- 60 -
3 Il modello a telaio equivalente,
il codice di calcolo Andilwall.
3.1 - PremessaLa Sezione Murature dell’ANDIL Assolaterizi, con il coordinamento dell’Ing. G. Di Cesare, in collaborazione con la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Pavia, con EUCentre (Centro Studi fondato dal Dipartimento della Protezione Civile in collaborazione con l’Istituto Nazionale di Geofisica & Vulcanologia, con l’Università di Pavia, con l’Istituto Universitario di Studi Superiori di Pavia e con la CR Soft di Verona, ha prodotto il programma di calcolo e verifica strutturale di edifici a muratura portante ordinaria ed armata denominato ANDILWall.
ANDILWall è un software di analisi strutturale che utilizza il motore di calcolo SAM II,
sviluppato presso l’Università degli Studi di Pavia ed EUCENTRE – Fondazione Centro Europeo di Formazione e Ricerca in Ingegneria Sismica di Pavia. SAM II è un codice di calcolo per l’analisi statica non lineare a macroelementi di edifici in muratura soggetti ad azione sismica, e si basa su ipotesi formulate in un metodo proposto da G. Magenes e G.M. Calvi nel 1996, di cui si è mantenuto l’acronimo SAM (Seismic Analysis of Masonry walls).
Tale metodo, pensato originariamente per l’analisi di pareti piane, è stato successivamente riformulato ed implementato in un programma di calcolo strutturale non lineare (Magenes e Della Fontana, 1998), per estenderne l’applicazione all’analisi di strutture tridimensionali di una certa dimensione e complessità.
La valutazione della sicurezza viene eseguita dal software con riferimento al comportamento sismico globale degli edifici.
- 61 - 3.2 - Normativa di riferimento
Il codice di calcolo ANDILWall consente di eseguire la verifica sismica mediante il metodo dell’analisi statica non lineare, nel rispetto delle seguente normativa tecnica nazionale italiana:
- Allegato 2: “Edifici” all’O.P.C.M. n. 3274 del 20/03/2003: “Norme tecniche
per il progetto, la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici”, come modificato dall’O.P.C.M. n. 3431 del 03/05/2005;
Ulteriori documenti normativi di riferimento sono costituiti da:
- D.M. 20/11/1987: “Norme tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo
degli edifici in muratura e per il loro consolidamento” ed eventuali successive
modifiche ed integrazioni;
- D.M. 09/01/1996: “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo
delle strutture in c.a., normale e precompresso, e per le strutture metalliche”.
In particolare, nell’Allegato 2 all’O.P.C.M. si rimanda in alcuni punti ai suddetti decreti.
3.3 - Il metodo SAM: criteri generali di modellazione strutturale a telaio equivalente di edifici in muratura.
3.3.1 - Considerazioni generali
Il metodo SAM prevede una modellazione tridimensionale a macroelementi degli edifici in muratura, nella quale la struttura, costituita da elementi verticali (pannelli in muratura ordinaria e/o armata, pilastri e/o pareti in c.a.) ed elementi orizzontali (travi di accoppiamento in muratura non armata e cordoli in c.a.), viene schematizzata come un telaio equivalente costituito da:
- elementi ad asse verticale (maschio murario non armato, maschio murario armato, parete in c.a., pilastro in c.a.);
- 62 - Tale schematizzazione risulta accettabile nel caso in cui la geometria delle pareti e la distribuzione delle aperture in esse presenti siano caratterizzate da una certa regolarità, in particolare per quel che riguarda l’allineamento delle aperture.
Si assume che gli elementi del modello a telaio equivalente siano caratterizzati da un comportamento anelastico di tipo elasto–plastico–fragile, con resistenza equivalente definita in funzione della risposta flessionale ed a taglio.
Ciascun elemento di telaio, a sviluppo verticale od orizzontale, è rappresentabile come un elemento “monodimensionale” mediante il suo asse baricentrico principale ed è delimitato da nodi solitamente posizionati alle intersezioni di questo con gli assi baricentrici degli elementi cui quell’elemento è collegato.
Come illustrato in Figura 3.1.b) i pannelli murari sono rappresentati con un elemento di telaio in cui il nodo inferiore è posizionato alla quota dello spiccato delle fondazioni, il nodo superiore è posizionato alla quota dell’asse baricentrico del cordolo;
a) b)
c) d)
Fig. 3.1 - Identificazione degli elementi strutturali di una parete in muratura con cordolo in c.a..
- 63 - gli elementi orizzontali, come l’architrave in muratura ed il cordolo in c.a., sono rappresentati con elementi di telaio ad asse orizzontale, in cui si ipotizza che la parte deformabile corrisponda approssimativamente alla luce libera dell’apertura, delimitata dal filo degli elementi verticali.
In Figura 3.1.c) i quattro elementi strutturali sono rappresentati separatamente, in modo da visualizzarne la porzione deformabile e le porzioni rigide; in Figura 3.1.d), infine, è rappresentato il modello a telaio equivalente a quattro nodi con i quattro elementi assemblati.
L’introduzione di bracci infinitamente rigidi (rigid offsets) di opportune dimensioni alle estremità degli elementi maschio, cordolo e/o fascia, come rappresentato nella seguente Figura 3.2, consente di modellare la ridotta deformabilità dei campi di muratura delimitati dalle aperture nella parete (zone di “nodo” o nodi strutturali).
Fig.3.2 - Schematizzazione di nodo strutturale.
Nella modellazione a telaio equivalente di un edificio viene considerata la parte di struttura (elementi ad asse verticale, elementi ad asse orizzontale e solai) compresa fra lo spiccato del piano di fondazione e l’estradosso del solaio di copertura o di sottotetto. Nel caso rappresentato in Figura 3.3, in cui il solaio di sottotetto e le falde di copertura costituiscono un sistema scatolare rigido, la parte al di sopra dell’estradosso del solaio di sottotetto può essere considerata unicamente al fine della definizione dei carichi gravitazionali e delle masse strutturali, mentre la parte di struttura al di sotto dello spiccato del piano di fondazione, di fatto, viene modellata come vincolo a terra.
- 64 -
a)
b) c)
Fig.3.3 - Possibile modellazione strutturale a telaio equivalente di un edificio in muratura con solaio di sottotetto:a) pianta del piano tipo;
b) sezione trasversale; c) parte di struttura oggetto di modellazione.
3.3.2 - Schema resistente
A partire dalla pianta di ciascun piano dell’edifico (si consideri, ad esempio, la precedente Figura 3.3.a)), è necessario, in primo luogo, definire il corrispondente schema resistente equivalente verticale, individuando ogni singolo pannello in muratura (ed, eventualmente, ogni pilastro ed ogni parete in c.a.) come un elemento strutturale ad asse verticale distinto.
A tal fine, nella modellazione a telaio equivalente è ammissibile scomporre le sezioni di muri che si intersecano ad L o a T in sezioni rettangolari semplici, ciascuna caratterizzata da una opportuna lunghezza in pianta ed associata ad un singolo pannello semplice a sviluppo verticale.
- 65 - Il criterio adottato da ANDILWall prevede di modellare l’intersezione fra le pareti mediante due distinti pannelli murari (si faccia riferimento alla Figura 3.4) nel seguente modo:
- in corrispondenza delle intersezione ad L, ciascuno dei pannelli semplici viene considerato esteso, nella direzione di massimo sviluppo in pianta, fino all’intersezione degli assi baricentrici delle pareti;
- in corrispondenza delle intersezioni a T, il pannello incidente viene considerato esteso fino all’asse baricentrico del pannello su cui esso incide.
Fig. 3.4 - Criterio di modellazione della intersezione fra pareti.
Sulla base di questo criterio è possibile identificare in pianta ogni singolo pannello (in termini di dimensioni in pianta e posizione del baricentro della sezione); come esempio, si consideri in Figura 3.5 lo schema resistente equivalente alla configurazione muraria rappresentata nella precedente Figura 3.3.a).
- 66 - 3.3.3 - Modello strutturale a telaio equivalente: configurazione geometrica 3.3.3.1 - Elementi ad asse verticale - Elemento maschio murario non armato Ciascun elemento di telaio ad asse verticale si suppone posizionato in corrispondenza dell’asse baricentrico verticale del corrispondente elemento: i nodi di estremità sono disposti lungo l’asse baricentrico verticale e l’elemento risulta caratterizzato da una altezza totale (distanza tra i due nodi di estremità) pari alla differenza fra le quote dei piani baricentrici dei solai fra i quali il corrispondente elemento strutturale è compreso. Si assume che gli elementi ad asse verticale del piano più basso siano vincolati a terra mediante condizioni di incastro perfetto.
Definita l’altezza totale di un generico elemento maschio murario, si suppone che esso sia costituito da una parte centrale deformabile, caratterizzata da resistenza finita, e da due parti infinitamente rigide e resistenti, in corrispondenza delle estremità, secondo lo schema riportato in Figura 3.6.
Fig. 3.6 - L’elemento maschio murario.
L’altezza della parte deformabile, o altezza efficace, Heff del maschio deve essere
definita in modo tale da tenere conto in modo approssimato della deformabilità della muratura nelle zone di nodo; essa può essere valutata in base alla relazione seguente, proposta da Dolce (1989), in funzione delle dimensioni geometriche del pannello e delle aperture:
· 3 · essendo:
l lunghezza del pannello;
- 67 - h’ parametro convenzionale di altezza definito in base alla casistica riportata
nella seguente Figura 3.7.a), in cui è rappresentata una generica parete di piano in muratura, con aperture variamente disposte.
Nel caso più generale, h’ può essere definito dalla seguente relazione:
, ; , , ; ,
1 2
· , , ; · tan 30° , , ; · 30° nelle quali compaiono i seguenti parametri, illustrati in Figura 3.7.b):
hs,inf altezza del solaio inferiore;
hs,sup altezza del solaio superiore;
, altezza della trave muraria inferiore destra;
, altezza della trave muraria inferiore sinistra;
, altezza della trave muraria superiore destra;
, altezza della trave muraria superiore sinistra; l lunghezza della parete.
a) b) Fig. 3.7 - Definizione dell’altezza efficace dei maschi murari.
Le altezze Hi ed Hj dei due estremi rigidi del pannello possono essere determinate come
quote parti della differenza fra l’altezza netta interpiano e l’altezza efficace Heff;
ipotizzando che la deformabilità della muratura nelle zone di nodo sia inversamente proporzionale all’altezza delle travi di collegamento, si possono dunque scrivere le seguenti relazioni: , 2 · , 2 , 2 · , 2
- 68 - in cui compaiono i parametri geometrici αi ed αj, definiti in funzione della altezza delle
travi murarie: , ; , 1 2· , , ; · tan 30° , ; , 1 2· , , ; · 30°
3.3.3.2 - Elementi ad asse orizzontale 3.3.3.2.1 - Elemento cordolo in c.a.
In corrispondenza di ciascuna apertura nelle pareti in muratura, si inserisce nel modello a telaio equivalente, a livello del piano baricentrico del solaio, un elemento ad asse orizzontale di tipo cordolo.
Tale elemento si suppone delimitato da nodi di estremità, individuati dalle intersezioni del suo asse baricentrico con gli assi baricentrici principali delle sezioni trasversali dei pannelli murari che delimitano, da ciascun lato, l’apertura (tale intersezione degenera banalmente nel baricentro del pannello murario, nel caso in cui il cordolo sia allineato al pannello stesso).
Si assume, inoltre, che l’elemento sia costituito da una parte centrale deformabile, caratterizzata da resistenza finita, e da due parti infinitamente rigide e resistenti, alle estremità, di lunghezza pari a metà della dimensione, nella direzione del cordolo, del pannello murario corrispondente: si considera dunque una lunghezza efficace, per gli elementi cordolo, pari alla luce netta delle aperture.
a) b)
- 69 - 3.3.3.2.2 - Elemento fascia muraria
In corrispondenza di ciascuna apertura, nel caso in cui i pannelli murari ad asse orizzontale possano essere considerati come travi di collegamento in muratura incluse nello schema resistente della struttura di interesse, si inseriscono nel modello a telaio equivalente elementi ad asse orizzontale di tipo fascia muraria.
Ciascun elemento fascia inserito nel modello ha una lunghezza totale pari alla distanza fra le intersezioni del proprio asse baricentrico con gli assi baricentrici principali delle sezioni trasversali dei pannelli murari che delimitano, da ciascun lato, la corrispondente apertura (tale intersezione degenera banalmente nel baricentro del pannello murario, nel caso in cui la fascia sia allineata al pannello stesso).
L’elemento fascia presenta una parte centrale deformabile, caratterizzata da resistenza finita, e da due parti infinitamente rigide e resistenti, alle estremità, di lunghezza pari a metà della dimensione, nella direzione della fascia, del pannello murario corrispondente.
L’elemento fascia, inoltre, si suppone posizionato, nel piano verticale, in corrispondenza dell’asse baricentrico nella direzione di maggiore sviluppo della trave muraria e collegato alle estremità degli elementi maschio mediante bracci verticali infinitamente rigidi a flessione ed a taglio, la cui lunghezza risulta pari a:
2
essendo hs ed ht, rispettivamente, le altezze del solaio e della trave di collegamento in
- 70 -
a) b)
Fig. 3.9 – L’elemento fascia muraria
Si faccia riferimento alla seguente Figura 3.10: considerato un generico piano di un edificio in muratura, in presenza di un cordolo in c.a. si modellano separatamente, mediante elementi fascia distinti, il pannello murario orizzontale soprastante e quello sottostante il solaio (definiti, rispettivamente, fascia sotto-finestra del piano superiore e fascia sopra-finestra del piano considerato); nel caso in cui, invece, non sia presente un cordolo in c.a., si considera un unico pannello orizzontale, delimitato verticalmente dalle aperture, modellato da un unico elemento fascia.
a) b)
Fig. 3.10 - Modellazione di travi in muratura: a) in presenza di un cordolo in c.a.; b) senza cordolo in c.a..
Nella modellazione di edifici esistenti, tenuto conto degli spessori generalmente elevati della muratura, le travi in muratura possono avere una funzione strutturale importante, nel caso in cui esse siano adeguatamente ammorsate agli elementi strutturali verticali mediante elementi resistenti a trazione, disposti al livello delle travi stesse, quali tiranti in acciaio (catene) o cordoli in c.a..
- 71 - a)
b)
Fig. 3.11 - Possibile modellazione a telaio equivalente di parete in muratura in un edificio esistente senza cordoli in c.a.: a) schema strutturale;
- 72 - 3.3.3.2.3 - Elemento braccio infinitamente rigido
Per modellare la collaborazione dei pannelli murari semplici in cui si scompone una sezione a L o a T, il metodo SAM implementato in ANDILWall prevede l’inserimento, in corrispondenza della intersezione in pianta fra due pannelli murari semplici, a livello del piano baricentrico del solaio soprastante, di un collegamento rigido costituito da bracci infinitamente rigidi a taglio ed a flessione.
Il collegamento mediante bracci infinitamente rigidi garantisce (al livello dei solai) la compatibilità degli spostamenti verticali delle pareti all’incrocio, dovuta alla presenza del cordolo continuo in c.a. e all’ammorsamento fra i pannelli nella zona di intersezione per effetto dello sfalsamento dei blocchi, illustrato in Figura 3.12. D’altro canto, una condizione di svincolo interno è necessaria per evitare che il collegamento irrigidisca eccessivamente la struttura; in particolare, è sembrato necessario consentire l’ingobbamento delle sezioni verticali ortogonali, ovvero consentire che i segmenti rettilinei di sezione in cui è suddivisa la sezione composta possano non restare complanari.
a) b)
Fig. 3.12 - Sfalsamento dei blocchi: a) intersezione ad L; b) intersezione a T. Il criterio di modellazione dell’intersezione fra pannelli murari mediante bracci infinitamente rigidi, con riferimento alle intersezioni ad L e a T rappresentate in Figura 3.13, è illustrato nella seguente Figura 3.14.
- 73 - Ciascun braccio rigido si considera esteso dal nodo superiore di estremità di uno degli elementi maschio murario corrispondenti ai pannelli fino al punto di intersezione tra i piani baricentrici dei muri; in corrispondenza di quest’ultimo nodo, i bracci rigidi si considerano collegati mediante uno svincolo interno (cerniera interna o end-release).
a) b)
Fig. 3.13 - Intersezione di pannelli murari: a) intersezione a T; b) intersezione ad L.
a) b)
Fig.3.14 - Modellazione della intersezione di pannelli murari con bracci rigidi: a) intersezione a T; b) intersezione ad L.
- 74 - Nel caso di distribuzione irregolare di aperture la parete è schematizzata come nella figura seguente:
Fig. 3.15 - Modellazione di parete muraria caratterizzata da irregolare distribuzione delle aperture.
- 75 - 3.3.3.3 - Solaio
I solai possono essere considerati infinitamente rigidi nel proprio piano, a condizione che le aperture presenti non ne riducano significativamente la rigidezza, nel caso in cui essi siano realizzati in c.a. oppure in latero-cemento con soletta in c.a. di almeno 40 mm di spessore, o in struttura mista con soletta in c.a. di almeno 50 mm di spessore, collegata mediante connettori a taglio opportunamente dimensionati agli elementi strutturali di solaio in acciaio o in legno. Nel caso di altre soluzioni costruttive, l'ipotesi di infinita rigidezza deve essere invece valutata e giustificata dal progettista.
Le soluzioni usualmente adottate nella progettazione di nuovi edifici consentono di considerare i solai come effettivamente infinitamente rigidi nel proprio piano; soluzioni a solai deformabili sono invece da tenere in considerazione nella verifica di edifici esistenti (ad esempio, nel caso di solai in legno).
Nel primo caso, i gradi di libertà della struttura di interesse si riducono a tre per piano e le masse ed i momenti di inerzia si considerano concentrati in corrispondenza del centro di gravità di ciascun piano.
La versione 1.0 del codice di calcolo ANDILWall permette esclusivamente una modellazione a diaframmi rigidi dei solai.
3.3.4 - Modello strutturale a telaio equivalente: proprietà meccaniche e di sezione.
3.3.4.1 - Considerazioni generali
Nella seguente Figura 3.16 è rappresentato l’orientamento, rispetto agli assi del sistema di riferimento globale (x, y, z), del sistema di riferimento locale (x’, y’, z’) associato, rispettivamente, agli elementi strutturali ad asse verticale ed orizzontale.
Per ciascun elemento, si assume che il comportamento relativo alla deformazione nel piano principale sia indipendente da quello nel piano secondario (e viceversa). In particolare, con riferimento agli elementi ad asse verticale, per ciascun piano di inflessione si utilizza lo stesso tipo di equazioni costitutive: il comportamento statico fuori dal piano (nel piano locale (x’, z’)) viene cioè modellato in analogia con il comportamento nel piano (nel piano locale (x’, y’)); per quanto riguarda gli elementi ad
- 76 - asse orizzontale, tenuto conto della modellazione a diaframmi rigidi dei solai, si considera il solo comportamento nel piano verticale (piano locale (x’, z’)), mentre nel piano orizzontale (piano locale (x’, y’)) gli elementi si suppongono infinitamente rigidi e resistenti.
a) b)
Fig. 3. 16 - Sistema di riferimento locale: a) elementi ad asse verticale; b) elementi ad asse orizzontale.
Tenuto conto della modellazione a macroelementi adottata, per i singoli elementi di telaio equivalente si considerano criteri di resistenza espressi in termini di forze e momenti risultanti.
La matrice di rigidezza degli elementi in fase elastica, espressa tenendo conto della parzializzazione delle sezioni in seguito a fessurazione, assume la forma consueta per elementi di telaio con deformazione a taglio, e risulta determinata una volta definiti il modulo di elasticità normale (modulo di Young) E ed il modulo di elasticità tangenziale G dei materiali e la geometria della sezione trasversale degli elementi.
3.3.4.2 - Elementi in muratura
I valori di resistenza a pressoflessione Mu ed a taglio Vt degli elementi strutturali in
muratura, siano essi ad asse verticale (maschi murari) o ad asse orizzontale (fasce murarie), sono valutati nel rispetto delle prescrizioni riportate dall’O.P.C.M. al
paragrafo 8.2 Edifici in muratura ordinaria nel caso di verifica di edifici di nuova
progettazione ed al paragrafo 11.5 Valutazione della sicurezza di edifici in muratura nel caso di verifica di edifici esistenti.
Per gli edifici in muratura ordinaria, nel definire la resistenza globale della struttura, si considera il contributo offerto dalla resistenza fuori piano dei pannelli.
- 77 - 3.3.4.2.1 - Elemento maschio murario
3.3.4.2.1.1 - Resistenza
Nel definire la resistenza dei pannelli in muratura, si fa riferimento a quanto riportato al
punto 8.2.2 Verifiche di sicurezza dell’O.P.C.M.. In particolare, sembra importante
rilevare che i criteri di rottura sono formulati in modo tale per cui, all’annullarsi della compressione verticale su un elemento, si annullano sia la resistenza a pressoflessione Mu sia la resistenza a taglio Vt: si assume infatti, che la muratura sia non reagente a
trazione; in aggiunta a ciò, si suppone anche che la rigidezza assiale del maschio si annulli in caso di deformazione di trazione, per cui l’azione assiale può assumere solo valori positivi (se di compressione) o nulli: il maschio con azione assiale nulla risulterà quindi completamente scarico da ogni tipo di sollecitazione.
La resistenza di un pannello murario va ovviamente definita in relazione al meccanismo di rottura ad essa associato.
3.3.4.2.1.1.1 - Resistenza a pressoflessione
Nel valutare la resistenza a pressoflessione di un generico pannello in muratura non armata, con condizioni al contorno quali quelle rappresentate in Figura 3.17, essendo , la rottura per presso flessione della sezione inferiore corrisponde alla condizione di rottura per schiacciamento della muratura compressa, per la quale è definibile il momento ultimo:
·
2 · 1 ·
dove · è la compressione verticale media sulla sezione dovuta alla forza assiale P, essendo D la lunghezza della sezione normale del maschio e t lo spessore, fu è la
resistenza a compressione della muratura, e k è un coefficiente che tiene conto della distribuzione degli sforzi nella zona compressa.
Il corrispondente valore dell’azione tagliante Vmax risulta quindi definito dalla
condizione di equilibrio:
· · ·
- 78 - Con riferimento alla seguente Figura 3.17.a), l’altezza H0 corrispondente alla distanza
della base dalla sezione di momento nullo, che varia al variare delle condizioni di vincolo cui il pannello è sottoposto: considerando i casi ideali illustrati in Figura 3.18, essa coincide con l’altezza totale H nel caso in cui si abbia un pannello incastrato alla base e libero di traslare e ruotare in sommità, e con H/2 nel caso in cui si supponga che le sezioni di estremità del pannello possano traslare reciprocamente, senza rotazioni relative.
a) b)
Fig. 3. 17 - Calcolo semplificato della resistenza a pressoflessione o a ribaltamento.
a) b)
Fig. 3. 18 - Condizioni limite di vincolo dell’estremo superiore di un pannello murario: a) estremo libero di ruotare; b) estremo vincolato alla sola traslazione orizzontale. Le considerazioni appena esposte sono conformi a quanto espresso al punto 8.2.2.1
Pressoflessione nel piano dell’O.P.C.M., che indica che il momento ultimo resistente
Mu di una sezione di muro deve essere calcolato assumendo la muratura non reagente a
- 79 - 3.3.4.2.1.1.2 - Resistenza a taglio
Fra i meccanismi di rottura per taglio della muratura si suole distinguere un meccanismo di scorrimento lungo linee di frattura orizzontali (classicamente lungo i giunti orizzontali se si è in presenza di murature con conci o mattoni regolari) ed un meccanismo di rottura con fessurazioni diagonali che si sviluppano in modo abbastanza esteso lungo l’altezza del panello. Tali fessure diagonali possono interessare prevalentemente i giunti oppure i blocchi a seconda della resistenza relativa dei giunti e dei blocchi ed a seconda del livello di compressione media applicata. Il danno subito dagli elementi strutturali in seguito all’una o all’altra tipologia di rottura è rappresentato qualitativamente nella seguente Figura 3.19.
a) b)
Fig. 3.19 - Meccanismi di rottura a taglio in pannelli in muratura: a) per scorrimento; b) per fessurazione diagonale.
Nella valutazione della resistenza a taglio è opportuno distinguere, pertanto, fra rottura per fessurazione diagonale e rottura per scorrimento.
Si può ipotizzare che la rottura a taglio per fessurazione diagonale avvenga quando lo sforzo principale (macroscopico) di trazione raggiunge un valore limite ftd , assunto
come resistenza a trazione convenzionale della muratura. Il criterio si traduce dunque nella seguente espressione, riportata al punto 11.5.8.1 Pareti murarie dell’O.P.C.M. per la definizione della resistenza a taglio Vt di pannelli in muratura ordinaria, con
riferimento agli edifici esistenti: 1.5 · · ·
· 1
1.5 ·
· · · 1
- 80 - essendo:
ftd resistenza di calcolo a trazione per fessurazione diagonale della muratura, pari a
1.5 · . In caso di analisi statica non lineare, può essere assunta pari al valore medio ftm (determinato come , essendo αmv un opportuno
coefficiente assunto pari ad αmv = 0.7, divisore del valore caratteristico ftk )
scalato mediante un opportunamente fattore di confidenza FC :
·
τ0d resistenza di calcolo a taglio di riferimento della muratura. In caso di analisi
statica non lineare, può essere assunta pari al valore medio τ0;
l lunghezza complessiva della parete, inclusiva della zona tesa; t spessore della parete in direzione ortogonale;
σ0 tensione normale media, riferita all’area totale della sezione: · , essendo P
la forza assiale agente, positiva se di compressione;
β coefficiente correttivo legato al rapporto di forma h/l del pannello (h essendo l’altezza della parete); tale coefficiente si assume pari a:
1.5 / 1.5 1.0 / 1.5 1.0 / 1.0
3.3.4.2.1.2 - Deformabilità
Il comportamento dell’elemento è supposto elasto–plastico con limite in deformazione (elasto–plastico– fragile). Si suppone che esso abbia comportamento lineare elastico finché non viene verificato uno dei possibili criteri di rottura:
- rottura per pressoflessione: si verifica quando il momento flettente in una delle sezioni di estremità dell’elemento raggiunge la resistenza ultima Mu; nella
sezione in cui viene raggiunto Mu viene introdotta una cerniera plastica;
- rottura per taglio: si verifica quando il taglio in una delle sezioni di estremità raggiunge la resistenza ultima Vt.
- 81 - Si suppone inoltre che il comportamento dell’elemento in fase post-elastica sia di tipo perfettamente plastico, fino al raggiungimento di un limite di deformazione, il cui valore è definito diversamente in base al criterio di rottura attivatosi.
L’Ordinanza, definisce la deformazione ultima in termini di spostamento orizzontale relativo delle sezioni δ, in funzione del tipo di rottura; in particolare, i valori limite δu
vanno intesi come rapportati all’altezza deformabile Heff dei pannelli murari (si faccia
riferimento alla seguente Tabella 3.1):
Edifici Rottura per pressoflessione Rottura per taglio
Nuovi 8‰ Heff 4‰ Heff
esistenti 6‰ Heff 4‰ Heff
Tab. 3.1 - Valori limite di spostamento allo stato limite ultimo.
Nel modello SAM II, in modo più generale, e per tener conto dei modi deformativi di tipo rigido, i limiti deformativi vengono valutati in termini di deformazioni angolare o rotazione della corda θ (chord rotation). La deformazione angolare θi in corrispondenza
di ciascun estremo dell'elemento, viene espressa, al fine di considerare la condizione più generale di vincolo alle estremità di un pannello, come somma della deformazione flessionale φi e di quella a taglio γ (si faccia riferimento a Figura 3.20): . Nel caso
particolare in cui le sezioni di estremità del pannello traslino senza ruotare (si faccia riferimento alla seguente Figura 3.21), la deformazione angolare risulta identica alle due
estremità: ⁄ .
Fig.3.20 - Deformazione angolare θ pertinente all’estremo i di un elemento maschio.
Fig. 3.21 - Deformazione angolare di un pannello murario sottoposto ad una prova a taglio in cui si mantenga il parallelismo delle basi.
- 82 - Si assume quindi la chord rotation θ come parametro descrittivo della deformazione degli elementi e si adottano come valori limite θu quelli fissati dall’O.P.C.M. per il
rapporto δu/Heff. In caso di rottura a pressoflessione e/o a taglio, si suppone che
nell’elemento abbiano luogo deformazioni flessionali e/o taglianti di tipo plastico; viene imposto, quindi, un limite θu alla deformazione angolare θ (chord rotation), oltre il
quale si suppone che la resistenza si annulli, come illustrato in Figura 3.22.
a) b)
Fig.3.22 - Comportamento elastico–perfettamente plastico dell'elemento maschio: a) a flessione; b) a taglio.
Per quanto riguarda, invece, la verifica allo stato limite di danno, la deformazione viene valutata in termini di spostamento interpiano dr; in questo caso il valore limite,
normalizzato rispetto all’altezza interpiano H, è assunto pari a 3‰, nel rispetto di quanto prescritto al punto 4.11.2 Stato limite di danno e, con riferimento agli edifici in muratura, al successivo punto 8.1.5.4 Analisi statica non lineare.
3.3.4.2.2 - Elemento fascia muraria 3.3.4.2.2.1 - Resistenza
La funzione strutturale delle travi in muratura è tutt’altro che secondaria, in quanto, quando sussistono le condizioni, possono fornire una apprezzabile azione di accoppiamento fra pareti verticali e possono influenzare considerevolmente il meccanismo di risposta di una parete multipiano.
Lo stato di sollecitazione generato dall’azione sismica in una trave in muratura è analogo a quello riportato in Figura 3.23.a). Il comportamento meccanico di questo tipo di elemento strutturale potrebbe essere studiato analogamente a quello di un pannello murario, tenute presenti alcune differenze importanti:
- 83 - - nel caso di murature regolari (ad esempio: murature di mattoni o a conci
squadrati e regolari) l’orientamento dei letti di malta è parallelo all’asse dell’elemento, che è orizzontale;
- l’azione assiale (risultante di compressione parallela all’asse orizzontale) dovuta ai soli carichi da gravità è solitamente bassa, se non addirittura nulla.
Se una muratura è a tessitura regolare e ben organizzata con blocchi ben ammorsati, la resistenza a taglio è principalmente funzione della compressione normale ai letti di malta e, in misura minore, della compressione in direzione parallela ai letti stessi. Quindi, essendo nella sostanza trascurabile la compressione normale ai letti di una trave in muratura al di sotto delle aperture, la resistenza a taglio di una fascia può essere molto bassa ed è principalmente funzione della coesione. La resistenza a trazione della muratura in direzione parallela ai letti può essere invece maggiore di quella ortogonale ai letti, ma comunque non di entità tale da renderla affidabile per la resistenza a flessione della fascia stessa.
Se una muratura è invece di tipo irregolare e mal organizzata, il materiale tende ad avere un comportamento pressoché isotropo, e quindi in linea di principio la trave in muratura può essere trattata come un pannello ruotato di 90°.
L’accoppiamento che può essere fornito dalle travi in muratura è principalmente funzione della compressione a cui esse sono soggette in direzione orizzontale. Solo questa compressione infatti fornisce la resistenza flessionale che impedisce l’attivazione del meccanismo di ribaltamento riportato in Figura 3.23.b). È quindi molto importante la presenza di elementi resistenti a trazione disposti al livello delle fasce stesse, quali catene o cordoli in c.a., che si oppongono a tale meccanismo. Difatti, il ribaltamento genera una dilatazione globale della parete in senso orizzontale; le catene o i cordoli, opponendosi a questa dilatazione, come rappresentato in Figura 3.23.c), generano un incremento di compressione negli elementi strutturali di accoppiamento, che aumenta la resistenza a flessione delle stesse, e instaura un meccanismo a puntone inclinato che garantisce l’accoppiamento dei pannelli murari. In queste condizioni i possibili meccanismi di rottura delle travi in muratura sono di due tipi:
- rottura per compressione eccessiva nel puntone inclinato (analogo ad una rottura per pressoflessione di un pannello murario);
- 84 - In linea teorica, per entrambi i meccanismi si possono adottare criteri di rottura analoghi a quelli proposti per i pannelli murari.
a) b) c)
Fig. 3.23 - Risposta delle fasce murarie ad azioni di tipo sismico.
Per la determinazione della resistenza degli elementi fascia muraria non armata in
edifici di nuova progettazione si fa riferimento al punto 8.2.2.4 Travi in muratura
dell’Allegato 2, nel quale l’O.P.C.M. prescrive che la verifica delle travi di accoppiamento, in presenza di azione assiale orizzontale nota, sia effettuata in analogia a quanto previsto per i pannelli murari verticali; qualora, invece, l’azione assiale non sia nota dal modello di calcolo, ma siano presenti in corrispondenza delle travi in muratura elementi orizzontali dotati di resistenza a trazione (catene o cordoli in c.a.), le resistenze a pressoflessione ed a taglio possono essere determinate in base alle seguenti relazioni:
· ·
·
2 · 1 · · ·
in funzione dei seguenti parametri:
h altezza della sezione della fascia; t spessore della sezione della fascia;
fvd0 resistenza a taglio di calcolo della muratura in assenza di compressione;
in caso di analisi statica non lineare, la normativa indica che fvd0 può
essere assunta pari al valore medio fvd0 ;
Hp minimo tra la resistenza a trazione dell'elemento teso disposto
orizzontalmente ed il valore 0.4 fhd t h, essendo fhd la resistenza di
calcolo a compressione della muratura in direzione orizzontale nel piano della parete; in caso di analisi statica non lineare, la normativa indica che
- 85 - fhd può essere assunto pari al valore medio fhm , che si determina come
, essendo αmc un opportuno coefficiente (assunto pari ad
αmc = 0.7 ) divisore del valore caratteristico fhk .
Per quanto riguarda gli edifici esistenti, si ricorda che l’O.P.C.M. prescrive al punto
11.5.1 Requisiti di sicurezza e criteri di verifica di utilizzare, per il calcolo delle
capacità degli elementi di tali edifici, i valori medi delle proprietà dei materiali, divisi per opportuni fattori di confidenza FC. In particolare, in base a quanto specificato al successivo punto 11.5.8.1 Pareti murarie, si deve fare riferimento alle stesse espressioni utilizzate per la definizione della resistenza delle travi in muratura di edifici di nuova progettazione.
3.3.4.2.2.2 - Deformabilità
Al fine di tener conto della possibilità di un comportamento maggiormente fragile delle travi in muratura rispetto ai pannelli, la deformazione anelastica associata alla rottura per taglio prevede una deformazione plastica a taglio costante, a cui segue, una volta superato un valore limite di deformazione angolare a taglio γ1, un degrado della
resistenza ad un valore α Vu; a tale degrado segue l’annullamento del taglio resistente,
per deformazioni angolari superiori al limite γ2.
Fig. 3.24
Comportamento elastico-perfettamente plastico a flessione di un elemento fascia.
Fig. 3.25
Comportamento elasto–plasto–fragile a taglio di un elemento fascia, in funzione dei parametri α, γ1, γ2.
Si faccia riferimento alle seguenti Figura 3.26.a) e Figura 3.26.b): la possibilità di assegnare in ingresso opportuni valori dei parametri α, γ1, γ2, rappresentati in Figura
- 86 - facendo coincidere γ1 con il limite elastico, oppure di tipo elastico–perfettamente
plastico (simile quindi al comportamento degli elementi maschio), ponendo α =1.
a) b)
Fig. 3.26 - Comportamento a taglio di un elemento fascia: a) elasto–fragile; b) elastico–perfettamente plastico.
In particolare, la deformazione delle travi in muratura, ai fini della verifica allo stato limite ultimo, viene determinata (in piena analogia con quanto sopra esposto in merito ai pannelli murari) con riferimento alla deformazione angolare θi che, in corrispondenza
di ciascun estremo dell’elemento, si assume pari alla somma dei contributi di deformazione flessionale φi e di deformazione a taglio γ.
Il valore limite θu, cui corrisponde la deformazione a taglio , viene
definito in base al meccanismo di rottura attivato, con riferimento ai valori dello spostamento ultimo δu/Heff dei maschi in muratura.
Il valore di deformazione angolare θ1 corrispondente al primo degrado di resistenza (cui
corrisponde la deformazione a taglio ) e l’entità stessa di tale degrado (espressa mediante il parametro α in termini di valore residuo di resistenza, rispetto al valore massimo), possono essere liberamente fissati, al fine della migliore modellazione del comportamento previsto per le travi in muratura.
