Limiti e continuit`a in R

Limiti e continuit`

_{a in R}

.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Concetti di topologia

Il proposito di questa sezione `

e di estendere alcuni concetti propri

di R a R

.

Un punto chiave risulter`

a il concetto di limite di funzione in R

_{, e}

per fare questo necessiteremo di alcune definizione che daremo in

seguito, quali quelle di

I

intorno (aperto o chiuso);

punto di accumulazione.

Concetti di topologia

Definizione

Sia f una funzione di n variabili reali e Ω il pi`

u grande sottinsieme

di R

per cui abbia senso scrivere f (x ) per x ∈ Ω. Tale Ω si dice

dominio naturale di f

.

Esempio

Sia f (x , y ) = log(x + y ). Il dominio naturale di f `

e l’insieme dei

punti (x , y ) per cui x + y > 0, cio`

e per cui x > −y .

R

: operazioni

Siano x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), λ ∈Rscelti arbitrariamente. L’insieme

Rn= {x = (x1, . . . , xn), x1, . . . , xn∈ R}

`e dotato di

I una operazione detta addizione, per cui

x + y = (x1+ y1, . . . , xn+ yn) ∈ Rn;

I una operazione detta moltiplicazione per uno scalare, per cui λ · x = (λ · x1, . . . , λ · xn) ∈ Rn;

I una operazione detta prodotto scalare, per cui

(x, y) = n X

i =1

R

: norme e distanze

I unanormao modulo kxk_Rn= p (x, x) = q x2 1+ . . . + xn2;

I unadistanzatra x e y

R

: intorni

Definizione

Dati x ∈ R

ed  ∈ R

, si dice

intorno (sferico)

x di raggio  (o

palla di centro x di raggio ) l’insieme

B

: d (x, y) < } = {y ∈ R

: kx − yk < }

Esempio

L’insieme B

(x)

R

: punti di accumulazione, isolati, insiemi limitati

Definizione

L’elemento x ∈ R

si dice

punto di accumulazione di E

se per ogni

intorno B

di x esiste qualche y ∈ E tale che y ∈ B

\{x}

Definizione

L’elemento x ∈ R

si dice

punto isolato di E

se non `

e di

accumulazione in E .

Definizione

Un insieme E ⊂ R

si dice

limitato

se esiste r > 0 tale che

R

: punti di accumulazione, isolati, insiemi limitati

Figura : Sia E il triangolo in magenta, avente vertici (0, 0), (1.5, 0), (1.5, 1), non contenente i lati. L’origine (0, 0) `e un punto di

R

: punti interni, esterni, frontiera

Definizione

L’elemento x ∈ Rn si dice

I punto interno ad E se esiste un suo intorno B(x),  > 0, contenuto in E ;

I punto esterno ad E se `e un punto interno al complementare di E ; I punto di frontiera per E se non `e ne’ un punto interno ne’ un punto

esterno di E ;

Definizione

I interno di E, spesso denotato con ˚E , l’insieme dei punti interni di E ; I frontiera di E, spesso denotato con ∂E , l’insieme dei punti di

frontiera di E ;

R

: aperti e chiusi

Definizione

Un insieme E ⊆ Rn_{si dice}

I _{aperto di R}n _{se coincide col suo interno;}

I _{chiuso di R}n _{se il suo complementare `}

e aperto di Rn_;

Nota.

R

: sui chiusi

Teorema

Sia E ⊆ Rn. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(i) E `e chiuso;

(ii) ∂E ⊆ E ;

(iii) E contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Definizione

Un insieme A ⊆ E ⊆ Rnsi dicedenso in E se la sua chiusura coincide con E , cio`e A = E .

Esempio

R

: infinito

Come in precedenza per il caso di R resta da definire quali siano gli intorni di ∞ in Rn_.

Definizione

{y ∈ Rn, ky k_Rn > a, a ∈ R+} ∪ {∞} sono intorni di ∞ in Rn_{, cio`e i complementari di dischi centrati} nell’origine e aventi raggio a.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

R

: limite, caso generale

Definizione

seper ogni intorno V di L esiste U intorno di x0tale che f (x) ∈ V per

ogni x ∈ U \x0.

R

: lim

= L ∈ R

Definizione

R

: lim

f (x) = ∞

Definizione

R

: lim

f (x) = L ∈ R

Definizione

Se x0∈ Rn, f : X → Rm,X contenente un intorno di ∞, allora L = lim

x→∞f (x)

R

: lim

f (x) = ∞

Definizione

Se f : X → Rm, X contenente un intorno di ∞, allora lim

x→∞f (x) = ∞

R

: nota

Nota.

Si dimostra che

I il limite, se esiste, `eunico;

I ilimitidellasommae delprodotto scalaresono uguali

rispettivamente alla somma e al prodotto scalare dei limiti, qualora questi ultimi esistano finiti;

I _{siano f : X ⊆ R}n_{→ R}k

, g : Im(f ) ⊆ Rk _{→ R}m_{. Siano x} 0∈ X , y0∈ Im(f ) punti di accumulazione rispettivamente in X e Im(f ). Se

R

: restrizione a curve

Definizione

Sia I ⊆ R. Una

curva

in R

(m ≥ 2) `

e una funzione γ : I → R

continua in I .

Teorema

Sia x

un punto di accumulazione per X ⊆ R

e f : X → R. Allora

lim

f (x) = L ⇒ lim

f (γ(t)) = L

R

: restrizione a rette

Visto che una retta passante per x0`e ovviamente una curva verificante le precedenti ipotesi, abbiamo:

Corollario

Una condizionenecessariaper l’esistenza del limite (finito o infinito) di una funzione f : X ⊆ R2_{→ R per x → x}

0`e che la funzione ristretta a ogni retta passante per x0 ammetta lo stesso limite.

I Questa osservazione viene spesso usata per dimostrare la non esistenzadi un limite.

R

: restrizione a rette

Esempio

Mostrare che la funzione

f (x , y ) = x 3_{+ y}2 x2_{+ y}2 non ammette limite per (x , y ) → (0, 0).

Svolgimento.

Le rette per (0, 0) sono tutte del tipo y = mx . Allora, fissato m, la funzione su questa retta vale

Somme inferiori e superiori

R

: restrizione a rette

Esempio

Mostrare che la funzione f (x , y ) =



x · ex /y_{, se y 6= 0} 0, se y = 0 non ammette limite per (x , y ) → (0, 0).

Traccia.

I Si vede che se restringiamo la funzione alle rette y = mx passanti per l’origine, allora se y 6= (0, 0), m 6= 0

f (x , y ) = f (x , mx ) = x · ex /mx= x · e1/m→ 0 mentre se m = 0, cio`e y = 0, per definizione f (x , y ) = 0.

I Tuttavia sull’arco y = x2, abbiamo

f (x , y ) = f (x , x2) = x · ex /x2= x · e1/x→ +∞.

R

: continuit`

a

Definizione

, f : X → Rm_{. Allora f si dice continua in x}

0∈ Rnse vale una delle seguenti

(i) x0`e un punto isolato;

(ii) x0`e un punto di accumulazione per X e lim

x→x0

f (x) = f (x0).

R

: continuit`

a

Nota.

Si dimostra che

I La somma e il prodotto scalare di funzioni continue sonofunzioni continue;

I _{Siano f : X ⊂ R}n_{→ R}k_{, g : Im(f ) ⊂ R}k _{→ R}m funzioni continue. Allora h = g ◦ f `e una funzione continua;

I _{I polinomi di R}nsono funzioni continue;

R

: continuit`

a

Esempio

La funzione f (x , y ) = ex ·y3+x4 `e una funzione continua, in quanto lo `e il polinomio x · y3+ x4composto con l’esponenziale (che `e funzione continua).

Esempio

La funzione f (x , y ) = sin (x · y3_{+ x}4_{+ cos(x · y ))/(1 + x}2_{· y}4_{+ e}y_{) `e} continua nel dominio naturale R2, in quanto

I lo `e il polinomio x · y3+ x4 ;

I lo `e cos(x · y ) (composizione polinomio in due variabili con funzione continua);

I lo `e sin(z) (funzione continua); I lo `e la somma di funzioni continue; I lo `e il denominatore 1 + x2_{· y}4_{+ e}y