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CAPITOLO I Analisi del sistema MC-CDMA con canale non lineare.

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Academic year: 2021

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(1)

Analisi del sistema MC-CDMA

con canale non lineare.

I.1 Introduzione

In questo capitolo sarà analizzato il sistema MC-CDMA (Multi Carrier - Code Division Multiple Access) nella sua completezza fatta eccezione per il generatore di traffico a cui verrà dedicato tutto il capitolo successivo.

L’impiego di sistemi MC-CDMA è utile in quanto riunisce una discreta robustezza contro il fading da cammino multiplo e la garanzia di una flessibilità efficiente grazie alla tecnica da accesso multiplo; d’altro canto però, la presenza di un amplificatore di potenza (HPA) che viene usato vicino alla sua zona di saturazione, rappresenta un aspetto critico: ciò si riflette nei prodotti da intermodulazione che vanno a disturbare il segnale utile e i canali vicini comportando significative degradazioni delle performance che necessitano pertanto di adeguate contromisure.

L’approccio che si considererà nella presente trattazione è costituito dall’uso di una appropriata tecnica di predistorsione del segnale prima che esso venga trasmesso.

L’idea è quella di ottimizzare in maniera ricorsiva e simultanea, secondo l’approccio multi-user, le costellazioni dei simboli di ciascun utente attivo in modo da minimizzare le componenti d’interferenza, il tutto cercando di mantenere un livello di complessità ragionevole (questo secondo aspetto sarà curato assegnando via via agli utenti che si attivano dei codici in modo da ridurre il PAPR, peak-to-average-power ratio).

(2)

HPA Nel presente capitolo ci occuperemo del sistema MC-CDMA sincrono di cui vediamo un primo schema semplificato in Fig. I.1:

Multi-carrier CDMA Trasmettirore HPA Canale AWGN Multi-carrier CDMA Ricevitore

Fig. I.1 – Schema generale di un sistema di trasmissione MC-CDMA

Dalla figura si può notare che il sistema è stato scomposto in tre blocchi fondamentali: il trasmettitore, il ricevitore e il blocco centrale, che, a sua volta, è costituito dall’amplificatore di potenza (HPA) che è il responsabile dell’introduzione della non linearità e il canale che in questo caso sarà considerato AWGN (Additive White Gaussian Noise), ossia introduce solamente un rumore additivo gaussiano.

In Fig. I.2 è riportato lo schema particolareggiato del trasmettitore MC-CDMA:

1

di

(k )

Fig. I.2 – Schema a blocchi del trasmettitore MC-CDMA

Il trasmettitore connette la Base Station (BS) con Nu Mobile Station (MB); il generatore (k ) c0 (k ) cL!1 (k ) C O P Y

Σ

Σ

I F F T P R E F I X P/S Filtro TX 1….Nu

(3)

c

0 (k )

cL(k )!1

cL!1

(k )

l’indice i indica l’istante temporale e il k indica l’utente a cui il simbolo appartiene; i simboli appartengono ad una costellazione M-QAM. Tale simbolo viene copiato Ns volte (dove Ns rappresenta il numero delle sottoportanti, che in seguito verrà posto a 1). Ogni sottoportante viene adesso moltiplicata per una sequenza di spreading (L) i cui elementi

sono cm

(k )! ±1

{ }

con 0 ≤ m ≤ (Nu-1) che stabilisce il set di informazioni per

l’identificazione del canale in sede di ricezione (Nu=L); i dati cosi ottenuti vengono sommati in maniera sincrona su tutte le sottoportanti dopodichè si modula il risultato con

una IFFT che viene eseguita su un numero di punti pari a NS! L. Tale valore rappresenta

anche il numero di portanti disponibili. A questo punto si aggiunge un prefisso ciclico per preservare l’ortogonalità tra sottoportanti ed evitare l’interferenza tra blocchi successivi. Il segnale viene ricompattato da un convertitore parallelo/serie e passato ad un filtro sagomatore di impulsi che usa una forma a radice di coseno rialzato (RRCR). Il segnale così elaborato e’ pronto per essere passato all’amplificatore di potenza e conseguentemente trasmesso.

Analizziamo adesso il ricevitore:

Fig. 1.3 – Schema ricevitore MC-CDMA

Il segnale ricevuto viene convoluto con il filtro di ricezione adattato e campionato.

I campioni passano attraverso un convertitore serie/parallelo, e conseguentemente vengono demodulati con l’operazione inversa rispetto a quella in trasmissione, ossia una FFT. I simboli demodulati vengono adesso moltiplicati per gli stessi chip, realizzando il despreading. Il sommatore non fa altro che sommare il contenuto delle varie sottoportanti e le normalizza dividendole per L. A questo punto i simboli vengono di nuovo compattati da un convertitore parallelo/serie e infine passati al decisore.

Filtro RX S/P P R E F I X F F T

Σ

Decisore

(4)

I.2 Predistorsore

Il principio di funzionamento della tecnica di predistorsione che si intende usare, si occupa sostanzialmente di modificare il segnale che viene trasmesso (la sua costellazione) in modo da compensare, o almeno mitigare, l’intrinseca non linearità dell’amplificatore di potenza.

Sono due i maggiori problemi che si incontrano nell’uso di un canale non lineare ed entrambi riguardano il modo in cui la costellazione nominale viene distorta: 1) clustering, ossia l’effetto secondo il quale ciascuno degli M punti della costellazione nominale si trasforma in un cluster cioè una nuvola di punti che riflette l’interferenza inter-simbolica agli istanti di campionamento e 2) warping, ossia il fatto che i centri di massa di ciascun cluster non coincidano più con i valori nominali della costellazione ma si trovino traslati rispetto ad essi.

Per ovviare agli effetti appena citati si è pensato di modificare i simboli che devono essere trasmessi in modo da ottenere al ricevitore una costellazione che sia , in media, simile a quella nominale: si predistorce la costellazione iniziale in modo tale che la predistorsione effettuata artificialmente composta con la deformazione operata dalla non linearità dia come risultato finale la costellazione nominale.

Trattando adesso un sistema MC-CDMA che dunque prevede la presenza di più utenti contemporaneamente, bisogna estendere il discorso della predistorsione su una costellazione, alle costellazioni di tutti gli utenti attivi: per questo si rende necessario iterare in maniera congiunta a tutti gli utenti attivi la procedura di predistorsione delle varie costellazioni in gioco, infatti a causa della MAI (Multiple Access Interference) si ha la perdita di ortogonalità dei codici delle varie portanti e a partire da questa considerazione si dovrà prevedere una sorta di memoria sull’utente da predistorcere che riguardi anche i simboli contemporaneamente trasmessi dagli altri utenti attivi.

Secondo tali considerazioni, l’algoritmo di predistorsione può essere riassunto nei seguenti passi:

(5)

1) si consideri una costellazione di M punti per ognuno degli Nu utenti e si consideri il k-esimo utente; si focalizzi l’attenzione sul simbolo m∈M con 1≤m≤M: a causa della memoria del sistema, la costellazione di interesse si trasformera in una

costellazione estesa di MNu!1

elementi e di !l, m

(k )

sottocluster dove k indica l’utente di riferimento, m il simbolo della costellazione di k, e l la costellazione estesa a tutti gli interferenti. Ciascun valore del cluster si riferisce ad una combinazione tra i simboli trasmessi dall’utente k interferito dagli Nu-1 altri utenti.

2) I centri di massa dei vari cluster sono stimati in sede di trasmissione utilizzando

un banco di RICEVITORI LOCALI: indicando con zl, m

(k )

(n) il simbolo ricevuto all’istante n dal ricevitore locale del k-esimo utente, si procede a stimare il centro di massa del cluster in questo modo:

ql, m (k ) (i)= 1 Nl, m (k ) (i)! zl, m (k ) (n) n"#

$

l ,m( k ) dove !l, m (k ) = N l, m (k )

(i) che contiene gli indici temporali:

n! i " 1

( )

NT (k ) (i),iNT (k ) (i) #$

)

e dove zl, m (k ) (n)!"l, m (k ) e: NT (k ) (i)= Nl, m (k ) (i) l=1 MNu!1

"

m=1 M

"

dove i rappresenta l’indice di ciclo per l’iterazione e NT

(k )

(i) il numero totale di simboli trasmessi del k-esimo utente durante la i-esima iterazione.

(6)

3) il confronto tra il centro di massa appena calcolato e il valore nominale del simbolo fornisce: el, m (k ) (i)! ql, m (k ) (i)! dm (k )

che e l’errore che viene applicato al simbolo predistorto bl, m

(k )

(i) , corrispondente alla combinazione di simboli di tutti gli Nu utenti attivi.

4) considerando modulo e fase del simbolo predistorto si realizzano le equazioni ricorsive che implementano il cuore dell’algoritmo di predistorsione:

!l, m (k ) (i+ 1) =!l, m(k ) (i)"# $ e!(l, m, k ) (i) %l, m (k ) (i+ 1) =%l, m (k ) (i)"# $ e%(l, m, k )(i) & ' ( )( dove e!(l, m, k )(i)! el, m (k ) (i) e e!(l, m, k ) (i)! arg el, m (k ) (i)

{

}

e dove ! è lo step size con cui

si aggiornano le equazioni iterative.

La convergenza dipende dal valore dello step size che si assume e si ottiene ogni qual volta l’errore su ciascun cluster divenga inferiore ad una certa soglia che viene presa come parametro di confronto: il meccanismo di predistorsione è riassunto in Fig. I.4:

ql, m (k ) zl, m (k ) (n)

Fig. I.4 – Schema di funzionamento del predistorsore

d

m dn(k ) HPA Predistorsore Trasmettitore MC-CDMA Filtro TX Filtro RX Ricevitore MC-CDMA Centri Di Massa Calcolo Errore el, m (k )

b

l, m (k )

(7)

I.3 Analisi del sistema MC-CDMA in presenza di

canale non lineare

Si prenda adesso in considerazione lo schema di Fig. I.2. Questo è caratterizzato da una operazione di spreading nel dominio della frequenza che rappresenta in maniera

qualitativa il duale del DS-CDMA. Lo stesso simbolo di dati

d

i(k) viene trasmesso in

parallelo su L portanti, ognuna delle quali viene moltiplicata per un differente elemento

della sequenza di espansione assegnata al k-esimo utente

c

=

[

.

.

( )

]

1 ) ( 1 ) ( 0

c

c

c

k k Lk! .

La modulazione viene effettuata, come nell'OFDM, tramite un’operazione di antitrasformata discreta di Fourier.

All'uscita del blocco IFFT avremo:

C

mk k i L n L jmn k n k i k m

d

L

e

c

d

L

X

1 ( ) ( ) 0 2 ) ( ) ( ) (

1

!" =

1

=

=

# ( 1.1 ) con

!

=

" = 1 0 2 L n L jmn k n k m

c

e

C

# ( 1.2 )

Una prima notazione di rilievo si può fare confrontando il simbolo in uscita dal blocco IFFT nel trasmettitore MC-CDMA con lo stesso del sistema OFDM. Quest' ultimo è dato da: !" =

=

1 0 2

1

L n L jmn n m

L

c

e

X

# ( 1.3 )

(8)

dove {

c

n } non rappresenta la sequenza di codice, ma la sequenza di simboli di informazione; L indica il numero di sottoportanti, avendo posto Ns=1. Si passa quindi da una situazione (OFDM), in cui l'operazione di antitrasformata è effettuata su una sequenza di simboli casuali, ad un'altra (MC-CDMA), in cui si è vincolati a delle proprietà ben definite (la sequenza dei codici viene scelta in modo tale da minimizzare la cross-correlazione delle sequenze di codice, come vedremo in seguito). Il confronto fra l’espressione del segnale MC-CDMA e quella del segnale OFDM è molto utile ai nostri scopi, poiché verrà sfruttata una metodologia d’analisi utilizzata per i sistemi OFDM [3],[4].

Il segnale all'ingresso del filtro di trasmissione è rappresentabile come:

)

(

1

)

(

1

)

(

1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0

mT

iLT

t

C

d

L

mT

iLT

t

e

c

d

L

t

x

T L m k m K k k i i T L m L n L jmn k n K k k i i

!

!

"

"

"

=

!

!

" "

"

"

=

! = ! = # + !# = ! = ! = ! = # + !# =

$

$

% ( 1.4 )

All'uscita del filtro di trasmissione si avrà:

)

(

1

)

(

)

(

)

(

1 0 1 0

mT

iLT

t

g

C

d

L

t

g

t

x

t

s

L T m k m K k k i i T

=

"

"

"

!

!

#

=

! = ! = $ + !$ = ( 1.5 )

Si consideri s(t) caratterizzabile come un processo complesso gaussiano non stazionario, in questo modo, in accordo all'estensione del teorema di Bussgang [3], all'uscita dell'amplificatore di potenza il segnale può essere espresso nella forma:

) ( ) ( ) ( ) (t t s t n t u =! + d ( 1.6 ) e dunque al ricevitore: ) ( )] ( ) ( [ ) (t u t w t g t r = + ! R (1.7 )

(9)

Si propone ora una seconda ipotesi. Si suppone che !

( )

t possa essere considerato costante per alcuni intervalli di chip, in questo modo, campionando agli istanti

mT ilT ti,m = + si ottiene: m i m i k m K k k i m i m i g q n L r 1

d

C

, , 0 , , (0) 1 + + =

!

" = # ( 1.8 ) dove ) ( ) ( ) (t n t g t q = d ! R e ) ( ) ( ) (t wt g t n = ! R ( 1.9 )

Eseguendo l'operazione di FFT e definendo:

C

k m m i m i h, =!, , ( 1.10 ) si otterrà n i n i K k in m i g Q N L R 1

H

, , 0 , , (0) 1 + + =

!

" = ( 1.11 )

dove Qi,n è la FFT del disturbo introdotto dalla non linearità e Ni,n è la FFT del rumore

termico. Inoltre

!

" = " = 1 0 2 , , L n L jmn m i n i

h

e

H

# ( 1.12 )

(10)

N

Q

H

d

R

i= i! i+ i+ i ( 1.13 )

Senza perdere di generalità, si può esplicitare la variabile di decisione per l'utente 0, ottenendo: T o i T o i K k T o k i k i T o i i T o i i

R

c

d

H

c

d

H

c

Q

c

N

c

z

=

!

=

!

!

+

"

!

!

+

!

+

!

=1 0 0 ( 1.14 )

La variabile di decisione è costituita dalla somma di vari contributi: il primo costituisce il

termine utile ed è rappresentato da

d

i

!

H

i

!

c

oT

0

0 ; la parte utile del segnale subisce

un’attenuazione e rotazione a causa della distorsione introdotta sul codice. Il secondo termine rappresenta la MAI (Multiple Access Interference), invece gli ultimi due termini rappresentano rumore additivo introdotto rispettivamente dall’amplificatore e dal canale. Nei paragrafi successivi si analizzeranno più da vicino le varie fasi, in particolare, si descriverà più nel dettaglio le caratteristiche dei processi in ingresso e in uscita dalla non linearità.

I.4 Potenza istantanea del segnale

Si prenda in considerazione il modello del trasmettitore MC-CDMA descritto nel paragrafo precedente.

(11)

)

(

1

)

(

1 0 2 1 0 1 0

d

c

e

t

iLT

mT

L

t

x

L n L jmn k n L m K k k i

"

"

!

!

"

=

! = ! = ! =

#

$ per iLT !t <(i+1)LT

Senza perdere di generalità, si suppone i=0 e, per semplicità di notazione, si omette la dipendenza da i. Per cui, si può esprimere il segnale nella forma:

)

(

)

(

1 0

mT

t

S

t

x

L m

"

m

!

=

! =

#

( 1.15 ) con

!

!

=

" = " = 1 0 2 1 0

1

L n L jmn k n K k k m

d

c

e

L

S

# ( 1.16 ) Si definisce:

c

d

b

kn K k k n

=

!

" = 1 0 ( 1.17 )

Si nota che per una modulazione OFDM il segnale può essere espresso come:

)

(

1

)

(

1 0 2 1 0

b

e

t

iLT

mT

L

t

x

L n L jmn n L m

"

"

!

!

=

! = ! =

#

$ per iLT !t<(i+1)LT

per cui la trattazione è valida anche per un sistema OFDM, a patto che si consideri

b

n

come il simbolo di informazione trasmesso.

La potenza istantanea sarà data da |x(t)|2= x(t)x(t)*:

!

"

"

!

=

" = " = 1 0 * 1 0 2

(

)

(

)

|

)

(

|

L m L m

T

t

mT

t

S

S

t

x

µ µ

#

#

µ

( 1.18 )

(12)

!

!

=

=

" = " " = 1 0 2 * 1 0 2 * 2

1

|

|

L jm L L n L jmn n m m m

b

e

b

e

L

S

S

S

# $ # # $ ( 1.19 )

Dopo alcuni passaggi si ottiene:

|

S

m|2= 1 L | bn| 2 n=0 L!1

"

+ 2 LRe Bn jmn2# L

$e

n=0 L!1

"

% & ' ( ) * ( 1.20 ) con

!

!

+

!

=

!

=

" # = " = " = " " = + 1 ' 0 ' ' * ' 1 0 1 0 2 1 0 *

|

|

K k k k kk n k k K k K k k n k n L n n

b

b

d

A

d

d

X

B

$ $ $ ( 1.21 )

e dove

A

kn rappresenta l’ auto-correlazione aperiodica del codice di espansione

dell’utente k-esimo , definita da:

!

=

" " = + 1 0 * n L k n k k n

c

c

A

# # # ( 1.22 ) e

X

kk

n ' rappresenta la cross-correlazione aperiodica fra i codici di espansione dell' utente

k e dell' utente k', definita da:

!

=

" " = + 1 0 '* ' L n k n k kk n

c

c

X

# # # ( 1.23 )

Quindi l'inviluppo della potenza del segnale trasmesso dipenderà dalla funzione di auto-correlazione

A

kn e dalla cross-correlazione fra le sequenze del codice di espansione. Come suggerito in [2] il termine di cross-correlazione diventa dominante

rispetto a

A

kn all'aumentare del numero di utenti attivi K.

(13)

)

(

1

)

(

1

)

(

1 0 1 0 2 1 0

mT

iLT

t

C

d

L

mT

iLT

t

e

c

d

L

t

x

L m k m k i L n L jmn k n L m k i k

!

!

"

=

=

!

!

"

"

=

! = ! = ! =

#

#

$ ( 1.24 ) con

C

k m data dalla ( 1.2 ).

Infine, supponendo che siano valide le condizioni per l’applicazione del teorema del limite centrale, con K sufficientemente elevato, si può ipotizzare che x(t) sia approssimato da un processo complesso gaussiano la cui varianza è la somma delle varianze (approfondiremo la validità di tale ipotesi in seguito). Quindi, se la parte reale e immaginaria del processo sono gaussiane e indipendenti fra loro, la potenza istantanea del segnale in banda base ha una distribuzione di tipo chi-square con due gradi di libertà:

e

P

f

Pmx x m !

!

2 2

1

)

(

=

" con !0 m P ( 1.25 )

La funzione di distribuzione cumulativa sarà data da:

Pr P

{

m > P0

}

= f (u)du= 1! !P0 x 2 "

e

0 P0

#

(1.26 )

(14)

I.5 Caratterizzazione del segnale all’ingresso del canale

non lineare

A questo punto, si hanno tutti gli elementi per fornire, pur in maniera approssimata, una descrizione statistica del processo in ingresso all’amplificatore di potenza.

Partendo dal segnale in ingresso al filtro di trasmissione dato dalla ( 1.4 ): ) ( 1 ) ( 1 0 2 1 0 1 0 mT iLT t L t x L n L jmn k n L m K k k i

c

e

d

! ! =

"

"

"

! = ! = ! = # $ per iLT !t<(i+1)LT

il segnale in ingresso alla non linearità sarà:

) ( ) ( ) (t x t g t s = ! T

Se x(t) fosse un processo complesso gaussiano, allora anche s(t) sarebbe un processo gaussiano con media data da:

) ( ) ( ) (t x t gT t s =" ! " e la varianza ) ( ) ( ) ( ) ( 2 * 2 t t g t g t T T x s =" ! ! "

L’approssimazione di x(t) con un processo complesso gaussiano non stazionario deriva dalla considerazione che quest’ultimo può essere visto come una successione di variabili aleatorie, ognuna delle quali data dalla somma di K contributi indipendenti fra loro, dove K è il numero dei canali attivi (1.24 ):

(15)

) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 0 1 0 2 1 0 mT iLT t L mT iLT t L t x L m k m k i L n L jmn k n L m k i k =

d

"

"

c

e

! ! =

d

"

C

! ! ! = ! = ! = # # $

Quindi, per il teorema del limite centrale, se K è sufficientemente elevato, e le variabili aleatorie hanno varianze confrontabili fra loro, allora x(t) può essere approssimato con un processo gaussiano la cui varianza è la somma delle varianze. In realtà, non è assolutamente detto che le varianze siano fra loro confrontabili. Tuttavia, si prenderà per buona tale approssimazione riservandoci di mostrare che, per i risultati a cui si è interessati, la successiva descrizione fornisce un valido strumento di analisi.

Il fine che ci si pone ora, è la valutazione del contributo di un generico interferente estratto dalla globalità dei canali attivi, alla distorsione dovuta all’accesso multiplo in presenza di un canale non lineare. Per cui, nell’analisi non si considererà x(t),

ma

{

x(t)|

d

i0=

d

0;

d

1i=

d

1

}

, dove si può immaginare che

d

i0 sia il simbolo utile

trasmesso e

d

1i sia il simbolo trasmesso da un generico canale attivo preso tra i restanti

K-1.

Si supponga che i dati trasmessi abbiano le seguenti statistiche:

E

{ }

d

ik = 0 ( 1.27 ) e E

{

d

ik

d

h*j

}

= P 0 ! " # h= k,i = j altrimenti ( 1.28 )

Calcolo della media

(16)

c

d

c

d

c

d

c

d

b

kn K k k n n k n K k k n

=

!

=

+

+

!

" = " = 1 2 1 1 0 0 1 0 ( 1.29 ) Quindi, essendo

)

(

1

)

(

1 0 2 1 0

b

e

t

iLT

mT

L

t

x

L n L jmn n L m

"

"

!

!

=

! = ! =

#

$ per iLT !t<(i+1)LT ( 1.30 ) Si trova che

)

(

)

(

)

(

t

I

t

j

q

t

x

!

!

!

==

+

=

!

!

"

"

+

!

!

"

"

=

! = ! = ! = ! =

(

)

1

)

(

1

1 0 2 1 1 0 1 1 0 2 0 1 0 0

mT

iLT

t

e

c

d

L

mT

iLT

t

e

c

d

L

L n L jmn n L m L n L jmn n L m

#

#

$ $

)

(

1

)

(

1

1 1 0 1 0 1 0 0

mT

iLT

t

C

d

L

mT

iLT

t

C

d

L

m L m m L m

"

!

!

+

"

!

!

=

! = ! =

#

#

( 1.31 )

Calcolo della varianza

Come si è visto nel precedente paragrafo:

| x(t) |2= x(t)x(t)*= 1 L |

b

n| 2 n=0 L!1

"

+ 2 LRe

B

n jmn2# L

e

n=0 L!1

"

$ % & ' ( ) * + , -. / m=0 L!1

"

01(t! iLT ! mT ) ( 1.32 ) con

!

!

!

!

" # = " = " = " " = + = + = 1 ' 0 ' ' * ' 1 0 1 0 2 1 0 * | | K k k k kk n k k K k K k k n k n L n n

b

b

d

A

d

d

X

B

$ $ $ ( 1.33 ) Da cui si ottiene:

(17)

E | x(t) |

{

2

}

= 1 L E |

b

n| 2

{

}

n=0 L!1

"

+ 2 LRe E

{ }

B

n jmn2# L

e

n=0 L!1

"

$ % & ' ( ) * + , -. / 0 m=0 L!1

"

1(t! iLT ! mT ) (1.34) Essendo | |2=1

c

k n si trova

{ }

b

n

d

d

K P

d

d

c

n

c

n

d

d

c

n

c

n E * 0 1 0 1 1 0 * 1 0 2 1 2 0 2 | | | | ( 2) | | = + + ! + + ( 1.35 ) Si nominino le quantità

X

n01=

X

10n =

X

n Da cui

{ }

B

d

A

d

A

A

d

d

X

n

d

d

X

n k n K k n n n P E 1 0 1* 1 0* 2 1 2 1 0 2 0| | | | + + + + =

!

" = ( 1.36 )

Infine, si calcola la varianza del segnale come

!x 2 = E | x(t) |

{

2

}

"# x(t)$#x * (t) Ricordando che 1 0 0 1 0 =

!

" = L n

c

n

c

n , si ottiene: |!x(t) |2= |

d

0|2 + | 1

d

|2 " # $% m=0 L&1

'

()(t & iLT & mT ) + 2 LRe |

d

0| 2 n 0

A

+ |

d

1| 2 n 1

A

(

)

jmn2* L

e

n=0 L&1

'

+ , -. / 0 " # 1 $ % 2 m=0 L&1

'

()(t & iLT & mT ) + 2 LRe

d

0

d

1 * n

X

+

d

1

d

0 * n

X

(

)

jmn2* L

e

n=0 L&1

'

+ , -. / 0 " # 1 $ % 2 m=0 L&1

'

()(t & iLT & mT )

( 1.37 ) e di conseguenza

(18)

!x 2 (t)=

[

P(K " 2)

]

m=0 L"1

#

$%(t" iLT " mT ) + 2 LRe P n k

A

k=2 K"1

#

jmn2& L

e

n=0 L"1

#

' ( ) * + , -. / 0 1 2 m=0 L"1

#

$%(t" iLT " mT ) ( 1.38 )

Si nota la presenza, in entrambe le espressioni, di un termine costante e di uno fluttuante, che dipende dalle funzioni di auto-correlazione e cross-correlazione aperiodica dei codici.

Le espressioni del valor medio, del valor quadratico medio e della varianza, saranno molto utili per effettuare una sorta di ranking dei canali interferenti. Ovvero, esiste la

possibilità di individuare un numero limitato di canali maggiormente responsabili della distorsione del segnale utile dovuta ad interferenza da accesso multiplo.

Si vedrà nei paragrafi successivi in base a quali considerazioni sosterremo questa affermazione.

I.6 Caratterizzazione del segnale all’uscita del canale

non lineare

In questo paragrafo, s’intende dare una descrizione statistica del segnale in uscita dal canale non lineare. La descrizione soffrirà necessariamente di molte approssimazioni a causa dell’elevata difficoltà computazionale. Per risolvere alcuni dei passaggi più onerosi

(19)

Nell’ipotesi che il processo in ingresso alla non linearità sia descrivibile come un processo complesso gaussiano non stazionario, l’uscita è esprimibile mediante l'utilizzo del teorema di Bussgang.

Segue l’enunciato dell’estensione del teorema di Bussgang per processi a media non nulla [3]:

Dato, in ingresso alla non linearità, il segnale:

e

j t Q I t js t t s t s( )= ( )+ ( )="( ) !() ( 1.39 )

descrivibile come un processo complesso gaussiano e non stazionario, in uscita si trova: ) ( ) ( ) ( ) (t t s t n t u =! + d ( 1.40 )

purché sia verificata almeno una delle seguenti condizioni:

(a)

( )

( )

!" ! # $ !% ! & ' ( ( ) = " # $ % & ' ( ( Q Q I I Q I s s s F jE s s s F E , , ( 1.41 ) (b) E

{

sI(t)sI(t+!

}

#"I(t)"I(t+!)=E

{

sQ(t)sQ(t+!

}

#"Q(t)"Q(t+!) ( 1.42 ) dove

)]

(

),

(

[

)]

(

),

(

[

)]

(

),

(

[

)]

(

[

)

(

[ ( )] ()

t

s

t

s

F

t

s

t

s

jF

t

s

t

s

F

e

e

t

F

t

u

Q I Q I Q Q I I t j t jF A P

=

+

=

=

"

" ! ( 1.43 )

Con

F

A

(

!

)

e

F

P

(

!

)

rispettivamente caratteristica AM/AM e AM/PM

dell’amplificatore.

Nel caso in esame, essendo indipendenti la parte in fase e in quadratura di s(t), la loro

(20)

Per ragioni di semplicità e analogamente a quanto fatto in [3], si elimina la dipendenza temporale dalle quantità in esame e supponiamo che il valor medio sia reale.

La funzione !(t) è deterministica ed è data da:

( )

( )

!" ! # $ !% ! & ' ( ( ) ( ( = Q Q I I Q I s s s F j s s s F E t , , 2 1 ) ( * ( 1.44 )

Si procede a valutare separatamente i due termini all'interno dell'operazione d’aspettazione. Definendo:

e

jF t A t P F S(!)= [!( )] [!( )] ( 1.45 ) Allora

( )

( )(sin sin cos )

) cos sin )(cos ( ' , 2 2 ! ! " ! + ! ! + ! = # # j S j S s s s F I Q I $ $ $ ( 1.46 ) e

( )

) cos sin (cos ) ( ) cos sin )(sin ( ' , 2 2 ! ! + ! + ! ! " ! = # # " j S j S s s s F j I Q I $ $ $ (1.47) da cui la ( 1.44 ) diventa ! " # $ % & + = ' ' ' ( '( ) ( ) 2 1 ) (t E S S ( 1.48 )

(21)

) (t

! è valutabile tramite la densità di probabilità congiunta di ! e ! che è data da

f!"(!,") = !

#$2

%((!2+&2%2&! cos ")/$2)

e

( 1.49 ) !(t) = 1 2 S '(") + S(") " # $% & '( f")(",)) * + , -. / 0 20

1

23 3

1

d)d" ( 1.50 )

La dipendenza dal tempo dell’attenuazione sarà provocata dal valor medio e dalla varianza del segnale in ingresso, essendo quest’ultimo un processo non stazionario. Nel caso di un amplificatore Soft Envelope Limiter (SEL) con caratteristica AM/AM data da: ! " # = 1 ) ($ $ FA 1 1 ! < " " ( 1.51 )

e una caratteristica AM/PM nulla, dopo aver sostituito nella ( 1.48 ), si ha:

! ! " # $ $ % & '' ' ( ) ** * + , -+ '' ' ( ) ** * + , -= + -. + -/ / ) 2 ( ) 2 ( 2 2 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) ( 4 2 0 2 0 1 2 4 2 0 2 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 0 2 1 0 1 2 1 0 2 0 1 3 1 2 0 1 2 0 L I e L I e t ( 1.52 )

Dove

I

0 è la funzione di Bessel modificata del primo tipo e

L

0 è la funzione modificata

di Struve.

Il risultato espresso nella precedente forma è stato trovato utilizzando il software Mathematica 5.0, tramite il quale si è anche risolto l’integrale in forma numerica. Il risultato è mostrato in Fig. I.4. Il grafico mostra una famiglia di curve, funzione del modulo del valor medio del processo in ingresso normalizzato rispetto alla deviazione standard dello stesso. Ogni curva è caratterizzata da un diverso valore di varianza.

(22)

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 A tte nu az io ne In tr od ot ta d al la N on L in ea rit à 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Valor Medio Normalizzato di s(t)

Varianza di s(t) = 0.25 Varianza di s(t) = 1 Varianza di s(t) = 4

Fig. I.5 – Attenuazione introdotta dal canale non lineare

Per quanto riguarda il disturbo additivo nd(t), l'unica informazione di cui si dispone in

prima battuta è il valor medio, pari a:

{

}

( )

,

( )

, ( ) 2 1 ) ( * t s s s F j s s s F E t n E Q Q I I Q I d ! "# " $ % "& " ' ( ) ) + ) ) = ( 1.53 )

(23)

0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 M od ul o V al or M ed io d el D is tu rb o 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

Valor Medio Normalizzato di s(t)

Varianza di s(t) = 0.25 Varianza di s(t) = 1 Varianza di s(t) = 4

Fig. I.6 – Modulo del valor medio del disturbo introdotto dal canale non lineare Tuttavia, si nota che dopo il filtraggio e il campionamento, i campioni di segnale sono dati da: m i m i k m K k k i m i m i g q n L r 1

d

C

, , 0 , , (0) 1 + + =

!

" = # ( 1.54 )

Trascurando il rumore gaussiano introdotto dal canale AWGN, si può riscrivere il segnale, se g(0)=1, come:

)

(

)

(

, , ,

x

iLT

mT

q

u

iLT

mT

r

im

=

!

im

+

+

im

=

+

( 1.55 )

Per semplicità si eliminino le dipendenze temporali. Il valor quadratico medio del rumore di non linearità può essere calcolato come:

E u

{ }

2 = E (

{

!x+ q)(!x+ q)*

}

= E q

{ }

2 + !2

E x

{ }

2 + 2"e E

{

{

!x q*

}

}

(24)

Purtroppo, non si può dire nulla sul termine di correlazione fra ingresso e disturbo. Tuttavia, come indicazione di massima, pur non essendo plausibile come ipotesi ( a meno che il processo d’ingresso non sia a media nulla [3] ) si supporrà che il termine incrociato sia nullo. Quindi:

E q i ,m 2

{ }

= E u(iLT + mT )

{

2

}

! "i, m 2 E x(iLT

{

+ mT )2

}

= E S(

{

!)2

}

" #i, m 2 E

{ }

!2 ( 1.57 )

Anche in questo caso si è utilizzato Matematica 5.0 per trovare i valori numerici. La modellizzazione della non linearità è sempre del tipo Soft Envelope Limiter. L’andamento del valor quadratico medio in funzione di valor medio e varianza del processo in ingresso risulta come in Fig. I.6:

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 V al or Q ua dr at ic o M ed io d el D is tu rb o 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

Valor Medio Normalizzato di s(t)

Varianza di s(t) = 0.25 Varianza di s(t) = 1 Varianza di s(t) = 4

(25)

All’uscita dell’amplificatore non abbiamo informazioni sulla distribuzione del disturbo, tuttavia, si può osservare che dopo il filtraggio e il campionamento al ricevitore, il disturbo si riduce a L variabili aleatorie identicamente distribuite. Su quest'ultime viene effettuata l'operazione di FFT

!

" = " = 1 0 2 , , 1 L m L jmn m i n i

q

e

Q

L # ( 1.58 )

per cui può essere ragionevole supporre che, per L sufficientemente grande, il disturbo introdotto dalla non linearità, al decisore, si riduca a un rumore di tipo gaussiano.

Dall’analisi svolta si vede come la distorsione introdotta dal canale non lineare sia

dipendente da

!

2

=

f

(

K

,

A

nk

)

( 1.38 ), da

(

,

,

,

,

12

)

2 0 1 0 2

d

d

X

A

A

f

n n n

=

!

( 1.37 ) e da

(

,

12

)

2 0

d

d

f

=

!

( 1.31 ). Quindi fissato il numero d’utenti attivi si osserva come la

distorsione sia determinata dai simboli trasmessi e dalle proprietà dei codici di espansione degli utenti considerati. Tali considerazioni saranno utili nella trattazione dei capitoli successivi.

I.7 PAPR

In questo paragrafo saranno trattate delle considerazioni a margine dell’analisi svolta che riguardano il PAPR del segnale trasmesso. Si definisce il PAPR (Peak to Average Power Ratio) come:

(26)

P

t

x

PAPR

x LT t o 2

|

)

(

|

max

< !

"

( 1.59 )

Se si considera la rappresentazione discreta del segnale, la precedente può essere riscritta come: PAPR! o"m< L

max

1 L i k

d

k=0 K#1

$

n k

c

e

jmn2%L n=0 L#1

$

2 x 2

&

( 1.60 ) con x 2

!

= E ik

d

k=0 K"1

#

n k

c

2 $ % & '& ( ) & *&= KE i k

d

2

{ }

( 1.61 ) Il numeratore sarà dato da

!"

!

#

$

!%

!

&

'

(

)

)

*

+

,

,

-.

(

(

+

(

+

( (

/ = / 0 = / = / = / = / = 1 0 2 1 ' 0 ' ' * ' 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0

Re

|

|

2

|

|

1

L n L jmn K k k k kk n k k K k K k k n k L n k n K k k

e

X

d

d

A

d

L

c

d

L

1 ( 1.62 )

Si noti come anche il PAPR dipenda dalle caratteristiche dei codici di espansione.

Si può pensare di associare ad ogni combinazione di sequenze, un peso, ossia un numero che caratterizzi la tendenza di ciascun codice a produrre segnali a più o meno alto PAPR. Si consideri, sia il contributo delle singole sequenze, che sarà dato dalla funzione di auto-correlazione aperiodica, sia il contributo derivante dalla loro combinazione che, in accordo a quanto asserito precedentemente, sarà fornito dalla cross-correlazione aperiodica. Si prenderà in considerazione il valor quadratico medio di tali funzioni. Quindi, il peso che si andrà ad assegnare sarà dato da:

(27)

! !

!

+

! !

=

" # = " = " = " = " = 1 ' 0 ' 1 0 2 ' 1 0 1 0 1 0 2 K k k k L n kk n K k K k L n k n s

A

X

W

( 1.63 )

Si osservi che, dati due diversi set di codici associati ai canali attivi, si producono segnali a PAPR più o meno alto in accordo al valore della funzione peso precedentemente definita. Il grafico di Fig. I.7 è stato prodotto considerando un fattore di spreading pari a 64, una modulazione 16 QAM e otto canali attivi presi in maniera random. Sono riportati i casi di tre diverse allocazioni con diversi valori della funzione peso.

0.001 2 3 4 5 6 0.01 2 3 4 5 6 0.1 2 3 4 5 6 1 P ro b{ P A P R > P A P R 0} 14 12 10 8 6 4 2 0 PAPR0 (dB) Peso=261824 Peso=244672 'Peso=228096

Fig. I.8 – Confronto del PAPR per diversi set di codici

Dall’esame del grafico si può notare un fatto importante: il segnale, tanto più avrà PAPR elevato tanto più tenderà ad essere distorto dall’amplificatore di potenza. Il PAPR dipende oltre che dalla forma dei segnali trasmessi su ogni canale, anche da come questi si combinano fra loro. Per cui tanto più alta è la cross-correlazione fra i codici di due

canali attivi, tanto più il segnale somma crea picchi di segnale, tanto più questi verranno distorti. Questa considerazione di carattere intuitivo è pienamente in accordo

(28)

con l’analisi svolta nei paragrafi precedenti, dove si è visto che sia l’attenuazione che il disturbo introdotti dal canale dipendevano, tramite il modulo quadro del valor medio del segnale in ingresso, dalla cross-correlazione aperiodica tra le due sequenze di codice. Questa considerazione ci sarà estremamente utile nella definizione di una tecnica di compensazione adattativa del canale non lineare.

I.8 HIGH POWER AMPLIFIER

In questo paragrafo si elencano brevemente le intestazioni delle funzioni che implementano i modelli degli amplificatori supportati dal programma di simulazione che verranno utilizzati nel Capitolo III. Per ogni modello implementato vengono mostrate le caratteristiche AM/AM e AM/PM.

void Rapp (double *xfq)

(29)

La caratteristica AM/PM può essere considerata nulla.

void Twt(double *xfq)

(30)

Fig.I.11 – Amplificatore TWT modello di Saleh – Caratteristica AM/PM

void Twta(double *xfq)

(31)

Fig. I.13 – Amplificatore TWTA – Caratteristica AM/PM

void Ssa(double *xfq)

(32)

Fig.I.15 – Amplificatore SSPA – Caratteristica AM/PM

void Gaudenzi(double* xfq)

(33)

Fig. I.17 Amplificatore di De Gaudenzi – Caratteristica AM/PM

Tutte queste funzioni richiedono in ingresso un vettore reale di dimensione due in cui sono inserite la componente in fase ed in quadratura del campione da amplificare. Una volta effettuata l’elaborazione, la procedura utilizzerà lo stesso vettore per restituire i campioni amplificati al programma principale: il programma principale di simulazione si preoccupa di fornire la corretta intestazione per utilizzare tali funzioni, il significato delle presenti funzioni sarà più chiaro nel Capitolo III una volta che verrà spiegato il funzionamento del programma principale, per adesso si consideri solamente la possibilità di scegliere uno tra i vari HPA appena presentati.

Figura

Fig. I.2 – Schema a blocchi del trasmettitore MC-CDMA
Fig. I.4 – Schema di funzionamento del predistorsore
Fig. I.5 – Attenuazione introdotta dal canale non lineare
Fig. I.6 – Modulo del valor medio del disturbo introdotto dal canale non lineare  Tuttavia, si nota che dopo il filtraggio e il campionamento, i campioni di segnale sono  dati da:   mimik mK k kimimi g q n Lr 1 d C , ,0,,(0)1++=!&#34;=# ( 1.54 )
+7

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