La legge di Ampére

La legge di Ampére

Consideriamo un filo infinito percorso da corrente

i

B A O r

La corrente produce in A un campo magnetico

⊥ al filo e ad r

Ci chiediamo ora quanto valga la circuitazione di B

€

Λ_B = 

∫

Consideriamo la circonferenza di raggio r concentrica con il filo e ⊥ ad esso. B è sempre tangente alla circonferenza ⇒ B·dl = Bdl, inoltre sulla circonferenza B è costante, quindi

La circuitazione di B non dipende dal raggio, ma solo dal fatto che la circonferenza racchiuda il filo percorso da corrente (concatenata).

Consideriamo ora un percorso generico concatenato con la corrente

i B

r

u_θ dθ a dl b

L

Otteniamo dunque che la circuitazione di B in condizioni statiche vale sempre µ₀i (legge di Ampére) con i = Σ correnti concatenate con L

per campi statici

Le correnti concatenate vanno prese positive se le parti concatenate dei fili sono percorse dalla corrente concordemente al verso indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita puntano nello stesso verso in cui è orientata la linea L

Ricordando che otteniamo

S è una qualunque superficie delimitata dalla linea L

Dato che la circuitazione di B è diversa da zero, B risulta essere non conservativo e non possiamo definire un’energia potenziale magnetica

Prendiamo ora un cilindro di lunghezza infinita percorso da corrente a

r’

B’

L’ L r B

P Q

i Le linee di forza di B sono cerchi concentrici con il cilindro e ad esso ⊥, l’intensità di B dipende solo da r

Se r > a tutta la corrente è racchiusa dalla linea L

Otteniamo così che il cilindro si comporta come un filo infinito,

ovvero come se la corrente fosse tutta concentrata sull’asse del cilindro.

La situazione cambia quando ci spostiamo all’interno del cilindro, dobbiamo distinguere due casi

1. r < a e la corrente è superficiale

B all’interno di un cilindro che porta solo corrente superficiale è nullo 2. r < a e la corrente è distribuita uniformemente su tutto il volume del cilindro

B in un cilindro con corrente volumetrica è ∝ r

Campo magnetico di un avvolgimento toroidale

Toroide con N spire equidistanti tutte percorse dalla stessa corrente i.

Per simmetria abbiamo che le linee di

forza di B sono cerchi concentrici al toro Consideriamo la linea chiusa di raggio r che concatena tutte le spire

Se il toro ha sezione trasversa di raggio piccolo rispetto al raggio del toro, ogni linea chiusa interna al toro ha lo stesso raggio e B è uniforme all’interno del toro con n = N/L spire per unità di lunghezza

Un percorso esterno al toro non concatena correnti quindi B = 0

Campo magnetico sull’asse di un solenoide infinito con n spire/unità di lunghezza e poco spaziate tra di loro ⇒ B uniforme e confinato nel solenoide. Integro lungo il percorso abcd.

I lati verticali bc e da non contribuiscono alla circuitazione in quanto B e dl sono ⊥ tra di loro.

Il lato cd non contribuisce dato che non concatena correnti. Resta solo il lato ab

Risultato già ricavato a partire dalla legge di Ampére-Laplace

In forma differenziale abbiamo

Il flusso di B vale

Abbiamo visto che linee di forza di B sono chiuse dato che non esiste il monopolo magnetico, di conseguenza il flusso di B attraverso una superficie chiusa è sempre nullo

Equazioni di Maxwell per i campi elettrici e magnetici statici

Forma integrale Forma differenziale

La legge di Ampére in forma differenziale

Sul piano (xy) consideriamo un percorso rettangolare PQRS di area molto piccola pari a dxdy.

x z

y S R

P Q

B’ B dy

dx j_z j u_y

u_x u_z

Lungo QR (orientato ║ ad y) dl = dy u_y

Analogamente

Attraverso PQRS circola la corrente di legata a j dalla relazione

Facciamo lo stesso procedimento sui piani (xz) e (yz), otteniamo

Infine in tutto lo spazio abbiamo

Correnti = sorgenti di campo magnetico