Esperienza Moti Rotatori

Esperienza Moti Rotatori

Obiettivo:

• Misura Momento di Inerzia di solidi

• Verifica della legge di Steiner

• Verifica della legge di conservazione del momento angolare

Apparato Sperimentale Sito Corso

• Manuale

• Documentazione

Esperienza Moti Rotatori

Principi Fisici

• Un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse soddisfa l’equazione pura del movimento:

angolare one

accelerazi

Inerzia di

momento

forza della

momento

2

=

⋅

⋅

=

=

∧

=

=

=

∫

α

ρ τ

α τ

Volume

dV r

I

F r

I

p r

angolare momento

L

dt L d

∧

=

= τ =

angolare velocità

I L

=

= ω

ω

Esperienza Moti Rotatori

Approccio Sperimentale

1. Applicando ad un corpo rigido un momento della forza noto 2. Misurando la sua accelerazione angolare

• Ho una misura diretta del momento di inerzia

F = mg

Puleggia verticale Filo

Puleggia orizzont.

r

) (

) (

appesa massa

della caduta

di one accelerazi dalla

e appesa

massa dalla

dipende solido

al applicata forza

La

) (

r r g

I m

I r

g m r T

r

T r

lmente sperimenta

Se

r g

m T

T g m r

m

r a

T g

m a

m

filo tensione

T T

r F

r

⋅

⋅ −

=

⋅

=

⋅

−

⋅

=

⋅

=

⊥

⋅

−

=

−

=

⋅

⋅

=

−

=

=

∧

=

∧

=

α α

α α

τ

α α

α τ

Devo Misurare: Massa appesa

Raggio puleggia orizzontale

Accelerazione di caduta

Devo quindi essere sicuro che:

- Il filo e la puleggia orizzontale siano complanari e perpendicolari.

- La massa cada perpendicolarmente al filo che esce dalla puleggia orizzontale - Il perno di rotazione sia parallelo al filo a cui è appesa la massa.

- Il solido ruoti in un piano orizzontale.

Devo quindi fare una messa in piano dell’apparato

Questa messa a punto può essere importante (a voi verificare se lo sia veramente) perché, nel caso in cui l’asse di rotazione non fosse perpendicolare al suolo non varrebbe la relazione soprascritta. Infatti la forza gravitazionale agente sullo stesso equipaggio rotante contribuirebbe a generare un momento assiale non nullo che si andrebbe a sommare al contributo dovuto al peso in caduta.

Dovete valutare quanto deve essere precisa questa messa in piano con una misura di verifica. Fate ad esempio due misure, una con l’apparato in

piano, l’altra mettendo un disco sotto il piede dell’apparato

lmente sperimenta

condizione questa

realizzare Devo

filo il

tutto lungo

medesima la

è T se e T r

se solo vale

r r g

I m

relazione La

⊥

⋅

⋅ −

= ( α )

α

Esperienza Moti Rotatori

Messa in Piano

1. Usate il disco poichè è il primo corpo di cui dovrete misurare I. Quando cambiate corpo, rifate tutto.

2. Posizionare la base dell’apparato di rotazione in prossimità del bordo del banco di lavoro in maniera tale che il filo al quale devono essere appesi i pesetti sporga liberamente oltre il bordo del tavolo.

3. Inserire sul perno il corpo di cui devo misurare I e porre su un bordo in maniera asimmetrica una/due masse quadre.

4. Ruotare il corpo fino a portarlo in corrispondenza di uno dei due piedini regolabili della base. Regolare l’altezza dell’altro piedino finché il

corpo, lasciata libero di ruotare, non rimane in equilibrio.

5. Ruotare il corpo di 90° e regolare l’altezza del secondo piedino finché il

corpo, lasciato libera di ruotare, non rimane in equilibrio.

Misura accelerazione di caduta

Monto un sensore LED che conta il numero di buchi N che passano Infatti

N ∝ spostamento angolare θ θ = N θ

Da N posso ricavare:

• Velocità angolare

• ω = ∆N / ∆T

• Accelerazione angolare

• α = ∆w / ∆T

Attenzione alle unità di misura che usate in Datastudio Se usate ‘rad/s’ non dovete fare alcuna conversione

Se usate cm/s dovete convertire in rad/s misurando il raggio delle puleggia orizzontale

Misura accelerazione di caduta

Monto un sensore LED che misura l’accelerazione angolare α = ∆ω / ∆T Attenzione alle non idealità:

- E se il sistema rotante non fosse ancora in piano ? - Che effetto ha l’attrito delle parti mobili ?

- E se l’asse rotante fosse deformato ? - Altre non idealità ?

Mi aspetto che il sistema ruoti con una accelerazione angolare costante poichè la massa appesa cade con una accelerazione costante.

In laboratorio misurerò qualcosa come:

- Orrore, dovrebbe essere costante ! - Che faccio !!!

- C’e’ bisogno di uno studio dello strumento - C’e’ bisogno di capire la fisica del sistema

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

2 4 6 8 10

Tempo (s)

Acc. angolare rad/s

Cosa vedo

Nella misura di accelerazione possono esserce presenti

a) Accelerazione subita dal corpo rigido ‘a

’ indotta dal peso b) Basculamento del perno di rotazione.

- si manifesta con delle oscillazioni di a

- devono essere periodiche

- devono avere come periodo il tempo di rotazione del corpo rigido

- il periodo deve decrescere nel tempo perche il corpo ruota sempre più velocemente c) Attrito viscoso

- si manifesta in una riduzione di a

crescente con il tempo d) Attrito dinamico

- si manifesta in una riduzione di a

costante con il tempo e) Altro ?

Altri effetti legati alla non idealità ma allo sperimentatore e che possono quindi essere quantificati

Una non corretta messa in piano - Che effetto indurrebbe ? Si misura ! Oscillazioni della massa durante la caduta – Che effetto induce ?

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

2 4 6 8 10

Tempo (s)

Acc. angolare rad/s

CALIBRAZIONE

Ho bisogno di un solido di momento di Inerzia noto

• Misuro l’accelerazione angolare del sistema per diverse tensioni del filo

• cioè per diverse masse appese

• Noto il momento di inerzia, sono in grado di calcolare l’accelerazione rotazionale attesa a

•Confronto la misura sperimentale a

con il valore atteso a

al variare della massa m appesa per verificare se il metodo usato è corretto

• Devo quindi trovare una tecnica sperimentale robusta per estrarre l’accelerazione angolare sperimentale

2

2

1 MR

I =

I dati sperimentali sono molto ‘sporchi’

- Faccio una media ?

in che intervallo di tempo ?

il risultato dipende dall’intervallo !

Misura con m = 60 g

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0 2 4 6 8 10 12

Tempo

Accelerazione rad/s

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

I dati sperimentali sono molto ‘sporchi’

- Faccio una media ?

in che intervallo di tempo ?

il risultato dipende dall’intervallo ! - Faccio un fit ?

- con che funzione ?

- perche usare quella funzione ?

Misura con m = 60 g

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0 2 4 6 8 10 12

Tempo

Accelerazione rad/s

Misura con m = 60 g

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0 2 4 6 8 10 12

Tem po

Accelerazione rad/s

Posso fare una operazione di smooth

punti numero

1 2k N

smooth di

intervallo k

1 2

'

0

= +

=

=

=

∑

+

+

=

k a a

k n n

k n n

n n

o

o

La scelta di k è molto importante Potete provare usando k differenti

In questo caso ho usato k = 1

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

Misura con m = 60 g

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0 2 4 6 8 10 12

Tem po

Accelerazione rad/s

I dati, dopo uno smooth, possono presentare una oscillazione - di forma ragionevolmente sinosuidale

- di ampiezza crescente

- di periodo decrescente in tempo

- di periodo è sempre composto da 10 misure (punti)

- esiste un intervallo iniziale dove l’oscillazione è di piccola ampiezza

- Se non avete una accelerazione quasi costante all’inizio la presa dati è stata fatta in condizioni non buone. E’ meglio rifarla (vedi dopo)

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

Plottando l’accelerazione in funzione dell’angolo misurato Ecco un altro esempio

• L’oscillazione è evidente

• Non ho una sinusoide perfetta

• Il periodo cambia con il tempo

• Ho 10/11 punti in un periodo

• Esiste un intervallo iniziale dove l’oscillazione è di piccola ampiezza

• L’oscillazione è ancora evidente

• Non ho una sinusoide perfetta

• Il periodo è ‘costante’

• Esiste un intervallo iniziale dove l’oscillazione è di piccola ampiezza

Che deduco ?

E’ un effetto che dipende dalla posizione del sistema rotante (disco+perno)

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

(radianti)

Quanto Vale l’accelerazione ?

- sui dati originali – difficile estrarla (non so che intervallo usare per una media) - sui dati dopo lo smooth – anche in questo caso è difficile estrarla

Posso fare un secondo/terzo/ … smooth su tutto un periodo se è evidente una data periodicità

- Uso come periodo 11 (lo smooth lo posso fare solo su 2k+1 punti) - posso farlo su 9 punti (provare cosa viene meglio)

- nel caso debba farlo su 10 punti devo farlo sia sulla variabile

‘a’ sia su ‘t’

N t t

a t

N a t a N

t a

N

i i eff

eff eff

N

i

i N

i i

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

⇒

=

1

1

1

( )

) ( )

(

Problema:

Cosa faccio per i primi N/2 punti dove non posso fare l’operazione di smooth

-E’ importante quindi che abbiamo un andamento quasi costante nelle prime misure

Vedi esempio lucido successivo

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

Misura con m = 60 g

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0 2 4 6 8 10 12

Tempo

Accelerazione rad/s

La misura ‘originale’ (viola) mostra:

• delle oscillazioni periodiche di ampiezza sempre crescente

• un periodo non costante

• un intervallo di tempo iniziale (nel nostro caso circa 2s) dove queste oscillazioni sono poco evidenti

Il primo smooth (linea blu) dovrebbe rendere molto evidente l’oscillazione periodica ma non permette di estrarre in maniera ‘oggettiva’ un valore dell’accelerazione.

Il secondo smooth (linea rossa) mostra un andamento più regolare evidenziando una decrescita dell’accelerazione con il tempo probabilmente generata dalla forza di attrito.

La procedura di smooth cerca di eliminare le vibrazione prodotto dal basculamento del perno di rotazione

0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78

0 2 4 6 8 10 12

Accelerazione rad/s

Tempo

Misura con M = 60 g

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

Misura con m = 60 g

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0 2 4 6 8 10 12

Tempo

Accelerazione rad/s

Se c’e’ attrito viscoso (che dipende dalla velocità)

- devo misurare l’accelerazione quando l’attrito non agisce cioè quando v = 0 - devo quindi fare una regressione lineare a(t) = mt+q

- devo identificare il tempo t

per cui v(t

) = 0.

L’accelerazione rotazionale sarà a(t

) = mt

+q e la sua incertezza sarà legata al processo di estrapolazione in una regressione lineare

In alternativa posso anche fare un altro smooth per attenuare le oscillazioni se son o ancora troppo evidenti

Questo procedimento ovviamente non elimina l’effetto dell’attrito dinamico (costante e indipendente dalla velocità)

0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78

0 2 4 6 8 10 12

Accelerazione rad/s

Tempo

Misura con M = 60 g

Come estrarre l’accelerazione angolare ?

0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78

0 2 4 6 8 10 12

Accelerazione rad/s

Tempo

Misura con M = 60 g

0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78

0 2 4 6 8 10 12

Accelerazione rad/s

Tempo

Misura con M = 60 g

0.74 0.75 0.76 0.77

-1 1 3 5 7 9 11

Accelerazione rad/s

Tempo

Misura con M = 60 g

Dopo il terzo smooth

Si osserva un andamento di ‘a’

decrescente tipico di un moto con attrito dipendente dalla velocità.

Faccio una regressione lineare

Dopo il secondo smooth

Riassunto:

Nella misura di accelerazione si manifestano tre effetti:

a) Accelerazione subita dal corpo rigido ‘a

’ indotta dal peso b) Attrito dinamico e viscoso.

c) Basculamento del perno di rotazione.

- Il termina a) è cio che voglio misurare, cioe a

- Gli ultimi due b) e c) sono effetti di ‘rumore’.

- sono scorrelati da ‘a

’

- possono essere isolati ed eliminati

- Gli smooth e la regressione lineare hanno ridotto l’importanza di c)

- L’estrapolazione in t

elimina l’effetto dell’attrito viscoso - Rimane da verificare se l’attrito statico ha effetto

- E’ un termine costante

Misura con m = 60 g

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0 2 4 6 8 10 12

Tempo

Accelerazione rad/s

t

in cui v=0

Riassunto

• Osservo oscillazioni periodiche di ampiezza crescente

- non possono essere dovuto ad attrito – riflettete sul perchè ! - sono legate alla posizione angolare

- c’e’ qualcosa che vibra

Azione  devo eliminare questa oscillazione poiché è un effetto aggiuntivo

• Osservo una diminuzione con il tempo dell’accelerazione - E’ con tutta probabilità dovuta all’attrito

Azione  devo estrapolare il valore dell’accelerazione in assenza di attrito il momento cioè in cui inizia il moto

 L’istante in cui il moto inizia è quello in cui la velocità che misuro risulta nulla

L’obiettivo di questa parte iniziale e quello di trovare le condizioni sperimentali

(accelerazione angolare) in cui il mio setup sperimentale funziona meglio.

Uso un solido di momento di Inerzia noto

• Misuro l’accelerazione angolare del sistema per diverse tensioni

• Noto il momento di inerzia, sono in grado di calcolare l’accelerazione angolare attesa a

• Confronto la misura sperimentale con il valore atteso al variare della massa m appesa

• Una volta identificato come estrarre l’accellerazione angolare a

per 3-5 masse differenti devo confrontare il valore misurato con quello atteso

a) Trovo sempre il valore atteso

• Qualunque sia la massa appesa o a

il mio apparato funziona correttamente b) Per alcune masse il valore atteso e quello misurato di a

sono compatibili, per

altre (più leggere o più pesanti delle prime) no.

• Ho trovato un intervallo di accelerazioni angolari dove il mio apparato funziona correttamente

c) I valori attesi e quelli misurati differiscono sempre di una costante

• E’ un effetto di attrito dinamico – Errore sistematico d) Unione dei casi precedenti b e c

2

2

1 MR

I =

Devo analizzare i risultati sperimentali (massa per massa) con quelli attesi per comprendere la fisica del mio sistema sperimentale e verificare quali siano le masse più adatte (con una massa troppo piccola posso risentire troppo

dell’attrito statico, con una massa troppo grande posso risentire troppo dell’attrito dinamico o delle vibrazioni del sistema) e la tecnica di analisi migliore.

Bisogna quindi trovare i valoro di a

in cui il mio setup sperimentale funziona meglio

Ma il lavoro non è finito !

Cosa Bisogna fare

1° Giorno di esperienza

• Momento di Inerzia disco + anello

1) Conoscete il momento di inerzia del disco

2) Misurate il momento di inerzia Disco + Anello

3) Per differenza estraete il momento di inerzia del disco 4) Confrontatelo con quello teorico

E’ il controllo che il lavoro che avete fatto con il disco è

stato fatto correttamente

2° Giorno di esperienza

Ricordatevi di usare lo stesso setup sperimentale

• Montaggio e messa in piano del sistema rotante

• Montaggio sistema sperimentale sbarra

1) Momento di inerzia di una massa puntiforme

• verifica legge I ∝ r ²

2) Verifica della legge di conservazione della quantità di moto

2 2

1

1 ⋅ ω = I ⋅ ω

I

2° Giorno di esperienza - Spiegazione -

• Momento di inerzia di una massa puntiforme

• Misurate il momento di inerzia posizionando la massa a distanze diverse (almeno 4) dall’asse di rotazione

• Usate la metodologia sviluppata la settimana precedente per misurare il momento di inerzia

• Verifica legge I ∝ r

• Trovate il coefficiente di correlazione

• Fate una regressione lineare

• Estraete dal termine noto il momento di inerzia della sbarra

• La legge I ∝ r

e’ verificata ?

• Il momento estratto della sbarra è quello atteso ?

2° Giorno di esperienza - Spiegazione -

• Montaggio sistema sperimentale sbarra + guida filo + fermi

2° Giorno di esperienza - Spiegazione -

• Verifica della legge di conservazione della quantità di moto

1) Posizionare la massa quadra (che deve essere libera di scivolare lungo l’asta metrica tra i due fine-corsa) a ridosso del fine corsa esterno;

2) Tenendo il filo collegato alla massa quadra mettere in rotazione l’asta metrica;

3) Avviare il programma di acquisizione dati per la misura della velocità (l’accelerazione deve essere nulla)

4) Tirare il filo facendo scorrere rapidamente la massa quadra fino al fine-corsa interno (il momento assiale associato alla forza così applicata è nullo);

5) Fermare il programma di acquisizione;

6) Con la velocità angolare misurata prima e dopo il movimento della massa verificare se il momento angolare si conserva o meno.

2 2

1

1 ⋅ ω = I ⋅ ω

I

2° Giorno di esperienza

-Conservazione Momento Angolare –

- Nota sull’analisi dati -

In questo tipo di misura i fenomeni di attrito sono evidenti ma possono essere riconosciuti quantificati ed eliminati

Tempo

V el oc it à

Peso in posizione 1

Peso in posizione 2

Strattone

Tempo

V el oc it à

Peso in posizione 1

Peso in posizione 2

Strattone

2° Giorno di esperienza

-Conservazione Momento Angolare –

- Nota sull’analisi dati -

In questo tipo di misura i fenomeni di attrito sono evidenti ma possono essere riconosciuti quantificati ed eliminati

Tempo

V el oc it à

Peso in posizione 1 Strattone Peso in posizione 1

V

V