Capitolo 8 Analisi non lineare statica dell’edificio consolidato

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Capitolo 8

Analisi non lineare statica dell’edificio consolidato

Per quanto riguarda la trattazione generale sull’analisi statica non lineare in riferimento alle prescrizioni di normativa si rimanda al § 2.2 della presente tesi; di seguito si riportano le prescrizioni riguardanti le resistenze di progetto, i criteri di verifica secondo i capitoli 7 ed 8 delle NTC e i risultati dell’analisi effettuata sul modello.

8.1 Resistenze di progetto

Al § C8.7.1.5 della Circolare applicativa viene stabilito che nel caso di analisi non lineare, i valori di calcolo delle resistenze da utilizzare sono ottenuti dividendo i valori medi per i rispettivi fattori di confidenza, senza considerare i coefficienti parziali. Questo è confermato al § 7.8.2.2 in merito alle verifiche di resistenza per elementi nuovi in cui si stabilisce che i valori di calcolo da assumere sono quelli medi.

Nel nostro caso i valori sono:

- muratura esistente:

- fd = 1000 / 1,35 = 740 kN / m2 ;

- τ0d = 20 / 1,35 = 15 kN / m2 ;

- muratura rinforzata con betoncino armato:

- fd = 1000 / 1,35 = 1850 kN / m2 ;

- τ0d = 20 / 1,35 = 38 kN / m 2

;

- muratura in blocchi semipieni :

- fd = 6000 kN / m 2

;

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8.2 Criteri di verifica

Le verifiche da effettuare nel caso di analisi push over riguardano la capacità di spostamento del singolo pannello che viene confrontata con la domanda calcolata secondo le modalità riportate in normativa.

Come per le resistenze, anche la capacità di spostamento viene calcolata in maniera differente a seconda di muratura nuove o esistenti:

- muratura esistente:

- rottura per pressoflessione : 0,6 % dell’altezza del pannello ;

- rottura per taglio : 0,4 % dell’altezza del pannello ;

I predetti limiti sono definiti al netto degli spostamenti dovuti ad un eventuale moto rigido del pannello (ad esempio conseguente alla rotazione della base), e si incrementano di un’aliquota fino al 100% nel caso di rottura per pressoflessione di pannelli che esibiscono un comportamento a mensola.

- muratura nuova:

- rottura per pressoflessione : 0,8 % dell’altezza del pannello ;

- rottura per taglio : 0,4 % dell’altezza del pannello ;

La capacità di spostamento è definita al § C7.3.4.1 a seguito della trattazione

sull’analisi push over e sulla determinazione della curva di capacità del sistema; si distinguono due situazioni: nel caso in cui risulti che il periodo elastico della

costruzione T* ≥ TC (definito al §5.2 della presente tesi) la domanda in spostamento

per il sistema anelastico è assunta uguale a quella di un sistema elastico di pari periodo:

݀௠௔௫∗ = ݀௘,௠௔௫∗ = ܵ஽௘ሺܶ∗ሻ

Nel caso in cui T* < TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è maggiore

di quella di un sistema elastico di pari periodo e si ottiene mediante l’espressione:

݀_௠௔௫∗ ₌݀௘,௠௔௫∗

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dove ݍ∗ = ܵ௘ሺܶ∗ሻ݉∗ _ܨ

௬∗

൘ rappresenta il rapporto tra la forza elastica e la forza di

snervamento del sistema equivalente. Se risulta q* < 1 allora si ha ݀_௠௔௫∗ = ݀_{௘,௠௔௫}∗ .

Figura 8.1 – Spostamento di riferimento per T > TC (sinistra) e per T < TC (destra)

Una volta trovata la domanda di spostamento d*max si verifica che sia d*max ≤ d*u e si

procede alla verifica della compatibilità degli spostamenti.

8.3 Definizione delle cerniere plastiche

Uno degli aspetti fondamentali per condurre un’analisi statica non lineare consiste nel definire il comportamento delle cerniere plastiche: per ogni materiale in gioco deve essere definito il legame costitutivo che assume quella parte di elemento che, per effetto di uno sforzo eccessivo, elasticizza; nella schematizzazione a telaio equivalente tali porzioni vengono schematizzate con delle cerniere appunto che si trovano alle estremità nel caso di rottura per taglio, ed in mezzeria per rottura a pressoflessione. Per gli elementi in muratura si è fatto e riferimento al modello proposto da Magenes che segue le norme americane FEMA; oltre a stabilire il legame costitutivo per le

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cerniere sono state inserite le resistenze di progetto attraverso le quali viene calcolata la formazione ed evoluzione delle cerniere plastiche negli elementi. Per i maschi si utilizza un comportamento elasto – plastico:

Figura 8.3 –Caratterizzazione delle cerniere plastiche per i maschi murari.

Per le fasce di piano si è schematizzato, per quanto possibile un comportamento

elasto – fragile, assegnando un valore di Hp = 1 N (cfr. § 2.4) in quanto sono assenti

elementi che garantiscano compressione orizzontale alle stesse.

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8.4 Analisi push over dell’edificio

L’analisi statica non lineare viene svolta separatamente su due differenti modelli per le due direzioni principali e per ognuna vengono utilizzate le due distribuzioni di forze; si ottengono quindi 4 curve “Taglio alla base – spostamento”.

Le verifiche devono essere effettuate prendendo in considerazione per ogni direzione la curva conseguente alla distribuzione di forze più svantaggiosa; lungo la direzione X risulta più svantaggiosa la distribuzione principale, viceversa in direzione Y; entrambe le curve sono state definite attraverso 100 step di carico in “controllo di forza”.

Direzione X

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La curva presenta un tratto iniziale praticamente elastico lineare, che arriva fino ad uno spostamento di 0,96 cm ; poi la pendenza diminuisce e si perde completamente il carattere di linearità fino ad arrivare alla capacità massima della struttura pari a 592 kN per uno spostamento di 2,50 cm ; da qui cominciano delle rotture di elementi di significativa rigidezza con perdita della capacità portante.

L’analisi è stata condotta fino ad uno spostamento del punto di controllo in sommità pari a 4 cm in quanto il resto della curva non ha rilevanza apprezzabile.

Di seguito si riportano gli stati di avanzamento dell’analisi negli step più rilevanti; la visualizzazione scelta mostra l’evoluzione delle cerniere plastiche, sia nella loro formazione in un numero crescente di elementi, sia nel loro stato effettivo.

La legenda riportata alla destra delle immagini fa riferimento allo schema di cerniera plastica fornito dalle norme americane (FEMA) ed utilizzata per i maschi murari.

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Le sigle DL, SD ed NC sono gli stati limite che nella nomenclatura delle NTC corrispondono agli stati limite di:

- danno (damage low) : DL ;

- salvaguardia della vita (severe damage) : SD ;

- collasso (near collapse), mentre le altre lettere sono i punti del grafico : NC. 1) Allo step 14 è stato raggiunto il limite del ramo elastico; solo il 4,6 % degli elementi presenta cerniere plastiche.

2) Allo step 46 si raggiunge il massimo della capacità portante del modello; sono presenti cerniere nel 16,5 % degli elementi ed alcune sono in fase di danno lieve.

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3) Allo step 63 la prima cerniera plastica giunge al limite della rottura; ciò corrisponde alla rottura completa del primo elemento con conseguente “crisi” della struttura

4) Allo step 85 un numero significativo di cerniere è andata in crisi e la struttura ha perso buona parte della sua capacità portante

Verifica allo SLU

Dalla curva di capacità ottenuta si ricavano tutte le grandezze richieste dalla normativa per effettuare le verifiche di sicurezza, relative al modello strutturale ed al sistema equivalente ad un grado di libertà :

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m* = 489.8 kN / g Γ = 1.1581 Fy* = 514.1 kN

T* = 0.6006 s d*max = 0.0071 m dmax = 0.0082 m

Essendo T* > TC lo spostamento massimo è quello corrispondente allo spettro elastico.

Il dmax rappresenta la domanda di spostamento massima cui il modello è sottoposto;

la verifica viene condotta analizzando la deformata del modello allo step corrispondente questo spostamento del punto di controllo e verificando che lo spostamento in testa dei pannelli murari sia inferiore ai limiti dello 0,6 % se questi risultano rotti per pressoflessione e dello 0,4 % per rottura a taglio.

Nel caso in questione siamo allo step 21, all’inizio del ramo plastico della curva.

Figura 8.6 – Deformata del modello in corrispondenza di dmax

Il drift massimo dei maschi murari, evidenziato in figura 8.6, è di 0,9 cm. La capacità di spostamento dei maschi risulta:

rottura per taglio : 355 x 0,004 = 1,4 cm

rottura per pressoflessione : 355 x 0,006 = 2,1 cm La verifica risulta quindi soddisfatta.

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Direzione Y

Figura 8.7 – Curva di capacità del modello in direzione Y.

Per la curva di capacità e le verifiche in direzione Y valgono le stesse considerazioni fatte in precedenza sia per l’analisi dell’evoluzione della stessa che per le verifiche. Per altro, seppur con valori e differenti, il modello presenta le stesse modalità evolutive verso la crisi in entrambe le direzioni e le curve hanno caratteristiche simili:

La curva presenta un tratto iniziale praticamente elastico lineare, che arriva fino ad uno spostamento di 0,40 cm ; poi la pendenza diminuisce e si perde completamente il

carattere di linearità fino ad arrivare alla capacità massima della struttura pari a 529 kN per uno spostamento di 1,60 cm ; di seguito abbiamo due cali rilevanti della

capacità portante fino a 1,84 cm ; le rotture si suseguono in maniera più regolare rispetto alla curva in direzione X fino ad uno spostamento di 3,6 cm dopo il quale si ha una crisi quasi completo.

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Anche in questo caso si rappresenta l’evoluzione del modello al crescere del carico orizzontale con la formazione e l’evoluzione progressiva di cerniere plastiche fino alla crisi della struttura.

1) Allo step 10 è stato raggiunto il limite del ramo elastico; il 16,5 % degli elementi presenta cerniere plastiche ed alcune sono in fase di low damage.

2) Allo step 37 la struttura raggiunge la massima capacità portante: la situazione è molto simile alla precedente: aumenta la percentuale di cerniere plastiche al 23,1 % ed un numero maggiore si trova in fase di low damage.

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3) Allo step 45 è calata in modo considerevole la capacità della struttura: il numero di cerniere plastiche è praticamente invariato, ma alcune di queste sono giunte a rottura.

4) Allo step 72 si ha la crisi di un numero considerevole di cerniere plastiche al piano terra che portano ad un quasi azzeramento della capacità della struttura.

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Le caratteristiche del modello e del sistema equivalente sono: m* = 553.5 kN / g Γ = 1.279 F*y = 421.3 kN T* = 0.51 s d*max = 0,59 cm dmax = 0,76 cm

In corrispondenza la deformata risulta:

Figura 8.7 – Deformata del modello in corrispondenza di dmax

Il drift massimo è di 1,11 cm.

La capacità di spostamento dei maschi risulta: rottura per taglio : 355 x 0,004 = 1,4 cm

rottura per pressoflessione : 355 x 0,006 = 2,1 cm La verifica risulta quindi soddisfatta.

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8.5 Valutazione del fattore q

Il fattore di struttura q prende in considerazione in una maniera approssimata gli effetti di numerosi fattori che concorrono alla determinazione dei cicli di deformazione anelastica e della capacità dissipativa della struttura; in breve è un’approssimazione del rapporto tra le azioni sismiche che la struttura subirebbe se la sua risposta fosse completamente elastica (Fel,max) e l’azione minima che può essere utilizzata nella

progettazione utilizzando un classico modello elastico lineare (Fel).

Il fattore di struttura è ricavato dal prodotto di due fattori, così come definito anche in normativa:

ݍ = ݍ∗_{∙ ܱܴܵ}

Figura 8.5 –Parametri per la definizione del fattore di struttura q.

Il parametro q* è definito come:

ݍ∗_{= ܨ}௘௟,௠௔௫

ܨ௬

൘

Il valore di Fy è la forza di snervamento della curva bi-lineare corrispondente alla

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Il parametro OSR invece rappresenta la sovra resistenza del sistema che dalle NTC viene definita come αu / α1 ed in riferimento dalla figura 8.5 può essere definita come:

ܱܴܵ = ܨ௬൘ _ܨ_௘௟

Per una struttura in muratura Fy corrisponde al taglio alla base relativo al

conseguimento della capacità di forza massima nel primo maschio murario. E quindi si ottiene: ܱܴܵ ∙ ݍ∗₌ ܨ௬ ܨ௘௟ ∙ ܨ௘௟,௠௔௫ ܨ௬ = ܨ௘௟,௠௔௫ ܨ௘௟ = ݍ

OSR dipende in maniera fondamentale da alcuni fattori tipici della modellazione tra qui le principali sono la configurazione strutturale, la ridondanza, la distribuzione delle forze sismiche in pianta ed in alzato, la rigidezza dei solai, le resistenze.

La definizione di q* è invece legata alla duttilità del sistema è può essere calcolata una volta definita la curva bilineare relativa al sistema ad un grado di libertà attraverso le seguenti equazioni: ݍ∗ _{= ሺߤ}_௦_{− 1ሻ ∙}்∗ ்಴+ 1 per T * < TC ݍ∗ _{= ߤ} ௦ per T* ≥ TC

Dove µs è la duttilità ultima della bilineare:

ߤ௦ =݀௨

∗

݀_௬∗

Lo spostamento ultimo viene preso in corrispondenza di un taglio alla base pari all’85% del taglio massimo mentre lo spostamento al limite elastico corrisponde al termine del ramo elastico della curva bilineare.

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Un’ulteriore formulazione permette di definire q* in maniera indipendente dallo spettro di risposta utilizzato e si basa sul principio di conservazione dell’energia tra le risposte elastica lineare e non lineare della struttura:

ݍ∗_{= ඥሺ2ߤ}_௦_{− 1ሻ}

In risultati ottenuti sono i seguenti.

Direzione X

Figura 8.6 –Valutazione del fattore di struttura q.

Nell’ipotesi più cautelativa q* vale :

ݍ∗ _{= ඥሺ2 ∙ 3,3 − 1ሻ = 2,3}

Da cui si ha:

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Direzione X

Nell’ipotesi più cautelativa q* vale :

ݍ∗ _{= ඥሺ2 ∙ 3,5 − 1ሻ = 2,4}

Da cui si ha:

ࢗ = 2,4 ∙ 1,9 = ૝, ૞

I valori ottenuti per le due direzioni sono praticamente uguali e di un ordine di grandezza plausibile ed in linea con il range indicato in normativa, che permette in sede preliminare, per le costruzioni in muratura, di scegliere il valore di q tra un minimo di 2 ed un massimo di 5, con un valore massimo di αu / α1 pari a 2,5.