La prima assunzione comporta che non ci sia pos- sibilità di inglobamento di materiale juvenile proveniente dalle rocce circostanti il condotto durante la risalita del magma

M  : CONDUIT4

Il codice che abbiamo modificato è quello implementato da Papale (2001), denominato CONDUIT4, che rappresenta l’evoluzione del codice originario svi- luppato da Dobran (1992). Esso considera il magma durante la sua risalita lungo il condotto vulcanico come un sistema stazionario, isotermo, monodimensionale, multifase di non-equilibrio, ed è applicabile a condotti cilindrici verticali.

Il modello considera la presenza di una fase liquida, una fase gas (bolle al di sotto del livello di frammentazione, continua al di sopra di esso), e varie fasi solide (cristalli). La fase liquida e quella solida sono assunte in equilibrio meccanico, mentre la fase gas può essere caratterizzata da velocità di risalita differenti. Nel seguito, la fase omogenea liquido+cristalli verrà denominata ‘fase densa’.

Il modello, inoltre, assume che non vi sia erosione delle pareti del condotto a causa della frizione tra queste e la miscela magmatica e che non vi sia perdita di gas attraverso le pareti stesse. La prima assunzione comporta che non ci sia pos- sibilità di inglobamento di materiale juvenile proveniente dalle rocce circostanti il condotto durante la risalita del magma; la seconda implica che tutto il gas essolto dal magma si trasferisca nelle bolle.

Una caratteristica particolare di questo modello è che le proprietà densità, visco- sità e saturazione in volatili, sono descritte in funzione della composizione del liquido e dell’abbondanza e tipo di fasi cristalline e specie volatili presenti.

D`

Per ottenere la densità della fase densa (ρ_D), viene prima calcolata la densità del liquido (ρ_L), e poi corretta in modo da tener conto della presenza dei cristalli.

La densità del liquido è calcolata col modello presentato da Lange (1994) basato sul volume molare parziale degli ossidi e sulla loro espansività termica, e utiliz- zando per il volume molare parziale dell’acqua nel fuso silicatico la calibrazione di Burnham e Davis (1974).

L’influenza dei cristalli viene rappresentata tramite l’equazione:

ρ_D = (1 − φ_C)ρ_L+ Σφ_Ciρ_Ci (2.1)

dove φ_C = Σφ_Ci è la frazione in volume totale dei cristalli e φ_Ci e ρ_Ci sono rispettivamente la frazione in volume e la densità dell’i-esima specie cristallina.

Per tener conto della variazione della frazione in volume dei cristalli in funzione dell’essoluzione dei volatili (Papale and Dobran, 1994) si utilizza la seguente equazione:

dφC

dwDV

= −φ_C(1 − φ_C)

"

1 1 − wDV

+ ρ_L

"

∂

∂wDV

1 ρL

!#

P,T

#

(2.2) dove w_DV indica la frazione in peso di volatili disciolti nel liquido.

Il modello considera il comportamento non ideale dei gas e utilizza l’equazione di Redlich-Kwong modificata da Kerrick e Jacobs (1981) per il calcolo della densità;

tale equazione, utilizzata anche nel modello di saturazione in specie volatili, è valida per termini puri e miscele nel sistema H2O − CO2, fino a pressione di 1 GPa.

V`

Per il calcolo della viscosità della miscela vengono utilizzate due equazioni differenti a seconda del regime di flusso ottenute dall’equazione 1.24 considerando che µ_G µ_D:

regione di flusso con bolle di gas

µm = µ_D

1 − α, (2.3)

regione di flusso di gas e particelle

µ_m = µ_Gα^−2.5 (2.4)

La viscosità della fase densa (µ_D) viene ricavata correggendo il valore della viscosità del liquido (µ_L) in modo da considerare l’influenza dei cristalli attraverso l’utilizzo dell’equazione di Einstein-Roscoe, adattata da Marsh (1981).

Per il calcolo della viscosità del liquido non è disponibile un modello che tenga conto delle variazioni composizionali del magma; per questo, vengono utilizzate delle parametrizzazioni ottenute da esperimenti su fusi naturali (Hess and Dingwell, 1996; Giordano et al., 2000; Giordano and Dingwell, 2003; Romano et al., 2003) e appropriate per magmi di composizione specifica (ad esempio il basalto dell’Etna, la trachite di Agnano-Monte Spina o dell’Ignimbrite Campana, la fonolite dell’eruzione del Vesuvio del 1631, etc...).

F

Il criterio utilizzato è quello descritto da Papale (1999c); esso si basa sulla transizione del magma da comportamento duttile a fragile quando il tasso di de- formazione dovuto all’accelerazione verticale del magma eccede il tasso massimo di deformazione del magma stesso, dettato dal tempo di rilassamento strutturale del magma:

condizione di frammentazione

˙γ > κ

τ ovvero ˙γ > κG_∞

η_s (2.5)

dove ˙γ = dudz^Z, con u_z velocità lungo la direzione verticale z, è il tasso di deforma- zione per allungamento (elongational strain rate), κ è una costante e τ = η_s

G∞ è il tempo di rilassamento strutturale del magma, con η_s viscosità newtoniana della miscela e G∞ modulo elastico a frequenza infinita.

Questo meccanismo di frammentazione permette di discriminare tra condi- zioni che generano eruzioni esplosive e eruzioni effusive, e predice correttamente vescicolarità del magma alla frammentazione nel range 0.6-0.85, corrispondente al range di vescicolarità osservate nelle pomici naturali.

E  

R   

La regione di flusso omogeneo è compresa tra la base del condotto e il livello (zsat) al quale il gas raggiunge una pressione uguale alla pressione di saturazione dei volatili (P_sat), calcolata per mezzo del modello di Papale (1999a); tale livello è determinato a partire dall’equazione di conservazione della massa secondo l’equazione 2.6. Le condizioni del sistema al momento in cui i volatili cominciano

ad essolvere sono, quindi, le seguenti:

P = P_sat, u_G= u_D = m˙A

ρ_m, α = π 6Nd³_b0 z = zsat= P0− Psat− (1 + K) ˙m²_A

2ρ_D,hom

! 2 f ˙m²_A

ρ_DD + gρD,hom

!−1

(2.6) dove K è il coefficiente di perdita di carico all’entrata del condotto (uguale a 0.05 per entrate graduali), d_b0 il diametro critico delle bolle di gas al livello di nucleazione (assunto uguale a 1 µm), ρ_D,hom la densità della miscela omogenea liquido+cristalli prima dell’essoluzione, N = 10¹¹ − 10¹⁶m⁻³ la densità nume- rica di bolle di gas per magmi silicatici e f il coefficiente di frizione definito nell’equazione 1.7.

Se la pressione del magma all’interno della camera magmatica è minore o uguale alla pressione di saturazione (P₀ ≤ P_sat) l’essoluzione dei volatili inizia già all’interno della camera magmatica e le condizioni del sistema alla base del condotto sono le seguenti:

P = P₀− (1 + K) ˙m²_A 2ρm

, u_G= u_D = m˙_A ρm

, z = 0

α = w_G ρG

"

w_G ρG

+1 − w_G ρD

#₋₁

(2.7)

R   

La regione di flusso bifase è caratterizzata da un flusso laminare con bolle di gas fino al livello di frammentazione, e da un flusso turbolento di un continuo gassoso in cui sono disperse particelle di liquido e cristalli da tale livello fino all’uscita del condotto.

Come già osservato, in questa regione le equazioni di trasporto che regolano la risalita del magma devono essere ricavate separatamente per le due fasi:

conservazione della massa fase gassosa

d

dz αρ_Gu_G

= ˙m_A d

dz(ω_G) (2.8)

fase densa d

dz (1 − α) ρ_Du_D

= − ˙m_A d

dz(ω_G) (2.9)

conservazione della quantità di moto fase gassosa

αρ_Gu_Gdu_G

dz = − αdP

dz − αρ_Gg − ξ (u_G− u_D) − F_wG

− δ (u_G− u_D) ˙m_Adω_G

dz (2.10)

fase densa

(1 − α) ρ_Du_Ddu_D

dz = − (1 − α)dP

dz − (1 − α) ρ_Dg + ξ (u_G− u_D)

− FwD− (1 − δ) (uG− uD) ˙mA

dω_G dz

− Πdσ_s

dz (2.11)

dove α è la frazione in volume del gas, ρ la densità, u la velocità, ˙m_A il flusso di massa per unità di area, w la frazione in peso, z la coordinata verticale positiva verso l’alto, P la pressione, g l’accelerazione di gravità, ξ il coefficiente di trasci- namento tra le fasi, F_w la frizione con le pareti, δ il coefficiente di trasferimento di quantità di moto dovuto al trasferimento di massa tra le fasi, σ_s lo stress normale dovuto alla collisione tra particelle e Π vale 0 nel flusso con bolle e 1 nel flusso di gas e particelle; i pedici D e G si riferiscono rispettivamente alla fase densa (liquido+cristalli) e a quella gassosa.

Le equazioni costitutive del sistema sono le seguenti:

ξ = 2C_{f r}

D α^1/2ρ_G|u_G− u_L| (2.12)

Pre-frammentazione F_wG = 0 e F_wD = 2 f ˙m²_A

Dρ_m (2.13)

Post-frammentazione F_wG = 2 f ˙m²_A

Dρ_m e F_wD = 2 f_s(1 − α)ρ_Du²_D

D (2.14)

dσs

dz = −Gd

dz (2.15)

dove f è il fattore di frizione definito nell’eq. 1.7, Re il numero di Reynolds e C_{f r} è il coefficiente di frizione interfaccia, C_D il coefficiente di trascinamento e d_b il diametro delle bolle. Tali quantità sono definite in funzione del regime di flusso nel seguente modo:

Pre-frammentazione

ξ = 2Cf r

D α^1/2ρ_G|u_G− u_L| (2.16)

Cf r= 3

8CD(1 − α)³α^1/2ρ_DD

ρ_Gd_b (2.17)

CD = 24

Re_b(1 + 0.15Re^0.687_b )(1 − α)^−4.7 (2.18) Re_b= ρ_Dd_b(1 − α)|u_G− u_D|

µ_m (2.19)

d_b =

6α πN

1/3

(2.20) Post-frammentazione

C_{f r} = 3 8

D(1 − α)

α^1/2d_D C_D (2.21)

C_D = 24

Re_D(1 + 0.15Re^0.687_D )α^−β (2.22)

Re_D = ρ_Gd_D|u_G− u_D|

µ_m (2.23)

β = 3.7 − 0.65 exp

"

−(1.5 − logRe_D²) 2

#

(2.24) f_s= 0.0285(gdD)^1/2

u_D (2.25)

log G = −8.76α + 5.43 (2.26)

Come tutti i problemi di tipo stazionario, affinché il sistema di equazioni di trasporto che controlla la risalita del magma nel condotto possa essere risolto, occorre definire le condizioni al contorno all’ingresso (base) e all’uscita del con- dotto eruttivo. Le prime sono definite dall’equazione 2.6 o 2.7 (insieme al tipo di magma che viene considerato) mentre la condizione in uscita corrisponde a quella di flusso bloccato calcolata in base al criterio di Bouré et al. (1976), o a quella di equilibrio del magma con l’atmosfera, ovvero P = 1 bar. L’utilizzo di una o l’altra condizione al contorno (flusso bloccato o P = 1 bar) dipende dalle condizioni del flusso di magma e costituisce parte della soluzione del sistema.