Una particolare applicazione del volano pendolaresu una vettura da turismo

(1)

o t t e n u t i sono p r a t i c a m e n t e coincidenti con quelli calcolati con il sistema p r o p o s t o .

P e r dimostrare le differenze nella forma delle deformate che si verifica anche in i n t o r n i vicini alla risonanza, in F i g . 5 sono r i p o r t a t e le defor- m a t e elastiche o t t e n u t e p e r i seguenti p u n t i delle curve di risonanza :

piezza u n i t a r i a p e r il volano di estremità si nota che nella zona di massima sollecitazione le differenze delle ampiezze sono notevoli. La torsione della b a r r a su cui si verifica il n o d o , calcolata te- n e n d o conto dell'ampiezza reale del volano d'estre- m i t à , assume i seguenti valori :

Oscar Montabone

Una particolare applicazione del volano pendolare su una vettura da turismo

In u n a autovettura a schema classico, cioè con m o t o r e e cambio disposti a n t e r i o r m e n t e e p o n t e rigido posteriore a n c o r a t o al telaio con balestre, il complesso formato dal m o t o r e - c a m b i o , dalla trasmissione, dal p o n t e posteriore, costituisce un sistema oscillante che possiede delle frequenze p r o - p r i e ben definite, il cui valore d i p e n d e d a l l ' e n t i t à delle masse e delle rigidezze degli elementi di cui è composto.

P o i c h è le forze che si generano a l l ' i n t e r n o del m o t o r e e che da questo vengono trasmesse al complesso considerato sono variabili p e r i o d i c a m e n t e n e l t e m p o , esse sono sviluppabili in u n a serie di a r m o n i c h e aventi frequenze p r o p o r z i o n a l i alla ve- locità angolare del m o t o r e e a l l ' o r d i n e d e l l ' a r m o - nica, ed esistono quasi s e m p r e , n e l c a m p o di fun- z i o n a m e n t o , delle velocità alle quali il sistema oscillante è in risonanza con u n a delle a r m o n i c h e c o m p o n e n t i .

In corrispondenza di queste risonanze si scari- cano in vettura, attraverso i p u n t i di vincolo del p o n t e , cioè attraverso i p u n t i d'attacco delle balestre, delle forze pulsanti di intensità d i p e n d e n t e dagli smorzamenti esistenti n e l sistema elastico e dalla intensità e dalla frequenza d e l l ' a r m o n i c a eccitatrice. Queste forze p u l s a n t i sono la causa della maggior p a r t e dei r o m b i e dei tremolii avvertiti dal passeggero a l l ' i n t e r n o della vettura a certe velocità b e n definite del m o t o r e , che in alcuni casi possono assumere intensità v e r a m e n t e fastidiose.

è u n o degli assilli del progettista il far si che questi disturbi n o n esistano o siano contenuti in

limiti molto r i d o t t i ; questo p e r ò costituisce s e m p r e u n a meta abbastanza a r d u a da raggiungere poichè n o n si ha quasi m a i la possibilità di d o m i n a r e le frequenze p r o p r i e in m o d o da escludere qualsiasi risonanza n e l c a m p o di funzionamento n o r m a l e .

I l p r o b l e m a inoltre diventa s e m p r e p i ù compli- cato q u a n t o p i ù ci si sposta verso le cilindrate u n i - t a r i e elevate e i bassi n u m e r i di cilindri. Ad esem- p i o si p u ò dire che m e n t r e è abbastanza semplice raggiungere dei b u o n i risultati con un m o t o r e di 2-3 litri di cilindrata ad otto cilindri, non lo è altret- t a n t o con un m o t o r e della medesima cilindrata a q u a t t r o cilindri.

Si è voluto esaminare se esisteva la possibilità di risolvere il p r o b l e m a senza r i c o r r e r e a sistemi non s e m p r e economicamente possibili, q u a l i l ' a p - plicazione di giunti idraulici, l ' a u m e n t o del n u m e r o dei cilindri ecc..., sfruttando le p r o p r i e t à dello smorzatore p e n d o l a r e e utilizzandolo come filtro di coppia all'uscita dal m o t o r e .

R i c h i a m i a m o b r e v e m e n t e il p r i n c i p i o di funzionamento del volano p e n d o l a r e .

Si consideri il volano di fig. 1 di m o m e n t o di inerzia p o l a r e J e si supponga che esso, soggetto ad un sistema di forze m o t r i c i e resistenti in equi- l i b r i o , r u o t i con velocità angolare ω costante attorno al p r o p r i o asse. Si pensi che a partire da un dato istante a questo volano venga applicata una coppia, variabile nel t e m p o con legge sinoidale

C = CK sen K ω t

Fig. 1.

che compia quindi K cicli per ogni giro del volano (armonica di ordine K ) .

Il volano da quell'istante assume, in aggiunta al m o t o r o t a t o r i o uniforme, un m o t o oscillatorio, sempre funzione sinoidale del t e m p o , che ha la medesima pulsazione Ko> della coppia eccitante e

Se ora si applica al volano u n a massa pendolare m come indicato in Fig. 1, essa seguirà u n a pro- pria legge di m o t o ed in t a l i condizioni t r a s m e t t e r à al v o l a n o certe forze, il cui m o m e n t o r i s p e t t o all'asse di r o t a z i o n e d i p e n d e quasi essenzialmente dalla forza centrifuga cui è s o t t o p o s t a la m a s s a m stessa, dagli s p o s t a m e n t i che essa subisce r i s p e t t o alla posizione m e d i a radiale e d a l valore di 1 ed L.

A n a l i z z a n d o il m o t o del v o l a n o s o t t o p o s t o , oltre che alla coppia e c c i t a n t e C = CK sen K ω t , anch e alle forze che gli vengono trasmesse dalla massa pendolare, si dimostra (V. appendice I) che per effetto della coppia nasce un m o t o oscillatorio forzato con legge

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a zero, q u i n d i q u e s t o m o t o oscillatorio s c o m p a r e ; cioè se si sintonizza il pendolo sull'ordine della a r m o n i c a eccitatrice, la coppia di r i c h i a m o che esso esercita sul v o l a n o per ogni valore della ve- locità angolare è t a l e da equilibrare in ogni i s t a n t e

l ' a r m o n i c a eccitatrice stessa. Un pendolo siffatto costituisce la forma più semplice di u n o s m o r z a t o r e p e n d o l a r e .

In un m o t o r e alternativo a combustione i n t e r n a il volano e l ' a l b e r o a gomito, ad esso r i g i d a m e n t e connesso, si t r o v a n o nelle m e d e s i m e condizioni del volano di cui si è p a r l a t o . Essi sono sottoposti ad u n a coppia m o t r i c e che è sviluppabile in u n a coppia m e d i a di valore costante, e q u i l i b r a t a dalla coppia resistente, ed in u n a serie di a r m o n i c h e , il cui o r d i n e e la cui intensità d i p e n d o n o dal n u m e r o dei cilindri e dalla c i l i n d r a t a . P r e n d e n d o ad esempio come t e r m i n e di riferimento un q u a t t r o cilindri, le a r m o n i c h e eccitatrici esistenti sono : la seconda con u n a intensità di 1,6 volte la coppia m o t r i c e m e d i a , la q u a r t a con u n a intensità di 0,6 volte la c o p p i a m e d i a , la sesta con 0,3, l'ottava con 0,15 ecc.

Il m o t o del volano-albero è p e r t a n t o in generale il risultante di un m o t o a velocità costante e di t a n t i m o t i oscillatori q u a n t e sono le a r m o n i c h e p r e - senti, ognuno dei q u a l i è r a p p r e s e n t a t o da u n a espressione identica al t e r m i n e sinusoidale dell'e- quazione (1).

è possibile d e p u r a r e il m o t o all'uscita del m o - tore da alcune o da t u t t e queste oscillazioni, a p p l i - cando al volano delle masse p e n d o l a r i sintonizzate s u l l ' o r d i n e delle a r m o n i c h e di cui si vogliono eli- m i n a r e gli effetti.

è intuitivo, e del resto abbastanza semplice da d i m o s t r a r e , che collegando un m o t o r e provvisto di queste masse p e n d o l a r i al sistema oscillante costi- t u i t o dalla trasmissione e dal p o n t e , di cui si è p a r - lato a l l ' i n i z i o , le azioni trasmesse alla vettura attraverso i p u n t i di vincolo delle balestre, dovute alle a r m o n i c h e su cui sono sintonizzate le masse p e n d o l a r i , sono m i l l e . N e l l ' a p p e n d i c e 2 è r i p o r t a t a la dimostrazione.

P e r controllare le possibilità p r a t i c h e del volano p e n d o l a r e , lo si è a p p l i c a t o ad u n a v e t t u r a di schema classico con m o t o r e a n t e r i o r e e p o n t e p o - steriore rigido. Il m o t o r e era un q u a t t r o cilindri di 3 litri di c i l i n d r a t a . Il volano era stato costruito come r a p p r e s e n t a t o in fig. 2.

Il volano V, m u n i t o di mozzo p e r il caletta- m e n t o s u l l ' a l b e r o m o t o r e , forma con il coperchio C, a cui è solidale la corona d ' a v v i a m e n t o A, u n a ca- m e r a chiusa in cui sono allogate le masse p e n d o - lari M e che funge da serbatoio p e r il lubrificante.

Le masse M rotolano sui rulli r, i q u a l i sono sostenuti dai s u p p o r t i S solidali con il volano.

In funzionamento la forza centrifuga agente sulle masse le tiene p r e m u t e contro i rulli e q u i n d i t e n d e a m a n t e n e r l e nella posizione di e q u i l i b r i o disegnata in figura. Esse possono oscillare a t t o r n o a questa posizione, spostandosi come se fossero col- legate al volano m e d i a n t e d u e manovelle (tratteg- giate in figura) di lunghezza uguale alla differenza fra il d i a m e t r o D delle gole ricavate nelle masse e nei s u p p o r t i e quello d dei r u l l i . T u t t i i loro p u n t i descrivono q u i n d i delle traiettorie circolari di raggio l = D — d , con velocità uguali e p a r a l l e l e p u n t o

per la 9a a r m o n i c a ,

per la 12a a r m o n i c a .

Cioè un p u n t o si trova sul r a m o ascendente della curva di risonanza, il secondo sul r a m o discendente.

Su tale d i a g r a m m a è r i p o r t a t a la deformata calcolata p e r Assumendo p e r i tre casi u n ' a r a -

Metodo esatto . . . . Valutazione approssima- ta della deformazione Scarto percentuale . .

k = 9 0,00049 0,00064 + 30 %

k = 12 0,000934

0,00104 + 12 %

È abbastanza frequente nella pratica costruttiva l'applicazione di contrappesi pendolari come smorzatori delle vibrazioni torsionali degli alberi a gomito dei motori alternativi a combustione interna. In questo articolo si dà una descrizione sommaria di una particolare applicazione automobilistica di uno smorzatore di questo tipo, fatta non già con lo scopo di smorzare le vibrazioni torsionali degli alberi a gomito, intese nell'accezione comune di questo termine, ma con quello di filtrare la coppia all'uscita dal motore depuran-

dola dall'armonica fondamentale.

(1)

(2)

Se il p e n d o l o è s t a t o p r o p o r z i o n a t o in m o d o che sia , il t e r m i n e è u g u a l e

409 408

u n ' a m p i e z z a , i n v e r s a m e n t e proporzionale al q u a d r a t o della frequenza di eccitazione.

Il m o t o risultante del volano è espresso q u i n d i

(2)

Fig. 2.

p e r p u n t o sicchè esse si c o m p o r t a n o come se la loro massa m fosse t u t t a concentrata n e l baricen- t r o G, cioè equivalgono p e r f e t t a m e n t e a dei p e n - doli di massa m p u n t i f o r m e , collegati al volano m e d i a n t e bracci di lunghezza 1, incernierati n e l centro P di rotazione del b a r i c e n t r o G.

P e r i m p e d i r e che a m o t o r e fermo le masse p e r effetto del loro peso si stacchino dai r u l l i , si sono disposte le molle ad elica E, p r o p o r z i o n a t e in m o d o da non p r e g i u d i c a r e il funzionamento dello smorzatore sulle cui masse d o v r e b b e r o agire u n i c a m e n t e le forze di inerzia.

I n o l t r e , per evitare che a l l ' a v v i a m e n t o del motore le masse urtino contro il mozzo del volano op- p u r e t r a loro, si è rivestito lo stesso mozzo con u n a guaina di gomma (H in figura) che oltre ad attu- t i r e l ' u r t o serve anche da limitatore di corsa.

P e r la vettura impiegata p e r l'esperienza le frequenze p r o p r i e del sistema oscillante motore-trasmissione-pontte, calcolate e controllate sperimen- t a l m e n t e , erano risultate abbastanza basse (la p i ù elevata era d e l l ' o r d i n e dei 2500 c i c l i / m i n ) , e n e l c a m p o di velocità di funzionamento del m o t o r e esisteva unicamente la possibilità di u n a risonanza con la seconda armonica della coppia motrice (la p i ù bassa p e r il q u a t t r o cilindri) n e l l ' i n t o r n o dei 1200-1300 g i r i / m i n . del m o t o r e .

P e r tale ragione si sono sintonizzate t u t t e e quat- tro le masse sulla seconda a r m o n i c a .

Infine sia p e r garantire un b u o n funzionamento meccanico del g r u p p o , sia p e r d i m i n u i r e l'entità degli a t t r i t i , si è dovuto i n t r o d u r r e nella camera un certo quantitativo d'olio lubrificante.

P r i m a della sua applicazione su vettura si è de- t e r m i n a t a al banco l'efficacia dello s m o r z a t o r e , so- p r a t t u t t o p e r controllare l'influenza sul suo funzio- n a m e n t o delle molle e del lubrificante, rilevando le ampiezze di oscillazione del volano sulla seconda a r m o n i c a in funzione del n u m e r o di giri.

I risultati dei rilievi sono r i p o r t a t i nei dia- g r a m m i della fig. 3.

Le curve « a » e « b » r a p p r e s e n t a n o le a m - piezze di oscillazione, r i s p e t t i v a m e n t e calcolate e rilevate, p e r il volano con masse bloccate, cioè funzionante come un volano r i g i d o ; « c » le stesse ampiezze rilevate con lo smorzatore funzionante, completo di molle ed olio; « d » i valori ottenuti senza molle e con o l i o ; « e » quelli con le molle e senza olio.

L'efficacia del dispositivo a p p a r e evidente dal confronto fra le curve « b » e « c » : le ampiezze di oscillazione del volano risultano notevolmente ri- d o t t e ; a 1000 g i r i / m i n , ad esempio l ' a m p i e z z a , che con volano n o r m a l e è di circa 3 5 ' (curva « b »), si riduce a soli 5' con lo smorzatore (curva « c »).

Si osservi come l'olio, d i m i n u e n d o gli a t t r i t i , r e n d e più efficace il funzionamento dei p e n d o l i e come le molle non lo alterino altro che in m i n i m a m i s u r a .

Un'osservazione nasce p e r ò , e legittima, dal- l'esame dei risultati esposti: le ampiezze di oscillazione si r i d u c o n o e n o t e v o l m e n t e , p e r ò q u a l ' è il motivo p e r cui non si a n n u l l a n o c o m p l e t a m e n t e ,

Fig. 3.

come dovrebbe verificarsi secondo le conclusioni del calcolo esposto n e l l ' a p p e n d i c e 1.

La risposta è semplice : p e r la t r a t t a z i o n e analitica si era p a r t i t i dalle ipotesi che fossero mille le resistenze passive e che le a m p i e z z e dei moti oscillatori del volano e del p e n d o l o fossero sufficiente- m e n t e piccole.

In realtà nè l ' u n a nè l ' a l t r a sono e s a t t a m e n t e verificate in p r a t i c a , sicchè le conclusioni cui si è giunti p e r via analitica costituiscono solo un caso ideale, al quale p e r ò si è sufficientemente prossimi.

A prove u l t i m a t e si è m o n t a t o il volano costruito su v e t t u r a . I risultati sono stati del t u t t o corrispon- denti alle previsioni fatte in sede di p r o g e t t o ; i disturbi che p r i m a si riscontravano, r o m b i e tremolii di intensità v e r a m e n t e fastidiosa, sono completa- m e n t e scomparsi.

Appendici.

1) Smorzatore pendolare.

Si consideri il v o l a n o della Fig. 4, m u n i t o della m a s s a p e n d o l a r e m e r o t a n t e con velocità angolare c o s t a n t e ω, e si suppong a all'istant e t = o di applicare ad esso u n a coppia variabile nel t e m p o con legge

Le direzioni e i versi di queste accelerazioni, p e r i sensi positivi convenuti p e r le rotazioni, risultano quelli indicati in fig. 4.

Le relazioni che legano fra loro queste accelerazioni si trovano facilmente considerando l'equilibrio del volano e del pendolo.

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411

ac accelerazione di Coriolis

a^{θ n} accelerazione centripeta relativa aφ n accelerazione tangenziale relativa

aφ t accelerazione centripeta di t r a s c i n a m e n t o = ωr accelerazione tangenziale di t r a s c i n a m e n t o = n e n t i di m sono:

(moto relativo), le accelerazioni compo- quello del pendolo rispetto al volano con velocità Occorre ricavare le leggi dei m o t i sia del volano

che della massa p e n d o l a r e t e n e n d o conto, oltre che della c o p p i a eccitatrice, a n c h e delle forze che essi si t r a s m e t t o n o m u t u a m e n t e .

Con riferimento alla fig. 4 si indichi con : ω la velocità del m o t o uniforme del v o l a n o ; φ¹ l'angolo di cui è r u o t a t o il volano all'istante

generico t p e r effetto del m o t o oscillatorio p r o - v o c a t o dalla coppia C;

θ l'angolo i s t a n t a n e o fra il braccio 1 e il raggio L (moto del pendolo rispetto al volano);

1 la lunghezza del braccio del p e n d o l o ;

L la distanza del p u n t o di incernieramento del pendolo dall'asse di rotazione del v o l a n o ; m la massa del pendolo supposta c o n c e n t r a t a nel

suo b a r i c e n t r o ;

J il m o m e n t o di inerzia del v o l a n o ;

R la distanza, ad un certo istante t, della massa m dall'asse di rotazione del v o l a n o ;

C = CK sen Kωt la coppia sinusoidale applicata al volano.

In un i s t a n t e generico t, per u n a d a t a configura- zione del sistema definita dai valori di φ¹ e θ, la massa m possiede certe accelerazioni che si possono facilmente d e t e r m i n a r e . Precisamente, poichè il m o t o di m r i s u l t a dalla sovrapposizione di due m o t i diversi, quello del v o l a n o con velocità i s t a n - t a n e a ( m o t o di t r a s c i n a m e n t o ) e

410

Fig. 4.

(3)

Sul braccio 1 ( t r a s c u r a n d o le resistenze passive e i pesi della massa e del braccio, s e m p r e m o l t o piccoli in confronto alle forze di inerzia) agiscono le varie forze di inerzia c o r r i s p o n d e n t i alle accelerazioni c o m p o n e n t i sopra scritte e la reazione del p e r n o B .

P e r l ' e q u i l i b r i o dinamico del braccio, la forza d'inerzia r i s u l t a n t e , e q u i n d i l'accelerazione risul-

da cui semplificando:

cioè, t e n e n d o p r e s e n t e la (1'),

Fig. 5.

Per trovare la funzione incognita φ¹ basta allora sostituire la (7) in una delle equazioni di partenza, per es. nella (4), ed integrare l'equazione differenziale a variabili separate che ne risulta. Si ha

413

P e r l'equilibrio dinamico del volano J, soggetto alla coppia C, alla coppia d'inerzia e alla forza d'inerzia m a della m a s s a p e n d o l a r e , si p u ò scrivere :

(2)

I n t e g r a n d o le due equazioni differenziali (1) e (2) si o t t e r r e b b e r o le d u e funzioni incognite

412

P e r semplificare l'integrazione delle e q u a z i o n i : cioè le leggi cercate del m o t o del v o l a n o e del p e n d o l o .

e

a) si consideri il caso, del r e s t o m o l t o vicino a quelli reali, di oscillazioni φ1 e θ di ampiezza molto piccola, per cui si a c c e t t a n o le uguaglianze:

sen θ = 0 cos θ = 1

b) si trascurino i termini contenenti i qua- d r a t i delle velocità di oscillazione e i loro p r o d o t t i per

I n t a l m o d o l e d u e equazioni s i r i d u c o n o alla forma :

(3)

(4)

e l'integrazione ne è i m m e d i a t a .

S o s t i t u e n d o nella (3) il valore di r i c a v a t o dalla (4) e p o n e n d o

si o t t i e n e l'equazione differenziale a coefficienti c o s t a n t i nella sola funzione θ

(5)

da cui l'espressione generale di θ (6)

con A, B ed E costanti da d e t e r m i n a r e . Il valore di E si ottiene i m m e d i a t a m e n t e sostituendo nella (5) la funzione θ d a t a dalla (6)

Per ricavare A e B b a s t a imporre che all'istante iniziale, t = 0, siano

Segue

per θ= o B = o ; per da cui

t a n t e a in M, deve passare p e r B; in altri termini dev'essere nulla la somma delle proiezioni secondo la n o r m a l e ad 1 delle singole accelerazioni compo- n e n t i . Si p u ò scrivere pertanto :

cioè

o a n c o r a

(1)

P e r q u a n t o si è d e t t o , l'accelerazione r i s u l t a n t e a in M non è altro che la somma delle proiezioni secondo 1 delle stesse accelerazioni c o m p o n e n t i , cioè è data d a :

Le c o s t a n t i d ' i n t e g r a z i o n e D ed F p o s s o n o essere f a c i l m e n t e d e t e r m i n a t e i m p o n e n d o l e con- d i z i o n i a i l i m i t i n e l t e m p o , p e r e s . che a l l ' i s t a n t e t = o s i a n o n u l l i lo s p o s t a m e n t o φ1 e la v e l o c i t à d e l v o l a n o . S e n z a p e r ò c o m p l e t a r e i l calcolo, L ' e s p r e s s i o n e d i 8 r i s u l t a q u i n d i

(7)

si c o n s i d e r i d e l l ' e s p r e s s i o n e di φ¹ solo la p a r t e che r a p p r e s e n t a i l m o t o oscillatorio forzato del v o l a n o , cioè q u e l l a c o s t i t u i t a d a i t e r m i n i i n s e n K ω t

S o s t i t u e n d o in essa l'espressione di γ² e semplifi- c a n d o si o t t i e n e

(8)

Da q u e s t a si v e d e che se si d i m e n s i o n a il p e n d o l o in m o d o o p p o r t u n o , e p r e c i s a m e n t e t a l e che sia r i s u l t a nullo il m o t o oscillatorio forzato, q u a l u n q u e sia il valore di C^K, di J e di ω.

2) Applicazione del volano pendolare al complesso trasmissione-ponte.

Lo schema p r e s o in esame p e r lo studio dell'effetto del volano p e n d o l a r e sui m o t i oscillatori della trasmissione e d e l p o n t e è quello della fig. 5.

I n esso r a p p r e s e n t a n o :

Jm il v o l a n o m o t o r e cui è a p p l i c a t o il p e n d o l o m ; JP' u n v o l a n o e q u i v a l e n t e a l m o m e n t o d ' i n e r z i a d e l p o n t e p e r i l s u o m o t o d i r o t a z i o n e a t - t o r n o a l l ' a s s e r u o t a ;

JP" u n v o l a n o e q u i v a l e n t e a l m o m e n t o d ' i n e r - zia dello s t e s s o p o n t e p e r i l s u o m o t o d i r o t a z i o n e a t t o r n o a l l ' a s s e d e l p i g n o n e d e l g r u p p o d i f f e r e n z i a l e ;

J u n v o l a n o d i m o m e n t o d ' i n e r z i a i n f i n i t o ; m l a m a s s a d e l p e n d o l o e q u i v a l e n t e allo s m o r -

z a t o r e a p p l i c a t o ;

L ed 1 le d i m e n s i o n i c a r a t t e r i s t i c h e del p e n d o l o ; R1 l a r i g i d e z z a t o r s i o n a l e d e l l ' a l b e r o d i t r a -

s m i s s i o n e ;

R2 L a r i g i d e z z a d e i d u e s e m i a l b e r i c o n s i d e r a t i i n p a r a l l e l o t r a l o r o ;

(4)

R3 la rigidezza torsionale delle due balestre in parallelo (coppia da esse esercitata sul ponte per una rotazione di questo di 1 ra- diante attorno all'asse ruote) ;

R4 la rigidezza, dovuta alle molle, all'eventuale barra stabilizzatrice e alle gomme, che si oppone alle rotazioni del ponte a t t o r n o all'asse del pignone (coppia esercitata per una rotazione di 1 r a d i a n t e ) ;

φ1, φ2, φ3 le rotazioni istantanee dei volani Jm, JP' , JP" nel loro moto oscillatorio;

φ1', φ2', le stesse rotazioni del pignone e della corona;

θ lo spostamento angolare istantaneo della massa pendolare m nel suo moto oscillatorio rispetto al volano Jm ;

C = CK sen Kωt la coppia eccitatrice applicata al volano, che può essere considerata come l'armonica generica di ordine K della coppia motrice ;

Τ il rapporto ponte.

È da notare che i volani che compaiono nello schema sono da considerare dotati di p u r o mo- mento d'inerzia attorno al loro asse di rotazione e del tutto privi di massa.

Si è fissato lo schema descritto accettando le ipotesi :

1) che fossero trascurabili i momenti d'inerzia polari dell'albero di trasmissione, degli ingra- naggi del cambio e del differenziale, e dei semialberi ;

2) che non esistesse n e l sistema alcuno smor- zamento a carattere dissipativo;

3) che fosse infinitamente grande la massa della vettura, in modo da poter considerare fissi nello spazio i p u n t i di ancoraggio del sistema oscillante e nullo l'effetto sul moto della vettura delle fluttuazioni della coppia motrice alle ruote, dovute alle oscillazioni del volano motore e del p o n t e .

Il funzionamento dello schema deve essere pen- sato nel modo seguente. I volani Jm, JP' , J ruo- t a n o inizialmente a velocità costante (ω per Jm) ; a partire da un certo istante, assunto come t = o, si applica al volano motore una coppia sinusoidale C = CK sen Kωt ; per effetto di questa Jm e JP' assumono, in aggiunta a quello uniforme che già possiedono, un m o t o oscillatorio di legge rispetti- v a m e n t e φ¹ = φ¹(t) e φ² = φ²(t) da determinare, mentre J continua a ruotare con velocità costante.

Il volano JP" risente l'effetto della coppia ecci- t a t r i c e assumendo anch'esso un m o t o vibratorio, di legge φ3 = φ3(t).

È facile vedere come, agli effetti delle oscillazioni della trasmissione e del ponte, nell'ambito delle ipotesi sopra enunciate, lo schema corrisponda perfettamente al sistema reale.

Alle equazioni scritte se ne possono aggiungere altre due che tengono conto del funzionamento della coppia conica di riduzione.

Per risolvere questo sistema si cominci ad elimi- nare la funzione θ. Ricavand o l'espressione θ dalla (9) e sostituendo nella (12) ci si riduce ad un sistema di tre sole equazioni con tre sole funzioni incognite

essendo lo sviluppo del determinante formato coi coefficienti delle ampiezze, dato da

Poichè nel caso in esame interessano solo le vibrazioni forzate dei volani eccitate dalla coppia C, è

414

Si i m m a g i n i infatti in q u e s t ' u l t i m o di a p p l i c a r e sul volano u n a coppia q u a l u n q u e di m o m e n t o M, t e n e n d o ferma la v e t t u r a .

In t a l caso sul p o n t e agiscono: lo stesso m o m e n t o M t r a s m e s s o lungo l'albero di trasmissione, che t e n d e a farlo r u o t a r e a t t o r n o all'asse del pignone e un m o m e n t o τM che t e n d e a farlo r u o t a r e a t t o r n o all'asse r u o t e , in opposizione alla reazione elastica delle balestre.

Di conseguenza l'angolo di cui r u o t a il volano motore in queste condizioni è d a t o dalla somma dell'angolo di torsione dell'albero di trasmissione, dell'angolo di cui r u o t a il p o n t e a t t o r n o all'asse p i g n o n e , dell'angolo di torsione di un semialbero moltiplicato per il r a p p o r t o p o n t e τ e dell'angolo di cui r u o t a il p o n t e a t t o r n o all'asse r u o t e moltiplicato per lo stesso τ. Q u e s t ' u l t i m o angolo di rotazione del p o n t e è quello d a t o dal m o m e n t o τM che si scarica sulle due balestre, diviso per la rigidezza torsionale di queste.

Gli stessi s p o s t a m e n t i si riscontrano nello schema della figura, q u a n d o al volano si applica lo stesso m o m e n t o M. Poichè il volano J di inerzia infinita n o n p u ò r u o t a r e , l'angolo di r o t a z i o n e di Jm è d a t o in t a l caso dalla s o m m a : dell'angolo di torsione della rigidezza R1 (albero di trasmissione), della r o t a z i o n e φ³ del volano J^P" (rotazione del p o n t e a t t o r n o all'asse pignone), dell'angolo di torsione della rigidezza R² (semialberi) moltiplicato per T, dell'angolo di rotazione del volano JP' (rotazione del p o n t e a t t o r n o all'asse ruote) moltiplicato per lo stesso τ. Anche per lo schema inoltre la rotazione di JP' è d a t a dal m o m e n t o τM sul p o n t e , diviso per la rigidezza R3 delle due balestre.

Verifiche analoghe possono eseguirsi in qualsiasi altra condizione di sollecitazione.

Ciò premesso, si analizzi il sistema della figura con il p r o c e d i m e n t o solitamente seguito in p r o - b l e m i del genere, cioè scrivendo le equazioni del- l ' e q u i l i b r i o dinamico p e r ognuno dei volani p r e - senti e ricavando da queste, p e r integrazione, le espressioni analitiche dei m o t i .

P e r l'equilibrio del v o l a n o Jm vale l'equazione (4) nella quale però bisogna aggiungere, t r a le forze a g e n t i su esso, la coppia di reazione elastica della rigidezza R1

P e r la m a s s a m vale i n t e g r a l m e n t e l'equazione (3)

P e r gli altri due volani si scrive i m m e d i a t a m e n t e

Da q u e s t e u l t i m e , con semplici passaggi, si o t t i e n e

o d a n c h e , p o n e n d o

S o s t i t u e n d o queste espressioni in quelle sopra s c r i t t e , si o t t i e n e un sistema di q u a t t r o equazioni differenziali nelle q u a t t r o funzioni incognite

(9)

(10)

(11)

(12)

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lecito considerare dei m o t i φ1 ? φ2 e φ3 solo la p a r t e che compete a queste vibrazioni e porre p e r t a n t o φ¹ = Φ¹ sen K ω t ; φ² = Φ² sen K ω t ; φ³ =Φ³ sen K ω t Sostituendo queste espressioni nel sistema scritto, si o t t e n g o n o t r e equazioni da cui si possono ricavare le ampiezze di oscillazione Φ in funzione del m o m e n t o massimo CK della coppia e della frequenza della eccitazione.

Con semplici passaggi si ha infine:

(13)

Ma se il pendolo è sintonizzato sulla coppia ecci- t a t r i c e , cioè s u l l ' a r m o n i c a di ordine K, per q u a n t o si è v i s t o n e l l ' a p p e n d i c e p r e c e d e n t e è

cioè q u i n d i per le espressioni (13)

sopra scritte, in queste condizioni, essendo 0, è s e m p r e

Φ1 = Φ2 = Φ3 = 0

Cioè le ampiezze di oscillazione del v o l a n o e del p o n t e sono nulle, q u a l u n q u e sia il valore della coppia a p p l i c a t a CK e la velocità angolare ω.

È evidente che in queste condizioni nessuna forza viene trasmessa da p a r t e del sistema oscillante sui suoi p u n t i di vincolo, cioè alla v e t t u r a .

Resta p e r t a n t o dimostrato c h e , sintonizzando il volano p e n d o l a r e su u n a q u a l u n q u e delle a r m o - niche della coppia m o t r i c e , in p a r t i c o l a r e sulla fon- d a m e n t a l e , quella a r m o n i c a non riesce p i ù ad ecci- tare oscillazioni di ampiezza sensibile del p o n t e e q u i n d i questo non p u ò t r a s m e t t e r e alla vettura forze p u l s a n t i di intensità a p p r e z z a b i l e .

V. Montanari e E. Cordiano