figure che hanno tutte la stessa simmetria del triangolo isoscele, meno tre di esse: una (il tavolo) che ha invece la stessa simmetria del rettangolo, altre due (pallina da ping pong e pallina da tennis) che hanno la stessa simmetria della sfera.

fig. 9

3. Nelle classi IV/V può essere trattato per esteso il secondo punto citato in premessa. Per quanto riguarda però la simmetria, basta riprendere quanto è stato già detto.

Bisogna dire, ad ogni buon conto, che, a differenza della simmetria, che va trattata abbastanza diffusamente, su traslazione e rotazione bastano pochi concetti. Naturalmente bisogna capire in via preliminare che cos’è una traslazione e cosa una rotazione.

 Per quanto riguarda la traslazione (nel piano) si può fare riferimento ad un disegno come quello di figura 10 e fare alcune considerazioni, tipo queste:

La trasformazione muta il punto A in A’, il punto B in B’, il punto C in C’, il punto P in P’. I segmenti AA’, BB’, CC’, PP’ sono tutti paralleli fra loro ed hanno la stessa lunghezza.

La trasformazione che muta la figura ABCP nella figura A’B’C’P’ si chiama traslazione ed ognuno dei segmenti considerati si chiama ampiezza della traslazione.

[I matematici direbbero che i segmenti orientati AA’, BB’, CC’, PP’ sono equipollenti.

Ciascuno di essi può essere assunto come rappresentante di un nuove ente che si chiama vettore.

Ragion per cui si dice che la figura A’B’C’P’ è la trasformata della figura ABCP secondo la traslazione di vettore ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

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Questo, magari con qualche altro esempio, può essere sufficiente per mettere gli alunni in condizione di riconoscere quando una figura si ottiene per traslazione di un’altra.

fig. 10 fig. 11

 La rotazione è forse la trasformazione più indigesta, e non solo per i bambini della scuola primaria.

In realtà, se è facile capirla sul piano concettuale, risulta piuttosto complicato non solo eseguire il disegno in cui una figura è trasformata in un’altra mediante una determinata rotazione; ma anche riconoscere quando una figura è ottenuta da un’altra mediante una rotazione. Questo perlomeno nei casi generali. Ci sono tuttavia casi particolari in cui sia il disegno sia il riconoscimento sono accessibili. E questi casi sono quelli in cui la rotazione (ovviamente intorno ad un punto, che si chiama centro della rotazione) ha ampiezza 180° (ma questo è un caso veramente banale, perché si identifica con la simmetria centrale rispetto al centro della rotazione) oppure 90° in senso antiorario o 90° in senso orario.

A nostro modesto avviso sono solamente questi i casi trattabili in una scuola primaria. Ed è con riferimento al caso della rotazione di 90° in senso antiorario che mostriamo un esempio (fig. 11).

Il punto P viene mandato in P’ con apertura di compasso uguale ad OP mediante un arco ampio 90°. Analogamente per mandare A in A’ (apertura di compasso uguale ad OA), B in B’

(apertura di compasso uguale ad OB), C in C’ (apertura di compasso uguale ad OC), ma archi tutti di ampiezza 90°.

[In definitiva, ma a solo beneficio dell’insegnante: rotazione di centro O ed ampiezza α è la trasformazione che manda ogni punto P del piano in un punto P’ tale che OP=OP’ e l’angolo ̂ è ampio α]

Una possibile attività che può essere proposta agli alunni è la seguente richiesta:

Individuare tutte le rotazioni che trasformano un quadrato in se stesso. Quante sono? Quali sono? Di ciascuna di esse fornire una esauriente descrizione.

La stessa richiesta, riferita però al triangolo equilatero, è possibile ma può presentare qualche difficoltà in più, data la loro età.

4. Occupiamoci adesso dell’ultimo degli obiettivi elencati in premessa.

In via preliminare è forse opportuno fare un cenno alle figure simili, magari presentandole come figure aventi la stessa forma.

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Si possono fornire esempi diversi: due foto di diverso formato (fig. 12), due cartine geografiche della stessa “regione” (fig. 13), anche due figure geometriche di dimensioni diverse (ma della stessa forma – fig. 14).

fig. 12

fig. 13

fig. 14

Si può far notare che il rapporto di due segmenti corrispondenti (come AB e A’B’ – fig. 14) si mantiene costante (i matematici direbbero “è invariante”) al variare dei segmenti, purché siano sempre due segmenti corrispondenti. Questo rapporto costante si chiama rapporto di similitudine o fattore di scala.

Il fattore di scala è solitamente indicato in una cartina geografica. Se esso è, tanto per fare un esempio, 1:100.000, significa semplicemente che ad 1 cm sulla cartina corrispondono 100.000 cm, vale a dire 1 km, nella realtà.

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Ecco, a questo punto, un’attività che può essere proposta agli alunni, dopo averli invitati a rifornirsi di una cartina della loro città (o di altra cartina geografica), che segnali ovviamente il fattore di scala:

Calcola qual è la distanza, in linea d’aria, tra la posizione A (esempio casa tua) e la posizione B (esempio la sede della scuola).

5. Un’interessante attività, connessa in qualche misura alle trasformazioni geometriche, è legata al seguente obiettivo che le “Indicazioni Nazionali” suggeriscono che debba essere conseguito entro la quinta classe:

- Riconoscere rappresentazioni piane di oggetti tridimensionali, identificare punti di vista diversi di uno stesso oggetto (dall’alto, di fronte, ecc.).

Attenzione: non è richiesto che gli alunni sappiano fornire la rappresentazione piana di una figura solida a seconda del punto di vista (anche se questo non è escluso), ma di “riconoscere rappresentazioni” e “identificare punti di vista”.

Questo, a rigor di logica, dovrebbe voler significare che il maestro fornisce la “rappresentazione”

e l’alunno “la riconosce” e “individua punti di vista”. Ecco allora che si pone la necessità di fornire al futuro maestro un bagaglio di tali rappresentazioni o quantomeno qualche suggerimento per eseguire il disegno.

In realtà esistono diversi metodi di rappresentazione piane delle figure tridimensionali, come per esempio l’assonometria e la prospettiva. Ma non è questa la sede per trattarne compiutamente (detto per inciso, chi volesse saperne di più sull’argomento può consultare un testo di

“geometria descrittiva” o anche recuperare del materiale apposito sul web). Qui ci basta dare qualche cenno e fornire un’idea circa il modo in cui si presentano tali rappresentazioni.

Tutti riconoscono nella figura 15 la rappresentazione piana di un cubo. Si tratta di una rappresentazione ottenuta con il metodo dell’assonometria. Più precisamente dell’assonometria parallela ortogonale. Ha la caratteristica di conservare il parallelismo delle rette.

fig. 15 fig. 16

In realtà, tutte le figure di solidi geometrici presenti nel precedente sottomodulo 3/3 sono rappresentazioni piane dei solidi medesimi ottenute con il metodo dell’assonometria parallela ortogonale.

Ma essa non è l’unica rappresentazione con il metodo dell’assonometria. Un’altra rappresentazione piana del cubo è ottenuta con il metodo dell’assonometria ortogonale cosiddetta isometrica (fig. 16). È come se il cubo fosse appoggiato sul piano del disegno mediante un suo vertice, avesse la diagonale passante per quel vertice perpendicolare al piano stesso e fosse osservato da un punto esterno al cubo e situato sulla diagonale medesima.

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Probabilmente pochi saprebbero individuare nel disegno precedente (fig. 16) una rappresentazione del cubo. Ancora di meno, se possibile, saprebbero riconoscere la rappresentazione di un cubo nel disegno di figura 17. Eppoure lo è. Si tratta infatti di una rappresentazione ottenuta con il metodo della prospettiva. Ha la caratteristica di trasformare rette parallele in rette convergenti in un punto, chiamto “punto di fuga”.

Nel caso di figura 16 è come se il cubo fosse proiettato sul piano del disegno proprio dal punto di fuga. Punto di fuga e centro di osservazione coincidono. Per questo motivo la prospettiva è detta anche proiezione centrale, con il centro di proiezione (il punto di fuga) posto a distanza finita.

Nel caso di figura 17, il centro di proiezione non coincide col punto di osservazione (o punto di vista).

Anche l’assonometria può essere concepita come una proiezione centrale, ma col centro di proiezione a distanza infinita (e per questo le rette proiettanti sono parallele tra loro). In realtà la rappresentazione di figura 16 può essere interpretata pure come ottenuta mediante un’assonometria siffatta: le rette proiettanti sono tutte perpendicolari al piano di appoggio.

Ribadiamo che il cubo è appoggiato per un vertice a tale piano ed ha la diagonale passante per tale vertice perpendicolare al piano di appoggio.

fig. 17 fig. 18

Il disegno di figura 18 è invece la rappresentazione di un cubo con il metodo della prospettiva, nel caso in cui il punto di vista coincide con il centro di proiezione. In altri termini è come se il cubo fosse appoggiato con una faccia sul piano del disegno e fosse proiettato su tale piano da un punto esterno al cubo situato sulla retta passante per il centro della faccia di appoggio e per il centro della faccia parallela ad essa.

Se si è capito quanto detto sopra, si capisce facilmente che la rappresentazione di figura 16 può essere interpretata anche come la proiezione centrale sul piano del disegno di una piramide esagonale regolare appoggiata su tale piano per la sua base, con il centro di proiezione situato sulla retta dell’altezza della piramide, esterno alla piramide medesima. Ma anche con il centro di proiezione a distanza infinita (proiettanti perpendicolari al piano di appoggio).

Ugualmente, la rappresentazione di figura 18 può essere interpretata pure come la proiezione centrale sul piano del disegno di un tronco di piramide regolare a base quadrata appoggiato su tale piano per la base maggiore, con il centro di proiezione situato sulla retta congiungente i centri delle due basi, esterno al tronco di piramide. Ma anche con il centro di proiezione a distanza infinita (proiettanti perpendicolari al piano di appoggio).