Interazione delle particelle

Interazione delle particelle con la materia

Lezione 5

Introduzione

Le particelle prodotte in una collisione hanno impulso, carica,massa ed altre proprietà che vogliamo misurare.

Ogni possibile mezzo può essere usato per poter rivelare le particelle  capire come le particelle interagiscono con il materiale con cui sono costruiti I rivelatori.

Due possibili tipi di misure:

 Misure non distruttive: l’interazione col mezzo trasferisce poca energia al mezzo stesso.

 Misure distruttive: l’energia della particella viene persa nel rivelatore e la particella viene assorbita (calorimetria).

Tratteremo:

• Collisioni fra particelle cariche: Scattering multiplo , Bethe Block.

• Radiazione emessa da particelle cariche : Radiazione Cerenkov, di transizione e Bremsstrahlung.

• Interazioni dei fotoni e sciami elettromagnetici.

• Sciami adronici.

Lezione 5…

Collisioni fra particelle cariche.

Una particella di massa >> dell’elettrone in moto (veloce) in un materiale collide con:

 Nuclei  poca energia rilasciata al nucleo, ma angolo di scattering della particella incidente significativo.

 Elettroni atomici  gli elettroni (leggeri) si prendono abbastanza energia dalla particella incidente, ma questa fa uno scattering

trascurabile.

Lezione 5…

Scattering elastico (Rutherford )

A parametro d’impatto b la forza è F(b)=Ze²/(4pe₀b²)

Tempo d’interazione Dt=2b/v (piccole distanze)  (dalla F=dp/dt)

p_b=Dp_T ≈ F(b) Dt = (2Ze²)/(4pe₀bcb) Nell’approssimazione di piccoli angoli

 ~ p_b/p ~

(2Ze²)/(4pe₀bcbp)~2Za/pbb (a=e²/(4pe₀ħc))

Z grande campo nucleo più grande 

 grande

b piccolo Dt più grande   grande

p_b

Nucleo a riposo Carica Ze

f

Dt v

Particella Incidente e, M, p, bc b

r

 p_b

Lezione 5…

Scattering elastico (Rutherford )

Si ottiene lo stesso risultato, sempre classicamente, integrando come segue:



Abbiamo ricavato la relazione fra angolo di scattering e parametro d’impatto.

Quello che ora ci interessa è la probabilità di scattering.

2 2 2

2 0

2

);

a ortog.

(forza

; sin ) (

;

; sin

: dove

4

b x r

p r

F c F

dt dx r

b

c dx r b r dt Ze

F p

b b

b



=

=

=

=

=

=















 

 b

b pe

(



(

(  ^{( } 

c p Ze

b x xb

b b

a b

pe b

pe b

pe

2 2

4 1 4 1

4

2

2 0 0

2

2 0 2

2

32

32 = =

= 

=















Lezione 5 ….

Scattering elastico

Sezione d’ urto (probabilità di scattering)

La sezione d’urto sarà proporzionale all’elemento di area trasversa ds = bdbd

Integrando su 

ds=2pbdb=2p(2Za)/(pb)db

Ma db=(2Za/bp²)d e 2pdW = 2psin()d ~ 2pd (per piccoli angoli)  ds/dW = (2Za/bp)² 1/⁴

La formula esatta va come 1/(sin⁴)

Questa formula è valida per particelle di spin 0 e massa M>>m_e Nel caso di particelle di spin ½ la s è quella di Mott :

ds/dW=ds/dW_Rut(1-b²sin²(/2))

Abbiamo eseguito il calcolo classicamente, ma viene esattamente lo stesso risultato in meccanica quantistica.

Lezione 5 ….

Scattering elastico

Abbiamo visto:

ds/dW = (2Za/bp) ² 1/ ⁴

Questa formula ci dice che la sezione d’urto diverge a piccolo angolo.

Ma esiste un  minimo ed un  massimo ….

Lezione 5…

Scattering elastico

Lo scattering di Rutherford è dovuto al campo elettrico dei nuclei. L’atomo è neutro  se la particella arriva troppo lontano E ~ 0  b_max (_min) e

ds/dW non diverge per   0.

 b_max = a₀ = r_e²/a² per l’idrogeno

 b_max = r_a ~ 1.4 a₀• Z^-1/3 per materiali più pesanti

Abbiamo seguito un ragionamento classico. Dal punto di vista quantistico si usa il principio d’indeterminazione Dp ~ ħ/r_a cioè D ~ ħ/r_ap.

(



2 2

1 2

 b 

s

 

 

 



= 

W p

Ze d

d

Lezione 5…

raggio classico di e (r ₀ )

Ricordiamo che il raggio classico dell’elettrone è e

/mc

nel sistema di Gauss e e

/mc

4pe

nel sistema S.I.

Si ricava calcolando l’energia totale del campo elettrico generato da un elettrone.

( 

(



e

dV E dV

D E mc

E

r

r r

tot

1 sin 4

4 ₀

2 2

2 4 0

2 0

2 0 2

 pe

 pe 

e

e

=



=

=



=





=

=











  

2 0

2

4 mc

r

e

= pe

Lezione 5….

Scattering elastico …

Abbiamo anche un 

(b

).

Lo scattering alla Rutherford non funziona quando la lunghezza d’onda della particella incidente diventa paragonabile alla

dimensione del nucleo r

~ (1/2)r

A

. (ricorda la diffrazione)

2 min 2

2 2

3 / 1 max

4 1 2

2

23 max

min p 

p ab

 s p

s

a

 







 







 

= W















a e

a a

Z r r

d d d

p mc A

pr r



Osserviamo che la sezione d’urto decresce aumentando b.

Lezione 5…

Scattering multiplo

Abbiamo visto che c’è una probabilità non trascurabile che una particella carica subisca uno scattering Coulombiano nell’attraversamento di un pezzo di

materiale.





Una particella può subire un solo scattering, ma può anche fare molti scattering coulombiani (la sezione d’urto cresce rapidamente quando gli angoli di scattering diminuiscono).

La particella può lasciare il blocco di materiale dopo aver fatto molte collisioni a piccolo angolo

 scattering multiplo

Lezione 5…

Scattering multiplo

Siccome ogni piccolo scattering individuale è un processo casuale ci aspettiamo che l’angolo medio di scattering di particelle che attraversano del materiale sia 0, ma in generale il valore quadratico medio non è pari a zero.

Siccome conosciamo la distribuzione degli angoli di scattering possiamo calcolarci il valor medio del quadrato dell’angolo di scattering

(nell’approssimazione di piccolo angolo dWdd) Il valor medio del quadrato dell’angolo di scattering è :

 

 

 

 

 



 W W

W W

= 







min 2 max

min 3

2

2

2  ln  



 

 s

 s

 d

d

d d d

d d

d

Lezione 5…

Scattering multiplo

Se consideriamo un blocco di materiale spesso avremo in media N nuclei (N molto grande) sui quali la particella diffonde. N grande  distribuzione

gaussiana  <²(ms)> = N<²>. (dove <²> è di una singola diffusione) In dx avrò per area unitaria N = N₀rdx/A = dx/<L>

N₀ numero di Avogadro, r densità del materiale, A peso atomico, <L> cammino libero medio fra i nuclei.

Se A~2Z il termine logaritmico diventa 2ln(173Z^-1/3).

13 13

2 2

2 0

2

2 ln 2

Z p A

Z A

dx N

ms

b a

p a

 r  



 



 





Lezione 5….

Scattering multiplo

Tradizionalmente si scrive l’angolo di scattering in termini della lunghezza di radiazione X

.

Attenzione X

è definita per processi radiativi. Lo scattering multiplo non è un processo radiativo  

dipende da X

solo per caso.

La lunghezza di radiazione X₀ è la distanza media attraversata da un elettrone di alta energia che perde tutta la sua energia tranne 1/e per Bremsstrahlung.

X₀=(716.4 A)/(Z(Z+1)ln(287/2^1/2))

Si noti che con _ms si indica (<²>^1/2 (sia qui che nel seguito)

( 

4 21

energia di

in termini ed

4

2 0

2 2

2

0 2







 =  

=

=

MeV mc

X E x cp E

p m X

x

s s

ms ms

a p

 b

b a

 p

Lezione 5….

Scattering multiplo

La (1) è valida solo se attraverso molte lunghezze di radiazione, altrimenti è una sovrastima di _ms.. Più accurata:

Formule valide per piccoli angoli. Per grandi angoli la distribuzione va come 1/sin⁴(/2) (Rutherford) con code più larghe di una gaussiana.

  



 



       

=

0

1 0 . 038 ln

2 . 19

x X X

x cp MeV

ms

b



Lezione 5….

Scattering multiplo

Proiezione su un piano:

y

x z

_y

_x

_ms

²_ms=²_x+²_y

_pr=_ms/2^1/2

Per angoli grandi code più larghe di una

gaussiana

Lezione 5….

Scattering multiplo

La dispersione angolare causata dallo scattering multiplo introduce anche una dispersione laterale in un fascio di particelle. (y_plane)

La media del quadrato della dispersione laterale è data da :

Essendo x la distanza attraversata nel mezzo.

2 2 2

6

1 x

y

 

Lezione 5….

Scattering multiplo

Ora:

 

3 0

2 2

2 0

2

2 2

3 1 2

2 1

2 1 2

radiazione di

lunghezze in

espresso s

ed 1

2 con 21

ks dx

kx y

s s k kxdx y

p k MeV

s k

s

y s

y

=

=

=

=

=



 



= 



=







 b

2 2 2

6

1 s

y

 

Lezione 5….

Scattering multiplo

Vediamo di ricavare

A tale scopo consideriamo un elemento di spessore dx a profondità x e vediamo il contributo di dy² a

<y²>

2 2 2

6

1 x

y

 

(  (  ( 

(  ( 

(  (  (  ( 

(  ( 

(  (

 (  ( 

(  (  ( 





















x y dx x x

x y dx x

dx x

y dx

y d d

dx x x y y

d

dx x x y x

y dx

x y

x dx

x

dx x x

y dx x

y

y y

y

y

y











=

=

=



=





=





=



2 2

2 2

2

2 2

infatti

2

2

Lezione 5….

Scattering multiplo

Notiamo : lo scattering multiplo è un fattore limitante per le misure .

 Misure d’ impulso precisione della misura limitata dallo scattering multiplo.

 Sciami elettromagnetici dimensioni trasverse dello

sciame dovute allo scattering multiplo.

Lezione 5…

Perdita di energia

• Scattering multiplo  scattering su nucleo 

• Perdita di energia  scattering su elettrone 

incidente trascurabile.

Fattore 1/m in De  l’energia viene trasferita alle particelle più leggere

 più energia agli elettroni (almeno 2000 volte più leggeri del nucleo)





= D

= =

= D D





=

 = D

rinculo di

energia

targhetta massa

2 2

incidente p articella

velocita'

imp atto d'

p arametro 2

2 2 2 2

e e a

a

m m v m b

p

v b p bv

T T

Lezione 5…

Considerazioni relativistiche

• Il campo E

si trasforma relativisticamente come g

• Il tempo di collisione Dt come 1/g

Dp

= p

= eE

(b)Dt ~ eg2b/bg ~ 2eb/b

Quindi dato b e per b  1 Dp

= costante.

Vedremo in seguito che questo è vero a meno di un fattore logaritmico.

Questo rende la vita più facile per i rivelatori perché, in prima

approssimazione tutte le particelle di carica unitaria con sufficiente

energia cinetica trasferiscono la stessa energia al mezzo.( MIP)

Lezione 5….

Perdita di energia

Massima e minima energia della particella di rinculo

p₀, E₀, M

k, e, m f

 p, E, M

p₀=p+k E₀+m=E+e T=e-m Q=T/m E₀=gM p₀=bgM

( ^{g b} 

^{g b}

^g

^f

^f

2 2

2 2

cos cos

2

M m

M Q M



= 

Lezione 5….

Perdita di energia

Quadrando p₀ ed E₀ cioè l’impulso e l’energia totale ottengo:

Sottraggo le (1) membro a membro ed ottengo:

( 

m k

M p

E M

p E

m E

m E m

E E

k p k

p p

2 2

2 2 2

2 2

2 0 2

0

0 0

2 2

2 2

0 2

2 0 2

;

;

: che osservo

2 1 2

2

cos 2

0



=



=



=

 

 













=





=

e e

e e



( 

 

(  ( ^{( } 

(  ^{( }

( 



e e

 e

e e



2 0

2 2

2 2

0

2 2 0

2 2

2 0

2 2

2

0 0

2

ma

2 cos

2 cos

2

ma

0 cos

2

m Q T

m E

T mT

T p

m m

E m

mT T

p

mT T

m k

m m

E k

p m



=



=









=







=



=

=









Lezione 5….

Perdita di energia

Ponendo ora E

=gM e p

=bgM ottengo:

(  



2 2

0 2

0

2 2

0

cos cos

2

p m

E Q p



= 

( ^{g b} 

^{g b}

^g

^f

^f

2 2

2 2

cos cos

2

M m

M Q M



= 

Lezione 5….

Perdita di energia

Massima e minima energia della particella di rinculo… continua

Quello che ci interessa è il minimo ed il massimo di Q (energia cinetica trasferita).

( 

( 

max

2 2 max

min

2 2

0

e 0

elettroni su

protoni e.g.

0

, 1 cos

per

2 1

2

90

0 cos

per

0

 

 



= 









=

=

 





 



  



 



 

=

=

=

=

M Q p

M m M

m M

m M

m Q

Q

o o

bg

g

f f

g bg

f

f

Lezione 5….

Perdita di energia

Raggi delta

Occasionalmente gli elettroni di rinculo guadagnano sufficiente energia da essere rimossi dall’atomo (ionizzazione). Raggi .

Assumendo di avere Z elettroni in a_o (~1 Å ) ed una lunghezza d’onda del proiettile < a_o e particelle incidenti veloci (b  1) abbiamo:

Ponendo Z/A~1/2 abbiamo che i raggi  di energia > 1 MeV in 1 gr/cm² sono circa il 7.8% della ionizzazione totale. Questo ci porta a delle grosse fluttuazioni della perdita di energia.(code di Landau)

( 

Comp ton onda

d' lunghezza 2

e raggio del

cinetica energia

T materiale, del

densita'

con

2 ^{0 2} ₂

mc

T A

Z N x

dTd

dN _e

p

 r

a r p



 



=



 



= 

Lezione 5….

Perdita di energia

Osserviamo:

Il comportamento angolare del proiettile (1/

) si trasforma in un comportamento 1/T

dell’energia cinetica del bersaglio (di rinculo).

 limitato l’angolo, limitata l’energia cinetica di rinculo.

(  ( 

( ^cT  ^m

T b dT

b db dT

d

m b bc

T

2 2 2

2 2

2 2 2

b p pa

s p

b e a

=

=

=

 D

