CAPITOLO 4
4.1 INTRODUZIONE
Si ha una identificazione di tipo “output-only” quando le proprietà modali del sistema sono identificate da misure di sola risposta. L’identificazione modale permette di determinare i parametri modali mediante l’acquisizione di dati sperimentali. I parametri modali sono tipicamente le forme modali, le frequenze naturali, i rapporti di smorzamento.
Nell’identificazione modale “input-output” i parametri modali sono determinati mediante un apposito modello che definisce la funzione di risposta in frequenza, ovvero una funzione che mette in relazione l’eccitazione con la risposta. Quando l’identificazione modale è basata su misure di sola risposta, si hanno due problemi di fondo:
1) l’eccitazione è sconosciuta; 2) la risposta è spesso rumorosa.
L’idea alla base della procedura d’identificazione modale “output-only” è che il carico sconosciuto è considerato prodotto da un sistema di carico detto rumore bianco che non agisce sul sistema strutturale, ma sul sistema totale che consiste nella struttura reale più il sistema di carico virtuale: lo schema è illustrato in figura 3.1.
DI CARICO STRUTTURALE SISTEMA BIANCO RUMORE RISPOSTA CARICO SCONOSCIUTO SISTEMA
fig. 4.1: Schema di carico virtuale per sistemi “output-only”
Per definizione il rumore bianco è un rumore privo di periodicità e che contiene frequenze di tutto lo spettro sonoro ad uguale ampiezza. E' così detto in analogia con la luce bianca, che ugualmente contiene tutte le frequenze dello spettro luminoso. Si contrappone al rumore rosa che possiede altre caratteristiche: ha in comune con quello bianco la mancanza di periodicità e la presenza delle frequenze di tutto lo spettro sonoro, ma, diversamente da quello bianco, ha ampiezza maggiore alle basse frequenze e minore alle frequenze alte.
Nel processo d’identificazione strutturale è dunque possibile individuare, non solo i modi di vibrare della struttura, ma anche quelli del sistema di carico che è affetto dal
rumore bianco. Ciò comporta che con tali modelli è possibile identificare tutti i modi e distinguere quelli della struttura da quelli del rumore e da quelli dell’eccitazione. I vantaggi di questo tipo di analisi sono:
- le rilevazioni sono rapide, dal momento che non necessitano dell’equipaggiamento per l’eccitazione della struttura;
- le rilevazioni non interferiscono con il funzionamento della struttura;
- la risposta misurata è rappresentativa delle condizioni di funzionamento della struttura.
Per contro, con questo tipo di analisi, la risposta della struttura è piccola e dunque sono necessari due accorgimenti:
1) è richiesto un equipaggiamento molto sensibile per la misura della risposta; 2) è richiesta una maggiore cura nell’elaborazione dei dati.
4.2 TECNICA PEAK PICKING FREQUENCY
Il classico approccio nel dominio delle frequenze, spesso indicato come BFD (Basic Frequency Domain) o tecnica PPF (Peak Picking Frequency), è basato sul processamento di un semplice segnale utilizzando la trasformata discreta di Fourier (DFT), sfruttando la circostanza che i modi ben separati possono essere stimati direttamente dalla matrice di densità spettrale nel picco.
La tecnica classica conduce a stime ragionevoli delle frequenze naturali e delle forme modali se i modi risultano ben separati; nei casi in cui i modi risultano accoppiati, la loro determinazione risulta molto difficile e, anche quando si riesce a farne una stima, questa risulta essere alquanto incerta. Inoltre la determinazione dello smorzamento risulta spesso inaffidabile.
4.2.1 Analisi nel dominio delle frequenze
Si consideri un sistema con r ingressi
x
i(t
)
i=1,2…,r e una misura d’uscita)
(t
y
; si può pensare chey
(t
)
sia la somma di tantiy
i(t
)
i=1,2,…,r:)
(
)
(
1t
y
t
y
r i∑
i=
= (4.1))
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
1
)
(
1
)
(
1
t
y
t
yr
t
hr
t
xr
t
y
t
h
t
x
t
y
t
h
t
x
→
→
→
→
→
→
→
(4.2)Applicando l’integrale di convoluzione si ottiene la risposta:
∑ ∫
⋅
−
=
⇒
−
∫
⋅
=
= ∞ ∞ r i i i i i it
h
x
t
d
y
t
h
x
t
d
y
10 0)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
τ
τ
τ
τ
τ
τ
(4.3)Si dimostra che la funzione d’autocorrelazione può scriversi nella forma (vedi par. 3.4.1.6):
η
ξ
τ
η
ξ
η
ξ
τ
h
h
R
d
d
R
i i r i i y(
)
(
)
(
)
(
)
10⋅
−
+
∑ ∫ ∫
=
= ∞ (4.4)Facendone la trasformata di Fourier si ottiene la funzione spettrale di densità di potenza:
(4.5)
dove con il simbolo “−” si indica il complesso coniugato.
In forma matriciale, definendo un vettore r-dimensionale degli ingressi
x
(t
)
:)]
(
),...,
(
),
(
[
)
(
t
x
1t
x
2t
x
t
x
=
r (4.6) un vettore r-dimensionale delle funzioni di risposta in frequenzaH
( f
)
:)]
(
),...,
(
),
(
[
)
(
f
H
1f
H
2f
H
f
H
=
r (4.7)un vettore r-dimensionale degli spettri incrociati degli output
y
i(t
)
con gli input)
(t
x
i :)]
(
),...,
(
),
(
[
)
(
f
G
1f
G
2f
G
f
G
xy=
x y x y xry (4.8)ed infine una matrice r x r per ogni inresso
x
i(t
)
:∑
∑
⋅
⋅
=
∫
⋅
⋅
∫
⋅
=
⋅
∑ ∑ ∫
⋅
=
=
⋅
∫
=
= = ∞ ∞ − ∞ − ∞ ∞ − r i j ij r j i o t jf ij jf j i j jf i jf yf
G
f
H
f
H
dt
e
t
R
d
e
h
d
e
h
d
e
R
f
G
1 1 0 2 2 0 2 2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
π πη πξ πτη
η
ξ
ξ
τ
τ
=
)
(
...
)
(
)
(
...
...
...
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1f
G
f
G
f
G
f
G
f
G
f
G
f
G
f
G
f
G
f
G
r x r x x r x x r x r x x x x x x r x x x x x x xx (4.9) si ottiene:)
(
)
(
)
(
)
(
f
H
f
G
f
H
f
G
yy=
⋅
xx⋅
H (4.10)dove, con il simbolo di “H” si indica il complesso coniugato e trasposto.
Se sono a disposizione m misure di risposta del sistema, si può pensare la relazione sopra scritta come costituita dalle grandezze seguenti:
-
G
xx(
ω
)
: matrice di densità spettrale degli ingressi di dimensione r x r ;-
G
yy(
ω
)
: matrice di densità spettrale delle risposte di dimensione m x m ; -H
(
ω
)
: matrice delle funzioni di risposta in frequenza di dimensione m x r.4.2.2 Funzione di risposta in frequenza (FRF)
Come visto nel secondo capitolo, la funzione di risposta in frequenza (FRF) può essere scritta come il rapporto tra la trasformata di Fourier della risposta e quella dell’ingresso:
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
X
Y
H
=
(4.11)Se consideriamo una forzante impulsiva
f
=
A
δ
(t
)
, la FRF risulta:)
sin
cos
(
)
(
1t
B
t
A
e
u
t
X
n k kt k kd k kd k kω
ω
ω ξ+
⋅
∑
=
− = (4.12) dove:u
k: costante modale;ξ
k : rapporto di smorzamento;ξ
ω
ω
kd=
k1
−
2k : frequenza smorzata per il k-esimo modo.Supponiamo di considerare la FRF sotto forma di inertanza; derivando di conseguenza due volte la
x
(t
)
rispetto al tempo si ottiene:)
sin
cos
(
)
(
2 1 2u
e
t
t
t
x
k kt k kd k kd k n kω
kα
ω
β
ω
ω ξ+
∑
=
− =&&
(4.13) dove:A
B
k k k k k k2
ξ
1
ξ
2(
1
2
ξ
2)
α
=
−
−
−
−
(4.14)B
A
k k k k k k2
ξ
1
ξ
2(
1
2
ξ
2)
β
=
−
−
−
−
(4.15)Facendo la trasformata di Fourier di
x
&&
(t
)
si ottiene:ω
ω
ω
ξ
ω
α
ω
ξ
α
ω
β
ω
ω
2 2 2 1(
)
)
(
kd k k k k k k kd k k n k ki
i
u
H
+
+
+
+
∑
=
= (4.16) ponendo poi:ω
σ
ξ
ξ
ω
λ
k=
k(
−
k+
i
1
−
2k)
=
−
k+
i
k (4.17)ω
σ
ξ
ξ
ω
λ
k=
k(
−
k−
i
1
−
2k)
=
−
k−
i
k (4.18) si ottiene:)
)(
(
)
(
ξ
kω
k+
i
ω
2+
ω
2kd=
i
ω
−
λ
ki
ω
+
λ
k (4.19) da cui:)
)(
(
)
(
2 1λ
λ
ω
α
ω
ξ
α
ω
β
ω
ω
k k k k k k kd k k n k ks
s
i
u
H
−
−
+
+
∑
=
= (4.20) ponendo infine:β
α
ϕ
k=
k+
i
k2
1
(4.21)β
α
ϕ
k=
k−
i
k2
1
(4.22)ϕ
γ
ω
k k k k k ku
G
R
=
2=
(4.23)ϕ
γ
ω
k k k k k ku
G
R
=
2=
(4.24)allora la FRF assume la forma binomia seguente:
λ
ω
λ
ω
ω
k k n k k ki
R
i
R
H
−
+
∑
−
=
=1)
(
(4.25)4.2.3 Decomposizione della matrice di densità spettrale di potenza della risposta
Supponendo che l’ingresso sia costituito dal solo rumore bianco, allora la corrispondente matrice PSD (Power Spectral Density) è una matrice costante:
C
G
xx(
ω
)
=
(4.26)dunque l’equazione (3.10) può essere scritta nella forma:
H s s s s n k n s k k k k yy
i
R
i
R
C
i
R
i
R
G
+
+
−
⋅
⋅
∑ ∑
−
+
−
=
= =ω
λ
ω
λ
ω
λ
ω
λ
ω
1 1)
(
(4.27)da cui si giunge alla relazione:
λ
ω
λ
ω
λ
ω
λ
ω
ω
k k k k k k n k k k yyi
A
i
A
i
B
i
B
G
−
−
+
−
−
+
−
+
∑
−
=
=1)
(
(4.28)dove
A
kè la k-esima matrice dei residui della PSD delle risposte:
∑
−
−
+
−
−
⋅
⋅
=
= n s k s T s s k T s k kR
C
R
R
A
1λ
λ
λ
λ
(4.29)Il contributo dal k-esimo elemento è dato da:
σ
k T k k kR
C
R
A
2
=
(4.30) doveσ
k deriva dalla parte reale diλ
k.Si nota come questo termine diventi dominante in presenza di piccolo smorzamento, infatti in questo caso si ha:
ϕ
ϕ
ϕ
γ
γ
ϕ
T k k k T k k T k k T k k kR
C
R
C
d
A
∝
=
=
(4.31)dove
d
k è uno scalare costante.Ad una data frequenza ω, solo un numero limitato di modi contribuisce significativamente: tipicamente uno o due modi. Indicando questo insieme di modi con
Sub
(
ω
)
, la risposta del sistema può essere scritta nella forma:∑
−
+
−
=
∈ n Sub k k T k k k k T k k k yyd
i
d
i
G
) ()
(
ωω
λ
ϕ
ϕ
λ
ω
ϕ
ϕ
ω
(4.32)Questa è la decomposizione modale della matrice spettrale. L’espressione è simile al risultato che può essere ottenuto direttamente dall’equazione (4.10) sotto l’assunzione di ingresso come rumore bianco, ovvero come matrice diagonale degli ingressi.
4.2.4 Modi accoppiati
L’identificazione dei modi avviene nell’intorno di un picco della funzione
S
(
ω
)
che rappresenta l’andamento del singular value in fuzione della frequenza, quindi la presenza di modi accoppiati è rivelata dalla presenza di più curve dei singular values con ampiezze simili nell’intervallo di frequenze considerato; la presenza di più singular values con ampiezze simili indica cioè che in un certo intervallo di frequenze interagiscono più modi. I modi accoppiati risultano quindi identificati nei picchi del 1°, 2°,…, n° singular values (figura 3.2).
fig. 4.2: Presenza di due modi accoppiati
Questa caratteristica può essere spiegata se si tiene conto del fatto che le curva dei singular values successivi al primo con valori bassi non forniscono informazioni aggiuntive sulle caratteristiche modali del sistema rispetto alla prima curva (la matrice G tende ad essere malcondizionata), mentre valori alti forniscono ulteriori informazioni da prendere in considerazione.
4.2.5 Componenti armoniche
L’analisi è basata sulle differenze di base tra le proprietà stocastiche di una risposta armonica e di una risposta di una struttura. Infatti la funzione di densità di probabilità di una risposta armonica è una distribuzione con due picchi, mentre la funzione di densità di probabilità di una risposta strutturale stocastica è una distribuzione con un solo picco (figure 4.3 e 4.4).
fig. 4.3: Funzione di densità di probabilità di una risposta strutturale
fig. 4.4: Funzione di densità di probabilità di una risposta armonica
La funzione di densità di probabilità per un modo in considerazione costituisce quindi un indicatore naturale per le risposte armoniche o strutturali.
Come ulteriore indicatore di componenti armoniche nel segnale di risposta può essere presa in considerazione la forma del picco che rappresenta il modo da identificare nella curva dei singular values. Infatti essa ha un andamento più regolare per le componenti armoniche che per quelle strutturali per le quali presenta un andamento più frastagliato.
4.3 TECNICA WAVELET ANALYSIS
Recentemente un nuovo metodo efficace è stato introdotto nell’ingegneria e nella ricerca della matematica applicata: l’analisi con le wavelet. Anche in tale analisi le funzioni dei segnali vengono rappresentate con una combinazione lineare di funzioni wavelet oscillanti intorno al valore zero, ma, al contrario dell’analisi di Fourier, le wavelet sono localizzate anche nel tempo.
Questa tecnica consiste nel campionare il segnale attraverso delle funzioni wavelet; queste funzioni vengono fatte passare sopra il segnale come se fossero dei filtri; di questi filtri viene modificato l’intervallo di tempo indagato e viene così registrato un valore di somiglianza tra il contenuto in frequenza del segnale e quello della funzione wavelet.
Questa tecnica è molto efficiente e permette di trattare anche i segnali che hanno delle discontinuità e questa loro capacità è la chiave della loro utilità per risolvere molti problemi di analisi dei segnali come quelli di compressione dei dati e quelli di rimozione dei rumori.
Alcune caratteristiche che rendono così efficaci le analisi con le wavelet sono:
- le wavelet sono localizzate nel tempo e sono un valida analisi e sintesi per una vasta gamma di segnali che hanno caratteristiche variabili nel tempo o che contengono discontinuità o altre caratteristiche non-lisce;
- le wavelet scompongono un segnale nelle sue componenti di multiresolution: le componenti più fini e quelle più grossolane rappresentano, rispettivamente, le caratteristiche più fini e quelle più grossolane della scala del segnale;
- l’approssimazione con le wavelet può comprimere l’energia di un segnale in un numero relativamente piccolo di funzioni wavelet.
Molti esperti dell’elaborazione dei segnali puntano sull’analisi con le wavelet come al futuro per la compressione e trattazione dei dati sia su internet che per le schede ad alta definizione delle televisioni.
La ricerca delle wavelet è in continua crescita e nuovi significativi sviluppi vengono apportati ogni anno.
Riferimenti Bibliografici
[1] J. S. Bendat, A. G. Piersol, Engineering applications of correlation and spectral
analysis, John Wiley & Sons, 1980.
[2] R. Brincker, L. Zhang, P. Andersen, Damping Estimation by frequency domain
decomposition.
[3] R. Brincker, L. Zhang, P. Andersen, Output-only modal analysis by frequency
domain decomposition, Proceedings of ISMA25, Volume 2, 2000.
[4] M. L. Beconcini, Elementi di dinamica delle strutture, Pisa, 2000.
