CAPITOLO 4

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CAPITOLO 4

ANALISI GOODPUT ORIENTED

DELLA TECNICA DI

ALLOCAZIONE WATER-FILLING

CON SNR GAP

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Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________

INTRODUZIONE

In questo capitolo viene motivato l’utilizzo del goodput come criterio di valutazione delle prestazioni, ne viene fornita l’espressione matematica e messa in evidenza la dipendenza dai protocolli ARQ utilizzati. A seguito di alcuni cenni sul programma di simulazione C++ utilizzato per le prove al calcolatore, vengono descritte le diverse funzioni di allocazione risorse implementate, valutandone le performance in termini di bit rate, PSR e, soprattutto, di goodput, considerando il caso di protocollo ARQ SR. Tutti i procedimenti realizzati fanno riferimento alla tecnica di allocazione water-filling con SNR gap, e cercano di migliorarne le prestazioni realizzando adattamenti della potenza trasmessa a seguito dell’operazione di quantizzazione del numero di bit su ogni sottoportante. Si verifica che alcune tecniche orientate alla salvaguardia della PSR, a scapito di una riduzione di bit rate, sembrano fornire le migliori prestazioni in termini di goodput.

Il capitolo termina confrontando le curve di goodput ottenute utilizzando diversi protocolli ARQ.

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4.1 IL GOODPUT COME CRITERIO DI VALUTAZIONE DELLE

PRESTAZIONI

Spesso le prestazioni di un sistema di comunicazione sono valutate in termini di bit error rate, ma non sempre questo è il modo più indicato per determinare la qualità del servizio. In molte applicazioni pratiche, e soprattutto nei contesti WLAN, cui facciamo in particolar modo riferimento in questa trattazione, non è possibile limitarsi a considerare il livello fisico di trasmissione nel valutare le performance del sistema, ma è necessario prendere in considerazione anche i protocolli che gestiscono lo scambio di dati. In tutti i più diffusi standard di comunicazione a livello di LAN, e non solo wireless, solo i pacchetti completamente privi di errore sono accettati dal ricevitore, mentre tutti gli altri vengono scartati e ne viene chiesta la ritrasmissione in base a tecniche dette di ARQ (Automatic Repeat Request). E’ quindi evidente che una bassa bit error rate è una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché la qualità del servizio sia buona. E’ sufficiente, infatti, sbagliare un solo bit su ogni pacchetto per annullare completamente lo scambio di informazioni fra due terminali. In questi contesti il criterio più appropriato per la valutazione delle prestazioni è il goodput, definito come il numero medio di bit per unità di tempo appartenenti a pacchetti error free, cioè il numero di bit informativi che il ricevitore effettivamente accetta nell’unità di tempo. L’espressione del goodput dipende dalla procedura ARQ utilizzata.

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4.2 PROTOCOLLI ARQ

Come già accennato, l’espressione del goodput dipende dal protocollo ARQ in uso. Le tecniche di ritrasmissione di pacchetto più utilizzate sono 3 [22]:

• Stop And Wait (SAW) ARQ • Go Back N (GBN) ARQ • Selective Repeat (SR) ARQ

ARQ SAW è la procedura più semplice e fu la prima ad essere utilizzata in sistemi error-control. In base a questa procedura il trasmettitore spedisce il messaggio al ricevitore e aspetta che quest’ultimo notifichi l’avvenuta ricezione. Una notifica positiva dal ricevitore (ACK) indica che il messaggio è stato ricevuto con successo, e il trasmettitore può inviare un nuovo frame. Una notifica negativa (NAK) indica che il messaggio è stato ricevuto con errori e deve essere ritrasmesso. La procedura va avanti fino alla ricezione di un ACK da parte del trasmettitore.

Questo schema è senza dubbio semplice, ma inefficiente, in quanto il trasmettitore rinuncia a inviare dati durante l’attesa delle notifiche del ricevitore. Trasmettere blocchi informativi più lunghi non migliora la soluzione perché aumenterebbe la probabilità che il messaggio giunga al ricevitore con errori.

La strategia ARQ GBN migliora l’efficienza del sistema. Con questa tecnica il trasmettitore invia i frame con continuità e, dopo l’invio, li memorizza in un buffer. Se, dopo un Round Trip Time, definito come il tempo necessario affinché il trasmettitore possa ricevere una notifica relativa al pacchetto trasmesso, il trasmettitore stesso riceve

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un ACK relativo al frame inviato all’istante

t

₀, rimuove semplicemente tale frame dal buffer. Se invece riceve un NAK smette di trasmettere nuovi pacchetti e ritrasmette quello inviato all’istante

t

₀ e gli N-1 successivi, dove N è il numero di pacchetti che possono essere trasmessi in un RTT. Contestualmente il ricevitore scarta gli N-1 pacchetti successivi a quello ricevuto con errore, che erano stati memorizzati in un buffer, senza curarsi che siano, o meno, corretti. Proprio questo aspetto può introdurre uno spreco di risorse trasmissive, e diventa critico per sistemi con elevato data rate e grande RTT, dato che il numero di pacchetti ritrasmessi, nonostante siano error free, aumenta molto.

Per ovviare a questo problema è stato introdotto ARQ SR. Anche questo protocollo consente una trasmissione continua dei frame, sfruttando la possibilità di memorizzarli in un buffer in attesa di notifiche, ma a diferenza di GBN, in caso di ricezione di un NAK, ritrasmette solo il corrispondente pacchetto. Il ricevitore deve disporre di un buffer in cui immagazzinare i pacchetti corretti ricevuti dopo quello affetto da errore, e deve gestirlo al fine di preservare il corretto ordine dei frame. Questo aspetto incrementa la complessità dell’algoritmo rispetto alla tecnica GBN.

Notiamo che, negli standard WLAN più diffusi, spesso il ricevitore può inviare ACK, ma non NAK: semplicemente il mancato arrivo di ACK entro un certo tempo di timeout equivale ad una notifica negativa.

Nella seguente analisi del goodput faremo riferimento, salvo esplicite precisazioni, all’utilizzo del protocollo ARQ SR.

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4.3 ESPRESSIONE MATEMATICA DEL GOODPUT

Il goodput è definito come il numero medio di bit di informazione ricevuti senza errore nell’unità di tempo, dove, per unità di tempo, intenderemo il periodo di un simbolo OFDM. Seguendo questa definizione, chiamiamo

N

_f il numero di bit informativi presenti in un frame, mentre ogni simbolo simbolo OFDM ne conterrà

1 s N k k

R

m

=

∑

,

essendo

R

il rate del codificatore,

N

_S il numero di sottoportanti ed

m

_k il numero di bit allocati sulla portante k-esima. Come mostrato in [22], con ARQ SR un frame deve mediamente essere trasmesso

1 PSR

volte prima di essere trasferito correttamente,

essendo PSR la probabilità di corretta ricezione di un pacchetto (Packet Succesful Rate) . Si giunge quindi ad un’ espressione per il goodput

1 1

1

S S N f SR k f k N k k

N

GP

R

m

PSR

N

PSR

R

m

= =





=

_{= }

_



∑



∑

(4.3.1)

In base a tale formula notiamo che il goodput può essere visto come il numero di bit di informazione inviati in un intervallo di simbolo, moltiplicato per la probabilità che tali bit appartengano ad un frame error-free; l’unità di misura sarà [bit/simbolo OFDM]. Notiamo fin da subito che nella (4.3.1) vengono moltiplicate due grandezze legate da una relazione complessa di proporzionalità inversa: infatti aumentare il bit rate significa

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diminuire PSR e viceversa. Si intuisce quindi che il goodput può raggiungere un massimo, e questo sarà frutto di un adeguato compromesso fra velocità trasmissiva e affidabilità della comunicazione.

4.4 CENNI SUL PROGRAMMA DI SIMULAZIONE UTILIZZATO

Al fine di valutare tramite calcolatore le prestazioni della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap in termini di goodput, è stato utilizzato un programma di simulazione realizzato in linguaggio C++. Il sistema riprodotto è quello descritto nel capitolo 2 con, in particolare, la scelta di

N

_S

=

64

sottoportanti e l’inserzione di un prefisso ciclico lungo 16 intervalli di segnalazione. Per quanto riguarda le condizioni di propagazione, si è considerato un canale affetto da fading lento. Sruttando l’ipotesi che esso resti costante durante la trasmissione di un pacchetto, all’inizio di ogni frame viene calcolata una realizzazione di canale e l’allocazione delle risorse. Il canale, ovviamente affetto anche da rumore AWGN (Additive White Gaussian Noise), presenta 6 cammini multipli, con profilo ritardo potenza riportato in Tab 4.1.

Si è utilizzato, inoltre, un codificatore convoluzionale con rate ½ caratterizzato dai generatori ( 133, 171 ). Le operazioni di interleaving e deinterleaving sono realizzate in modo ideale.

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Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ RITARDO POTENZA 0 0.13037 1 0.27872 2 0.22190 4 0.19732 5 0.13969 12 0.03200

Tab. 4.1 Profilo ritardo-potenza del canale

Il programma di simulazione era parzialmente esistente all’inizio del lavoro di tesi, ed è stato completato con l’inserzione di interleaving-deinterleaving, mapping dei dati da trasmettere con dipendenza dai parametri di allocazione risorse, calcolo di metrica per la decodifica soft e inserimento del decodificatore di Viterbi.

Una volta completato il simulatore il lavoro si è concentrato sulla stesura di funzioni che producessero l’allocazione di bit e potenza, seguendo l’approccio water-filling con SNR gap. Nello specifico si è ipotizzato che la potenza media

P

_AVG fosse uguale su ogni sottoportante e che, quindi, la potenza totale da allocare fosse

P

_T

=

N P

_S _AVG. Le funzioni di allocazione realizzate vengono presentate nel seguito, corredate dei risultati ottenuti e relative considerazioni.

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4.5 ALLOCAZIONE WATER-FILLING DELLA POTENZA E

UNIFORME DEI BIT

La prima funzione realizzata, disponibile in appendice, applica una distribuzione della potenza totale disponibile secondo l’algoritmo water-pouring descritto nel paragrafo 3.1. In particolare viene realizzato un ciclo di allocazione tramite una istruzione while, all’interno della quale

vengono svolte le seguenti operazioni [23]:

• Calcolo del “water level” e delle potenze da assegnare ad ogni portante, in base alle espressioni 3.1.10 e 3.1.9.

• Calcolo del valore minimo di potenza allocata

• Se il valore minimo è negativo, la portante corrispondente viene eliminata dal set di portanti utili per la trasmissione e il ciclo di allocazione riprende da capo. Altrimenti il ciclo termina.

A questo punto vengono assegnati 2 bit per ogni sottoportante appartenente all’insieme dei canali utilizzabili. In Fig 4.1 è riportato un diagramma di flusso che esemplifica il procedimento appena descritto.

E’ evidente che questo modo di procedere è molto semplice, ma anche poco accurato. Nelle Fig. 4.2 - 4.3 - 4.4 sono stati graficati i risultati delle simulazioni. Notiamo che all’aumentare della potenza totale disponibile cresce il numero di portanti idonee alla trasmissione e, conseguentemente, il bit rate. La PSR è molto penalizzante a bassa

P

_AVG, dato che è possibile che a portanti con allocazione di potenza prossima a

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Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ zero vengano assegnati ben 2 bit in trasmissione. Tuttavia le prestazioni migliorano al crescere di

P

_AVG e ciò produce un andamento monotono crescente anche sul goodput.

(11)

Fig 4.2 Tecnica water-pouring: numero medio di portanti utili al variare della potenza

media per sottoportante

Fig. 4.3 Tecnica water-pouring: PSR al variare della potenza media per sottoportante

Fig. 4.4 Tecnica water-pouring: Goodput al variare della potenza media per

(12)

4.6 ASSEGNAZIONE DI BIT E POTENZA SECONDO LA

TECNICA WATER-FILLING CON SNR GAP

La tecnica di allocazione water-filling con SNR gap può essere implementata con un ciclo di allocazione della potenza del tutto simile a quello water-pouring già descritto nel precedente paragrafo, salvo introdurre la dipendenza dal gap

Γ

, come indicato nelle 3.3.4 e 3.3.3. Si esce da tale ciclo avendo individuato un set di portanti utili, ed avendo assegnato ad ognuna di esse un valore di potenza

p

_k ed una corrispondente allocazione di bit

b

_k

>

0

in base alla 3.1.6. Poiché il numero di bit che possono essere realmente trasmessi su ogni portante è intero, anzi, è multiplo di 2, è necessaria una procedura di quantizzazione. Avendo scelto come insieme di modulazioni utilizzabili le M-QAM con M = {4,16,64}, avremo che i bit quantizzati

{

}

^

0,2,4,6

k

b

∈

.In base al criterio del

minimo errore quadratico medio, le soglie di quantizzazione sono { 1, 3, 5 }, e cioè: • ^

0

k

b

=

se

b

_k

<

1

• ^

2

k

b

=

se

1 ≤

b

_k

<

3

• ^

4

k

b

=

se

3 ≤

b

_k

<

5

• ^

6

k

b

=

se

b

_k

>

5

Notiamo che le portanti con allocazione continua di bit minore di 1 verrebbero scartate in sede di quantizzazione. Per evitare questo fenomeno e selezionare in modo più

(13)

opportuno il set di canali utili apportiamo una modifica al ciclo di allocazione risorse, procedendo ad escludere all’interno di tale ciclo, non solo le portanti che ricevono allocazione negativa, ma anche quelle che ricevono una potenza tale da produrre una allocazione di bit minore di 1. Il diagramma di Fig.4.5 chiarisce il procedimento. Inoltre la funzione è disponibile in appendice.

(14)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ Ora in fase di quantizzazione il set di portanti utili

U

non viene modificato, visto che

1

k

b

> ∀ ∈

k

U

e, quindi, su nessun canale il numero di bit allocati viene annullato. A questo punto le prestazioni dell’algoritmo sono state valutate al variare del valore SNR gap, espresso in db. Notiamo che aumentare il gap significa diminuire progressivamente il numero di portanti utili. Come mostrato in Fig.4.6, infatti, il fattore di scala

Γ

rende il profilo dell’attenuazione di canale più ripido, restringendo l’insieme dei canali idonei alla trasmissione. All’aumentare del gap, sempre più portanti vengono scartate e solo quelle con i maggiori guadagni di canale vengono mantenute attive, facendo si che l’attenuazione media diminuisca.

Fig. 4.6 Algoritmo water-filling con SNR gap: profilo dell’attenuazione di canale

Tale effetto è illustrato anche in Fig. 4.7, dove è stato graficato il numero medio di sottobande utilizzate per la trasmissione al variare del gap, in corrispondenza di diversi valori di

P

_AVG ( ricordiamo che il numero totale di portanti disponibili è

N

_S

=

64

).

(15)

Fig. 4.7 Algoritmo water-filling con SNR gap: numero medio di portanti utili al variare

del gap, per diversi valori di potenza media per sottoportante

Possiamo cominciare ad intuire l’effetto di un aumento del gap sulla probabilità di successo del pacchetto. La stessa potenza totale disponibile viene spartita fra un numero sempre minore di sottobande, aventi una qualità media sempre maggiore: è evidente che la PSR è destinata a crescere. Il gap indica una perdita di capacità del canale rispetto al caso ideale di canale gaussiano con ingresso gaussiano: utilizzare gap crescenti significa trasmettere come se il canale fosse via via peggiore. Oltre al fenomeno di riduzione del numero di canali utili, si verifica una diminuzione del numero di bit per sottoportante: si tende, cioè, ad utilizzare modulazioni più efficienti dal punto di vista energetico e meno da quello spettrale, con costellazioni semplici e poco numerose. Anche ciò contribuisce al progressivo aumento della PSR, il cui andamento è riportato in Fig. 4.8.

(16)

Fig. 4.8 Algoritmo water-filling con SNR gap: PSR al variare del gap, per diversi valori

di potenza media per sottoportante

Ricordiamo, comunque, che PSR e bit rate sono grandezze inversamente propozionali, come già evidenziato nel paragrafo 4.3. Tutti i fattori che concorrono ad aumentare la probabilità di successo della trasmissione,come la diminuzione del numero di canali utili e della complessità delle costellazioni, provocano una diminuzione nella velocità di trasferimento dell’informazione. La figura 4.9 evidenzia proprio questo fenomeno. (NB: nei grafici per “bit rate” intendiamo “numero di bit per simbolo OFDM”).

Fig. 4.9 Algoritmo water-filling con SNR gap: bit rate al variare del gap, per diversi

(17)

Poiché il goodput è sostanzialmente dato dal prodotto fra bit rate e PSR, come indicato nella 4.3.1, ci aspettiamo che raggiunga un massimo per valori di SNR gap intermedi. Trasmettere con gap 0 db, infatti, significa fare riferimento alla massima capacità teorica del canale gaussiano, che non può, però, essere raggiunta nel caso in cui l’ingresso al canale non sia anch’esso di tipo gaussiano : il risultato sarebbe un bit rate elevato, ma una PSR molto bassa abbatterebbe il goodput. A gap elevati il goodput verrebbe abbattuto dal bassissimo bit rate, nonostante una PSR unitaria. Ciò è confermato dai risultati delle simulazioni.

Fig. 4.10 Algoritmo water-filling con SNR gap: Goodput al variare del gap, per diversi

valori di potenza media per sottoportante

Notiamo che il massimo goodput si ottiene per valori di gap intorno ai 2.5 db – 3 db, in dipendenza dal valore di potenza media per sottoportante. Ai fini pratici può essere utile considerare

Γ

_OPT come funzione di

P

_AVG, dato che quest’ultimo valore sarà un requisito noto del sistema. In base ai risultati simulativi si ottiene l’andamento di Fig. 4.11, in base al quale è possibile effettuare la scelta opportuna di gap per diversi valori di potenza disponibile in trasmissione.

(18)

Fig. 4.11 Algoritmo water-filling con SNR gap: gap ottimo al variare della potenza

Per meglio osservare le performance dell’algoritmo di allocazione waterfilling con SNR gap, procediamo ad un confronto con il caso di allocazione non adattativa delle risorse e con quello di allocazione water-pouring della potenza e uniforme dei bit già descritto nel paragrafo precedente. Effettuiamo direttamente il confronto in termini di goodput.

Fig. 4.12 Confronto in termini di Goodput fra allocazione non adattativa, water-

(19)

L’allocazione water-filling con SNR gap è sempre superiore alle altre per bassi rapporti segnale-rumore. Nel caso di

P

_AVG elevato la tecnica water-pouring e, addirittura, quella non adattativa, sono preferibili all’allocazione waterfilling con SNR gap = 1 db, e ciò a causa delle migliori performance in termini di PSR. Tuttavia, scegliendo valori opportuni per il gap, intorno ai 3 db, assegnare le risorse con l’algoritmo water-filling con SNR gap si dimostra nettamente preferibile per ogni valore di

P

_AVG.

Fig.4.13 e Fig.4.14 rappresentano il miglioramento ottenuto in termini di goodput rispetto al caso di allocazione non adattativo e di allocazione water-pouring.

Fig. 4.13 Miglioramento del Goodput ottenuto con tecnica water-filling con SNR gap,

(20)

Fig. 4.14 Miglioramento del Goodput ottenuto con tecnica water-filling con SNR gap,

rispetto al caso di allocazione water-pouring

Prendendo in considerazione il caso gap = 3 db, che si dimostra il migliore, notiamo come la tecnica water-filling con SNR gap presenti il massimo miglioramento rispetto al caso non adattativo in corrispondenza di una potenza media per sottoportante pari a circa 4 db, mentre il massimo miglioramento rispetto all’allocazione water-pouring si ottiene attorno ai 2 db.

In Tab.4.2 riportiamo il miglioramento percentuale delle prestazioni in termini di goodput della tecnica water-filling con SNR gap, valutata in corrispondenza di

Γ

_OPT, rispetto all’allocazione water-pouring della potenza e uniforme dei bit (2 bit per sottoportante), per diversi valori di potenza media per sottoportante. Si nota come il miglioramento sia estremamente netto a bassi rapporti segnale-rumore.

(21)

AVG

P

Γ

_OPT Miglioramento % 0 db 3.5 db 1568% 3 db 2.9 db 208% 6 db 2.7 db 33.8% 9 db 2.7 db 20.9%

Tab. 4.2 Miglioramento percentuale di goodput prodotto dalla tecnica water-filling con

SNR gap rispetto all’allocazione water-pouring

4.7 RECUPERO E REDISTRIBUZIONE DEL MARGINE DI

POTENZA

4.7.1 L’ERRORE DI QUANTIZZAZIONE

In generale la quantizzazione della metrica continua di bit

b

_k assegnata alle varie sottoportanti utili sui valori discreti

{

}

^

0,2,4,6

k

b

∈

, può avvenire come

approssimazione per difetto o per eccesso. Nel primo caso

^

k

b

viene trasmesso con una potenza

p

_k maggiore del dovuto, visto che

p

_k è in grado di sopportare

b

_k bit, con

^

k k

(22)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ protetta. Nel secondo caso,invece ,

^

k

b

viene trasmesso con una potenza

p

_k

insufficiente, dato che

p

_k sarebbe ottima per

b

_k, ma

^

k k

b

<

b

. Su portanti del genere la trasmissione è più sensibile ad errori e la BER più elevata, incidendo potenzialmente sul goodput.

Sembra quindi opportuno procedere ad un aggiustamento delle potenze a seguito della quantizzazione dei bit, come suggerito in [23]. In particolare, alle portanti sulle quali la quantizzazione è consistita in una approssimazione per difetto, può essere assegnato un nuovo valore di potenza

p

_k

'

, ottenuto invertendo la 3.3.5

^ 2 2

2

1 '

k b n k k

p

H

σ

Γ





−









=

(4.7.1) dove ^ k

b

è il numero di bit per la portante k-esima prodotto dalla quantizzazione. Ovviamente

p

_k

'

<

p

_k, e quindi può essere recuperata una aliquota di potenza

'

k

p

k

p

k

∆ =

−

(4.7.2)

Procedendo in questo modo sull’insieme

D

di tutte le sottoportanti sulle quali il numero di bit era stato approssimato per difetto, è possibile quindi recuperare un margine di potenza

MP

k k D

MP

∈

=

∑

∆

(4.7.3)

(23)

Tale margine dovrà essere in qualche modo ridistribuito fra le portanti appartenenti all’insieme

D

−

, quelle, cioè, sulle quali la metrica di bit era stata approssimata per eccesso. Nel seguito vengono presentati i risultati relativi a diverse tecniche di redistribuzione del margine di potenza.

4.7.2 REDISTRIBUZIONE EQUA DEL MARGINE DI POTENZA

Il modo più semplice di ridistribuire il margine di potenza è quello di suddividerlo equamente fra le portanti appartenenti all’insieme

D

−

. La funzione realizzata (disponibile in appendice), che per comodità chiameremo “funzione equo1”, esegue le seguenti operazioni:

1. Ciclo di allocazione di potenza e metriche di bit identico a quello già descritto nel paragrafo 4.6 e in Fig.4.5.

2. Quantizzazione delle metriche continue

b

_k sui valori discreti

^

k

b

∈

{ 2, 4, 6 }, utilizzando le soglie di quantizzazione standard { 1, 3, 5 },

∀ ∈

k

U

, secondo il procedimento già illustrato nel paragrafo 4.6

3. Per le portanti sulle quali si verifica una approssimazione dei bit per difetto (insieme

D

), viene calcolato il nuovo valore di potenza

p

_k

'

e la differenza

k

∆

secondo le 4.7.1, 4.7.2. Si calcola il margine di potenza ridistribuibile sommando i

∆

.

(24)

4. Le portanti appartenenti a

D

−

vengono etichettate come sottobande cui è destinabile una aliquota di potenza ridistribuita e contate. Inoltre per ognuna di esse viene calcolato il livello di potenza

p

_k+necessario a trasportare

^

2

k

b

+

bit , e relativa quota di potenza mancante

∆

_k+

5. Ad ogni portante appartenente a

D

−

viene aggiunta una aliquota di potenza

k distr

MP

N

δ

=

(4.7.4)

dove

N

_distr è il numero di elementi dell’insieme

_

D

. Se

δ

_k

≥ ∆

_k+ si procede anche a riaggiustare l’allocazione di bit incrementando di 2 unità

^

k

b

(tuttavia questo evento è estremamente raro, e potrebbe essere tralasciato per semplificare il procedimento).

Fig.4.15 e Fig.4.16 mostrano in modo semplice e schematico il procedimento descritto, evidenziando l’operazione di recupero del margine e successiva redistribuzione uniforme.

(25)

Fig. 4.15 Funzione equo1: recupero del margine di potenza

Fig. 4.16 Funzione equo1: redistribuzione equa del margine di potenza

Questa procedura è stata quindi sperimentata e valutata in termini di goodput. Si è notato che per

P

_AVG

=

0 db

, e quindi per bassi rapporti segnale-rumore, le prestazioni della tecnica con recupero e ridistribuzione equa del margine di potenza sono analoghe a quelle della procedura priva di aggiustamento delle potenza descritta

(26)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ nel paragrafo 4.6( che per comodità potremmo chiamare “funzione no_distr1” ) ; anzi, per piccoli valori di gap la funzione no_distr1 è migliore.

Fig. 4.17 Confronto no_distr1-equo1: goodput al variare del gap

Evidentemente, quando la potenza totale disponibile

P

_T non è molta, le aliquote ridistribuite assumono valori trascurabili, non in grado di migliorare le prestazioni del sistema. In una tale situazione è quindi preferibile, per maggiore semplicità, non approntare alcun aggiustamento delle potenze.

La situazione cambia leggermente quando aumenta il rapporto segnale rumore. Infatti per

P

_AVG

=

9 db

è possibile notare una prestazione migliore della funzione equo1 di circa 2 [bit/simbolo OFDM] rispetto alla equo1. Ciò è dovuto ad un leggero miglioramento della PSR, come evidenziato in Fig.4.18, mentre il bit rate medio è lo stesso nei due casi.

(27)

Fig. 4.18 Confronto no_distr1-equo1: PSR al variare del gap nei pressi del punto di

massimo goodput, per alti rapporti segnale-rumore

4.7.3 REDISTRIBUZIONE WATER-FILLING DEL MARGINE DI POTENZA

Un’ altra possibile tecnica di redistribuzione del margine di potenza consiste nell’assegnare una maggiore aliquota di potenza alle portanti sulle quali l’errore di quantizzazione è maggiore in modulo, adottando un criterio di tipo water-filling. Riscrivendo l’allocazione di potenza water-filling come funzione dell’allocazione di bit attraverso la manipolazione algebrica delle 3.3.3 e 3.3.5, si ottiene

2 2

2

1

2

1

k n b T k b k n U _n

P

p

H

∈

−

=

−

∑

(4.7.5)

(28)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ È possibile riadattare questa formula al caso della redistribuzione del margine, collegandola all’entità dell’errore di approssimazione. In particolare si ottiene

_ 2 2

2

1

2

1

k n k k n n D

MP

H

γ γ

δ

∈

−

=

−

∑

(4.7.6)

avendo definito il modulo dell’errore di quantizzazione sul bit

^

k

b

k

b

k

γ

=

−

(4.7.8)

I risultati forniti da questa funzione in termini di goodput si sono rivelati sostanzialmente equivalenti a quelli prodotti dalla tecnica di redistribuzione equa del margine in regime di basso rapporto segnale-rumore . Al crescere di

P

_AVG (ad esempio

9

AVG

P

=

db

) si registra una supremazia della funzione equo1 nella regione di gap minore di 3 db, mentre per gap maggiori le due tecniche continuano ad essere equivalenti. I valori massimi di goodput sono comunque uguali nei due casi. Sembrerebbe quindi ingiustificato il ricorso a questa tecnica di redistribuzione che, a fronte di un aumento di complessità rispetto alla redistribuzione equa, non fornisce alcun miglioramento prestazionale.

(29)

4.8 TECNICHE DI SALVAGUARDIA DELLA PSR AI FINI DELLA

MASSIMIZZAZIONE DEL GOODPUT

4.8.1 MOTIVAZIONI

I risultati relativi a tutte le tecniche discusse fino ad ora hanno un stessa caratteristica comune: per valori di SNR gap bassi ( 0 db, 1 db, 2 db ), il bit rate risulta molto alto, mentre una bassa PSR tende ad abbattere il valore di goodput. Questo è un fenomeno fisiologico, impossibile da eliminare. Tuttavia si intuisce che un aumento della PSR nella regione in cui il bit rate si mantiene comunque piuttosto elevato, può fornire un aumento abbastanza sensibile del goodput.

Nel seguito verranno proposte ed esaminate diverse tecniche che tendono a privilegiare la PSR rispetto alla velocità di trasferimento dell’informazione.

4.8.2 RESTRIZIONE DEL SET DI PORTANTI UTILI

Un primo modo di procedere è quello di selezionare in modo più severo l’insieme delle portanti utilizzabili per la trasmissione. In tale ottica è stato modificato il ciclo iterativo di allocazione della potenza, già descritto in Fig.4.5. In particolare all’interno di tale ciclo vengono eliminate, una per volta e sempre a partire dal valore minimo, solo le portanti con allocazione di potenza negativa (e non anche quelle tali che

b

_k

<

1

). In Fig.4.19 riportiamo un diagramma esemplificativo del procedimento. L funzione è

(30)

Fig. 4.19 Restrizione del set di potanti utili: diagramma di flusso

Ovviamente con questa tecnica l’operazione di quantizzazione modifica il set

U

di portanti utili, visto che le sottobande con

b

_k

<

1

escono, di fatto, da tale insieme, vedendosi assegnare 0 bit. Per evitare che le potenze attribuite a queste portanti vadano sprecate, si procede ad un recupero del margine, che agisce su tutti i canali appartenenti all’insieme

D

, e ad una redistribuzione equa del margine stesso sulle sottobande appartenenti a

^

D

. In pratica si tratta di una versione modificata della funzione con redistribuzione equa già discussa nel paragrafo 4.7.2, in cui il set

U

di portanti utili risulta ridotto, e che per comodità chiameremo “funzione equo3”.

(31)

La riduzione del numero di portanti utili è evidenziata in Fig. 4.20, dove vengono confrontate le due funzioni equo1 ed equo3.

Fig. 4.20 Confronto equo1-equo3: numero medio di portanti utili al variare del gap

Una diretta conseguenza di questo fenomeno è una diminuzione del bit rate, come mostrato in Fig.4.21.

(32)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ Come sempre avviene in occasione di una diminuzione di bit rate, si verifica un aumento della PSR (Fig 4.22). Ciò è intuitivo, visto che una stessa potenza totale disponibile viene spartita fra un numero minore di canali. Il confronto in termini di goodput fra le tecniche equo1 ed equo3 è riportato in Fig. 4.23

Fig. 4.22 Confronto equo1-equo3: PSR al variare del gap

(33)

Dal grafico notiamo come, in corrispondenza di

P

_AVG

=

0 db

, la versione modificata ottenga prestazioni notevolmente migliori per valori di gap inferiori a 3 db, trovando il suo massimo quando

Γ ≅

2db

circa, molto prima dell’altra funzione. Questo miglioramento è dovuto all’ aumento nella PSR, che produce un innalzamento del goodput anche a fronte di un calo di bit rate. Per valori di gap elevato le prestazioni decadono velocemente a causa del bit rate medio molto basso. Le differenze fra le prestazioni delle due funzioni sono abbastanza sensibili in regime di basso SNR, mentre vanno attenuandosi al crescere di

P

_AVG.Questa dipendenza è mostrata nei due grafici di Fig.4.24 e Fig.4.25, in cui il confronto è realizzato a parità di gap.

In conclusione, i valori massimi di goodput ottenuti sono sostanzialmente uguali nei due casi, ma la versione modificata presenta una minore complessità computazionale, ed è quindi preferibile a parità di prestazioni.

Fig. 4.24 Confronto equo1-equo3: goodput al variare della potenza. SNR gap è stato

(34)

Fig. 4.25 Confronto equo1-equo3: goodput al variare della potenza. SNR gap è stato

fissato a 2 db

4.8.3 INNALZAMENTO DELLE SOGLIE DI QUANTIZZAZIONE

Un altro metodo per innalzare la PSR, ancora più semplice da realizzare e da tenere sotto controllo, è l’innalzamento delle soglie di quantizzazione. Traslando rigidamente tali soglie verso l’alto, si diminuisce la probabilità che avvengano approssimazioni per eccesso. Ovviamente ciò si paga con un abbassamento di bit rate, come per tutti i procedimenti che privilegiano la probabilità di successo della trasmissione, visto che tendenzialmente si usano costellazioni più semplici. Un altro effetto di questa tecnica è quello di aumentare il valore medio dell’errore di quantizzazione sui bit, definito come

^

k k

b

k

b

ε

=

−

: l’errore di quantizzazione negativo derivante dalle approssimazioni per eccesso diventa mediamente minore in modulo, mentre si verifica

(35)

il contrario per l’errore di quantizzazione positivo dovuto alle approssimazioni per eccesso.

Abbiamo quindi provato a modificare la funzione di allocazione waterfilling con SNR gap già descritta nel paragrafo 4.6 (no_distr1) innalzando di 0.5 tutte le soglie di quantizzazione, come mostrato in Fig. 4.27. Tale funzione verrà chiamata, per comodità, “no_distr2”.

Fig. 4.26 Soglie di quantizzazione standard

Fig.4.27 Soglie di quantizzazione innalzate di 0.5

Come mostrato in Fig.4.28 e Fig.4.29, questa semplice modifica ha provocato un aumento notevole della PSR, in particolare per gap bassi. Il numero medio di portanti utili ovviamente cala, così come il bit rate, ma non in modo disastroso.

(36)

Fig. 4.28 Confronto no_distr1-no_distr2: PSR al variare del gap

(37)

Fig. 4.30 Confronto no_distr1-no_distr2: bit rate medio al variare del gap

E’ interessante notare l’andamento di queste quantità a gap fissato, facendo variare

AVG

P

. Fig. 4.31 evidenzia la differenza di prestazioni in termini di PSR a favore della versione con soglie innalzate, per ogni valore di

P

_AVG e, in modo particolarmente marcato, per piccoli valori di gap. La differenza fra le due tecniche tende a diminuire al crescere della potenza media per sottoportante, ma in modo piuttosto blando.

Per quanto riguarda, invece, il bit rate medio ( Fig 4.32 ), la differenza di prestazioni fra le due funzioni tende ad aumentare al crescere di

P

_AVG con gap fissato, ma anche questa volta in modo molto lento e limitato. Ovviamente, quanto a bit rate, la funzione no_distr1 è sempre superiore alla no_distr2.

(38)

Fig. 4.31 Confronto no_distr1-no_distr2: PSR al variare della potenza

Fig. 4.32 Confronto no_distr1-no_distr2: bit rate medio al variare della potenza

Sottolineiamo che l’aumento di PSR è legato al fenomeno di innalzamento dell’errore di quantizzazione medio. Fig.4.33 e Fig.4.34 riportano proprio l’andamento di questa quantità.

(39)

Fig. 4.33 Confronto no_distr1-no_distr2: errore di quantizzazione medio sui bit al

variare del gap, per diversi valori di potenza

Fig. 4.34 Confronto no_distr1-no_distr2: errore di quantizzazione medio sui bit al

variare della potenza, per diversi valori di gap

Fig.4.33 evidenzia come il valor medio dell’errore di quantizzazione sia sempre

maggiore per la funzione no_distr2 rispetto alla concorrente. La differenza tende inoltre ad aumentare al crescere del gap. In Fig.4.34 si mostra come l’errore medio aumenti al

(40)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ crescere del rapporto segnale-rumore, ma la differenza fra le due funzioni risulta sostanzialmente insensibile ad una variazione di

P

_AVG.

Infine, valutiamo l’effetto della modifica apportata in termini di goodput

Fig. 4.35 Confronto no_distr1-no_distr2: goodput al variare del gap

Notiamo che le prestazioni sono notevolmente migliori per valori di SNR gap bassi, fino a circa 2 db, a causa dei miglioramenti in termini di PSR. Per valori di gap superiori la versione con soglie di quantizzazione classiche è superiore a causa del superiore bit rate, e il suo vantaggio in termini di goodput tende a rimanere costante al crescere del gap. Questo diverso comportamento delle due tecniche in relazione al

Γ

scelto e’ evidente in Fig.4.36, dove si esamina il goodput prodotto per valori di SNR gap fissati , al variare di

P

_AVG. Quando il gap è fissato a 1 db la funzione no_distr2 risulta sempre superiore alla no_distr1, mentre accade il contrario quando il gap è 4db. Interessante notare che il divario fra le due tecniche tende, in ogni caso, ad aumentare al crescere di

P

_AVG.

(41)

Fig.4.36 Confronto no_distr1-no_distr2: goodput al variare della potenza, per diversi

valori di gap

Per quanto riguarda i valori massimi globali di goodput raggiunti dalle due funzioni, essi sono sostanzialmente identici. Poiché anche la complessità implementativa è la stessa, le due funzioni possono essere considerate equivalenti in termini di prestazioni. Va a vantaggio della tecnica waterfilling con SNR gap standard il fatto di essere inferiore alla versione modificata solo per un range ristretto di valori di

Γ

, mentre un punto a favore della funzione no_distr2 è la minore escursione e maggiore stabilità della curva di goodput al variare del gap.Anche la funzione no_distr2 è presente in appendice. La modifica con innalzamento delle soglie di quantizzazione è stata poi applicata anche alla tecnica equo1, ottenendo la funzione che chiameremo equo2. Su di essa è possibile osservare gli stessi effetti già discussi precedentemente in termini di bit rate e PSR. La figura sottostante confronta il goodput ottenuto dalle due funzioni con soglie di quantizzazione modificate, mostrando che per gap elevati le due tecniche producono gli stessi risultati, mentre per gap minori o uguali a 3db la funzione no_distr2 supera la

(42)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ equo2. Tale effetto è presente per ogni valore di

P

_AVG, ma è più pronunciato per alti rapporti segnale-rumore. In termini di valore massimo raggiunto le prestazioni sono analoghe per

P

_AVG

=

0 db

, ma la no_distr2 tende a diventare superiore all’aumentare di

P

_AVG, fino a superare la performance della funzione equo2 del 3,3% quando

9

AVG

P

=

db

.

Fig.4.37 Confronto no_distr2-equo2: goodput al variare del gap

4.8.4 TECNICA DI QUANTIZZAZIONE STRETTAMENTE LEGATA AL RIAGGIUSTAMENTO DELLE POTENZE

Nel tentativo di massimizzare la PSR è stata sperimentata una procedura di quantizzazione delle metriche continue di bit, non più meccanica e dipendente solamente dalla scelta delle soglie di quantizzazione, ma strettamente collegata alla quantità di potenza disponibile. La filosofia di questa tecnica, consultabile in appendice, potrebbe essere riassunta nella seguente regola: su ogni sottoportante non si approssima

(43)

il numero di bit per eccesso se non è possibile trasmettere con la potenza adeguata. La procedura consta delle seguenti operazioni:

1. Ciclo di allocazione di potenza e metriche continue di bit, come descritto nel paragrafo 4.6

2. Si scorrono tutte le portanti appartenenti al set

U

dei canali utili. Vengono realizzate le quantizzazioni che consistono in una approssimazione per difetto e, per tali portanti, viene calcolato il nuovo valore di potenza

p

_k

'

e la differenza

k

∆

secondo le 4.7.1 e 4.7.2. Viene quindi recuperato un margine di potenza

MP

, come definito nella 4.7.3.

3. Per le altre sottobande non si procede ancora alla quantizzazione, ma si calcolano alcune quantità. Ricordando che su queste portanti sono stati allocati

k

b

bit continui e che l’operazione di quantizzazione ne vorrebbe imporre

^ k

b

, con ^ k k

b

>

b

, definiamo:

•

p

_k− la potenza necessaria a trasportare

^

2

k

b

−

bit; •

p

_k+ la potenza necessaria a trasportare

^ k

b

bit; •

∆ =

_k−

p

_k

−

p

_k− e

∆ =

_k+

p

_k+

−

p

_k; • deficit di potenza _ k k D

DP

+ ∈

=

∑

∆

, dove ricordiamo che

_

D

è l’insieme delle sottobande per le quali la quantizzazione sarebbe una approssimazione per eccesso.

(44)

4. Se, poco verosimilmente,

MP

≥

DP

, tutte le portanti appartenenti a

_

D

vengono approssimate per eccesso seguendo la regola di quantizzazione, e ad ognuna di esse viene assegnata l’aliquota di potenza

∆

_k+ corrispondente, sottraendola di volta in volta da

MP

. Se alla fine è rimasto un margine di potenza residuo, lo si ridistribuisce equamente fra tutte le portanti utili.

5. Se

MP

<

DP

, si approssimano per eccesso le portanti a partire da quelle con i

∆

_k+ minori. Si effettuano i seguenti aggiornamenti:

k k k k

p

=

p

+ ∆ =

+

p

+ ;

MP

=

MP

− ∆

+_k ;

DP

=

DP

− ∆

_k+.

Tuttavia ad un certo punto si verificherà che

MP

è minore del più piccolo

k

+

∆

. A questo punto si considera la portante con il maggiore

∆

_k+ e la si approssima per difetto, anziché per eccesso come vorrebbe la regola di quantizzazione. Si effettuano i seguenti aggiornamenti:

k k k k

p

=

p

− ∆ =

−

p

−, ;

MP

=

MP

+ ∆

−_k ;

DP

=

DP

− ∆

_k+. Si procede così finchè non si verifica nuovamente

MP

> ∆

_{k MIN}+ .

6. Il procedimento prosegue fino all’assegnamento di bit quantizzati su tutte le portanti. Un eventuale margine di potenza residuo può essere ripartito equamente fra tutte le sottoportanti utili..

Le immagini sottostanti esemplificano graficamente il procedimento appena descritto, per permetterne una più agevole comprensione.

(45)

Fig. 4.38 Recupero del margine e calcolo di grandezze utili

Fig. 4.39 Procedura di assegnazione del margine

(46)

La procedura appena descritta è sicuramente la più complessa fra tutte quelle realizzate, ed è orientata in modo deciso a salvaguardare la PSR, senza curarsi più di tanto del bit rate medio. Per comodità chiameremo questa funzione “safe quant”, sottolineando il fatto che questa tecnica effettua la quantizzazione in modo molto prudente.Nei grafici successivi la funzione “safe quant” viene confrontata con le altre tecniche d’interesse presentate in precedenza.

Fig.4.41 mostra le curve di PSR, evidenziando come quest’ultima procedura produca le migliori performance in termini di affidabilità della trasmissione per valori di gap maggiori di 1, mentre per gap inferiori le performance sono molto buone, ma inferiori rispetto alla funzione “no_distr2”.

Fig.4.41 Confronto fra le principali tecniche implementate: PSR al variare del gap

Come al solito ci aspettiamo che le funzioni cui è associata un’elevata PSR producano un basso bit rate. Ciò è confermato da Fig.4.42, che evidenzia come le funzioni “safe quant” e “no_distr2” siano quelle che producono la minore velocità di trasmissione.

(47)

Notiamo che nella regione fra 1 db e 2 db la tecnica “safe quant” è la migliore di tutte in termini di PSR, ma non la peggiore in termini di bit rate: ciò sarà importante ai fini del goodput. Notiamo infine che per tutte le funzioni il bit rate decade allo stesso modo al crescere del gap, tranne per la funzione no_distr2 che produce un andamento decrescente più lento.

Fig. 4.42 Confronto fra le principali tecniche implementate: bit rate al variare del gap

Osserviamo ora le stesse quantità in corrispondenza di una elevata potenza media per sottoportante.

(48)

Fig.4.44 Confronto fra le principali tecniche implementate: bit rate al variare del gap

Notiamo che ad alte

P

_AVG aumenta il vantaggio della funzione “no_distr2” in termini di PSR, ma aumenta anche il suo deficit in termini di bit rate. Sotto questo punto di vista la funzione “safe quant” riesce invece a mantenere una performance accettabile. Per meglio osservare l’evoluzione delle grandezze d’interesse in funzione di

P

_AVG si può fare riferimento a Fig.4.45 e Fig.4.46 , dove si è fissato un valore di

Γ

pari a 1 db.

(49)

Fig. 4.46 Confronto fra le principali tecniche implementate: bit rate al variare di

P

_AVG

Risulta ancora più evidente la costante supremazia in termini di PSR delle tecniche “safe quant” e “no_distr2” per ogni valore di

P

_AVG, con un aumento del vantaggio di quest’ultima all’aumentare del rapporto segnale-rumore. Il bit rate medio risulta, invece, per la funzione con soglie di quantizzazione modificate, sempre più penalizzante al crescere di

P

_AVG, mentre la funzione “safe quant” sembra reggere il confronto con le altre funzioni.

Osserviamo che le prestazioni in termini di probabilità di successo della trasmissione sono legate al valor medio dell’errore di quantizzazione sui bit: ad un maggiore valor medio tende a corrispondere una maggiore PSR.

(50)

Fig. 4.47 Confronto fra le principali tecniche implementate: errore di quantizzazione

medio sui bit al variare del gap

Notiamo che la funzione “equo3” e la funzione “safe quant”, in termini di errore medio, risultano poco sensibili a variazioni sia di gap che di

P

_AVG. Inoltre quest’ultima

(51)

funzione è l’unica che non può produrre un errore medio negativo, visto che non vengono mai effettuate approssimazioni del numero di bit per eccesso senza adeguata disponibilità di potenza. Ecco l’andamento al variare di

P

_AVG, con

Γ

fissato a 1 db.

medio sui bit al variare della potenza media per sottoportante

Risulta evidente l’andamento simile, leggermente decrescente ma quasi costante, delle tecniche “safe quant” e “equo3”, in controtendenza rispetto all’andamento crescente delle altre funzioni. Sottolineiamo ancora una volta come la funzione “safe quant” non possa, per come è realizzata, produrre errori di quantizazione negativi.

Presentiamo finalmente i risultati relativi al goodput. Notiamo che la funzione “safe quant” risulta nettamente la migliore per bassi rapporti segnale-rumore: il valore massimo è di circa 45,5 [bit/simbolo OFDM], mentre le altre tecniche raggiungono 42-43 [bit/simbolo OFDM]. Il

Γ

_OPT si trova nella regione di basso gap, laddove una particolare attenzione alla PSR ha potuto coniugarsi con un bit rate ancora piuttosto sostenuto.

(52)

Fig. 4.50 Confronto fra le principali tecniche implementate: goodput al variare del gap

Fig. 4.51 Confronto fra le principali tecniche implementate: goodput al variare del gap

Quando

P

_AVG è elevata tutte le funzioni tendono a produrre valori massimi di goodput piuttosto simili, anche se in corrispondenza di diversi gap. Ad alti rapporti

(53)

segnale-rumore un atteggiamento molto prudente in trasmissione ha meno senso, ed in effetti la funzione “safe quant” non domina più nettamente sulle altre. Tuttavia questo approccio conservativo al problema della massimizzazione del goodput sembra tenere, anche quando la potenza media per sottoportante è elevata.

Osserviamo ora l’evoluzione del goodput al variare di

P

_AVG, con SNR gap fissato, facendo riferimento a Fig.4.52 e Fig.4.53. Quando il gap è molto basso, pari a 1 db, la funzione no_distr2 si dimostra nettamente la migliore. La situazione cambia quando si considera

Γ =

2db

, un valore piuttosto prossimo al

Γ

_OPT della funzione “safe quant”. Quest’ultima dimostra, in questo caso, la sua tenuta anche al crescere di

P

_AVG.

Fig. 4.52 Confronto fra le principali tecniche implementate: goodput al variare della

(54)

Fig. 4.53 Confronto fra le principali tecniche implementate: goodput al variare della

potenza media per sottoportante. Il gap è fissato a 2 db

Consideriamo, infine, anche per la funzione “safe quant”, un interessante e utile grafico che consente di individuare il

Γ

_OPT una volta fissata

P

_AVG.

(55)

I valori di SNR gap ottimo sono stati considerati con una precisione di 0.1, e ciò può spiegare il fatto che l’andamento ottenuto non è monotono. E’ interessante notare che per questa tecnica il valore di

Γ

_OPTtende ad aumentare al crescere di

P

_AVG, al contrario di quanto avveniva con l’allocazione water-filling con SNR gap standard ( Fig.4.11 ). Questa tecnica risulta quindi la migliore in assoluto fra quelle proposte, soprattutto per bassi rapporti segnale-rumore.

4.9 CONFRONTO CONCLUSIVO FRA LE TECNICHE

IMPLEMENTATE

E’ senza dubbio possibile concludere che la migliore funzione implementata, in termini di goodput, è la “safe quant”, che realizza una allocazione di risorse waterfilling con SNR gap, ma procede alla quantizzazione delle metriche continue di bit in modo molto prudente, effettuando approssimazioni per eccesso solo se è possibile recuperare il margine di potenza necessario a garantire un adeguato livello energetico per la trasmissione del simbolo di modulazione. Tale funzione raggiunge prestazioni migliori o uguali rispetto a tutte le altre tecniche sperimentate, per ogni valore di potenza media per sottoportante. Il suo successo conferma che un approccio conservativo nella quantizzazione dei bit e una particolare attenzione a salvaguardare la PSR, può produrre ottimi risultati in termini di goodput.

I vantaggi sono particolarmente netti per bassi rapporti segnale-rumore, mentre con una

AVG

(56)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ massimi di goodput, anche se in corrispondenza di

Γ

diversi. Per questo motivo, in regime di elevata

P

_AVG, considerazioni sulla complessità implementativa possono far pendere l’ago della bilancia verso tecniche più snelle, come la “equo1” o la “equo3”. In Tab.4.3 e Tab.4.4 riportiamo il vantaggio percentuale delle principali funzioni sperimentate, in termini di goodput massimo raggiunto, stilandone una classifica e prendendo come riferimento il massimo goodput prodotto dalla tecnica waterfilling con SNR gap standard ( funzione no_distr1). Sono stati considerati i valori di goodput massimo individuati facendo variare SNR gap a passi di 0.1 db, con

P

_AVG fissata.

Funzione Miglioramento %

Safe quant 8.49 %

Equo3 3.03%

No_distr2 1.99 %

Equo1 0.2%

Tab. 4.3 Miglioramento di goodput massimo rispetto a funzione no_distr1.

P

_AVG 0 db Funzione Miglioramento %

Safe quant 2.24 %

Equo1 1.59%

Equo3 1.32 %

No_distr2 -0.5%

(57)

4.10 CONFRONTO FRA I PRINCIPALI PROTOCOLLI ARQ

4.10.1 ESPRESSIONE MATEMATICA DEL GOODPUT PER DIVERSI PROTOCOLLI ARQ

Come già accennato nel paragrafo 4.1, l’espressione del goodput dipende dal protocollo ARQ utilizzato. Nella trattazione svolta fin’ora si è sempre considerato il goodput relativo al protocollo ARQ SR, la cui espressione matematica è la 4.3.1. Le espressioni relative agli altri protocolli ARQ sono esprimibili in funzione del goodput SR. In particolare:

• Per il protocollo ARQ Stop and Wait (SAW)

SR SAW F

GP

N

=

(4.10.1)

• Per il protocollo ARQ Go Back N (GBN)

F

N

(

1 )

SR GBN F F

GP

N

PSR

=

−

(4.10.2)

dove

N

_F è definito come il numero di frames che vengono trasmessi durante l’intervallo di tempo che separa la trasmissione di un blocco di dati e la ricezione di un ACK per quel blocco.

Vedendo le espressioni matematiche si nota subito che le prestazioni migliori vengono ottenute dal protocollo ARQ SR, dato che

N

_F

>

1

. Tuttavia tale tecnica error control,

(58)

Luca Pullio Capitolo 4 – Analisi goodput-oriented della tecnica di allocazione water-filling con SNR gap ______________________________________________________________________ richiede una complessa gestione dei buffer al fine di preservare l’ordine dei pacchetti; per questo viene utilizzata solo nel caso in cui l’ordine di ricezione dei frames non è importante. Nel caso si debbano trasmettere lunghi blocchi di dati, ad esempio, si preferisce la tecnica ARQ GBN, per la maggiore semplicità.

Per il calcolo dei diversi valori di goodput all’interno del programma di simulazione utilizzato, si è dovuto innanzitutto impostare il valore

N

_F. Il calcolo è avvenuto prendendo in considerazione parametri tipici dello standard IEEE 802.11b. In particolare: TX P ACK F TX

T

SIFS

T

N

T

+

=

(4.10.3)

I parametri che compaiono nella 4.9.3 sono definiti come segue:

•

T

_TX è il tempo di trasmissione di un pacchetto. Poiché il nostro programma C++ simula trasmissioni di pacchetti codificati lunghi 256 bytes, il valore di

TX

T

è stato calcolato nel seguente modo:

256 8

11

TX

T

=

×

µ

s

essendo 11 Mb/s la velocità di trasmissione nello standard 802.11b

•

T

_P è il tempo di propagazione impiegato dal segnale per coprire la distanza di andata e ritorno che separa trasmettitore e ricevitore. Pur considerando un ambiente indoor, si è considerato

T

_P

=

2 µ

s

, il che significa che il ricevitore si trova in un raggio di 300m di distanza dal trasmettitore.

(59)

•

SIFS

è un intervallo di attesa che deve essere rispettato dal ricevitore prima di inviare l’ACK. In 802.11b

SIFS

=

10 µ

s

.

•

T

_ACK è il tempo necessario per trasmettere un ACK. Poiché un pacchetto ACK è lungo 14 bytes,

T

_ACK

≅

10 µ

s

.

Effettuando i calcoli si è ottenuto un valore

N

_F

=

1,12

.

Nel paragrafo successivo i diversi protocolli ARQ saranno valutati dal punto di vista del goodput, facendo in particolar modo riferimento a due delle funzioni presentate in precedenza: “no_distr1” e “safe quant”.

4.10.2 CONFRONTO DEI RISULTATI SIMULATIVI

Iniziamo l’analisi dei principali protocolli ARQ, prendendo in esame i risultati ottenuti con la tecnica di allocazione water-filling con SNR gap standard ( no_distr1 ).

(60)

Fig. 4.55 Confronto fra protocolli ARQ: goodput al variare del gap,

P

_AVG=0 db

Fig.4.56 Confronto fra protocolli ARQ: goodput al variare del gap,

P

_AVG=9 db. Funzione no_distr1

Come era facile aspettarsi, il protocollo SAW è nettamente la soluzione peggiore , mentre quello SR fornisce sempre le prestazioni migliori. Tuttavia il goodput GBN (GP_GBN) si mantiene sempre piuttosto prossimo a quello SR (GP_SR) , e i due tendono a coincidere all’aumentare del gap, a causa del fatto che PSR diventa unitaria. Concentriamo ora la nostra attenzione sulla perdita percentuale di goodput prodotto dai protocolli SAW e GBN rispetto al goodput SR. Per quanto riguarda SAW, è facile notare che la perdita prestazionale è percentualmente costante al variare sia di