6 Il modello proposto per il sistema murario .

(1)

6

Il modello proposto per il sistema

murario.

6.1 Premessa.

La mancanza di univoche e ben definite procedure di calcolo concernenti gli interventi sulle strutture murarie, comporta la difficile valutazione del grado di sicurezza.

Tra le procedure di calcolo di tipo numerico assumono particolare importanza la modellazione agli elementi finiti e i modelli semplificati.

Il metodo agli elementi finiti è applicabile a tutti i casi strutturali; risulta però particolarmente oneroso dal punto di vista computazionale e della lettura dei risultati nel caso di analisi non lineari. Inoltre la scarsa resistenza a trazione della muratura non consente l’utilizzo dei modelli elastici lineari nell’analisi di un edificio soggetto alle azioni sismiche.

Il metodo alternativo è rappresentato dall’utilizzo dei modelli semplificati “a macroelementi” nei quali le pareti murarie, sollecitate nel piano, sono schematizzate attraverso maschi, fasce e nodi con assegnate proprietà di resistenza e rigidezza. Questi metodi operano quasi sempre in campo statico non lineare determinando il carico di collasso dovuto all’azione sismica.

Il telaio equivalente nasce dalla modellazione della parete muraria in elementi trave. Non essendo rispettate le ipotesi di De Saint Venant, essi vengono schematizzati con una zona centrale e dei tratti molto rigidi. La difficoltà è racchiusa proprio nella valutazione della lunghezza dei tronchi rigidi. In questa

(2)

zona solitamente non avvengono meccanismi di rottura; comunque in essa si verificano deformazioni che, una volta inseriti i tratti rigidi, non riusciamo più a valutare.

6.2 Analisi delle pareti nel piano.

Il presente lavoro si pone come obiettivo quello di proporre una schematizzazione di analisi dell’organismo strutturale, tale da consentire una corretta previsione della risposta del manufatto al sisma, che nasce dall’interpretazione dei risultati ottenuti dalla modellazione bidimensionale agli elementi finiti.

A tal fine sono state esaminate, in campo elastico, quattro pareti e per ciascuna di esse, con l’ausilio del solutore SAP2000, è stata sviluppata una modellazione attraverso elementi shell. Dall’analisi dei risultati ottenuti, è stato proposto uno schema semplificato equivalente, in termini di spostamento, alla corrispondente modellazione FEM, assunta come esatta.

L’analisi condotta è riferita a modelli piani rappresentativi di pareti continue da terra a tetto e sollecitate da un’azione orizzontale di valore arbitrario, agente nel piano ed applicata in sommità.

Una volta individuato il modello numerico semplificato messo a punto sulla corrispondenza tra gli spostamenti nodali, successive analisi possono consentire un’adeguata valutazione delle sollecitazioni degli elementi strutturali per la verifica delle effettive condizioni dell’edificio sottoposto al sisma di progetto.

6.2.1 Confronto tra modello esatto e semplificato.

Con lo studio condotto sull’edificio, volto ad ottenere un modello di calcolo che seppur semplificato conduca a risultati soddisfacenti con un margine di errore accettabile, si è messo in evidenza il comportamento di ciascuna parete muraria nel proprio piano soggetta ad un’azione arbitraria orizzontale in sommità.

(3)

Lo schema di parete a telaio, composto da maschi murari continui da terra a tetto collegati a livello del solaio ed opportunamente vincolato, nasce dallo studio e dall’interpretazione dei risultati ottenuti modellando la stessa parete attraverso elementi finiti: nello specifico l’obiettivo è stato quello di individuare le zone, dei maschi e delle fasce murarie del telaio equivalente, a comportamento infinitamente rigido ovvero di ricercare, attraverso vari tentativi, la lunghezza di braccio rigido da attribuire agli elementi trave tale da ottenere l’uguaglianza in spostamento tra i punti di nodo del telaio posti ai livelli del solaio e i corrispondenti del modello FEM, assunto come esatto.

A tal fine si è proceduto ad analizzare alcune pareti complesse della struttura: nella totale assenza di allineamento tra le aperture si sono individuati i maschi murari continui dal seminterrato al piano delle soffitte attribuendo a ciascuno la sezione di competenza.

Il loro collegamento è stato realizzato attraverso fasce di piano sovrastanti le aperture assegnando loro la propria geometria.

Lo scopo delle numerose prove è stato quello di trovare un criterio di attribuzione dei tratti infinitamente rigidi tale da poter essere esteso validamente a tutti gli altri casi più o meno complessi di pareti dell’edificio, senza dover necessariamente studiare il comportamento attraverso il modello esatto.

Per praticità, a ciascuna parete è stata associata una lettera al fine di poter raccogliere e presentare in maniera ordinata i dati ottenuti.

Di seguito riportiamo le piante dell’edificio con l’indicazione delle pareti portanti analizzate.

(4)

Figura 1:Pianta piano terra con l'indicazione delle pareti analizzate

Le quattro pareti analizzate ( parete F, parete M, parete N, parete P) presentano, eccezion fatta per la parete P, aperture disallineate come nel caso della parete M oppure aperture con geometria molto irregolare (è il caso della parete N); la parete F inoltre mostra lo sfalsamento dei piani a causa della presenza del vano scale.

In aggiunta si è presentata la necessità di estrapolare un modello di interpiano a parete piena per caratterizzare il comportamento del pannello murario privo di aperture.

I valori di spostamento dei punti di controllo delle quattro pareti analizzate sono stati tabellati e riportati nei paragrafi che seguono.

(5)

6.2.2 Le pareti analizzate: le scelte adottate sul modello

semplificato proposto.

L’analisi condotta sulle pareti studiate ci ha portato ad operare delle semplificazioni al fine di individuare una semplice e affidabile schematizzazione del modello a telaio.

Una volta costruito il modello agli elementi finiti con mesh di 10x10 cm e sollecitato da una forza arbitraria in sommità, si è assegnato nello schema semplificato corrispondente le sezioni di competenza ai maschi murari continui da terra a tetto e alle fasce poste in corrispondenza del livello del solaio.

In particolare, in alcuni casi, a causa della geometria complessa del pannello si è proceduto, per continuità con i piani sovra e sottostanti, a sostituire l’elemento trave rappresentativo del maschio con più elementi trave equivalenti per sezione e rigidezza.

Nello specifico il caso più ricorrente è quello in cui si è scelto di adottare la schematizzazione con due maschi tra loro uguali, ripristinando area e momento d’inerzia del maschio murario originario.

Al fine di affinare il modello a telaio proposto, si è presentata inoltre la necessità di dover studiare separatamente il comportamento a taglio di una parete piena con altezza pari all’interpiano in quanto ricorrente in molte schematizzazioni analizzate.

Lo studio del modello FEM di riferimento ci ha condotto ad assumere il modello a telaio costruito assegnando semplicemente alle aste la propria sezione e rigidezza.

Lo studio condotto sulle pareti sopranominate ha visto come obiettivo l’individuazione delle zone di nodo che per comportamento possono essere assimilate a zone infinitamente rigide.

Si è trattato di trovare un criterio di attribuzione che fosse comune a tutti i setti murari studiati e tale da essere applicato successivamente e con successo a tutte le altre pareti.

(6)

Dai numerosi tentativi svolti è emerso che la lunghezza dei tratti terminali delle aste, a comportamento infinitamente rigido, risulta fissata come percentuale della lunghezza stessa dell’elemento: in particolare tale frazione, pari all’80%, è assegnata in relazione al tratto tra l’asse del maschio murario e l’apertura adiacente nel caso di braccio rigido orizzontale, e della distanza tra l’asse del solaio e l’apertura nel caso di braccio verticale, entrambi fissati a partire da nodo di collegamento maschio-fascia.

Analisi della parete piena di interpiano.

L’analisi svolta sulle singole pareti ha visto la necessità di studiare separatamente la risposta nel piano di una parete piena soggetta ad un’azione arbitraria in sommità.

Per essa è stato costruito il modello FEM e corrispondentemente è stata adottata la schematizzazione a telaio.

a) b)

Figura 2: Modello bidimensionale della parete piena: a) con elementi shell b) con elementi frame.

La necessità di assumere la schematizzazione con due maschi murari ha portato ad ipotizzare la presenza di apertura infinitesima all’interno del pannello murario assegnando a ciascun maschio e alla fascia di piano la sezione di competenza con relativa rigidezza.

(7)

Nelle tabelle seguenti sono riportati i valori degli spostamenti nodali per ciascun modello esaminato.

a) b)

Tabella 1: Valori degli spostamenti orizzontali dei punti di controllo risultanti dalla modellazione FEM e dalla modellazione e telaio.

MODELLO A TELAIO Punto Spostamento orizzontale (m) A 0,0424 MODELLO FEM Punto Spostamento orizzontale (m) A 0,047

(8)

Analisi della parete F.

La parete F, coincidente con la facciata lato posteriore dell’edificio, è caratterizzata da solai che si sviluppano su piani sfalsati a causa della presenza del vano scale (fig. 3):

a) b)

Figura 3: Modello bidimensionale della parete F: a) con elementi shell b) con elementi frame.

Si può notare inoltre il disallineamento di alcune aperture il quale rende ancora più complicata la schematizzazione a telaio della parete.

La soluzione proposta ha visto l’individuazione di maschi murari continui e di fasce di piano ad ogni livello di orizzontamento.

Per le zone di parete piena che per necessità sono state sostituite da due maschi murari piuttosto che da un unico elemento, è stata attribuita

(9)

Per ogni zona di nodo è stata inoltre assegnata la lunghezza del tratto infinitamente rigido, nel rispetto dei dati ottenuti dal modello parziale di parete piena disposta tra due orizzontamenti.

I valori degli spostamenti ottenuti ai vari livelli sono stati raccolti e confrontati con i corrispondenti ottenuti dal modello esatto.

a) b)

Tabella 2: Valori degli spostamenti orizzontali dei punti di controllo risultanti dalla modellazione FEM e dalla modellazione e telaio.

Di seguito è riportato l’errore commesso, in riferimento ai punti di nodo esaminati rappresentativi dei vari livelli di piano, nell’assunzione del modello a telaio nei confronti della schematizzazione esatta attraverso elementi shell.

MODELLO A TELAIO Punto Spostamento orizzontale (m) 1 0,037 2 0,290 3 0,585 4 0,680 MODELLO FEM Punto Spostamento orizzontale (m) 1 0,049 2 0,253 3 0,484 4 0,568

(10)

Tabella 3: Percentuale di errore commesso nell’adozione del modello semplificato rispetto alla modellazione esatta.

Punto Errore relativo

1 -24%

2 +14%

3 +20%

(11)

Analisi della parete M.

La parete interna M si sviluppa in altezza in maniera non regolare e presenta aperture disposte in maniera non allineata. Per essa si è previsto di assegnare, nei tratti di interpiano privi di aperture, più maschi murari aventi sezione equivalente per geometria ed inerzia all’elemento trave originario rappresentativo della parete piena.

Il risultato è un modello a telaio con quattro maschi murari caratterizzati dall’assumere due altezze diverse a causa della particolare geometria della parete.

A seguire riportiamo i due modelli messi a confronto e le tabelle relative ai valori di spostamento di alcuni punti in cui è stato effettuato il confronto, una volta fatta agire una forza arbitraria orizzontale in sommità.

a) b)

(12)

a) b)

Tabella 4: Valori degli spostamenti orizzontali dei punti di controllo risultanti dalla modellazione FEM e dalla modellazione e telaio.

Tabella 5: Percentuale di errore commesso nell’adozione del modello semplificato rispetto alla modellazione esatta.

MODELLO FEM Punto Spostamento orizzontale (m) 1 0,040 2 0,283 3 0,609 4 0,970 MODELLO A TELAIO Punto Spostamento orizzontale (m) 1 0,048 2 0,255 3 0,540 4 0,900

1 +20%

2 -10%

3 -11%

(13)

Analisi della parete N.

La parete interna N è caratterizzata dalla presenza di aperture non allineate e con geometria differente. La schematizzazione adottata per essa prevede l’individuazione di due maschi murari continui di sezione variabile in dipendenza della geometria delle aperture a ciascun piano e anche per essa sono stati impiegati i risultati tratti dal modello di parete piena studiato separatamente.

Dal confronto con il corrispondente modello agli elementi finiti è stato possibile inserire i tratti infinitamente rigidi in prossimità dei nodi.

A seguire riportiamo i due modelli messi a confronto e le tabelle relative ai valori di spostamento di alcuni punti in cui è stato effettuato il confronto, una volta fatta agire una forza arbitraria orizzontale in sommità.

a) b)

(14)

a) b)

Tabella 6: Valori degli spostamenti orizzontali dei punti di controllo risultanti dalla modellazione FEM e dalla modellazione a telaio.

Tabella 7: Percentuale di errore commesso nell’adozione del modello

1 -7%

2 -27%

3 -15%

(15)

Analisi della parete P.

L’analisi della parete P ha portato, all’individuazione di due maschi continui fino in sommità collegati a livello del solaio da fasce di piano, e alla conseguente assegnazione dei nodi rigidi.

Al piano delle soffitte, non risultando presente la fascia sovrastante l’apertura, lo schema semplificato non prevede l’adozione di un collegamento efficace tra i maschi murari.

A seguire riportiamo i due modelli messi a confronto e le tabelle relative ai valori di spostamento di alcuni punti in cui è stato effettuato il confronto, una volta fatta agire una forza arbitraria ed orizzontale in sommità.

a) b)

Figura 6: Modello bidimensionale della parete P: a) con elementi shell b) con elementi frame.

(16)

a) b)

Tabella 8: Valori degli spostamenti orizzontali dei punti di controllo risultanti dalla modellazione FEM e dalla modellazione a telaio.

I punti indicati in tabella, posti in corrispondenza dell’incrocio maschio-fascia, sono individuati a partire dal primo piano fino all’ultimo: il punto 1 è posto all’altezza del solaio di primo piano, il punto 2 alla quota del secondo e così via.

Tabella 9: Percentuale di errore commesso nell’adozione del modello

1 +2%

2 -3%

3 -10%

(17)

6.3 Considerazioni conclusive.

Alla luce dei risultati emersi è evidente che i valori ottenuti con il modello semplificato si discostano dai valori degli spostamenti ricavati dal modello agli elementi finiti.

Tuttavia si deduce che la risposta nel piano del modello a telaio proposto rappresentativo del comportamento a taglio di ciascuna parete si avvicina molto a quella del modello FEM e l’errore commesso nella previsione della risposta risulta decisamente accettabile.

(18)

6.4 Definizione del modello di calcolo tridimensionale.

Una volta completata l’analisi delle pareti nel piano e ottenuta la corrispondente modellazione semplificata a telaio come precedentemente descritto è stato possibile costruire il modello spaziale dell’edificio.

Il modello complessivo è il risultato dell’assemblaggio delle singole pareti costituenti collegate a livello del solaio da bracci infinitamente rigidi.

Esso è caratterizzato dai parametri propri dell’edificio al fine di individuarne il comportamento dinamico e di valutare gli effetti provocati dall’azione sismica.

La schematizzazione adottata per l’edificio è tale da rappresentare in maniera adeguata la distribuzione di massa e rigidezza reale attraverso elementi che ne simulano il comportamento effettivo della struttura.

Complessivamente il modello si compone di elementi lineari tipo beam definiti da due nodi e caratterizzati dall’avere sei gradi di libertà per ciascun nodo, tre traslazionali e tre rotazionali; ogni elemento trave del modello spaziale è collegato a quello successivo attraverso il vincolo di incastro.

Gli elementi murari rappresentativi sia di maschio che di fascia sono stati modellati attraverso sezioni di tipo rettangolare assegnando lo spessore reale della porzione di muratura individuata o con sezioni di tipo generico in relazione alla sostituzione di un unico maschio con più maschi come precedentemente descritto aventi geometria e rigidezza opportuna.

In particolare nella definizione delle sezioni è stato tenuto conto, della diversità di tipologia di materiale e di spessore esistente tra il piano seminterrato e gli altri piani dell’edificio costituente il primo corpo di fabbrica e delle proprietà del materiale e dello spessore nella parte ampliata recentemente.

Non è stato possibile schematizzare il solaio a comportamento infinitamente rigido nel proprio piano in quanto costituito da profili metallici e tavelloni.

Nella figura seguente è rappresentato il modello tridimensionale dell’edificio frutto dell’unione delle varie pareti costituenti, ciascuna analizzata attraverso un modello a telaio bidimensionale.

(19)

Figura 5: Modello spaziale a telaio rappresentativo dell'edificio.

Sul modello rappresentato in figura saranno affrontate le analisi statica e dinamica lineari.