La struttura a termine dei tassi d interesse. Benedetto Matarazzo

(1)

La struttura a termine dei tassi d’interesse

Benedetto Matarazzo

(2)

Struttura per scadenza dei tassi di interesse

La struttura per scadenza

dei

tassi d’interesse

Tassi forward Tassi spot

Metodi di misurazione

Corso di

Matematica Finanziaria

Generalità sul

mercato dei capitali

Relazione tra tassi spot e farward

Prezzi dei titoli e tassi di interesse di mercato

(3)

Indice

1. Struttura a termine dei tassi d’interesse

“SPOT” .

2. Struttura per scadenza implicita

“FORWARD” .

3. Teorie e forme della struttura per scadenza

4. La misurazione della struttura per scadenza.

(4)

Struttura “SPOT”

• Mercato dei capitali strutturato su m periodi t

₀

, t

₁

, t

₂

, …, t

_m

• V(t

₀

, t

_k

): prezzo a pronti (in t

₀

) di uno zero – coupon bond unitario, con k = 1, 2, …, m.

Mercato “completo” rispetto alla struttura dei tassi SPOT i(t

₀

, t

_k

), ossia dei tassi ivi vigenti nel periodo [t

₀

, t

_k

].

La struttura a termine o per scadenza dei tassi di

interesse al tempo t rappresenta la relazione tra i

prezzi (o i tassi di rendimento) dei titoli presenti su

un dato mercato e le loro scadenze T o durate T-t

(5)

Struttura “SPOT”

) , 0 ( ) 1

, 0

( t V t

r 

 ⁱ ^t 

^t

^e

^t

t

r ( 0 , )  1  ( 0 , ) 

^

V(0,t): prezzo di uno zero – coupon bond unitario scadente al tempo t

e valutato al tempo 0 [tsc(t)]; N.B: V(0,s)>V(0,t) per s<t; V(0,0)=1=V(t,t).

0 t

-V(0,t) 1

r(0, t)

V(0, t) r(0, t) = 1

Legge finanziaria ad una variabile

Fattore di attualizzazione (decrescente con t): v(0, t) = r(0, t)^-1  V(0, t) = v(0, t).

i(0, t): tasso periodale vigente in [0, t], valutato in 0.

(0, t): tasso istantaneo vigente in [0, t], valutato in 0.



(segue)

*

(6)

Struttura “SPOT”

   ⁰ ^,  ¹ ^;

) , 0

( t  r t

¹^t

 i

 ⁱ ^t 

^t

^e

^t ^t

t

r ( 0 , )  1  ( 0 , ) 

^ ⁽⁰ ^, ⁾

 ^r   ^t   ⁱ   ^t 

t 1 t lo g 0 , lo g 1 0 ,

) , 0

(   



  ^t

V 0 ,  ¹ ^ ⁱ   ⁰ ^, ^t 

^t

^ ^V   ⁰ ^, ^t ^e

^

^{ }

⁰ ^,^t ^t

^ ¹

Tasso di rendimento effettivo del tsc(t) spot o a pronti (valutato e praticato in 0) Mercato finanziario: tsc scadenti in tempi diversi  valori dei tassi spot per possibili durate t (“curva zero-coupon”, che descrive le relazioni “scadenza-rendimento”).

Interpolando ed estrapolando tali valori  struttura a termine (o per “scadenza”, intesa come “vita residua” del titolo) dei tassi d’interesse vigenti ed osservati in

quell’istante (ossia tassi a pronti per tutte le possibili scadenze), detta anche yeld curve:

  ⁰ ^, ^t ^e   ⁰ ^, ^t ^,

i   t  0

Struttura piatta: i(0, t) = i(0) = i>0,  t , (0, t) = (0) = 0,  t

ossia si considera un unico “tasso di mercato” per tutte le scadenze future

(segue)



  t ^

i , 0   ¹ ⁰ ^, ¹

1

 



 





^t

t V

(in termini di prezzo) , ossia:

(7)

Esempio 1

0 3

-92,8 100

-0,928 1 (ZCB unitario)

V(0,3) = v(0,3) = 0,928; r(0,3) = 1/V(0,3)

0,928 r(0,3) = 1 → r(0,3) = 1/0,928 = 1,077 = [1+i(0,3)]³ = e^(0,3)3

*

   ⁰ ^,  ¹ ^;

) , 0

( t  r t

¹^t



i

^{→ i(0,3)} ^{= [1,077]}^1/3 - 1 = 0,025

 (0,t) = 1/t log[r(0,t)];

_→ _(0,3) = 1/3 log(1,077) = 0,0247

In funzione del prezzo V(0,3):

i(0,3) = [1/0,928]^1/3 - 1 = 0,025

(0,3) = 1/3 log(1/0,928) = 0,0247

In funzione del fattore di capitalizzazione r(0,3):

Calcolo tassi spot

(8)

Struttura “SPOT” ^(segue)

Esempi di struttura a termine (prima dell’euro)

Informazioni statiche, dinamiche, spaziali:

(9)

Curva dei tassi spot

Titoli di Stato Italia

(10)

Actual Chg %Chg

United States 2.6315 0.034 0.03%

United Kingdom 1.7250 0.02 0.02%

Japan 0.2470 0.008 0.01%

Australia 2.9500 0.007 -0.01%

Germany 0.6660 0.018 0.02%

Brazil 11.5550 0.435 0.44%

Russia 11.7100 0.07 -0.07%

India 6.9140 0.003 0.00%

Canada 2.5530 0.038 0.04%

Italy 2.3350 0.031 0.03%

France 1.2140 0.04 0.04%

South Africa 9.5350 0.060 -0.06%

China 2.7860 0.002 0.00%

Switzerland 0.7060 0.03 0.03%

Tassi spot 10 anni Mondo

7 aprile 2022

(11)

Bonds Yield Day Month Year Date

Italy 10Y 2.3280 0.02% 0.735% 1.670% 17:48

Italy 1M -0.68 0.035% -0.060% -0.157% Apr/07

Italy 52W -0.33 0.031% 0.167% 0.088% Apr/07

Italy 20Y 2.67 0.023% 0.579% 1.423% Apr/07

Italy 2Y 0.42 0.015% 0.506% 0.807% Apr/07

Italy 30Y 2.74 0.009% 0.447% 1.051% Apr/07

Italy 3M -0.58 -0.001% -0.006% -0.034% Apr/07

Italy 3Y 1.12 0.032% 0.756% 1.383% Apr/07

Italy 5Y 1.49 0.028% 0.776% 1.489% Apr/07

Italy 6M -0.46 0.002% 0.049% 0.005% Apr/07

Italy 7Y 1.94 0.029% 0.779% 1.616% Apr/07

Italy 15Y 2.46 0.068% 0.633% 1.286% Apr/07

Italian 10-year BTP 7 aprile 2022

(12)

Contratti a termine

V(t₀, t₁, t₂) : prezzo fissato in t₀ per esecuzione (consegna/pagamento) a termine di uno zero – coupon bond unitario per il periodo tra due scadenze t₁,t₂, (t₀ < t₁< t₂)

I tassi SPOT per i periodi (t₀, t₁) e (t₀, t₂) individuano il tasso in vigore tra il tempo t₀ della stipula ed esecuzione del contratto e la scadenza (rimborso del titolo) dello stesso (rispettivamente t₁e t₂)

Tassi FORWARD i(t₀, t₁, t₂): si riferiscono ad operazioni di acquisto di tsc con epoca della stipula (t₀) antecedente quella dell’esecuzione (t₁) e del rimborso (t₂), ossia, ad un “contratto a termine” (t₀ < t₁< t₂), che più in generale è un accordo stipulato al tempo t₀per lo scambio

ad una data futura prefissata (scadenza del contratto forward) di un bene (detto sottostante) ad un prezzo prefissato in t₀

(detto prezzo a termine o forward) con consegna e pagamento al tempo t₁; Tali tassi sono perciò chiamati tassi forward di mercato.

N.B. Al momento della stipula (t₀) il valore del contratto è, per definizione, nullo.

Se il sottostante è un tsc, esso avrà una sua scadenza (data del rimborso unitario).

Il prezzo forward V(t₀, t₁, t₂) dipende allora dalla data di stipula (t₀), dalla scadenza del contratto (t₁) e dalla scadenza del sottostante (t₂) .

(13)

Struttura implicita “FORWARD”

V(0, s, t): prezzo convenuto al tempo 0 di uno zero – coupon bond scambiato al tempo s e scadente al tempo t (0 < s < t).

0 t

-V(0,s,t) 1

s

r(0,s, t)

Esecuzione (Titolo/Prezzo)

Fine (Rimborso)

V(0, s, t) r(0, s, t) = 1 

 r



s t



V



s t



, , 0 , 1

,

0 

Legge finanziaria a due variabili i(0, s, t): tasso periodale vigente in [s, t], valutato in 0.

(0, s, t): tasso istantaneo vigente in [s, t], valutato in 0.

 ^s ^t  ^  ^ ⁱ  ^s ^t  

^t ^{ s}

^

r 0 , , 1 0 , , e

^

^

⁰ ^,^s ^,^t

^

^t ^ ^s

^

Stipula (Impegno)

(14)

Struttura implicita “FORWARD”

 ⁰ ^, ^s ^, ^t  ^  ^r  ⁰ ^, ^s ^, ^t  

^t^{ s}¹

^ ¹ ^;

i       ^

  r s t

s t t

s 1 lo g 0 , ,

, ,

 0 ^{lo g}  ¹ ^ ⁱ  ⁰ ^, ^s ^, ^t  

 ^s ^t 

V 0 , ,  ¹ ^ ⁱ  ⁰ ^, ^s ^, ^t  

^{t } ^s

 V  0 , s , t 

^ ^⁰^,^{s ,}^t^ ^^{t } ^s^

 1

Tasso di interesse (di rendimento) forward o a termine effettivamente praticato sul mercato al tempo 0 per il periodo [s, t] (0 < s < t).

Vendite “allo scoperto” (short sales):

Equivalente ad un finanziamento (o all’emissione di un tsc) per il periodo [0, t]

allo stesso tasso i(0, t)

0 t

+V(0,t) -1

  ^t ^V   ^t

r 0 ,

, 1

0 

  ^t ^

i , 0  ^r   ⁰ ^, ^t 

¹^t

^{ 1} ^ _{ } 1 ,

0 1

1

 



 





^t

t V

 ^s ^t  ^  ^ ⁱ  ^s ^t  

^t ^{ s}

^

r 0 , , 1 0 , , e ^ ^ ⁰ ^, ^s ^, ^t ^{ } ^t ^ ^s ^

(segue)

(15)

Relazioni tra tassi spot e forward

Ipotesi:

- Condizione di scindibilità (capitalizzazione composta):

- Assenza di arbitraggio (assioma di coerenza):

non è possibile realizzare un profitto esente da rischio ed illimitato senza impiegare capitale proprio, ossia semplicemente effettuando sul mercato operazioni a pronti e a termine.

t r(0,s, t)

0 s

r(0,s)

r(0, t)

NO: r(0, s) r(0, s, t) <[>] r(0, t)

   ^s ^r ^s ^t    ^r ^t

r 0 , 0 , ,  0 ,  ¹ ^ ⁱ   ⁰ ^, ^s  

^s

^{ 1} ^ ⁱ ^ ⁰ ^, ^s ^, ^t ^ 

^t^{ s}

^  ¹ ^ ⁱ   ⁰ ^, ^t 

^t

Equivalente a:

, ossia:

Considerando tutti i periodi unitari [t_k-1, t_k] tra s e t: operazioni roll-over di disinvestimento ed investimento immediato ai tassi periodali i(t₀, t_k-1, t_k).

(16)

Relazioni tra tassi spot e forward

 ^

 1 ⁱ  ⁰ ^, ^s ^, ^t  

^t^{ s}

^ ^ _

1

1 

 ⁱ   ⁰ ^, ^t

  ^s

i 0 ,



^t



^s

(forward) (spot)

ovvero:

 ^{t } ^s  ^  ⁰ ^, ^{s ,} ^t  ^ ^t ^   ⁰ ^, ^t ^ ^s ^   ⁰ ^, ^s

 I tassi forward sono contenuti implicitamente nella struttura (a termine) dei tassi spot (tassi a pronti); sono pertanto anche detti “tassi impliciti”

(segue)

   ^s ^r ^s ^t    ^r ^t

r 0 , 0 , ,  0 ,

 ¹ ^ ⁱ   ⁰ ^, ^s  

^s

^{ 1} ^ ⁱ ^ ⁰ ^, ^s ^, ^t ^ 

^t^{ s}

^  ¹ ^ ⁱ   ⁰ ^, ^t 

^t

 ( 0 , )

) , 0 ( )

, 0 (

) , 0 ) (

, , 0

( V t

s V

s r

t t r

s

r  

(0<s<t)

ossia, in termini di tassi (periodali ed istantanei):

e quindi in capitalizzazione continua il tasso a lunga [(0,t)] è una media aritmetica ponderata dei tassi a breve spot [(0,s)] e forward [(0,s,t)]

(17)

0 2 5

i(0,2) = 0,03 i(0;2,5) = 0,04 i(0,5) = 0,036

r(0,2) = 1,061 r(0;2,5) = 1,124 r(0,5) = 1,193

V(0,2) = 0,943 V(0;2,5) = 0,889 V(0,5) = 0,838

Tassi:

(1+0,03)²(1+0,04)³ = (1+0,036)⁵

→ (1+0,04)³ = (1+0,036)⁵/(1+0,03)²

Fattori di capitalizzazione 1,061*1,124 = 1,193

→ 1,124 = 1,193/1,061 Prezzi:

0,943*0,889 = 0,838

→ 0,889 = 0,838/0,943 spot

forward

Esempio 2

(1+0,04)³ = 1,124 = 1/0,889

Calcolo valori forward

Relazione tra tassi, fatt. capitalizz. e prezzi:

(18)

Relazioni tra tassi spot e forward

(segue)

. , ...

, 1 ) ,

, 0 (

) , 0 ... (

) , 0 (

) , 0 ) (

, 0 ( )

, 0 (

1 0

1

0

k n

t r

t t r

r t

r

k k

k

 



Siano 0=t₀<t₁<…<t_n-1<t_n=t e 0  t_h-1 s <t_h t.

Per la condizione di coerenza, si ha:

^r  ⁰ ^, ^t

_k _₁

  ^r ⁰ ^, ^t

_k _₁

^, ^t

_k

 ^ ^r  ⁰ ^, ^t

_k



ossia:

) , 0 (

) , 0 ) (

, , 0 (

1 1



 

k k k

k r t

t t r

t r

Per leggi a termine:

r ( 0 , s , t

_k

)  r ( 0 , s , t

_h

) r ( 0 , t

_h

, t

_h_₁

) r ( 0 , t

_h _₁

, t

_h_ ₂

) . . . r ( 0 , t

_k _₁

, t

_k

) .

In termini di tassi periodali, per t_k= t_n = t :

 ¹ ⁽ ⁰ ^, ^, ⁾   ¹ ⁽ ⁰ ^, ^, ⁾   ¹ ⁽ ⁰ ^, ^, ⁾  ^.

) , , 0

(

₁ ¹

1

  

 





 









^t ^s ^h ⁿ _j _j ^t^j ^t^j

h j s t

h

i t t

t s i

t s r

Pertanto, il tasso periodale (costante) i(0,s,t), s=0,1,…,t_n-1 è una particolare media funzionale dei tassi i(0,s,t_h)=i(t₀,s,t_h), i(0,t_h,t_h+1),…,i(0,t_n-1,t_n)=i(0,t_n-1,t), ossia è una media dei tassi a termine nell’intervallo [s,t]; il primo di tali tassi sarebbe un tasso a pronti se fosse s=0.

da cui

r ( 0 , t

_k

)  r ( 0 , t

₀

) r ( 0 , t

₀

, t

₁

) r ( 0 , t

₁

, t

₂

) ... r ( 0 , t

_k_₁

, t

_k

) .

(19)

Relazioni tra tassi spot e forward

(segue)

Siano 0=t₀<t₁<…<t_n-1<t_nscadenze periodiche unitarie, ossia t_k=k, k=0,1,…,n.

Si considerino i tassi farward monoperiodali i(0,k,k+1), detti anche tassi short, valutati in t₀=0, relativi al singolo periodo k,k+1, in funzione dei corrispondenti tassi spot i(0,k), i(0,k+1).

Si ha:

 

    ^.

) , 0 ( 1

) 1 ,

0 ( ) 1

1 ,

0 ( ) 1

, 0 ( 1

) 1 ,

0 ( ) 1

1 ,

, 0 ( 1

1 k

k k

k i

k k i

k i i

k k i

k

i  

 







 



 



 



^

Allora, se i tassi spot monoperiodali sono crescenti, ossia i(0,k)<i(0,k+1), il

corrispondente tasso farward (short) i(0,k,k+1) sarà maggiore di tali tassi, essendo i(0,k,k+1)>i(0,k+1)>i(0,k). Pertanto, la curva rappresentativa dei tassi farward monoperiodali (tassi short) giacerà al di sopra di quella dei tassi spot.

Se, invece, i tassi spot decrescono, i corrispondenti tassi short saranno

minori di essi e la curva rappresentativa dei tassi farward monoperiodali (tassi short) giacerà al di sotto di quella dei tassi spot.

Di conseguenza, la curva dei tassi farward monoperiodali intersecherà quella dei tassi spot rispettivamente in corrispondenza dei punti di massimo o di minimo relativo.

Pertanto, tra i tassi short ed i tassi spot valgono le stesse relazioni intercorrenti tra grandezze “marginali” (tassi short) e “medie” (tassi spot).

(20)

MATRICE DEI TASSI SPOT E FORWARD (interesse, sconto) IN FUNZIONE DEI PREZZIDI ZCB

t 0 1 2 3 4 5 6

s V(0,s) 1 0,965 0,9427 0,912 0,878 0,838 0,79

0 1 0 0,0362694 0,0299431 0,031181 0,033062 0,0359796 0,040069(spot) 1 0,965 -0,035 0 0,0236555 0,028647 0,031995 0,0359071 0,040831 (forward) 2 0,9427 -0,02907 -0,023109 0 0,033662 0,03619 0,0400235 0,045169 (forward) 3 0,912 -0,03024 -0,027849 -0,032566 0 0,038724 0,0432188 0,049033 (forward) 4 0,878 -0,032 -0,031003 -0,034926 -0,03728 0 0,0477327 0,054226 (forward) 5 0,838 -0,03473 -0,034663 -0,038483 -0,04143 -0,04556 0 0,060759(forward) 6 0,79 -0,03853 -0,039229 -0,043217 -0,04674 -0,05144 -0,057279 0

N.B. (1+i(0;s,t))*(1+i(0;t.s)) = 1 Relazione tra tassi spot (medi) e tassi short (marginali)

scadenza 1 2 3 4 5 6

spot 0,036269 0,029943 0,031181 0,033062 0,03598 0,040069 short 0,036269 0,023655 0,033662 0,0387244 0,047733 0,060759

Esempio 3

(21)

MATRICE (simmetrica) DEI TASSI DI INTERESSE SHORTE FORWARD IN FUNZIONE DEI TASSI SPOT

t 1 2 3 4 5 6

s i(0,s) 0,036 0,03 0,03118 0,033 0,036 0,04

1 0,036 0 0,024035 0,028778 0,032002 0,036 0,040802 (forward)

2 0,03 0,024035 0 0,033544 0,036009 0,040019 0,045036 (forward)

3 0,03118 0,028778 0,033544 0 0,038479 0,043272 0,048895 (forward)

4 0,033 0,032002 0,036009 0,038479 0 0,048087 0,054143 (forward)

5 0,036 0,036 0,040019 0,043272 0,048087 0 0,060233 (forward)

6 0,04 0,040802 0,045036 0,048895 0,054143 0,060233 0

Esempio 4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

1 2 3 4 5 6

Tassi spot e short

Tassi spot Tassi short

 ^

 1 ⁱ  ⁰ ^, ^s ^, ^t  

^t^{ s}

^ ^ _

1

1 

 ⁱ   ⁰ ^, ^t

  ^s

i 0 ,



^t



^s

(22)

Relazioni tra prezzi spot e forward

Determinazione del prezzo forward V(0, s, t) compatibile con l’assenza di opportunità di arbitraggio (0<s<t)

Flussi di cassa di una strategia di trading che prevede:

* al tempo 0 emissione di un tsc con scadenza in t al prezzo V(0,t), acquisto di Q=V(0,t)/V(0,s) tsc scadenti in s al prezzo V(0,s)

* al tempo s incasso dei Q tsc ivi scadenti

* al tempo t rimborso del tsc ivi scadente

Tempo 0 s t

Operazione

emissione di un tsc(t) +V(0,t) -1

acquisto di Q tsc(s) - [V(0,t)/V(0,s)]V(0,s) +V(0,t)/V(0,s)

contratto forward -V(0,s,t) +1

Totale 0 V(0,t)/V(0,s)-V(0,s,t) 0

e quindi: V(0,s,t)= V(0,t)/V(0,s)= r(0,s)/r(0,t) (unico prezzo compatibile con l’ipotesi).

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Le principali teorie e le possibili forme della struttura a termine

- Crescenti (incremento) - Decrescenti (ribasso) - Piatte (invarianza)

- Con la “gobba” (rialzo seguito da un ribasso)

- Con un “minimo” intermedio (ribasso seguito da un rialzo)

• statiche (osservazioni allo stesso tempo): forma della curva dei tassi per diverse scadenze

• dinamiche (osservazioni in tempi diversi): l’evoluzione della struttura a termine

• spaziali (osservazioni in mercati diversi): confronti tra diversi Paesi

La differenza tra tassi a breve e tassi a lungo: risk premium e liquidity premium;

giustificherebbe una curva dei tassi crescente

Teoria delle aspettative: le diverse forme riflettono le attese del mercato circa

l’andamento futuro dei tassi di interesse: tassi forward attuali i(0,1,k)  spot a 1 anno.

Dinamica dei tassi spot fondata sulle aspettative.

Teoria del premio per la liquidità: aspettative di maggior rendimento per titoli con

scadenza più lunga, con minore liquidità e più sensibili a variazioni di tasso di mercato.

Teoria della segmentazione dei mercati: chiare preferenze degli investitori per alcuni intervalli di scadenze (domanda ed offerta).

Informazioni ottenibili:

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La misurazione della struttura a termine

Osservazione dei prezzi degli zero – coupon bond e di altri titoli obbligazionari con opportune scadenze

- problemi di stima (bootstrapping: tsc + titoli con cedola)

- approssimazioni con T.I.R. e scadenze medie per i titoli complessi

1. Misurazione come problema di algebra lineare (sistema lineare mn, m titoli con cedola ed n scadenze dei flussi)

2. Modelli parametrici (adattamento di opportune funzioni: interpolazione lineare, logaritmica (Bradley e Crane), metodi di McCulloch, Houglet,…);

stima dei parametri, spesso col metodo dei minimi quadrati

3. Stima come problema di programmazione lineare (ottimizzazione di portafoglio)

La struttura a termine dei tassi d interesse. Benedetto Matarazzo