Corso di Ingegneria Civile e Ambientale A. A. 2017/18 – Prova scritta 02–07–2018

Risoluzione del...

Scritto di Geometria

Corso di Ingegneria Civile e Ambientale A. A. 2017/18 – Prova scritta 02–07–2018

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

(1) (6?) Data la retta r ₀ :

( x + 2y + z = 9

y + 4z = 5 , trova equazioni parametriche e cartesiane per la retta r 1 ortogonale a r 0 , passante per P = (3, 1, −5) e parallela al piano σ : 7x − y + 2z = 5. Trova poi equazioni parametriche e cartesiane del piano π contenente la retta r 1 e il punto Q = (2, −1, 5).

(2) (4?) Risolvi il seguente sistema col metodo di Cramer.



 

 

x + 2y + 3z = 1 x − y + z = 2 2x + y + 3z = 3

(3) (6?) Esiste un’applicazione lineare Φ : R ² [t] → R ² [t] tale che

Φ(4t + 3) = (1 + t) ² , Φ(2t + 1) = 2t , Φ(2t + 2) = t ² + 1 ?

Quante applicazioni lineari che soddisfano le precedenti condizioni esistono? Se esiste almeno un’applicazione lineare con queste propriet` a, scelte basi opportune di R 2 [t], scrivere la matrice associata a questa applicazione lineare.

(4) (8?) Data la matrice M =

 1 2 2 4



` e definita l’applicazione lineare T : M _2,2 (R) → M 2,2 (R) come T (A) = M A.

a) Dimostra che l’applicazione T ` e lineare,

b) Scrivi la base canonica C di M 2,2 (R). Se non la ricordi, scrivi una base a scelta e usa questa nei prossimi passaggi.

c) Trova la matrice M associata a questa applicazione lineare rispetto alla base C, ovvero M _C ^C (T ).

d) Trova gli autovalori di T e i relativi autovettori.

e) T ` e un isomorfismo?

f) T ` e diagonalizzabile? Se s`ı scrivi una base B di autovettori, scrivi quindi la matrice di cambio base M B ^C (Id _M

_(R) ) e la matrice M B ^B (T ).

(5) (8?) Considerare l’applicazione Γ : R 5 [t] → R ⁴ definita come

Γ(p(t)) =







 p(1) p ⁰ (1) p(−1) p ⁰ (−1)









Scrivere la matrice associata a questa applicazione rispetto a due basi a scelta. Determinare quindi

ker(Γ) e Im(Γ).

Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy, autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.

Firma:

2

Scritto di Geometria

Corso di Ingegneria Civile e Ambietale A. A. 2016/17 – Prova scritta xx–01–2018

Risposte:

(1) TESTO: Data la retta r o :

( x + 2y + z = 9

y + 4z = 5 , trova equazioni parametriche e cartesiane per la retta r 1 ortogonale a r 0 , passante per P = (3, 1, −5) e parallela al piano σ : 7x − y + 2z = 5. Trova poi equazioni parametriche e cartesiane del piano π contenente la retta r 1 e il punto Q = (2, −1, 5).

RISPOSTE

r ₁ :



 

 

x = t + 3 y = t + 1 z = −3t − 5

r ₁ :

( x − y = 2 3x + z = 4

π : 4x − 7y − z = 10 π :



 

  x = t y = s

z = 4t − 7s − 10 (2) Risposta: (5/3, −1/3, 0).

(3) I polinomi 4t + 3, 2t + 1, 2t + 2 sono linearmente dipendenti, infatti 4t + 3 = (2t + 1) + (2t + 2).

Quindi non formano una base. Tuttavia vale

Φ(4t + 3) = (1 + t) ² = 2t + (t ² + 1) = Φ(2t + 1) + Φ(2t + 2)

e quindi ` e rispettata la condizione di linearit` a per questi elementi. Possiamo costruire una base di R ² [t] aggiungendo un elemento che sia linearmente indipendente con 2t + 1 e 2t + 2:

B = {2t + 1, 2t + 2, t ² }

A questo punto possiamo scegliere dove mandare t ² arbitrariamente e per il principio di deter- minazione di un’applicazione lineare su una base abbiamo definito una delle possibili applicazioni lineari Φ richieste. Ne esistono infinite, una per ogni elemento di R ² [t]. Scegliamo Φ(t ² ) = 0 che ` e la scelta pi` u facile. La matrice associata risulta

M B ^C (Φ) =





0 1 0 2 0 0 0 1 0





dove scegliamo la base B come base per il dominio e la base canonica C per il codominio.

(4) L’applicazione ` e lineare perch´ e vale

T (B + C) = A(B + C) = AB + AC = T (B) + T (C) e T (λB) = A(λB) = λAB = λT (B)

La matrice associata ` e

M C ^C (T ) =









1 0 2 0

0 1 0 2

2 0 4 0

0 2 0 4









Il polinomio caratteristico d` a come autovalori 0 e 5 (entrambi doppi) con autospazi

V 0 = Span

  2 0

−1 0

 ,

 0 2 0 −1

 

V 5 = Span

  1 0 2 0

 ,

 0 1 0 2

 

T non ` e isomorfismo, infatti il nucleo non ` e banale: ker T = V ₀ . ` E diagonalizzabile, infatti abbiamo trovato 4 autovettori linearmente indipendenti.

M B ^C (Id _M

_(R) ) =









1 0 2 0

0 1 0 2

2 0 −1 0

0 2 0 −1







 M B ^B (T ) =









5 0 0 0

0 5 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0









(5) La matrice associata (rispetto alle basi canoniche) ` e

M =









1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5

1 −1 1 −1 1 −1

0 1 −2 3 −4 5









Suriettiva con nucleo di elementi (a + bt)(t − 1) ² (t + 1) ² ovvero generato da t ⁵ − 2t ³ + t e t ⁴ − 2t ² + 1.

4