Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell’Edilizia) - a.a. 2010/2011 I Semestre
Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti
Esercizio 1: Sia v =
−1
−1
−1
∈ R
3un vettore e sia r
0:= Lin{v} la corrispondente retta vettoriale orientata.
(i) Trovare le formule per la rotazione R
π/2,r0di angolo π/2 attorno alla retta vettoriale orientata r
0;
(ii) Sia ` la retta di equazioni parametriche
X =
1
−1 0
+ t
2 1 1
, t ∈ R.
Calcolare le equazioni parametriche della retta che si ottiene applicando R
π/2,va `.
Svolgimento: (i) Una base ortogonale di R
3avente v come primo vettore della base e’, ad esempio
f
1=
−1
−1
−1
, f
2=
1
−1 0
, f
3=
−1
−1 2
.
Per renderla ortonormale, basta dividere ogni vettore per la sua norma (le coordinate le scriviamo per comodita’ per riga):
e
01= f
1||f
1|| = (−1/ √
3, −1/ √
3, −1/ √
3), e
02= f
2||f
2|| = (1/ √
2, −1/ √ 2, 0),
e
e
03= f
3||f
3|| = (−1/ √
6, −1/ √ 6, 2/ √
6).
1
La rotazione di angolo π/2 attorno ad e
01, espressa in tale nuova base ortonormale, ha matrice rappresentativa standard:
A
0=
1 0 0 0 0 −1 0 1 0
.
La matrice cambiamento di base dalla base canonica alla base {e
01, e
02, e
03} e’ la matrice M che ha per colonne le coordinate dei vettori di tale nuova base espressi in base canon- ica. Quindi, la matrice rappresentativa di R
π/2,v, espressa rispetto alla base canonica, e’
la matrice A data da
A = M A
0M
−1= M A
0M
t, dato che M e’ una matrice ortogonale. Percio’
A =
1 3
1+√ 3 3
1−√ 3 3 1−√
3 3
1 3
1+√ 3 3 1+√
3 3
1−√ 3 3
1 3
.
(ii) Le equazioni parametriche cercate si ottengono, ad esempio, applicando la matrice A al punto generico della retta `, che e’ (1 + 2t, −1 + t, t), con t ∈ R (scritto per riga per brevita’). Si ottiene quindi
x = (− √
3/3, − √
3/3, 2 √
3/3) + t(4/3, (4 − √
3)/3, (4 + √
3)/3), t ∈ R.
Un modo equivalente per trovare le equazioni parametriche della nuova retta era anche il seguente: si prendono 2 punti qualsiasi P e Q di l, si considerano i trasformati di tali due punti mediante R
π/2,r0, i.e. A(P ) e A(Q), e infine si determina l’equazione parametrica della retta passante per i due punti A(P ) e A(Q).
Esercizio 2: Sia v =
−1
−1
−1
∈ R
3un vettore e sia r
0:= Lin{v} la corrispondente retta vettoriale orientata.
(i) Trovare le formule per la rotazione R
−π/4,r0di un angolo −π/4 attorno ala retta orientata r
0;
(ii) Sia Π il piano di equazione cartesiana
X
1+ X
2= 7.
Calcolare le equazioni parametriche del piano che si ottiene applicando R
−π/4,r0a Π.
Svolgimento: (i) Nella base {e
01, e
02, e
03} determinata nell’esercizio precedente, la ro- tazione di angolo −π/4 attorno ad e
01ha, rispetto a tale base ortonormale, matrice rap- presentativa
B
0=
1 0 0
0
√12
√1 2
0 −
√12
√1 2
.
Percio’, rispetto alla base canonica, la matrice rappresentativa e’
B = M B
0M
t=
1+√ 2 3
2−√ 2−√
6 6
2−√ 2+√
6 6 2−√
2+√ 6 6
1+√ 2 3
2−√ 2−√
6 6 2−√
2−√ 6 6
2−√ 2+√
6 6
1+√ 2 3
.
(ii) Basta prendere tre punti distinti e non allineati, P, Q, T ∈ Π, determinare i tre punti trasformati P
0= B(P ), Q
0= B(Q) e T
0= B(T ), e poi calcolare le equazioni parametriche del piano Π
0per questi nuovi tre punti.
Esercizio 3: Nello spazio cartesiano R
3sia l la retta di equazioni parametriche
X =
1 0 1
+ t
1 3 1
, t ∈ R.
(i) Scrivere le formule di rotazione R
π2,v
di angolo
π2attorno alla retta vettoriale orientata generata dal vettore v =
1 1 1
.
(ii) Calcolare le equazioni parametriche della retta m = R
π2,v
(l).
Svolgimento: (i) Sia b = {f
1, f
2, f
3} una base ortonormale di R
3positivamente orien- tata e con f
1= v/||v||. Percio’
f
1=
1/ √
3 1/ √
3 1/ √
3
, f
2=
1/ √
2
−1/ √ 2 0
, f
3=
1/ √
6 1/ √
6
−2/ √ 6
.
In base b, la matrice di rotazione R
π/2e’:
A = ˜
1 0 0 0 0 −1 0 1 0
.
Percio’, se M e’ la matrice cambiamento di base dalla base canonica e alla base b, allora M e’ una matrice ortogonale e la matrice della rotazione R
π/2,vin base e e’:
A = M ˜ AM
t=
1/3 (1 − √
3)/3 (1 + √ 3)/3
1/3 1/3 − √
3/3 (1 − √
3)/3 (1 + √
3)/3 1/3
. (ii) La retta m ha equazioni parametriche
A
1 + t
3t 1 + t
, t ∈ R
Esercizio 4: Sia K il cubo in R
3di vertici:
(1, 1, 1), (1, −1, 1), (−1, 1, 1), (−1, −1, 1), (1, 1, −1), (1, −1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1).
(i) Disegnare l’immagine di K dopo la rotazione R
π/2,e3;;
(ii) Disegnare l’immagine di K dopo la rotazione R
π/2,e1; (iii) Disegnare l’immagine di K dopo la rotazione R
π/2,−e1; (iv) Quali rotazioni mandano il cubo in se stesso?
Svolgimento: (i) La rotazione R
π/2,e3; e’:
R
π/2,e3(x
1, x
2, x
3) = (−x
2, x
1, x
3), percio’ K viene mandato in se stesso.
(ii) Stessa conclusione come nel punto (i);
(iii) La rotazione R
π/2,−e1; e’ esattamente come la rotazione R
−π/2,e1. Analoga conclu- sione come in (i) ed in (ii).
(iv) Se K viene mandato in se stesso, allora l’asse della rotazione e’ uno dei seguenti:
(a) retta congiungente i centri di due facce opposte;
(b) retta congiungente i punti medi di due spigoli opposti;
(c) retta congiungente 2 vertici opposti.
Le rotazioni di tipo (a) sono di angoli k
π2, k ∈ Z.
Le rotazioni di tipo (b) devono mandare devono mandare gli spigoli che questo asse interseca in se stessi, percio’ sono rotazioni di angolo kπ, k ∈ Z.
Infine, le rotazioni di tipo (c) devono mandare i 3 lati uscenti da uno dei 2 vertici in loro stessi, cioe’ i tre spigoli devono essere permutati fra loro. Percio’ e’ una rotazione di angolo
2kπ3.
Esercizio 5: Nello spazio cartesiano R
3sia π il piano di equazione cartesiana X
1+ X
2= 1
e sia r la retta di equazioni cartesiane
( X
1+ X
2+ 2X
3= 0 X
2+ X
3= 1 .
Riflettere la retta r rispetto al piano π, calcolando esplicitamente le equazioni parame- triche della retta S
π(r) che e’ la retta riflessa di r rispetto a π.
Svolgimento: Le coordinate di P := π ∩ r sono le soluzioni del sistema lineare di 3 equazioni e 3 incognite che si ottiene mettendo a sistema le equazioni cartesiane che definiscono π e r. Si ottiene P = (−1/2, 3/2, −1/2). Un secondo punto sulla retta r e’
ad esempio Q = (−1, 1, 0).
La retta n che passa per Q e che e’ ortogonale a π ha equazione parametrica:
x =
−1 1 0
+ t
1 1 0
, t ∈ R
Il punto di intersezione n ∩ π corrisponde al valore del parametro t = 1/2. Il riflesso Q
0di Q rispetto a π corrisponde quindi a t = 1, ed abbiamo quindi Q
0= (0, 2, 0).
Poiche’ la riflessione rispetto a π lascia fisso P , la retta cercata e’ la retta che passa per P e per Q
0, che ha pertanto equazioni parametriche:
x =
0 2 0
+ t
−1
−1
−1
, t ∈ R
Esercizio 6 Nello spazio cartesiano R
3, con riferimento cartesiano ortogonale RC(O, E) e con coordinate cartesiane (x
1, x
2, x
3), sia π ⊂ R
3il piano di equazione cartesiana:
π : 2X
1− X
2+ X
3= 4.
(i) Scrivere le formule di riflessione rispetto al piano π.
(ii) Determinare le equazioni cartesiane della retta m ⊂ R
3, ottenuta per riflessione della retta l :
(
X
1+ X
2− X
3= 0
X
1− X
2− 1 = 0 rispetto al piano π.
Svolgimento: (i) Sia p = (a, b, c) il punto generico di R
3. Un vettore normale al piano π e’ il vettore n = (2, −1, 1). Pertanto la retta r, passante per p e perpendicolare a π, ha equazione parametrica vettoriale
x = p + tn, e quindi equazioni parametriche scalari
X
1= a + 2t, X
2= b − t, X
3= c + t.
Se imponiamo l’intersezione di r con π, si ottiene il valore t
0= (4 + b − c − 2a)/6.
Quindi, se S
π(p) denota il simmetrico di p rispetto a π, esso si ottiene come punto sulla retta r, corrispondente al valore del parametro 2t
0, cioe’
S
π(p) = (a, b, c) + ((4 + b − c − 2a)/3) (2, −1, 1).
In definitiva, le formule di simmetria rispetto a π sono
S
π((a, b, c)) = (−a/3+2b/3−2c/3+8/3, 2a/3+2b/3+c/3−4/3, −2a/3+b/3+2c/3+4/3).
(ii) Prendiamo due punti su l, ad esempio R = (1, 0, 1) e Q = (0, −1, −1). Dalle formule di simmetria precedenti, si ha che
S
π(R) = (5/3, −1/3, 4/3) S
π(Q) = (8/3, −7/3, 5/3).
Percio’, un vettore direttore di m e’ dato da
S
π(Q) − S
π(R) = (1, −2, −1).
Allora, l’equazione parametrica vettoriale di m e’ data da x = (5/3, −1/3, 4/3) + t(1, −2, −1) e quindi le equazioni parametriche scalari sono
X
1= 5/3 + t, X
2= −1/3 − 2t, X
3= 4/3 − t.
Queste determinano le equazioni cartesiane di m che sono, ad esempio m : X
1+ X
3− 3 = 0 = X
2− 2X
3+ 3 = 0.
Esercizio 7. Nello spazio cartesiano R
3, con riferimento cartesiano ortonormale stan- dard e con coordinate cartesiane (x
1, x
2, x
3), sia data la sfera S di equazione cartesiana
X
12+ X
22+ X
32− 4X
1+ 2X
2− x
3+ 1 = 0.
Determinare le coordinate del centro C ed il raggio r della sfera.
Svolgimento: Se C = (α, β, γ) e’ il centro di S, ricordiamo che un’equazione cartesiana di S e’ anche
(X
1− α)
2+ (X
2− β)
2+ (X
3− γ)
2= r
2.
Sviluppando tutti i quadrati ed eguagliano coefficiente per coefficiente con l’equazione data di S nel testo dell’esercizio, otteniamo
α = 2, β = −1, γ = 1 2 , r =
√ 17 2 . Esercizio 8. Trovare per quali valori del parametro k ∈ R il piano
α : X
1+ 2X
2− X
3+ k = 0
risulti, rispettivamente, secante, tangente o esterno alla sfera S, di equazione cartesiana:
X
12+ X
22+ X
32− 2X
1− 4X
2+ 1 = 0.
Svolgimento: Il piano α risulta secante, tangente o esterno a S a seconda che la distanza dal centro della sfera S al piano α risulti rispettivamente minore, uguale o maggiore del raggio di S.
Come in uno degli esercizi precedenti, troviamo che il centro C di S e’
C := (1, 2, 0);
il raggio e’ invece
r = 2.
Si ha
d(C, α) = |5 + k|
√ 6 . Pertanto, α risulta:
• secante S se
|5+k|√6