CAPITOLO I RICHIAMI ESSENZIALI DI TEORIA DEL POTENZIALE

(1)

CAPITOLO I

RICHIAMI ESSENZIALI DI TEORIA DEL POTENZIALE

Introduzione al capitolo: la teoria del potenziale costituisce un’ importante branca della fisica matematica ed è alla base del metodo agli elementi di frontiera.

Il concetto di potenziale viene introdotto per la prima volta nella teoria gravitazionale. Newton scoprì che la forza planetaria, che mantiene i corpi celesti nelle loro orbite, è dello stesso tipo della forza di gravità che fa cadere verso il basso i corpi vicino alla Terra. Newton formulò così la legge di gravitazione universale, in cui definì la forza gravitazionale.1 Questa forza è un’azione a distanza, ossia un punto materiale esercita una forza gravitazionale su un altro punto materiale anche se i due punti non sono a contatto. Come espresse lo stesso Newton, “è inconcepibile che la materia bruta ed inanimata possa, senza la mediazione di qualcosa d’altro che non sia materiale, operare sul resto della materia ed influenzarlo senza un mutuo contatto”. E’ stato allora introdotto il concetto di campo. Un corpo materiale genera un campo gravitazionale, che è una modifica delle caratteristiche fisiche dello spazio circostante il corpo stesso e che determina una forza su qualsiasi altro corpo materiale venga a trovarsi in quello spazio. E’ più semplice studiare i processi fisici in termini di campo piuttosto che in termini di forza e quindi si è proceduto allo studio del campo gravitazionale e delle sue caratteristiche. Si è osservato che esso, come anche la forza gravitazionale, è conservativo, ossia il lavoro del campo gravitazionale su un corpo, che si sposta da un punto ad un altro, dipende dall’intensità del campo e dai punti iniziale e finale del cammino, mentre è indipendente dal percorso seguito. In virtù di questa proprietà si è definito il potenziale del campo gravitazionale, che è espresso quantitativamente dal lavoro ed è funzione solo della posizione.

Un processo analogo si è verificato nell’elettrostatica: tramite la legge di Coulomb2, che è formalmente identica alla legge della gravitazione universale di Newton, è stata definita la forza elettrostatica che è anche essa un’azione a distanza. Poi sono stati definiti e studiati il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico.

Il concetto di potenziale è stato successivamente adottato ed ampliato dalla teoria del potenziale, la quale è nata alla fine del ‘700 ed ai primi del‘900 ha elaborato, attraverso le proprietà dei potenziali Newtoniani, il metodo generale di soluzione delle equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico che forma l’oggetto di questa tesi.

Nel presente capitolo vengono richiamati gli aspetti fondamentali della teoria del potenziale. In particolare vengono definiti i potenziali Newtoniani insieme alle loro principali caratteristiche. Maggiore dettaglio è posto sui potenziali di semplice e di doppio strato. Infine in modo estremamente schematico vengono delineati i potenziali logaritmici. Tutta la trattazione dei concetti ora indicati è sintetica e generale, senza riferimenti a problemi specifici, ma tutte le grandezze e le formule utili per la comprensione di ciò che verrà definito nei capitoli successivi sono presentate in maniera esaustiva.

1

La legge di gravitazione universale stabilisce che ogni punto materiale attrae ogni altro corpo con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. La direzione di tale forza è lungo la congiungente i due punti.

2

La legge di Coulomb stabilisce che nel vuoto due cariche puntiformi ed in quiete esercitano l’una sull’altra una forza di attrazione se le due cariche sono di segni diversi, di repulsione in caso contrario. Tale forza ha un’intensità direttamente proporzionale alle intensità delle due cariche ed inversamente proporzionale alla distanza tra le due

(2)

1) POTENZIALE DI UN CAMPO CONSERVATIVO

Per la comprensione della definizione di potenziale di un campo conservativo, è necessaria la conoscenza dei seguenti concetti:

- campo vettoriale;

- lavoro di un campo vettoriale; - campo conservativo.

Pertanto in questo paragrafo prima verranno definite le suddette grandezze e poi verrà presentata la definizione del potenziale.

1.1) Campo vettoriale Sia Ω un dominio spaziale.

Il campo vettoriale F r( ) è un vettore assegnato, definito in tutti i punti r appartenenti aldominio

Ω e funzione solo dei punti r.

1.2) Lavoro di un campo vettoriale.

Sia Ω un dominio spaziale, in cui è definito il campo vettoriale ( )F r . Si considerino inoltre due

qualsiasi punti ∈Ω, r r , una generica curva ₁, ₂ γ di Ω che collega r a ₁ r ed infine sia ₂ dl un vettore infinitesimo tangente a γ .

L’integrale: 1 2 ( ) γ → ⋅ r r F r dl

è definito come il lavoro che il campo vettoriale ( )F r compie quando il suo punto di applicazione

si sposta da r a 1 r attraverso il percorso 2 γ . Nota

Il lavoro di un campo vettoriale è così chiamato matematicamente, in analogia con un concetto specifico della fisica. Infatti, se F r è una forza agente su un punto di caratteristiche unitarie, ( ) allora l’integrale definito è il lavoro che la forza compie sul punto, quando il punto si sposta da r ₁

a r , muovendosi lungo la curva ₂ γ .

1.3) Campo conservativo

Un campo vettoriale ( )F r è un campo conservativo se soddisfa la seguente condizione:

⋅ = γ 0 ) ( dl F r

qualunque sia la curva chiusa γ .

In generale, il lavoro che un campo vettoriale compie quando il suo punto di applicazione si sposta

(3)

Se, però il campo vettoriale è conservativo, allora il suo lavoro da r a ₁ r varia al variare di ₂ r e ₁

2

r , mentre è indipendente dal percorso scelto per passare da un punto all’altro. Ciò è una diretta

conseguenza della definizione di campo conservativo.

Pertanto il lavoro di un campo conservativo dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale del percorso (r₁ e r₂), mentre risulta indipendente dal tragitto scelto per congiungere i due punti.

Come già indicato nell’introduzione al presente capitolo, il campo elettrico E ed il campo gravitazionale g sono due esempi di campi conservativi.

1.4) Potenziale di un campo conservativo

Ad un qualsiasi campo conservativo F r , definito in un dominio spaziale ( ) Ω, è possibile associare un campo scalare, ossia una funzione scalare dei punti dello spazio, detta potenziale del campo conservativo ( )F r e così definita:

U

( )

U

( )

→

− = ⋅

r O

r O F r dl

Scelto un generico punto O, appartenente ad Ω, come punto di riferimento, solitamente si assume ( ) 0 U O = . Quindi risulta: U

( )

→ = ⋅ r O r F r dl U r

( )

: potenziale in r rispetto ad O

del campo conservativo ( )F r

Pertanto il potenziale U( )r rispetto ad O del campo conservativo F r è il lavoro che ( ) F r ( ) compie quando il suo punto di applicazione si sposta dalla posizione r alla posizione O, scelta

come riferimento.

1.5) Proprietà del potenziale di un campo conservativo

Dalla definizione derivano alcune proprietà del potenziale, che vengono brevemente richiamate di seguito.

Il potenziale di un campo conservativo ( )F r è definito a meno di una costante. Ciò, tuttavia, non è

causa di problemi, perché in genere ciò che interessa è la differenza dei potenziali di due punti. Si può inoltre osservare che, se il potenziale di ( )F r è noto in tutti i punti del dominio Ω, allora è sempre possibile calcolare il lavoro che ( )F r compie quando il suo punto di applicazione si sposta

da un punto ad un altro del dominio Ω. Infatti:

( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1, 2 r r L U U U → → → → = ⋅ = ⋅ + ⋅ = − = −∆ ∀ r r r O O r F r dl F r dl F r dl r r r r Quindi: 1 2 1, 2 r r L _→ = − ∆U ∀ r r

(4)

Questo risultato è valido solo per un campo vettoriale F r conservativo. Se infatti ( ) F r non ( ) fosse conservativo, allora il suo lavoro dipenderebbe non solo da r e ₁ r , ma anche dal percorso ₂ γ

e perciò non sarebbe valida l’ uguaglianza sopra scritta.

Dalla definizione di potenziale si ricava inoltre la seguente relazione: F r

( )

= −grad U

( )

r

2) POTENZIALI NEWTONIANI

Nel presente paragrafo viene inizialmente presentato un calcolo relativo al campo elettrico dovuto ad una carica puntiforme ed in seguito vengono generalizzati i risultati ottenuti.

2.1) Esempio: calcolo del potenziale del campo elettrico generato da una carica puntiforme Si consideri un dominio spaziale al cui interno è presente una carica puntiforme di intensità q, posta nel punto . Si intende calcolare in un generico punto x del dominio il potenziale del

campo elettrico generato dalla carica q.

Figura 1: sistema costituito dalla carica puntiforme q

Il campo elettrico generato dalla carica puntiforme q è espresso dal vettore E x

( )

:

( )

_{( )}

( )

( ) , , 2 2 , r r q q k k r = = − x x E x e e x x dove:

k = costante dimensionale che dipende dal sistema di unità di misura adottato;

r è il vettore che congiunge i punti x e , quindi valgono le seguenti relazioni:

r= −x r

( )

x, = =r 3_i₌₁

(

x_i−ξ_i

)

2 r= modulo del vettore r ; _r_{( )}_, = − _r_{( )}_, − x x x e e x

= versore che individua la direzione ed il verso del vettore r= −x ;

Il potenziale del campo elettrico è U

( )

x : U

( )

→ = ⋅ x o x E dl q O ξξξξ x 2 x₁

(5)

Essendo il campo elettrico conservativo, U

( )

x è indipendente dal cammino che unisce x ad O, pertanto conviene scegliere il seguente percorso:

si traccia la circonferenza che ha centro in e passa per x , poi si

congiunge ad O con un segmento.

La circonferenza ed il segmento si intersecano in P

(

x₁_P,x₂_P

)

, dunque la curva γ è data dalla seguente relazione:

γ

= xP+PO dove

xP = arco della circonferenza che ha centro nel punto e passa per x e per

(

)

1P, 2P

x x

P ;

PO = segmento che unisce i punti P

(

x1P,x2P

)

ed O.

Pertanto il potenziale U

( )

x è espresso dalla seguente formula: U

( )

γ → → → = ⋅ = ⋅ + ⋅ x O x P P O x E dl E dl E dl

Lungo i punti dell’arco di circonferenza xP il campo elettrico E è diretto lungo la direzione radiale, mentre il vettore infinitesimo dl risulta tangente in ogni punto all’arco di circonferenza, quindi Ee dl sono tra loro perpendicolari e risulta così nullo l’integrale 0

P

→

⋅ = x

E dl

Lungo il segmento PO, invece, E e dl sono entrambi tangenti al segmento e perciò sono tra loro paralleli. Quindi, indicando con x il generico punto del segmento PO , ne consegue che:

( )

_{( )}

( ) ( )

( )

, 2 , , , , r r q q q q U k dr k k k r r r r → → = ⋅ = = − = − O P P O P O x E dl x P O Poiché vale r

( ) ( )

, =r , P

x , allora il potenziale è fornito dalla seguente espressione:

( )

, q U k c r = + x x dove

( )

, q c k r = − O U

( )

x : potenziale Newtoniano

Nota: nel seguito si assumerà c = 0.

Il risultato ottenuto non sussiste solo per il campo elettrico generato da una carica puntiforme, ma è valido in generale: quando una sorgente (che può essere di qualsiasi tipo) crea un campo

q O ξξξξ x P 2 γ x Figura 2: curva

(6)

conservativo, che è descritto da una formula simile a quella del campo elettrico E x

( )

, allora a questo campo è associato un potenziale che è dato da un’ espressione formalmente uguale a quella del potenziale elettrico U

( )

x .

Se un potenziale è individuato dalla formula sopra ottenuta, allora è detto potenziale Newtoniano.

2.2) Generalizzazione: potenziali Newtoniani

1) Potenziale Newtoniano di un campo conservativo generato da una sorgente puntiforme q: Sia Ω un dominio spaziale, in cui si trova una sorgente puntiforme di intensità q. La sorgente è collocata nel punto ∈ Ω

e genera il campo vettoriale F x

( )

, espresso dalla relazione integrale:

( )

( ), 2 , r q k r = x F x e x

Come è stato indicato nel paragrafo precedente, F x

( )

è un campo conservativo, pertanto si può definire il potenziale di F x

( )

, che è espresso da una relazione formalmente uguale a quella del potenziale elettrico del paragrafo 2.1). Perciò risulta, schematicamente:

( )

( ),

( )

_{( )}

2 , r , q q k U k r r = x ⇔ = F x e x x x U

( )

x = potenziale Newtoniano dove: x è un punto che ∈Ω;

( )

₃

(

)

2 1 , i i i r ₌ x ξ = − = = − r x x r

Nota: U

( )

x è una funzione continua e differenziabile a tutti gli ordini nei punti appartenenti

adR3, eccetto che nel punto

in cui si trova la sorgente.

2) Potenziale Newtoniano di un campo conservativo generato da N sorgenti puntiformi:

Sia Ω un dominio spaziale, in cui sono collocate N sorgenti puntiformi di intensità q , dove i _i = 1;2;3;…..N.. Le sorgenti si trovano nei punti _i ∈ Ω e generano il campo vettoriale F x

( )

, che, è dato dalla sovrapposizione dei campi generati da ogni singola sorgente. Quindi risulta:

( )

(

)

( , )

( )

₍

₎

2 , i , i i r i i i i q q k U k r r = _x ⇔ = F x e x x x U

( )

x = potenziale Newtoniano dove: x è un punto che ∈Ω;

(

)

₃

(

)

2 1 , , i r i j= xj ξi j = − = = − r x x r

(7)

Nota: U

( )

x è una funzione continua e differenziabile a tutti gli ordini nei punti appartenenti

ad R3, eccetto che nei punti _i in cui ritrovano le sorgenti.

3) Potenziale Newtoniano di un campo conservativo generato da una distribuzione continua di sorgenti:

Siano:

( )

ρ

: distribuzione spaziale continua di sorgenti; :

Ω dominio spaziale al cui interno è contenuta la distribuzione di sorgentiρ

( )

; Ω è delimitato dalla frontiera Γ;

Γ: frontiera liscia, ossia la normale ed il piano tangente a Γ sono univocamente determinati in tutti i punti di Γ

Nota:

- se x ∉ Ω_ξ, allora U

( )

x è una funzione continua e differenziabile a tutti gli ordini in x ;

- se x ∈ Ω_ξ, allora l’integrale che esprime U

( )

x presenta una singolarità, ma sotto certe

condizioni U

( )

x è continuo e derivabile in x . In particolare:

- se ρ

( )

è limitata in Ω_ξ, allora esistono le derivate parziali prime di U

( )

x rispetto ad x ;

- se ρ

( ) ( )

−ρ x ≤ A r

( )

x, α dove: A, α : costanti reali e >0;

,x ∈ Ω_ξ

allora esistono le derivate parziali seconde di U

( )

x rispetto ad x La condizione:

ρ

( ) ( )

−ρ x ≤A r

( )

x, α

è detta disuguaglianza di Hölder. Essa è una condizione più restrittiva rispetto alla continuità di

( )

ρ .

3) LAPLACIANO DEL POTENZIALE NEWTONIANO DOVUTO AD UNA

DISTRIBUZIONE VOLUMETRICA CONTINUA DI SORGENTI. EQUAZIONE DI POISSON.

( )

_{( ) ( )}

( )

, U k d r ρ Ω = Ω x x

(8)

Sia Ω un dominio spaziale, delimitato dalla frontiera liscia Γ. All’interno di Ω sia contenuta la distribuzione volumetrica continua di sorgenti ρ

( )

. Si assuma inoltre che ρ

( )

sia limitata in

Ω e soddisfi alla condizione di Hölder. Quindi vale: ρ

( ) ( )

−ρ ≤A r

( )

, α

x x

dove A. : costanti reali, >0; , ∈Ω

x .

Poiché ρ

( )

soddisfa la disuguaglianza di Hölder, allora esistono le derivate parziali prime e seconde di U

( )

x . Ci si pone dunque come obiettivo quello di determinare l’espressione di queste derivate rispetto alle coordinate cartesiane, ossia:

2 2 ( ) i U x ∂ ∂ x dove x=( ,x x x1 2, 3)=( )xi

a) Bisogna calcolare innanzitutto: ( )

i U x ∂ ∂ x

La derivata prima del potenziale è data dalla seguente espressione:

( ) ( ) 1 ( ) ( , ) i i U d x x _Ωρ r ∂ ₌ ∂ _Ω ∂ ∂ x x

( )

1 Poiché e

x sono tra loro indipendenti, è lecito portare il segno di derivata all’interno

dell’integrale, quindi la

( )

1 diventa:

( ) ( ) 1 ( ) ( , ) i i U d x _Ωρ x r ∂ ₌ ∂ _Ω ∂ ∂ x x

( )

2

Sussistono le seguenti relazioni:

1 1 ( , ) ( , ) i i x r ξ r ∂ _{= −} ∂ ∂ x ∂ x ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) i i U d x _Ωρ ξ r ∂ _{= −} ∂ _Ω ∂ ∂ x x ;

( )

2.1 Poichè: i i i r r r ξ ρ ρ ξ ξ ρ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 1 1

( )

2.2 la relazione

( )

2 diventa: ( )

( )

1 ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) i i i U d d x r r ρ ρ ξ ξ Ω Ω ∂ _{= −} ∂ _Ω ₊ ∂ _Ω ∂ ∂ ∂ x x x

( )

3 Si applicano adesso le seguenti formule di analisi vettoriale:

(9)

V S i i V S i i V S f dV f dS f dV f dS f dV f n dS x ∇ = ↓ ∇ ⋅ = ⋅ ↓ ∂ ₌ ∂ n i n i

( )

3.1 dove:

V: volume delimitato dalla superficie S; f: funzione definita nel dominio V; n: normale esterna ad S in x ;

n : componente i_i -esima di n; i : versore dell’asse i_i -esimo;

x : componente i_i -esima di x=( ,x x x₁ ₂, ₃)=( )x_i .

Pertanto, introducendo la

( )

3.1 nella

( )

3 , si ottiene:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( )

, i , i i U n d d x r r ρ ρ ξ Γ Ω ∂ ∂ _{= −} _Γ ₊ _Ω ∂ ∂ x x x

( )

4 dove: Γ: frontiera di Ω; n : normale esterna a Γ in ∈Γ ; n : componente i_i -esima di n;

e si è supposto che Γ sia liscia, quindi n ed il piano tangente a Γsiano univocamente determinati in tutti i punti di Γ.

b) Ora si deve calcolare: 2 2 ( ) i U x ∂ ∂ x

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 ( ) 1 1 , i , i i i i U n d d x x r x r ρ ρ ξ Γ Ω ∂ ∂ _{= −} ∂ _Γ ₊ ∂ _Ω ∂ ∂ ∂ ∂ x x x

( )

5 Si può porre:

( )

( ) ( )

i i ρ ρ ρ ξ ξ ∂ ₌ ∂ ₋ ∂ ∂ x

(10)

Quindi la

( )

5 diventa:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 ( ) 1 1 , i , i i i i U n d d x _Γρ x r _Ω ξ ρ ρ x r ∂ _{= −} ∂ _Γ ₊ ∂ ₋ ∂ _Ω ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x

( )

6

Si prende in esame il secondo integrale che compare nella

( )

6 e si procede come nel punto a). Pertanto, con riferimento alla formula

( )

2.2 si assumono:

( )

1, ;

( ) ( )

; i i u v x x r ρ ρ ξ ∂ ≡ ≡ − ≡ ∂ x x ne consegue che:

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

1 1 , , 1 , i i i i i i x r x r x r ρ ρ ρ ρ ξ ξ ρ ρ ξ ∂ ₋ ∂ ₌ ∂ ₋ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ x x x x x x

( )

6.1

Si sfrutta poi la seguente relazione (evidente, a causa della simmetria di r x

( )

, :

1 1 ( , ) ( , ) i i x r ξ r ∂ _{= −} ∂ ∂ x ∂ x e quindi la

( )

6.1 diventa:

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

2

_{( )}

1 1 , , 1 , i i i i i x r x r x r ρ ρ ρ ρ ξ ξ ρ ρ ∂ ₋ ∂ ₌ ∂ ₋ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − ∂ x x x x x x

( )

6.2 Infine si applica la

( )

3.1 :

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

_{( ) ( ) ( )}

( ) ( )

2

_{( )}

( ) ( )

2

_{( ) ( ) ( )}

1 1 , , 1 1 , , i i V S i i i i i i i f dV f n dS x d n d x r x r d n d x r x r ρ ρ ρ ρ ξ ρ ρ ρ ρ Ω Γ Ω Γ ∂ ₌ _→ ∂ ∂ ₋ ∂ _{Ω =} ₋ ∂ _Γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − Ω = − Γ ∂ ∂ i i i i x x x x x x x x

(11)

ed in conclusione si ottiene:

( )

_{( ) ( ) ( )}

( ) ( )

_{( ) ( ) ( )}

( ) ( )

_{( )}

( )

2 2 2 2 ( ) 1 1 , , 1 , i i i i i i U n d n d x x r x r d x r ρ ρ ρ ρ ρ Γ Γ Ω ∂ _{= −} ∂ _Γ ₊ ₋ ∂ _Γ ∂ ∂ ∂ ∂ + − Ω ∂ x x x x x x ossia

( )

_{( ) ( ) ( )}

( ) ( )

_{( )}

( )

2 2 2 2 ( ) 1 1 , i , i i i U n d d x ρ _Γ x r _Ω ρ ρ x r ∂ _{= −} ∂ _Γ ₊ ₋ ∂ _Ω ∂ ∂ ∂ x x x x x

( )

7

La

( )

7 rappresenta tre equazioni (una per ogni valore di i), che, sommate, forniscono il laplaciano di U x

( )

:

( )

2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 U U U U x x x ∂ ∂ ∂ + + = ∇ ∂ ∂ ∂ x x x x Inoltre: ₁ ₂ ₃

( ) ( )

1 2 3 1 1 1 1 n n n d d x r x r x r r Γ Γ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{Γ = ∇} _⋅ _Γ ∂ ∂ ∂ x n Segue:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1 2 1 , , U d d r r ρ ρ ρ Γ Ω ∇ x = − x ∇x ⋅n Γ + − x ∇ x Ω x x

( )

8

Valgono le seguenti relazioni, facilmente verificabili:

( )

2 1 0 , r ∇ x = x

( )

8.1 (

( )

1, r x

è una funzione armonica, ossia a laplaciano nullo)

( )

1,

( )

1, r r ∇x = −∇ x x

( )

8.2 Di conseguenza l’equazione

( )

8 diventa:

( )

( ) ( ) ( )

2 1 , U d r ρ Γ ∇ = ∇ ⋅ Γ x x n x

( )

9

(12)

Per comprendere il significato fisico dell’integrale che compare nella

( )

9 , si consideri un vettore

F

definito in un dominio delimitato dalla superficie S e sia n la normale ad S. Allora l’integrale

S

dS

⋅

F n

è il flusso del vettore

F

attraverso la superficie S.

Se in x è collocata una sorgente unitaria e puntiforme, che dà luogo ad un potenziale Newtoniano,

allora sussistono le seguenti relazioni:

( )

1 U U r = −∇ = F

Quindi, tenendo conto delle ultime tre relazioni scritte, si ricava che l’integrale

( ) ( ) ( )

1, d r Γ − ∇ ⋅ Γ n x

è il flusso attraverso Γ del campo conservativo generato da una sorgente puntiforme ed unitaria posta in x .

c) Si calcola adesso questo flusso attraverso :

Si consideri una sfera centrata in x e di raggio ε (figura 3).

Si intende calcolare il flusso del campo conservativo generato da una sorgente puntiforme ed unitaria posta in x, flusso attraverso la sfera definita.

Si considera dunque il seguente integrale:

( ) ( ) ( )

1, d r ε Γ ∇ ⋅ Γ n x

( )

9.1 x Ω Γ x₂ x₃ x₁ x n Γ_ε ε

(13)

Conviene utilizzare un sistema di riferimento sferico centrato in x .

Si ha, essendo n=e_r, dove e_r è il versore che specifica la direzione radiale:

( )

2 2 1 1 1 1 1 , r , r r r r r r r r ∂ ∇ = → ∇ ⋅ = − ⋅ = − ∂ e n e e x x

(

9.1.1

)

Quindi la

( )

9.1 diventa

( ) ( ) ( )

2

( )

2

( )

2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 , d d d d r r ε ε ε ε πε π ε ε ε Γ Γ Γ Γ ∇ ⋅ Γ = − Γ = − Γ = − Γ = − = − n x Pertanto:

( ) ( ) ( )

1, d 4 r ε π Γ ∇ ⋅ Γ = − n x

( )

9.2 Sia Ω − Ω_ε il volume Ω privato del volume della sfera Ω_ε: Ω − Ω_ε è dunque il volume limitato dalle frontiere Γ e Γ_ε(Γ_ε=Γ_ε, ma la normale a Γ_ε, n_e, ha verso opposto rispetto ad n, normale a Γ_ε) (vedasi figura 4).

Nel caso che si sta considerando (sorgente puntiforme e unitaria posta in x) il flusso del campo conservativo generato dalla sorgente attraverso la frontiera di Ω − Ω_ε è nullo (ciò che entra coincide con ciò che esce), quindi:

( ) ( ) ( )

1, d

( ) ( ) ( )

1, d 0 r r ε Γ Γ ∇ ⋅ Γ + ∇ ⋅ Γ = n n x x

( )

9.3 Tenendo conto che n_e, ha verso opposto rispetto ad n, la

( )

9.3 diventa:

( ) ( ) ( )

1, d

( ) ( ) ( )

1, d 0 r r ε Γ Γ ∇ ⋅ Γ − ∇ ⋅ Γ = n n x x

( )

9.4

ed in virtù del risultato

( )

9.2 risulta:

( ) ( ) ( )

1, d 4 r π Γ ∇ ⋅ Γ = − n x

Quindi, tenendo conto di tutti i risultati ottenuti, l’equazione

( )

9 diventa:

(14)

Conclusioni: il laplaciano del potenziale Newtoniano dovuto ad una distribuzione volumetrica di sorgenti ρ

( )

x è uguale a −4πρ

( )

x .

Figura 4: raffigurazione di Γe e Ω − Ωe

4) I POTENZIALI DI SEMPLICE E DI DOPPIO STRATO IN PROBLEMI

TRIDIMENSIONALI (PROBLEMI 3D).

Esistono ulteriori distribuzioni di sorgenti che danno luogo ad altri potenziali Newtoniani, tra i quali sono importanti in matematica ed in fisica i potenziali detti di semplice strato e di doppio strato.

4.1) Definizione dei potenziali di semplice e di doppio strato

a) Si consideri una distribuzione di sorgenti, non più volumetrica, bensì superficiale, ossia una distribuzione continua su una superficie chiusa1 Γ di sorgenti di densità σ

( )

dove è un

punto appartenente a Γ. Quindi il potenziale in un generico punto x, dovuto alla distribuzione superficiale di sorgenti, è: ( )

( )

1 ( ) ( , ) U d r σ Γ = Γ x x

potenziale di semplice strato

( )

11 b) Si considerino una superficie chiusa Γ ed una superficie Γ' che è parallela a Γ. Su tali

superfici sono poste due distribuzioni superficiali continue di sorgenti di densità rispettivamente σ

( )

e σ

( )

' , dove appartiene a Γ e ' a 'Γ .

Sia: h

( )

, ' la distanza tra e ' , dove e ' sono due punti corrispondenti, ossia ' è

allineato sulla normale a Γ in .

1

Nella presente trattazione Γ è considerata una superficie chiusa, ma la teoria che verrà esposta può essere estesa immediatamente al caso di una superficie aperta (non chiusa), con l’unica premura aggiuntiva di definire in modo chiaro ed univoco la normale esterna e quella interna a Γ.

x Ω−Ω Γ x n ε x₂ x₃ e Γε

(15)

Ipotesi: si suppone che σ

( )

e σ

( )

' soddisfino la seguente uguaglianza:

σ

( ) ( )

dΓ = −σ

( ) ( )

' dΓ ' dove gli infinitesimi sono corrispondenti

Nota:

Questa formula richiama il dipolo elettrico, essendo quest’ultimo un sistema fisico costituito da due cariche elettriche puntiformi, di modulo q e di segno opposto (quindi una carica è + q, l’altra è – q) e caratterizzato dal vettore momento dipolare:

q

=

M d (il verso di d è da – q a + q).

Nel caso in esame le due distribuzioni superficiali di sorgenti possono essere interpretate come distribuzione di dipoli o,

se si preferisce, come distribuzione di momenti dipolari.

Il potenziale in x , U x

( )

, generato dalle due distribuzioni superficiali di sorgenti, è dato da:

( )

' 1 1 ( ) ( ) ' ( ') ( , ) ( , ') U d d r r σ σ Γ Γ = Γ + Γ = x x x

( )

1 ( ) 1

( )

1 1 ( ) ( , )d ( , ') d ( , ) ( , ') d r r r r σ σ ξ σ Γ Γ Γ = Γ − Γ = − Γ x x x x

( )

12 Quindi:

( )

( ) ( ) ( )

, ' 1 1 1 ( ) , ' ( , ) ( , ') U h d h r r σ Γ = − Γ x x x

( )

13 Si suppone che Γ' tenda a sovrapporsi a Γ(che equivale a dire che '

tende a

e quindi

( )

, ' 0

h →

) e si ipotizza che σ

( )

→ ∞

con ordini tali che σ

( ) ( )

h , ' →µ

( )

dove µ

( )

è finita ovunque, ossia in tutti i punti ∈ Γ

.

( )

µ

è detta densità di momento dipolare dovuta alle due distribuzioni superficiali di sorgenti che tendono ad avvicinarsi ( 'Γ tende a sovrapporsi aΓ).

Dunque:

µ

( )

=lim_h_{( )}_{, '}_→₀σ

( ) ( )

h , '

( )

14 Inoltre vale la seguente uguaglianza:

( ), ' 0

_{( ) ( ) (}

₎

_{( )}

1 1 1 1 lim , ' , , ' , h h r r n r → ∂ − = ∂ x x x dove n

( )

: normale esterna a Γ in In conclusione si pone:

(16)

U

( )

x =lim_h_{( )}_{, '} U

( )

x Perciò si ottiene:

( )

1,

( )

U d n r µ Γ ∂ = Γ ∂ x x

potenziale di doppio strato

( )

15

Pertanto U

( )

x è il limite del potenziale dovuto a due distribuzioni superficiali di sorgenti di segno opposto che tendono a sovrapporsi (tende a zero la distanza tra le due superfici, su cui sono collocate le due distribuzioni superficiali di sorgente).

Riepilogo:

Sono stati ottenuti i seguenti risultati:

( )

U x : potenziale di semplice strato = potenziale in x dovuto ad una distribuzione superficiale continua di sorgenti che hanno densità superficiale σ

( )

dove ∈Γ

= superficie su cui sono distribuite le sorgenti.

( )

U x : potenziale di doppio strato = limite del potenziale in x dovuto a due distribuzioni superficiali continue di sorgenti, che hanno segno opposto.

µ

( )

=lim_h_{( )}_{, '}_→₀σ

( ) ( )

h , '

= momento del doppio strato. Nota

Questi due potenziali sono funzioni continue di x , differenziabili a tutti gli ordini ovunque, eccetto che nei punti in cui si trovano le sorgenti, che sono punti di singolarità, quindi eccetto che in x∈Γ.