risolvere, a scelta, almeno due tra i seguenti esercizi Esercizio A1

21 Novembre 2007

PROVA SCRITTA DEL CORSO DI MATEMATICA I, 12 CFU Corso di Laurea in Ingegneria Informatica. Sede: Agrigento

AA. 2006-07. Docente: Dott. Di Bartolo, Dott. F. Tschinke

Cognome e Nome . . . N. matricola . . . . PARTE A

risolvere, a scelta, almeno due tra i seguenti esercizi Esercizio A1

Determinare le soluzioni dell’equazione in C:

(− √

3 + i) ³ z ³ = 1 i Esercizio A2

Sia {a _n } una successione illimitata tale che a _n 6= 0 e {b _n } una successione definita da b _n := arctan(ln |a _n |). Dire, motivando la risposta, quale delle seguenti affermazioni ` e vera:

1) {b n } ammette una sottosuccessione divergente;

2) {b _n } converge a + ^π ₂ ;

3) {b _n } ammette una sottosuccessione convergente in [− ^π ₂ , + ^π ₂ ];

4) {b n } ammette una sottosuccessione convergente in (− ^π ₂ , + ^π ₂ );

5) {b _n } ammette una sottosuccessione convergente nell’intervallo [−1, +1].

Esercizio A3

Studiare al variare di α ∈ R ⁺ il limite:

lim

x→0

x( √

1 − x sin x) − x ² sin(x ^α )( √

1 − x − 1) Esercizio A4

Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione f (x) =







tan x

x se x 6= 0, 0 se x = 0 nell’intervallo [− ¹ ₂ , ¹ ₂ ].

PARTE B

risolvere, a scelta, almeno uno tra i seguenti esercizi Esercizio 1B

Stabilire il carattere della seguente serie numerica

∞

X

n=1

n ² (cos (nπ) + sen ( ^π ₂ + nπ)) e ⁿ − ln n

Esercizio 2B

Calcolare il seguente integrale

Z 1 0

cos x + sen (2x)

1 + sen ² x dx