Elementi finiti: esempio in MATLab

Elementi finiti: esempio in MATLab

Giovanni Miano

Corso di Modelli Numerici per i Campi

Problema

Ω

∂Ω

∇

u = f P ( )

u

= g

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

%  Matrice  p:  matrice  dei  nodi  della  mesh  [2xNp],  dove  Np  è  il  numero  dei   nodi   della   mesh   (interni   +   quelli   di   fron>era).   La   prima   riga   con>ene   le   ascisse   dei   nodi,   la   seconda   le   ordinate.   I   nodi   sono   numera>   in   base   all’indice  di  colonna.  

%  Matrice  p:  matrice  dei  nodi  della  mesh  [2xNp],  dove  Np  è  il  numero  dei   nodi   della   mesh   (interni   +   quelli   di   fron>era).   La   prima   riga   con>ene   le   ascisse   dei   nodi,   la   seconda   le   ordinate.   I   nodi   sono   numera>   in   base   all’indice  di  colonna.  

%  Matrice  e:  matrice  del  contorno  della  mesh  [7xNe],  dove  Ne  è  il  numero  di   nodi   di   fron>era.   La   prima   e   la   seconda   riga   contengono   gli   indici   dei   nodi   iniziali  e  finali  dei  la>  di  fron>era;  la  terza  e  la  quarta  riga  contengono  i  valori   iniziali  e  finali  di  un  parametro  non  rilevante  ai  fini  della  nostra  traKazione;  la   quinta  riga  con>ene  il  numero  che  iden>fica  il  lato  di  fron>era,  la  sesta  e  la   seLma   contengono   i   numeri   che   iden>ficano   i   soKodomini   a   destra   e   a   sinistra  del  lato  di  fron>era.  

1

2

…

N

%  Matrice  e:  matrice  del  contorno  della  mesh  [7xNe],  dove  Ne  è  il  numero  di   nodi   di   fron>era.   La   prima   e   la   seconda   riga   contengono   gli   indici   dei   nodi   iniziali  e  finali  dei  la>  di  fron>era;  la  terza  e  la  quarta  riga  contengono  i  valori   iniziali  e  finali  di  un  parametro  non  rilevante  ai  fini  della  nostra  traKazione;  la   quinta  riga  con>ene  il  numero  che  iden>fica  il  lato  di  fron>era,  la  sesta  e  la   seLma   contengono   i   numeri   che   iden>ficano   i   soKodomini   a   destra   e   a   sinistra  del  lato  di  fron>era.  

%  Matrice  t:  matrice  dei  triangoli  della  mesh  [4xNt],  dove  Nt  è  il  numero  di   triangoli.   La   colonna   r-­‐ma   corrisponde   al   r-­‐mo   triangolo   e   con>ene   la   terna   an>oraria   degli   indici   dei   suoi   ver>ci   i,   j,   k.   Il   valore   nella   quarta   riga   è   il   numero  che  idenfica  il  soKodominio  al  quale  appar>ene  il  triangolo.  E’  u>le   per   problemi   con   parametri   costan>   a   traL   (ad   esempio   dieleKrici   con   diverse  permiLvità,  ecc.).  

T

V

V

V

%  Matrice  t:  matrice  dei  triangoli  della  mesh  [4xNt],  dove  Nt  è  il  numero  di   triangoli.   La   colonna   r-­‐ma   corrisponde   al   r-­‐mo   triangolo   e   con>ene   la   terna   an>oraria   degli   indici   dei   suoi   ver>ci   i,   j,   k.   Il   valore   nella   quarta   riga   è   il   numero  che  idenfica  il  soKodominio  al  quale  appar>ene  il  triangolo.  E’  u>le   per   problemi   con   parametri   costan>   a   traL   (ad   esempio   dieleKrici   con   diverse  permiLvità,  ecc.).  

%  Dimensioni  delle  matrici  t,  p,  e    Np=size(p,2);  %  numero  di  nodi  

Ne=size(e,2);  %  numero  di  nodi  di  fron>era   Nt=size(t,2);  %  numero  di  triangoli  della  mesh  

%  Dichiarazione  delle  matrici  K,  F,  U,  FR    K=sparse(Np,Np);  %  matrice  di  s>ffness   F=zeros(Np,1);  %  termine  noto  

U=zeros(Np,1);  %  veKore  delle  incognite  nodali   Fr=e(1,:);  %  indici  dei  nodi  di  fron>era  

%  Condizione  al  contorno  

 U(Fr)=g_fun(p(1,Fr),p(2,Fr));  %  impone  U  =  g  sulla  fron>era  del  dominio.  

 %  Assemblaggio  matrice  di  s>ffness  e  termine  noto  “f”  

 for  n=1:Nt  

 %  indici  dei  nodi  del  triangolo  n-­‐mo    ni=t(1,n);    

nj=t(2,n);  

nk=t(3,n);  

 %  coordinate  dei  ver>ci  del  triangolo  n-­‐mo    xi=p(1,ni);    

yi=p(2,ni);  

xj=p(1,nj);  

yj=p(2,nj);  

xk=p(1,nk);  

yk=p(2,nk);  

y

x T

V

V

V

r

Area ( ) T

^{= 1} ₂ ^{det D} ( )

Elemento  

D

=

1 x

y

1 x

y

1 x

y

l

( ) r ^{= a}

( )r

x + b

y + c

a

= 1

2A ( ) T

( ^y

^{− y}

) ^b

^{= −} _2A ¹ _T

( )

( ^x

^{− x}

)

c

= 1

2A ( ) T

( ^x

^y

^{− x}

^y

)

r = i, j,k s = j,k,i t = k,i, j Polinomi  Lagrangiani  di  Grado  1  

y

x T

V

V

V

r

D=[1  xi  yi;  1  xj  yj;  1  xk  yk];    

 A=det(D)/2;  %  area  del  triangolo  n-­‐mo    ai=(yj-­‐yk)/A/2;  

bi=-­‐(xj-­‐xk)/A/2;  

 aj=(yk-­‐yi)/A/2;  

bj=-­‐(xk-­‐xi)/A/2;  

 ak=(yi-­‐yj)/A/2;  

bk=-­‐(xi-­‐xj)/A/2;  

A

= A

+ ∇ϕ

dS

T_n

∫

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

ϕ

= a

x + b

y + c

∇ϕ

= a

ˆx + b

ˆy Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

dS

T_n

∫

∇ϕ

= a ( )

^{+ b} ( )

ϕ

= a

x + b

y + c

∇ϕ

= a

ˆx + b

ˆy Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

dS

T_n

∫

∇ϕ

= a ( )

^{+ b} ( )

ϕ

= a

x + b

y + c

∇ϕ

= a

ˆx + b

ˆy

∇ϕ

dS

T_n

∫ ^{= a ⎡⎣}

^{+ b}

^{⎤⎦A T ( )}

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

dS

T_n

∫

∇ϕ

= a ( )

^{+ b} ( )

ϕ

= a

x + b

y + c

∇ϕ

= a

ˆx + b

ˆy

A

= A

+ a ⎡⎣

+ b

⎤⎦A T ( )

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

dS

T_n

∫

%  contribu>  del  triangolo  n-­‐mo  alla  matrice  di  s"ffness    K(ni,ni)  =  K(ni,ni)  +  (ai*ai+bi*bi)*A;    

K(nj,nj)  =  K(nj,nj)  +  (aj*aj+bj*bj)*A;  

K(nk,nk)  =  K(nk,nk)  +  (ak*ak+bk*bk)*A;  

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

⋅∇ϕ

dS

T_n

∫

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

⋅∇ϕ

dS

T_n

∫

ϕ

= a

x + b

y + c

ϕ

= a

x + b

y + c

∇ϕ

⋅∇ϕ

= a

a

+ b

b

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

⋅∇ϕ

dS

T_n

∫

ϕ

= a

x + b

y + c

ϕ

= a

x + b

y + c

ϕ

= a

x + b

y + c

A

= A

+ a ⎡⎣

a

+ b

b

⎤⎦A T ( )

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

A

= A

+ ∇ϕ

⋅∇ϕ

dS

T_n

∫

∇ϕ

⋅∇ϕ

= a

a

+ b

b

ϕ

= a

x + b

y + c

%  contribu>  del  triangolo  alla  matrice  di  s"ffness    K(ni,ni)  =  K(ni,ni)  +  A*(ai*ai+bi*bi);    

K(nj,nj)  =  K(nj,nj)  +  A*(aj*aj+bj*bj);  

K(nk,nk)  =  K(nk,nk)  +  A*(ak*ak+bk*bk);  

K(ni,nj)  =  K(ni,nj)  +  A*(ai*aj+ai*aj);  

K(ni,nj)  =  K(ni,nj)  +  (ai*aj+bi*bj)*A;  

K(nj,ni)  =  K(ni,nj);  

K(ni,nk)  =  K(ni,nk)  +  (ai*ak+bi*bk)*A;  

K(nk,ni)  =  K(ni,nk);  

K(nj,nk)  =  K(nj,nk)  +  (aj*ak+bj*bk)*A;  

K(nk,nj)  =  K(nj,nk);  

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

F

= F

+

ϕ

( ) r ^{f r} ( ) ^dS

∫

ϕ

( ) r ^{⋅ f r} ( ) ^dS

T_n

∫ ^{≅ ϕ}

^{( ) r}

^{f r ( )}

^{A ( ) T}

^ϕ

^{( ) r}

^{= 1} ₃

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

F

= F

+

ϕ

( ) r ^{f r} ( ) ^dS

∫

ϕ

( ) r

^{= 1} ₃

F

≅ F

+ 1

3 ˆf r ( )

^A ( ) ^T

Contributo del triangolo T

alla matrice di stiffness

T

V

V

V

F

= F

+

ϕ

( ) r ^{f r} ( ) ^dS

∫

ϕ

( ) r ^{⋅ f r} ( ) ^dS

T_n

∫ ^{≅ ϕ}

^{( ) r}

^{f r ( )}

^{A ( ) T}

%  contribu>  del  triangolo  al  termine  noto  

 %  coordinate  del  baricentro  del  triangolo  n-­‐mo   xc  =  (xi+xj+xk)/3;  yc=(yi+yj+yk)/3;  

F([ni  nj  nk])  =  F([ni  nj  nk])+f_fun(xc,yc)*A/3;  %  assemblaggio  termine  noto    end  %  “end  ciclo  for  sui  triangoli”    

%  Contributo  fron>era    for  h=1:Np  %  ciclo  sui  nodi  

F=F  +  K(1:Np,h)*U(h);  %  completo  termine  noto  

if  any(h==e(1,1:Ne))  %  se  il  nodo  "h"  è  di  fron>era  allora   K(h,1:Np)=zeros(1,Np);  %  azzero  riga  h-­‐ma  di  K  

K(1:Np,h)=zeros(Np,1);  %  azzero  la  colonna  h-­‐ma  di  K    end  

end  

Matrice K

N_i    numero  dei  nodi  interni;  N_e  numero  dei  nodi  di  fron>era;    

N_p  =  N_i  +  N_e  numero  totale  di  nodi.  

K = A A

A

A

N_p  righe  

N_p  colonne   N_e          

( ) A

^{= ∇ϕ}

^{, ∇ϕ}

^{i, j} = 1,2,..., N

A

( )

^{= ∇ϕ}

^{, ∇ϕ}

^m,n = 1,2,..., N

N_i          

A

( )

^{= ∇ϕ}

^{, ∇ϕ}

ⁱ = 1,2,..., N

n = 1,2,...N

Matrice K

N_i    numero  dei  nodi  interni;  N_e  numero  dei  nodi  di  fron>era;    

N_p  =  N_i  +  N_e  numero  totale  di  nodi.  

K = A A

A

A

ai  nodi  di  fron>era  

N_e  colonne  corrisponden>    

ai  nodi  di  fron>era  

Matrice K, termine noto F

N_i    numero  dei  nodi  interni;  N_e  numero  dei  nodi  di  fron>era;    

N_p  =  N_i  +  N_e  numero  totale  di  nodi.  

K = A A

A

A

F = F

F

K1  =  sparse(Np-­‐Ne,Np);  %  matrice  di  s>ffness  ausiliaria  ridoKa   A  =  sparse(Np-­‐Ne,Np-­‐Ne);  %  matrice  di  s>ffness  ridoKa  

FI  =  zeros(Np-­‐Ne,1);  %  termine  noto  ridoKo  ai  soli  pun>  interni  

w=1;  

for  h=1:Np  %  ciclo  di  eliminazione  righe  di  K  corrisponden>  ai  nodi  di  fron>era   if  K(h,h)~=0  

K1(w,1:Np)=K(h,1:Np);  

FI(w)=F(h);  

w=w+1;  

end   end  

w=1;  

for  h=1:Np  %  ciclo  di  eliminazione  colonne  di  K  corrisponden>  ai  nodi  di  fron>era   if  K(h,h)~=0  

A(1:Np-­‐Ne,w)  =  K1(1:Np-­‐Ne,h);  

w=w+1;  

end   end  

UI=A\-­‐FI;  %  soluzione  del  problema  ridoKo  

w=1;  

 for  h=1:Np  %  ricostruzione  dell'incognita  su  tuL  i  nodi   if  not(any(h==e(1,1:Ne)))  

U(h)=UI(w);  

w=w+1;  

 end   end    

pdeplot(p,e,t,'xydata',U,'contour','on');  %  plot  della  soluzione  

A A

0 I

U

U

= − F

−G

Un  modo  diverso  di  imporre  le  condizioni  al  contorno  

K   U   F  

I

         e’  il  veKore  dei  campioni  della  funzione  g  (condizione  al  contorno)  nei  nodi  del   contorno.  

G

%  Contributo  fron>era  

K(Fr,1:Np)=0;  %  implementazione  delle  condizioni  al  contorno  >po  Dirichlet  

%  nel  nodo  h-­‐mo  di  fron>era  l’equazione  è  U(h)=g(h)   for  h=1:Ne    

K(Fr(h),Fr(h))=1;  

end  

F(Fr)=-­‐U(Fr);  

Un  modo  diverso  di  imporre  le  condizioni  al  contorno  

%  Soluzione  del  sistema  lineare   U=K\-­‐F;    

%  plot  della  soluzione  

pdeplot(p,e,t,'xydata',U,'contour','on');    

Un  modo  diverso  di  imporre  le  condizioni  al  contorno