Viscosità
I fluidi, per come sono definiti, non dovrebbero presentare resistenza al moto di scorrimento; invece nei fluidi reali tale resistenza è osservata.
Questa resistenza è dovuta ad una forma d’attrito interno, detta viscosità, fra strati adiacenti di fluido, che si oppone allo scorrimento dell’uno sull’altro.
Un fluido reale è pertanto caratterizzato da un coefficiente di viscosità ( η ) definito operativamente come segue.
Consideriamo due lastre di vetro, una fissa e l’altra in moto con velocità costante v, al cui interno si trova un fluido reale.
Si osserva una
distribuzione di velocità (gradiente di velocità)
y
l
A = area di contatto
v F
Per v = costante, bisogna applicare F= costante e risulta
l
F ∝ vA con una proporzionalità η che dipende al fluido interposto.
dy A dv l F
F Av Av
Fl
V
V
= η = η
=
η ovvero o più in generale
dove si assume che η sia indipendente da v.
Unita di misura:
s m s Kg m Pa
s N s
m m
m N
= ⋅
⋅
⋅ =
⋅ =
⋅
2
2
/ nel sistema MKS.
(è anche usato il Poise P = 10
-1Kg/ms)
Il coefficiente di viscosità ( η ) dipende fortemente dalla temperatura Ecco alcuni valori tipici:
Fluido T (° C) η ( Kg/ms)
Acqua 0 1.8 ⋅ 10
–3Acqua 20 1.0 ⋅ 10
–3Acqua 100 0.3 ⋅ 10
–3Glicerina 20 830 ⋅ 10
–3Olio motore 30 250 ⋅ 10
–3Alcool 20 1.2 ⋅ 10
–3La viscosità introduce importanti differenze nel moto di un fluido reale rispetto a quello di un fluido ideale.
Condiderato un tubo orizzontale a sezione A costante, si ha per:
un fluido ideale un fluido reale
v costante nella sezione A v variabile nella sezione A p
A= p
Bcostante p
A> p
BLa portata per un fluido reale non può essere più calcolata come Av;
Q≠ Av
p
Ap
Bp
Ap
BMoto laminare, stazionario se la
distribuzione di velocità
non cambia nel tempo
Calcolo della portata
per un fluido reale in un tubo cilindrico
Consideriamo un cilindro di raggio R lungo L, in cui scorre un fluido in moto laminare e stazionario. La velocità in esso ha una
istribuzione con v(R)=0, v(0)= Vmax.
tazionario ⇒ v(r) = cost ⇒ d
= 0
est R
F r S
o in un cilindro di raggio r < R abbiamo +
+
= B
Per una porzione di fluid
= 0
V R A
est F F F
F r r r r
all’asse), diviene: F A − F B − F V = 0
; essendo tutte le forze parallele (
A r l
dr A dv
F V = η con = 2 π ⋅ l
0
r
F
AF
Bf
vf
vR
v(R)=
v(r)
v(0)=V
max2 2
r p
F
r p
F
B B
A A
π π
⋅
=
⋅
=
( ) 2 0
: scriviamo
pertanto
negative ente
implicitam sono
ed
aumenta mentre
diminuisce poichè
2
− + η π ⋅ =
dr l dv B r
A p p πr dr F
dv
r v
V
l rdr p dv p
l p p
r r
dv = −
A−
B⇒ = −
A−
B⋅ η
η 2
) (
2
) (
d
questa espressione ci da la variazione di velocità dv quando il raggio aumenta di dr, il segno meno mette in evidenza che la velocità diminuisce mentre il raggio aumenta. Integrando fra r ed R troviamo la corrispondente differenza di velocità. (ricordiamo che v(R)=0)
−
= −
⇒
−
− −
=
−
− ⇒
−
= ∫
∫
2 2
2 ) 2
( ) (
4
) ) (
(
2 2
) ) (
( ) ( 2
) (
r l R
p r p
v
r R l
p r p
v R v l rdr
p dv p
B A
B R A
r B R A
v r v
η
η η
v(r) ha un’andamento parabolico con r, con massimo in r = R
2. In una corona circolare con raggio r ed r+dr, di area dA=2 π r ⋅ dr, la velocità risulta costante. Possiamo calcolare pertanto la relativa portata come velocità per area ⇒ dQ = v(r) ⋅ dA
La portata totale si ottiene sommando tutti i contributi dQ al variare di r da 0 ad R ⇒
∑ = ∫
= dQ R dQ
Q 0
R
r+dr
r
4 4
) 2 (
calcolando
) 2 (
2 ( ) 4 (
) (
4 4
4
0 3 0
2 0
2 2
0
2 ) 2
0
2 2
R R
dr R r rdr
R rdr
r R
rdr r
l R p dr p
r r
l R p Q p
R R
R
B R R A
B A
