CAPITOLO 3

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CAPITOLO 3

Studio dell’impedenza di una linea a

microstriscia accoppiata

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In questo capitolo sara’ affrontato il problema relativo al tipo di alimentazione del dipolo. In particolare, viene considerata un’ alimentazione di tipo microstriscia accoppiata come mostrato in Figura 3.1.

linea di alimentazione

a rm a tu re d el d ip olo

Figura 3.1

Come e’ stato gia’ accennato nel capitolo 1, e’ stato necessario far si che l’impedenza della linea di alimentazione fosse pari a quella d’ingresso del dipolo al fine di garantire un buon adattamento all’interfaccia dipolo-linea. Si e’ assunto come valore di riferimento un ROS (Rapporto d’Onda Stazionaria) minore di 1.5 nella banda di interesse.

Nella prima parte del capitolo sara’ quindi trattato il calcolo dell’impedenza di una linea di trasmissione a microstriscia accoppiata e successivamente saranno dimensionate quelle che alimenteranno il dipolo nelle due strutture in esame in questa tesi.

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3.1 - Caratterizzazione di una linea di

trasmissione a microstriscia accoppiata

In Figura 3.2 è rappresentata una microstriscia accoppiata.

d

w s w

Figura 3.2

Essa è caratterizzata da due conduttori stampati su un substrato dielettrico, di uguale larghezza w, spessore circa nullo, materiale perfettamente conduttore e separati da una distanza s. Il substrato è caratterizzato da costante dielettrica εr e spessore d e si appoggia su

un piano di massa perfettamente conduttore.

La presenza del dielettrico, e in particolar modo per il fatto che esso non possa riempire la regione sopra la microstriscia accoppiata, fa si che la linea non possa supportare un modo TEM puro: infatti, a differenza delle stripline, le microstriscie hanno la maggior parte delle linee di campo nella regione del dielettrico concentrata tra il conduttore e il piano di massa e qualche frazione nella regione d’aria sopra il substrato. Per questo motivo la velocità di fase nel dielettrico

r p

C v

ε

= è diversa da quella in aria v_pa = ; all’interfaccia aria-C

dielettrico si avrà, quindi, una configurazione ibrida tra il TE e il TM che per essere studiato richiede analisi con tecniche avanzate. Nelle

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di lavorare con un modo quasi-TEM caratterizzato da velocità di fase: e pe C v ε

= e costante di propagazione: β =κ ε_e dove εe è la costante

dielettrica equivalente compresa tra: 1〈ε_e〈ε_r, dipendente da d e w; questa può considerarsi come la costante dielettrica di un mezzo omogeneo che rimpiazza le regioni d’aria e dielettrico in cui e’ immersa la linea conduttrice.

3.1.1 – Impedenze di modo pari e di modo dispari

Per una microstriscia accoppiata si possono definire due diversi modi di propagazione: il modo pari, dove le correnti nei due conduttori scorrono con uguale ampiezza e nella stessa direzione, e il modo

dispari, dove le correnti nei due conduttori scorrono con uguale

ampiezza e in direzioni opposte.

Le proprietà dei due modi possono essere espresse attraverso i parametri caratteristici dei due conduttori: considerando questi privi di perdite, ogni conduttore è contraddistinto da una induttanza, che tiene conto degli effetti dei flussi magnetici creati dalle correnti di linea, e da una capacità, dovuta alle correnti di spostamento nel mezzo. A questi si aggiungono le capacità e le induttanze mutue dovute all’accoppiamento tra i campi, tipicamente presenti quando si hanno configurazioni che prevedono tre o più conduttori.

Assumendo una propagazione di tipo quasi-TEM, le induttanze possono essere espresse, attraverso semplici relazioni, in funzione delle capacità.

In Figura 3.3 è mostrato il circuito equivalente in termini di capacità e induttanze di una microstriscia accoppiata in assenza di perdite.

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Figura 3.3

V1 e I1 identificano rispettivamente la tensione tra un conduttore e il

conduttore di massa e la corrente che in esso vi scorre mentre V2 e I2

la tensione tra l’altro conduttore e il conduttore di massa e la corrente che in esso vi scorre.

Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni alla maglia esterne e quella per le correnti al nodo N e sviluppando i calcoli, per brevità qui non riportati [Rif.3], si ottengono le Equazioni dei Telegrafisti in funzione del tempo e della direzione lungo cui è posta la microstriscia accoppiata. (1a) (1b) (1c)         − + = − + = − + = − dt dV C dt dV C dt dV C dx dI dt dI L dt dI L dx dV dt dI L dt dI L dx dV m m S S m m S 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1

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Dove LS rappresenta il valore di L1 e L2 e Csrappresenta il valore di

C1 e C2 nel caso in cui, come questo, i due conduttori abbiano uguali

dimensioni e stessa posizione relativa rispetto al conduttore di massa.

Combinando opportunamente le equazioni del sistema scritto sopra [Rif.4], si possono definire i due modi di propagazione: sommando la (1a) con la (1b) e la (1c) con la (1d) si ottiene

, (2)

dove

, (3)

.

Il sistema di equazioni differenziali (2) identifica un modo pari di propagazione; Ve e Ie sono definite rispettivamente tensione e corrente

di modo pari.











=

−

+

=

−

dt

dV

C

dx

dI

dt

dI

L

dx

dV

e S e e m S e

₍

₎

2 2 2 1 2 1 I I I V V V e e + = + =

(7)

L’ impedenza caratteristica di modo pari Zoe e la velocità di

propagazione ve lungo la linea sono definite dalle relazioni

, (5a)

(5b) .

Come si può notare, sia l’impedenza caratteristica che la velocità di propagazione non dipendono dall’effetto della capacità mutue ma solo dalla mutua induttanza.

In Figura 3.4 sono mostrate le linee di forza del campo elettrico per il modo pari. S m S e C L L v ) ( 1 + = S e S m s oe C v C L L 1 = + = Ζ

(8)

Le linee di forza del campo elettrico sono simmetriche rispetto al piano di simmetria, in rosso in Figura 3.4 tra i due conduttori.

Con lo stesso criterio usato per definire il modo pari di propagazione è possibile definire il modo dispari: sottraendo le equazioni (1a) con la (1b) e la (1c) con la (1d) si ottiene , (6) dove , (7) .

Il sistema di equazioni differenziali (6) identifica un modo dispari di

propagazione e Vd e Id sono definite rispettivamente tensione e

corrente di modo dispari.

L’impedenza caratteristica di modo dispari Zoo e la velocità di

propagazione vo lungo la linea sono definite dalle relazioni

(8a)











+

=

−

=

−

dt

dV

C

dx

dI

dt

dI

L

dx

dV

e m S d d m S d

)

2 (

)

(

2 2 2 1 2 1 I I I V V V d d − = − = S m oo S m L L C C − Ζ = +

(9)

. (8b)

Sia l’impedenza caratteristica che la velocità di propagazione, in questo caso, dipendono dall’effetto della capacità mutua oltre che da quello della mutua induttanza.

Si può notare che le impedenze di modo pari e di modo dispari differiscono solo a causa dell’effetto della capacità mutua tra i due conduttori. In particolare l’ unica a risentire dell’effetto della capacita’ mutua e’ l’impedenza di modo dispari. Se i conduttori della microstriscia accoppiata sono vicini l’effetto della capacita’ mutua non e’ trascurabile di l’impedenza di modo pari risulta maggiore dell’impedenza di modo dispari. Viceversa, quando i conduttori sono

abbastanza distanziati, ovvero vale la condizione s w〉〉 , gli

accoppiamenti mutui sia induttivi che capacitivi si possono trascurare. In questo caso l’impedenza di modo pari e di modo dispari si uguagliano e tendono a assumere il valore dell’impedenza della singola microstriscia.

In particolare la capacità mutua è data dal parallelo di due capacità tra i conduttori: una di queste si trova in aria mentre l’altra nel dielettrico. Esse dipendono, in modo diverso e con espressioni complicate, dalle costanti dielettriche del mezzo in cui si trovano e dai rapporti S/d e w/d. Come si vedrà in seguito, il loro effetto si può considerare non determinante per il calcolo dell’impedenza della microstriscia accoppiata. m S m S o _L _L _C _C v 2 ) ( 1 + − =

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In Figura 3.5 sono mostrate le linee di forza del campo elettrico per il modo dispari.

Figura 3.5

Le linee di forza del campo elettrico hanno simmetria opposta rispetto al piano di simmetria in rosso in Figura 3.5 tra i due conduttori. Si può notare come il campo prodotto dal primo conduttore si concateni con quello del secondo sia in aria che nel dielettrico: ciò rispecchia la considerazione fatta sopra circa la dipendenza dell’impedenza di modo dispari dalla capacità mutua.

3.1.2 – Calcolo dell’impedenza di una microstriscia

accoppiata

Dovendo alimentare un dipolo che richiede in punti simmetrici delle sue armature una corrente uguale in ampiezza e verso, ci si soffermerà sul calcolo dell’impedenza di una microstriscia accoppiata eccitata nel modo dispari: partendo da considerazioni teoriche sul circuito equivalente di Figura 3.3, si può dedurre che tale impedenza

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abbastanza distanziati; in caso contrario questa sarà ridotta di una quantità legata agli effetti delle capacità mutue tra i due conduttori. Ricaviamo nel seguito un’espressione analitica dell’impedenza di una microstriscia accoppiata: facendo riferimento alla Figura 3.3, consideriamo le prime due equazioni del sistema 1 e leghiamo e le tensioni alle correnti attraverso la matrice delle impedenze, il tutto nel dominio della frequenza. In forma matriciale possiamo scrivere

            =       2 1 22 12 21 11 2 1 I I Z Z Z Z V V . (9)

Sviluppando il sistema si arriva alle seguenti equazioni: (10) , dove , , 11

Z e Z₂₂ sono le impedenze dei due condutori rispetto al piano di massa valutate in assenza di eccitazione nell’altro conduttore; Z12 e

0 2 1 1 11 = _I ₌ I V Z 0 1 2 1 12 = _I ₌ I V Z 0 1 2 2 22 = _I ₌ I V Z 0 2 1 2 21 = _I ₌ I V Z 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 V Z I Z I V Z I Z I = + = +

(12)

21

Z sono le impedenze mutue tra un conduttore e il piano di massa

che dipendono dalla presenza dell’altro conduttore eccitato.

Lavorando nel modo dispari, con i due conduttori di uguale larghezza, uguale materiale e con la stessa posizione relativa rispetto al conduttore di massa, valgono le seguenti relazioni.

(11)

Sottraendo le equazioni (10) , con le opportune sostituzioni date dalle relazioni (11), si arriva a una espressione per la tensione tra i due conduttori.

V₁₂ =V₁ −V₂ =2

(

Z₀₀ −Z_m

)

I (12) Da questa risulta evidente la considerazione fatta all’inizio del paragrafo che è stata ritrovata effettuando alcune simulazioni con il software CFDTD ver 1.1.

3.1.3 - Risultati delle simulazioni

Per confermare le considerazioni precedenti, e’ stata simulata una linea di trasmissione a microstriscia accoppiata caratterizzata da: -piano di massa perfettamente conduttore.

-substrato dielettrico di costante εr= 12.9 e spessore d=0.05 mm. 1 2 1 2 11 22 00 12 21 m V V V I I I Z Z Z Z Z Z = − = = − = = = = =

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-2 linee stampate perfettamente conduttrici di larghezza w= 0.1 mm e distanza s=0.1 mm.

In Figura 3.6 è riportato il disegno della struttura realizzato all’interno del software CFDTD.

Figura 3.6

In Figura 3.6 possiamo distinguere: - in nero lo strato dielettrico.

- in rosso la microstriscia accoppiata caratterizzata dalle due linee conduttrici.

- in verde il punto dove viene imposta l’eccitazione. Si tratta di un campo elettrico, ovvero una tensione, tra le due linee conduttrici con un impulso della durata nell’ordine del picosecondo.

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due: una verso massa e l’altra tra le due linee conduttrici in modo tale da valutare sia l’impedenza di modo dispari sia quella tra le due linee.

Sara’ importante che i punti in cui si impone l’ eccitazione e i punti in cui si prelevano le correnti e le tensioni siano a una distanza tale da lavorare in condizione di regime.

Il dominio computazionale viene suddiviso con una mesh non-uniforme di 119×115×40 elementi lungo le direzioni x, y, z. Su tutte le pareti del dominio si e’ imposto il PML come condizione assorbente tranne che su quella inferiore dove e’ stato imposto un piano di massa di tipo conduttore elettrico perfetto.

In Figura 3.7 a), b) sono riportati gli andamenti della corrente nelle due linee conduttrici

(15)

Figura 3.7 b)

Come si può notare esse sono uguali in ampiezza ma hanno segno opposto. Nel grafico si puo’ altresì notare l’ assenza di impulsi di ritorno: cio’ vuol dire che le linee conduttrici sono perfettamente adattate.

In Figura 3.8 e 3.9 sono riportati gli andamenti, rispettivamente, delle impedenza tra le due linee conduttrici e dell’impedenza di modo dispari.

(16)

Figura 3.9

In tali grafici ritroviamo le considerazioni fatte nei paragrafi precedenti; ci saremmo aspettati dei grafici costanti al variare della frequenza: si lavora infatti con materiali privi di perdite. Tuttavia il fatto che essi varino di qualche ohm su una banda di 4Ghz rende i risultati ottenuti validi. La variazione riscontrata si lega all’accuratezza delle approssimazioni introdotte dal software nel considerare una distribuzione di campo di tipo TEM e non quasi-TEM.

In questo esempio l’effetto delle capacità mutue tra le linee conduttrici è basso: ciò si può notare sia dal fatto che l’impedenza della microstriscia accoppiata è poco meno del doppio dell’impedenza di modo dispari sia anche svolgendo il calcolo analitico dell’impedenza di un conduttore verso massa considerando assente l’altro ( valore, come già detto, a cui tende l’impedenza di odd mode quando s〉〉 ). w

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Il calcolo è stato fatto usando le seguenti formule: w d r r e 12 1 1 2 1 2 1 + − + + =ε ε ε             + + + = Ζ 444 . 1 ln 667 . 0 393 . 1 120 d w d w e ε π

I risultati ottenuti con i dati dell’esempio 2 . 9 = e ε Ω = Ζ 29.43 .

Da questo esempio possiamo trarre la conclusione che l’impedenza di una linea di trasmissione a microstriscia accoppiata dipende, una volta fissati i parametri del substrato, dal dimensionamento delle linee conduttrici dalla loro distanza.

Sono state fatte altre simulazioni al variare delle dimensioni delle linee conduttrici e della distanza tra loro e al variare dello spessore e della costante dielettrica del substrato. I risultati trovati hanno confermato le conclusioni tratte dall’analisi dell’esempio studiato. In particolare e’ stato messo in evidenza che già per bassi valori della distanza s tra le due linee conduttrici l’effetto della capacità mutua si possa ritenere trascurabile.

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3.2 – Dimensionamento delle microstrisce

accoppiate

Fin qui si sono analizzate linee di trasmissione a microstriscia accoppiata stampate su un generico substrato, ora saranno dimensionate quelle relative alle due strutture prese in esame in questa tesi.

Per entrambe le strutture i parametri che caratterizzano il substrato sono già fissati, quindi il dimensionamento sarà eseguito variando la larghezza tra le linee conduttrici e la loro distanza al fine di ottenere un valore di impedenza pari a quella d’ingresso del dipolo.

I risultati riportati per la prima struttura e per la seconda sono stati ottenuti dopo aver fatto varie simulazioni al variare dei due parametri liberi fino ad ottenere il risultato voluto.

3.2.1 – Dimensionamento per la superficie ad alta

impedenza con dielettrici multistrato

In Figura 3.10 e’ rappresentato il disegno della struttura con cui si è creato il file di progetto da simulare.

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Figura 3.10

In Figura 3.10 si evidenzia:

- in nero la successione di strati dielettrici.

- in rosso le linee conduttrici che formano la microstriscia accoppiata. - in verde l’eccitazione fornita sotto forma di campo elettrico, ovvero

di tensione, tra le due linee conduttrici con un impulso centrato su 3 GHz, banda a -3 dB di 20 GHz e della durata di 50 picosecondi. - in blu i punti dove vengono prelevate la corrente e le tensioni usate

per il calcolo dell’impedenza. Le tensioni prelevate sono due per poter valutare sia l’impedenza di modo dispari sia quella tra le linee. Sara’ importante che i punti in cui si impone l’ eccitazione e i punti in cui si prelevano le correnti e le tensioni siano a una distanza tale da

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Il dominio computazionale viene suddiviso con una mesh non-uniforme di 119×115×40 elementi lungo le direzioni x, y, z. Su tutte le pareti del dominio si e’ imposto il PML come condizione assorbente tranne che su quella inferiore dove e’ stato imposto un piano di massa di tipo conduttore elettrico perfetto.

In Figura 3.11 e 3.12 sono riportati, rispettivamente, gli andamenti dell’ impedenza tra le linee conduttrici e dell’impedenza di modo dispari.

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Figura 3.12

Anche in questo caso si riscontra un andamento non perfettamente costante al variare della frequenza a causa dell’ accuratezza delle approssimazioni introdotte dal software. La larghezza delle linee e la loro distanza, per poter ottenere tali grafici, sono rispettivamente 5 mm e 0.9 mm.

3.2.2 – Dimensionamento per la superficie ad alta

impedenza realizzata mediante FSS

Come gia’ scritto alla fine del primo capitolo, questa struttura simula un piano di massa di tipo conduttore magnetico perfetto attorno a due frequenze diverse. Cio’ implica che, decidendo di lavorare a parita’ d’impedenza d’ingresso del dipolo, lo spessore dello strato d’aria tra il dipolo e il substrato e’ diverso per le due frequenze. Cio’ si riflettera’ sul dimensionamento diverso delle microstrisce accoppiate.

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3.2.2.1 – Dimensionamento a f1 =1.575 GHz

Figura 3.13

- in nero il substrato dielettrico e lo strato d’aria. - in celeste lo schermo FSS.

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- in verde l’eccitazione fornita sotto forma di campo elettrico, ovvero di tensione tra le due linee conduttrici con un impulso centrato su 3 GHz, banda a -3 dB di 15 GHz e della durata di 66 picosecondi. - in blu i punti dove vengono prelevate la corrente e le tensioni usate

per il calcolo dell’impedenza. Le tensioni prelevate sono due per poter valutare sia l’impedenza di modo dispari sia quella tra le linee.

Il dominio computazionale viene suddiviso con una mesh non-uniforme di 65 55 15× × elementi lungo le direzioni x, y, z. Su tutte le pareti del dominio si e’ imposto il PML come condizione assorbente tranne che su quella inferiore dove e’ stato imposto un piano di massa di tipo conduttore elettrico perfetto.

In Figura 3.14 e 3.15 sono riportati, rispettivamente, gli andamenti dell’ impedenza tra le linee conduttrici e dell’impedenza di modo dispari.

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Figura 3.14

Figura 3.15

Nei due grafici si riscontra un andamento dell’ impedenza non costante al variare della frequenza: ci aspettavamo infatti un risultato di 170 Ω costante al variare della frequenza come grafico

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dell’ impedenza della microstriscia accoppiata ed un valore di 80 Ω costante al variare della frequenza come grafico dell’ impedenza di modo dispari. Anche in questo caso le motivazioni sono da ricercare nelle approssimazioni del software poiche’ siamo in presenza di materiali privi di perdite.

Molto probabilmente, l’accuratezza viene ridotta dalla presenza dello schermo FSS che complica la struttura rispetto a quella vista nel paragrafo precedente.

La larghezza delle linee e la loro distanza sono rispettivamente 0.8 cm e 0.65 cm.

3.2.2.2 – Dimensionamento a f2 =1.96 GHz

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- in nero il substrato dielettrico e lo strato d’aria. - in celeste lo schermo FSS.

di tensione tra le due linee conduttrici con un impulso centrato su 3 GHz, banda a 3 dB di 15 GHz e della durata di 66 picosecondi.

- in blu i punti dove vengono prelevate la corrente e le tensioni usate per il calcolo dell’impedenza. Le tensioni prelevate sono due per poter valutare sia l’impedenza di modo dispari sia quella tra le linee.

In Figura 3.17 e 3.18 sono riportati, rispettivamente gli andamenti dell’ impedenza tra le linee conduttrici e dell’impedenza di modo dispari:

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Figura 3.17

Figura 3.18

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precedente. La larghezza delle linee e la loro distanza sono rispettivamente 0.8 cm e 0.55 cm.

3.3 – Caratterizzazione complessiva della

struttura da simulare

Una volta noto il dimensionamento delle linee di alimentazione, queste possono essere usate per alimentare il dipolo in condizione di adattamento. Nei successivi paragrafi, quindi, si presenteranno i disegni di tutte le strutture che sono state simulate.

3.3.1 – Caratterizzazione della superficie ad alta

impedenza con dielettrici multistrato

In figura 3.19 si riporta il disegno complessivo della struttura.

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- in nero la successione di substrati dielettrici.

di tensione tra le due linee conduttrici con un impulso centrato su 3 GHz, banda a 3 dB di 20 GHz e della durata di 50 picosecondi. - in blu i punti dove vengono prelevate la corrente e le tensioni usate

per il calcolo dell’impedenza.

- in giallo la Huygens-box su cui si valutano le correnti equivalenti per il calcolo dei campi lontani.

Le armature del dipolo sono larghe 3.3 mm e la loro lunghezza e’ pari a un quarto della lunghezza d’onda, ossia 42 mm.

(30)

3.3.2 – Caratterizzazione nel caso di superficie ad alta

impedenza realizzata mediante FSS

Per questa struttura si presentano due progetti a seconda della frequenza di lavoro.

3.3.2.1 – Caratterizzazione alla frequenza f1 =1.575 GHz

Figura 3.20

- in nero lo strato dielettrico e lo strato d’aria. - in celeste lo schermo FSS.

(31)

- in verde l’eccitazione fornita sotto forma di campo elettrico, ovvero di tensione tra le due linee conduttrici con un impulso centrato su 3 GHz, banda a 3 dB di 15 GHz e della durata di 66 picosecondi. - in blu i punti dove vengono prelevate la corrente e le tensioni usate

Anche in questo caso risulta importante che i punti in cui si impone l’ eccitazione e i punti in cui si prelevano le correnti e le tensioni siano a una distanza tale da lavorare in condizione di regime.

Le armature del dipolo sono larghe 0.3 cm e la loro lunghezza e’ pari a un quarto della lunghezza d’onda, ossia 4.75 cm.

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3.3.2.2 – Caratterizzazione alla frequenza f2 =1.96 GHz

Figura 3.21

- in nero lo strato dielettrico e lo strato d’aria. - in celeste lo schermo FSS.

di tensione tra le due linee conduttrici con un impulso centrato su 3 GHz, banda a 3 dB di 15 GHz e della durata di 66 picosecondi. - in blu i punti dove vengono prelevate la corrente e le tensioni usate

(33)

Il dominio computazionale viene diviso da una mesh non-uniforme di 148 97 14× × elementi lungo le direzioni x, y, z. Su tutte le pareti del dominio si e’ imposto il PML come condizione assorbente tranne che su quella inferiore dove e’ stato imposto un piano di massa di tipo conduttore elettrico perfetto.

Le armature del dipolo sono larghe 0.3 cm e la loro lunghezza e’ pari a un quarto della lunghezza d’onda, ossia 4.75 cm.