LE BOBINE PHASED-ARRAY

Capitolo 2

LE BOBINE PHASED-ARRAY

2.1 I phased array

Come anticipato nel capitolo precedente, le surface coils forniscono un elevato valore del rapporto segnale-rumore grazie alla loro grande sensibilità verso piccole zone del volume esaminato che permette di diminuire drasticamente la quantità di rumore ricevuto; sfortunatamente, anche il campo di vista utile è limitato a queste piccole regioni del campione e poiché spesso, nell’imaging clinico, la regione di interesse non è ben nota a priori, si sono sviluppate varie tecniche per ovviare a questo inconveniente.

Una soluzione per ottenere un incremento della regione di sensibilità è quella di utilizzare un “array” di bobine, in cui ciascuna bobina è connessa ad un canale di ricezione e le uscite dai vari canali di ricezione sono poi connesse tra loro, con una correzione di fase dipendente dal punto dello spazio dal quale il segnale è originato (Fig. 2.1).

Fig. 2.1 Array di bobine superficiali

Le bobine phased array, quindi, sono particolari antenne di ricezione, costituite da più unità poste in parallelo. Ciascuna bobina riceve indipendentemente dalle altre e lo stesso nome sottolinea questo comportamento, ricordando proprio il funzionamento dei phased array nei radar e negli ultrasuoni. Con questa tecnica si ottengono valori elevati di SNR e di risoluzione pari a quelli garantiti dalle surface coils con un elevato FOV pari a quello fornito da bobine di volume: un tale array di bobine è chiamato “NMR phased array” (Fig. 2.2) .

La prima formulazione teorica riguardo a tali tipi di bobine ed al loro utilizzo si deve a Roemer e Hayes nel 1989 ed a oggi sono praticamente presenti in ogni scanner di Risonanza Magnetica.

2.2 Disaccoppiamento geometrico

Il numero massimo di bobine utilizzabili in un array dipende dall’omogeneità del magnete e dal fatto che ogni bobina necessita di un proprio ricevitore e di un hardware per l’acquisizione dei dati.

Studi recenti su questo tipo di bobine sono volti ad eliminare le interazioni tra le bobine che compongono gli array e questo viene fatto utilizzando tecniche che minimizzano le mutueinduttanze di accoppiamento.

Infatti, se si considerano due bobine identiche, risonanti alla stessa frequenza f0 e si affiancano, la mutua induttanza tra di loro porta ad uno

“splitting” della frequenza di risonanza in due diverse frequenze, con la conseguente riduzione di sensibilità alla f0 di interesse (Fig. 2.3).

Fig. 2.3 Splitting della frequenza

Per eliminare o ridurre questo accoppiamento si possono sovrapporre le bobine fino ad avere mutua induttanza uguale a zero: nel caso di bobine circolari, rilevazioni sperimentali hanno indicato come distanza ottima dei centri il 75% del diametro (Fig. 2.4).

Fig. 2.4 Tre bobine circolari parzialmente sovrapposte

fo

f

risposta coil

2.3 Stima del campo magnetico

Vediamo di calcolare, con l’ausilio di simulazioni elettromagnetiche, l’andamento del pattern di campo magnetico generato dall’array in funzione delle dimensioni delle spire e della distanza tra esse.

Lo studio del campo magnetico generato da una corrente che scorre in una spira chiusa si fonda sull’utilizzo dell’ equazione di Biot-Savart:

∫

dove l’integrale è esteso all’intero circuito chiuso, µ0 è la permeabilità

magnetica del vuoto ( 4 *10 7H /m

0

−

= π

µ ), I è la corrente in Ampere e gli

altri termini sono descritti in Fig. 2.5:

Fig. 2.5 Schema illustrante la definizione dei termini impiegati nella (2.1)

L’equazione di Biot-Savart può essere interpretata matematicamente come affermazione che nel punto P il campo magnetico risultante B

prodotto dalla corrente è la somma di un grande numero di piccolissimi

dL R

dB

I

contributi elementari dB dovuti ad ognuno dei segmenti o elementi di

lunghezza dL componenti il circuito.

Si consideri una spira circolare di raggio a giacente sul piano (x,y) con il centro coincidente con l’origine degli assi cartesiani, come visibile in Fig. 2.6:

Fig. 2.6 Spira circolare

Vediamo di calcolare il campo magnetico generato da una corrente che scorre nella spira in un punto P generico di coordinate x,y,z.

I punti giacenti sulla spira hanno coordinate:

θ sen ' a x= θ cos ' a y= 0 '= z

per cui le componenti del segmentino dL sono:

y z R P(x,y,z) I o dL θ a x

θ θ θ d a dz dy dx dL≡( , , )≡ ( −sen , cos ,0 )

Il vettore R ha per componenti la differenza tra le coordinate del punto P

e quelle del generico punto giacente sulla spira, cioè:

) , sen , cos ( ) ' ,' ,' ( ) , , ( Rx Ry Rz x x y y z z x a y a z R ≡ ≡ − − − ≡ − θ − θ

Applicando la regola del prodotto vettoriale per calcolare il numeratore dell’equazione di Biot-Savart, si può scrivere l’espressione delle tre componenti del campo magnetico nel punto P(x,y,z):

∫

∫

∫

L’estensione al caso di due spire circolari che compongono una bobina phased-array può essere schemattizzata dalla seguente figura 2.7:

Fig. 2.7 Array di due spire circolari

Il campo magnetico totale generato dalle due spire può essere calcolato sommando le componenti omologhe dei campi generati dalle singole spire.

Il programma di simulazione sviluppato permette di ottenere l’andamento del campo magnetico della spira in funzione delle coordinate x ed y, per una coordinata z fissata. Esso ha come dati di ingresso il raggio delle spire, il valore della corrente in Ampere e la coordinata z alla quale si vuole ricavare l’andamento del campo

x y z

_P(x,y,z)

dB

B

dB

dB

dB

∫

=

+

=

magnetico ed i risultati che fornisce sono delle curve di livello del modulo del campo e dei grafici 3D che mostrano l’andamento dello stesso. Il centro della bobina giace nel punto di coordinate x=1,5a ed y=1,5a, dove a è il raggio della spire.

Un esempio dei risultati ottenibili con questo programma è mostrato nelle Fig. 2.8, 2.9 e 2.10.

Fig. 2.8 Curve di livello del campo magnetico alla coordinata z=2cm per un

Fig. 2.9 Andamento del campo magnetico alla coordinata z=2cm per un phased-

array di due spire circolari di raggio a=5cm, distanti d=10cm ed I=1A

Fig. 2.10 Andamento del campo magnetico su 256 livelli di grigio alla coordinata

z=2cm per un phased- array di due spire circolari di raggio a=5cm, distanti d=10cm ed I=1A

2.4 Stima della mutua induttanza

I conduttori che costituiscono le spire possono essere di tipo “strip” o di tipo “wire”, come schematizzato nella seguente figura:

Fig. 2.11 Tipologie di conduttori (wire e strip)

Per l’analisi dei phased-array, è necessario calcolare l’auto-induttanza dei conduttori che costituiscono ciascun anello e la mutua induttanza tra due anelli.

L’auto-induttanza di un conduttore in cui scorre una densità di corrente

J si calcola con la seguente espressione:

' ) ' ( ) ( 4 2 0 _dvdv R r J r J I L V V

∫∫∫ ∫∫∫

dove I rappresenta la corrente totale nel conduttore, V è il volume del

conduttore ed R= r−r ' .

Si schematizzano, nel nostro caso, i conduttori come delle corone circolari di spessore w ed un settore circolare viene mostrato in figura:

w

t

I _I

W

Fig. 2.12 Settore circolare

Gli infinitesimi di superficie sono dati da:

(

)

(

)

(

)

(

)

Le coordinate dei punti P(r) e P( r') sono date da:

P ( r)≡

( ) (

[

)

(

)

]

P r')≡

(

) (

[

)

(

)

]

Il termine dato dal prodotto scalare delle densità di corrente diviso il quadrato della corrente totale diviene:

) ' cos( 1 ) ' ( ) ( 2 2 = θ −θ ⋅ w I r J r J (2.10)

dove w è lo spessore della strip di conduttore.

La distanza R tra i due punti è allora:

) (r J ) ' (r J ' r a+ ' dr ) (r P ) ' (r P θ θ ' r a+ dr

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

[

(

)

(

)

]

l’espressione finale che consente di calcolare il valore dell’auto-induttanza di una corona circolare, è costituita da un integrale quadruplo, in cui dr e dr' sono integrati da 0 a w (spessore della strip che

costituisce il settore circolare), mentre dθ e dθ' sono integrati da 0 a

π 2 :

(

)(

)

∫ ∫ ∫ ∫

Se il conduttore che costituisce le spire è di tipo cilindrico (wire) si schematizza come nella Fig. 2.13, dove a è il raggio del conduttore ed R il raggio delle spire che costituiscono il phased-array.

Fig. 2.13 Conduttore di tipo wire

Gli infinitesimi di superficie, in questo caso, sono dati da:

) cos ( R a ϕ a ds= + d ϕdθ (2.13) a ϕ ) (r J ) ' (r J θ ' θ x y r 1 r z

dove le coordinate dei punti r e r' sono date da: ) sin , sin cos sin , cos cos cos ( ) , , (x y z R θ a ϕ θ R θ a ϕ θ a ϕ r ≡ ≡ + + (2.15) ) sin , sin cos sin , cos cos cos ( ) , , ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' _{x y z R θ a ϕ θ R θ a ϕ θ a ϕ} r ≡ ≡ + + (2.16)

Il termine dato dal prodotto scalare delle densità di corrente diviso il quadrato della corrente totale diviene in questo caso:

) ' cos( ) 2 ( 1 ) ' ( ) ( 2 2 = _π θ −θ ⋅ a I r J r J (2.17)

La distanza R tra i due punti è allora:

(

) (

) (

)

R = − + − + − (2.18)

l’espressione finale che consente di calcolare il valore dell’auto-induttanza di una spira circolare costituita da un conduttore cilindrico, è costituita da un integrale quadruplo, in cui dϕ e dϕ' sono integrati da 0

a 2π (sulla sezione del conduttore), mentre dθ e dθ' sono integrati da 0

a 2π (lungo l’anello):

∫ ∫ ∫ ∫

Per il calcolo delle mutue induttanze, si considerino adesso due conduttori sui quali scorrono densità di correnti J₁ e J₂ nei volumi V₁ e

2

V ; se si indicano con I₁ ed I₂ le correnti totali in V₁ e in V₂,

l’espressione della mutua induttanza tra i due conduttori è data dalla formula:

' ) ' ( ) ( 4 _{V1 V2} 2 1 2 1 0 21 12 dvdv R r J r J I I M M = =

∫∫∫ ∫∫∫

che nel caso in esame di calcolo delle mutue induttanze tra i due anelli diviene: ' ' ) '-cos( 4 w/2 w/2 -2 ) 1 ( ) 2 ( w/2 w/2 -2 ) 1 ( ) 2 ( 2 2 0 θ θ θ θ π µ π π π π d d dz dz R a w M j j k k

∫ ∫ ∫ ∫

dove j e k individuano le due spire.

Mediante l’algoritmo di calcolo sviluppato, è possibile, quindi, calcolare la mutua induttanza tra le spire al variare della distanza tra i centri (e quindi al variare del grado di sovrapposizione) e trovare la posizione relativa dei loop che ne minimizza il valore. In Fig. 2.14 è riportato un esempio di un grafico del valore della mutua induttanza in funzione della distanza tra le spire:

Il grafico conferma la bontà della simulazione effettuata, perfettamente concorde con i dati che si trovano sperimentalmente, e cioè che la distanza tra i centri di due spire circolari che minimizza il valore della induttanza mutua è pari a 0.75 volte la dimensione del diametro delle spire.

2.5 Disaccoppiamento elettrico

Tuttavia questo accorgimento di sovrapporre parzialmente le spire non basta in un array costituito da più di due bobine, in quanto rimane un accoppiamento mutuo tra le bobine non adiacenti; inoltre la sovrapposizione minimizza la mutua induttanza ma non la mutua resistenza di rumore, parametro che fornisce informazioni riguardo alla correlazione di rumore tra le bobine, ed è un parametro importante per la fase seguente di ricostruzione dell’immagine MR. Questa interazione può essere ridotta andando a connettere ogni bobina ad un preamplificatore a bassa impedenza di ingresso (Fig. 2.15).

Fig. 2.15 Connessione di ogni bobina al preamplificatore

Si considerino, infatti, due bobine superficiali interagenti modellizzate come le sezioni primarie e secondarie di un trasformatore (Fig. 2.16).

Fig.2.16 Circuito di modellizzazione di due bobine accoppiate

Quando la bobina 2 è isolata, la sua impedenza vista dal preamplificatore vale: (2.22) preamp low z preamp low z preamp low z

coil 1 coil 2 coil 3 coil 4

preamp low z Coil 1 Coil 2 R R L _L M=kL C _C2a C2b L2b pream R Z A

)

(

j

XL

XC

R

C

X

Z

=

+

−

Per trasformare la resistenza serie R1 nel valore di 50 ohm, la scelta ottima di XL2b e XC2b è data da:

(2.22)

Se l’impedenza di ingresso del preamplificatore è nulla, l’induttore XL2b

forma un circuito risonante parallelo con la capacità di uscita XC2b e

blocca la corrente che scorre nella bobina, impedendo trasferimenti di segnale al preamplificatore. Quando, durante la ricezione, una piccola corrente scorre nella bobina, il rumore ed il segnale NMR non si accoppiano tra le bobine e tutte ricevono indipendentemente.

Supponendo che le due bobine siano indipendentemente sintonizzate alla stessa frequenza di risonanza, cioè:

(2.23)

senza la seconda bobina, l’impedenza serie del loop primario vista dal terminale A è data da R1, mentre con la seconda bobina presente e connessa al preamplificatore, l’impedenza vista dal primario vale:

(2.24)

Il secondo termine rappresenta la potenza di rumore accoppiata tra le bobine. Se k=0 o se Rp=0, questo termine si annulla ed il rumore è determinato solo da R1, come se fosse una bobina singola.

Nello stesso modo, quantifichiamo il segnale NMR che si trasferisce tra le bobine, determinando la tensione ai terminali A:

2 1 2 2

XC

50

R

X

XL

=

=

=

X

X

X

X

X

−

−

=

0

,

−

=

0

)

/

(

R

X

R

k

L

R

Z

+

+

=

ω

(2.25)

ancora, se k=0 oppure Rp=0, si ottiene il segnale NMR della bobina isolata. Ovviamente, questo è il caso puramente ideale e, nel caso pratico, il disaccoppiamento sarà tanto più grande quanto più bassa sarà la Rp del preamplificatore. ) / ( ₂2 1 2 1 P A R X R Lk j V V V + − =

ω