Capitolo 6 Definizione dei carichi alari e dimensionamento delle centine

Capitolo 6

Definizione dei carichi alari e dimensionamento delle centine

6.1 Introduzione

In questo capitolo viene affrontato il problema della determinazione dei carichi che agiscono sulle ali e il dimensionamento delle centine. I carichi sono principalmente legati alla portanza, alla resistenza e al peso strutturale del cassone alare, come illustrato in fig 6.1. Si nota che la resistenza è diretta nella stessa direzione della velocità ma ha verso opposto, mentre la portanza è sempre perpendicolare alla direzione della velocità.

I carichi sono definiti nelle stesse sezioni utilizzate per calcolare le caratteristiche geometriche ed inerziali del cassone; cioè l'ala viene discretizzata in sezioni di passo 2,5% la lunghezza effettiva dell'ala.

Dopo aver determinato il carico alare è possibile effettuare il dimensionamento della centina, attraverso un processo iterativo sulle tensioni che consenta di calcolare il minimo spessore delle flange e dell'anima, necessario a sopportare i carichi di taglio e flessione a cui la centina è sottoposta.

6.2 Il carico di portanza

Anziché considerare una distribuzione di portanza ellittica, si è voluto utilizzare una distribuzione più realistica del carico, per questo motivo la portanza è stata calcolata utilizzando il programma AVL (Athena Vortex Lattice). I dati di output del programma sono organizzati in un'unica matrice

in cui vengono riportati:

• i punti lungo la coordinata Y globale presi in considerazione;

• i valori della corda (c) in corrispondenza della coordinata Y globale;

• i valori del coefficiente di portanza (Cl) in corrispondenza della coordinata Y globale; • i valori dati dal prodotto (c·Cl) in corrispondenza della coordinata Y globale.

I dati in uscita da AVL sono espressi lungo l'apertura alare a partire dall'asse di simmetria del velivolo. Per tale motivo occorre trasformare tali dati nel sistema locale dell'ala, e inoltre per l'ala anteriore occorrerà anche traslare la parte di carico compresa tra il root e l'asse di simmetria, poiché il sistema locale ha l'origine al root e non sull'asse di simmetria.

Si descrive ora in dettaglio la procedura utilizzata dal programma per trasformare i dati in uscita da ASD relativi all'ala anteriore (fig. 6.2):

• la coordinata Y globale è trasformata nella coordinata x locale dell'ala:

x_loc= YGLOB

cos (Γ ' )cos(Λ) dove:

• l'ascissa dell'ala anteriore è traslata della distanza d che intercorre tra l'asse di simmetria e il root dell'ala anteriore:

x= x_loc−x_{loc ROOT}

x_loc è coordinata x locale dell'ala; Y_GLOB è coordinata Y globale;

Γ' è angolo di diedro effettivo dell'ala; Λ è l'angolo di freccia dell'ala;

Y_GLOBALE

x d

Fig. 6.2

dove:

x è la generica coordinata dell'ascissa locale con origine al root dell'ala;

x_loc è la generica coordinata dell'ascissa locale con origine sull'asse di simmetria; x_{loc ROOT} è il valore della coordinata del root nel sistema locale con origine sull'asse di simmetria, ovvero x_{loc ROOT} = d/cos(Λ)

• la portanza viene trasformata dal sistema globale a quello locale dell'ala (dai punti lungo YGLOBALE a quelli lungo l'asse xlocale dell'ala):

dl_loc= dlGLOB

cos(Γ ' ) cos(Λ)

La portanza per il tronco infinitesimo, lungo l'asse Y globale è data dalla seguente relazione:

dl_GLOB=1

2ρ(c  Cl )(M  a)

2

I grafici nelle figure 6.3 e 6.4 mostrano rispettivamente gli andamenti della portanza e del coefficiente di portanza lungo l'ascissa x locale; la linea rossa si riferisce all'ala anteriore, la linea blu a quella posteriore.

dl_{lo c} è la portanza della i-esima sezione nel sistema locale;

dl_GLOB è la portanza della i-esima sezione nel sistema globale;

Γ' è l'angolo di diedro effettivo.

ρ è la densità dell'aria alla quota di riferimento; c è la corda media aerodinamica;

Cl è il coefficiente di portanza del profilo; M è il numero di Mach;

a è la velocità del suono.

x_locale l

Il passo successivo è quello di approssimare la distribuzione di portanza ad un polinomio di grado n. Il grado del polinomio viene calcolato mediante il “Toolboxes” di Matlab, utilizzando la funzione “Curve Fitting Tool”, che prende in ingresso i valori del parametro da analizzare, e in uscita calcola mediante interpolazione, il polinomio che meglio approssima la funzione di ingresso.

Applicando tale procedimento al caso della portanza ricavata da AVL, si vede che il polinomio che meglio approssima tale distribuzione è di quarto grado, e si valuta tale polinomio in ognuna delle sezioni in cui è stata discretizzata l'ala. Poiché la distribuzione di portanza sull'ala ha un andamento non costante, quando viene trasformata dal sistema globale a quello locale è necessario aggiustare l'errore che si commette, imponendo il vincolo che la risultante del carico distribuito di portanza lungo l'asse x locale e lungo l'asse Y globale siano uguali:

dleff = dlloc – LRIS

dl_eff è la portanza effettiva presente sull'ala (cioè corretta dall'errore) per la generica sezione;

dl_loc è la portanza misurata lungo l'asse x locale dell'ala per la generica sezione; L_RIS è il valore della portanza ottenuto tramite la seguente relazione:

dove:

Fig. 6.4 x_locale c·Cl

L_RIS=LRIS loc−LRISglob rala

LRIS loc=

∫

l_locdx

L_{RIS glob}=

∫

Questa procedura è ripetuta per l'ala anteriore e posteriore.

Per la paratia la distribuzione della portanza varia linearmente dal root al tip, ed è diretta perpendicolarmente all'asse x locale del bulk; basta quindi considerare i valori della portanza al tip dell'ala anteriore e posteriore, (di cui quello dell'ala posteriore cambiato di segno) e costruire l'andamento lineare.

In figura 6.5 si riporta il grafico della portanza per l'ala anteriore (in blu), posteriore (in rosso) e per il bulk (verde), per ognuna delle sezioni lungo lungo l'asse x locale in cui è stata discretizzata l'ala. In questi grafici la sezione al root dell'ala coincide con lo 0 delle ascisse: tale convenzione rende infatti i dati indipendenti dalla definizione dei sistemi di riferimento locali.

r_ala è la lunghezza dell'ala misurata lungo il suo asse; b è l'apertura alare;

dx è la ascissa infinitesima lungo l'asse x locale; dY è l'ascissa infinitesima lungo l'asse Y globale; L_{RIS loc} è la risultante della portanza lungo l'asse x locale; L_RISglob è la risultante della portanza lungo l'asse Y globale.

in cui:

In fig. 6.6 si riporta il grafico del carico risultante dato dalla differenza tra portanza e peso strutturale; il rosso è riferito ala posteriore il blu a quella anteriore.

Fig 6.5

Fig 6.6 Ala anteriore (root → tip)

Ala posteriore (root → tip)

Ala anteriore (root → tip) Ala posteriore (root → tip)

6.3 Il carico di resistenza

La resistenza è diretta nella stessa direzione del moto ma con verso opposto. Si ottiene direttamente dalla portanza considerando l'efficienza strutturale tramite la seguente relazione:

D=L

E dove:

In fig. 6.7 si riporta il grafico relativo distribuzione di resistenza lungo l'apertura alare: quello in rosso è riferito all'ala posteriore, il verde alla paratia e il blu all'ala anteriore.

D: resistenza aerodinamica [N/m] L: portanza aerodinamica [N/m] E: efficienza aerodinamica [Pa]

Fig 6.7 Ala posteriore (root → tip)

Ala anteriore (root → tip) Bulk (root → tip)

6.4 Momento totale agente sul cassone

Il momento che agisce sul cassone è calcolato sommando i momenti dei singoli profili nelle sezioni discretizzate. In ogni singolo profilo il momento totale è dato dalla somma di due termini:

– il momento aerodinamico; – il momento di trasporto.

Poiché il punto in cui è applicata la forza portante sul velivolo, detto “centro di pressione”, varia al variare dell'incidenza, il momento che ne consegue è di difficile determinazione, poiché ad ogni incidenza di volo occorrerebbe variare la posizione del punto in cui è applicata la portanza.

Per condurre i calcoli, quindi, è consigliabile far riferimento ad un punto caratteristico di ogni profilo, denominato centro aerodinamico; questo particolare punto fisso del profilo alare è caratterizzato dal fatto che il momento aerodinamico attorno ad esso rimane invariato col modificarsi dell’incidenza. Esso è posto a circa il 25% della corda.

Si assume quindi che la portanza sia applicata nel centro aerodinamico, e tale scelta comporta la nascita di un momento aerodinamico MO, che sarà definito nel prossimo paragrafo.

6.4.1 Calcolo del momento aerodinamico

Attraverso il file “Launch_Xfoil viene lanciato “Xfoil”, un programma che consente di calcolare le caratteristiche aerodinamiche dei profili alari come: coefficiente di portanza, resistenza e momento. Tra i dati in uscita da tale programma, si prende il coefficiente di momento del profilo che è utilizzato per calcolare il momento aerodinamico, che è stato introdotto nel paragrafo 6.4.

Il momento aerodinamico viene calcolato dapprima suddividendo l'ala in sezioni pari al passo tra le centine, e successivamente si effettua una nuova discretizzazione in sezioni di passo 2,5% la lunghezza effettiva dell'ala, quindi nelle stesse sezioni in cui sono state calcolate le caratteristiche geometriche, inerziali e i carichi agenti sull'ala. I valori in queste sezioni sono ottenuti interpolando i valori ricavati nella prima discretizzazione.

Il momento aerodinamico del profilo dell'esima sezione lungo l'apertura alare è dato dalla seguente relazione:

M_o(i)=1 2ρ V

2

La corda media aerodinamica tra la sezione i-esima e i+1-esima è data dalla seguente relazione: ̄ c (i)=2 c(i)1+λi+λi 2 3(1+λ_i) con λi= c (i+1) c(i)

Il valore di V è direttamente immesso dall'utente nel file avvio, ρ è calcolata dal programma in base alla quota di volo, S e c dipendono invece dalle caratteristiche geometriche dell'ala.

6.4.2 Calcolo del momento di trasporto

Il momento di trasporto è calcolato rispetto al centro di taglio della i-esima sezione del cassone alare, per tale motivo il momento complessivo agente sul profilo è dato dalla somma del momento

ρ è la densità dell'aria alla quota di volo; V è la velocità di volo;

C_mo(i) è il coefficiente di momento a portanza nulla della sezione i-esima; c(i) è la i-esima corda aerodinamica media tra la sezione i-esima e i+1-esima; x1(i) è la ascissa x del profilo della sezione i-esima nel sistema di riferimento

locale della semi-ala;

x2(i) è la ascissa x del profilo della sezione i+1-esima nel sistema di riferimento locale della semi-ala.

dove:

aerodinamico, calcolato al paragrafo precedente e del momento di trasporto, dovuto appunto al trasporto della portanza sul centro di taglio, così come rappresentato in fig. 6.8.

Il momento di trasporto totale del profilo i-esimo è quindi ottenuto tramite la seguente relazione:

Mtrasporto=Maerodinamico+LZ(yCT−yCA)

Come definito nel paragrafo 6.4 si assume il centro aerodinamico al 25% della corda: y_CA=0.25 c

Il centro di taglio si considera invece coincidente con il baricentro del cassone, pertanto in virtù della schematizzazione del cassone con una sezione rettangolare simmetrica, il centro di taglio è nel punto di mezzo del cassone:

y_CT=y_long+l_cass/2

La fig. 6.9 chiarisce quanto appena descritto:

x_long è l'ascissa in corrispondenza del longherone anteriore misurata lungo la corda a partire dal bordo di attacco; l_cass è la larghezza del cassone.

dove: y_CT Fig. 6.9 y_{long ant} l_cassone C.A. Cassone C.T. Longherone anteriore Longherone posteriore y_CA y_{long post} Corda

Il significato dei singoli in figura 6.9 è il seguente:

• C.A. è il centro aerodinamico del profilo, (posto al 25% della corda media aerodinamica) • C.T. è il centro di taglio, (posto a metà cassone);

• lcassone è la larghezza del cassone, (è la parte di profilo compresa tra il longherone anteriore e

posteriore)

• yCA è la coordinata del centro aerodinamico lungo la corda;

• yCT è la coordinata del centro di taglio lungo la corda;

• ylong ant è la coordinata lungo la corda del longherone anteriore;

• ylong post è la coordinata lungo la corda del longherone posteriore.

6.5 Dimensionamento della centina

Le centine hanno la funzione essenziale di conferire la forma all’ala e assolvono staticamente il compito di trasmettere le forze aerodinamiche dal rivestimento ai longheroni. Esse sono interrotte in corrispondenza del longherone, perché si assicurarne la continuità, così come illustrato in fig. 6.10.

Le centine hanno inoltre il compito di diminuire la lunghezza libera di inflessione del corrente, consentendo al corrente stesso di sopportare carichi di compressione più elevati.

La centina è realizzata con una sola lamiera rinforzata con profilati localizzati chiodati o imbullonati su ambedue le facce dell’anima della centina, in modo da aumentarne la capacità di sopportare carichi. La centina è sufficientemente rigida a sopportare forze agenti nel piano della sezione, e completamente cedevole a forze perpendicolari a tale piano.

Per dimensionare la centina e definirne il peso, si utilizza un ciclo di dimensionamento a convergenza sulla tensione normale e tangenziale, che consenta di calcolare gli spessori minimi capaci di sopportare un certo livello di tensione. Tale dimensionamento è solo preliminare, in quanto realizzato su ipotesi molto approssimate rispetto alla reale distribuzione delle tensioni negli elementi della centina. Lo scopo di tale dimensionamento è infatti quello di ricavare un peso di primo tentativo delle centine, da aggiungere al peso strutturale del cassone.

La sezione della centina è schematizzata con una trave a doppio T simmetrica, soggetta ad un carico uniforme, che introduce tensioni di taglio sull'anima e normali sulle flange.

Nel file di interfaccia avvio, l'utente sceglie i valori delle tensioni ammissibili per quel determinato materiale, il numero delle centine, e gli spessori di primo tentativo dell'anima e della flangia della centina.

La distanza tra le centine è mantenuta costante lungo l'apertura e si calcola con la seguente relazione:

passo_CENTINE= lALA nCENT−1

La schematizzazione della sezione della centina con una sezione a doppio T simmetrica, è rappresentata in fig. 6.11. Questa ha l'altezza pari a quella del cassone, e la larghezza della flangia bF pari a 0.3 volte l'altezza della centina.

l_ALA è la lunghezza effettiva dell'ala n_CENT è il numero di centine nell'ala

Preliminarmente si può allora ipotizzare che:

• le flange sopportano le tensioni normali dovute al momento flettente ◦ la flangia superiore è soggetta a tensioni normali di compressione ◦ la flangia inferiore è soggetta a tensioni normali di trazione • l'anima è soggetta a taglio.

Il carico che grava sulla centina è ottenuto integrando il carico di portanza per unità di lunghezza, tra metà della baia precedente e metà della baia successiva. Ad esempio in fig. 6.12 il carico che grava sulla cantina 2 è compreso tra le due linee tratteggiate blu.

h_a t_F z t_a h G Fig. 6.11 Flangia b_F Anima x

Ris_cent=

∫

−m 2 m

2 _{l(x)dx dove:}

Da cui il carico di taglio che agisce sulla centina i-esima centina è dato dal rapporto tra la risultante del carico di portanza, precedentemente calcolato e la corda del cassone in corrispondenza della centina:

T=Riscent c

Per il dimensionamento vengono considerate solo la centina al root e al tip, interpolando poi i risultati ottenuti per le altre centine.

Ris_cent è il carico risultante che agisce sulla centina; m è la lunghezza della baia (distanza tra le centine); l(x) è la portanza per unità di lunghezza.

m m

Baia 1 Baia 2 Baia 3 Baia 4

m _m 1 ₂ 3 4 ₅ Fig. 6.12

l(x)

6.5.1 Dimensionamento della flangia della centina

Si schematizza la centina come una trave semplicemente appoggiata agli estremi, e quindi in corrispondenza dei longheroni anteriore e posteriore, soggetta ad un carico uniforme, così come rappresentato in fig. 6.13.

L'andamento del momento sulla trave ha un andamento parabolico: si annulla in corrispondenza degli appoggi ed è massimo in mezzeria così come mostrato in fig.6.14.

Per il dimensionamento si utilizza il massimo valore del momento flettente, pari a:

Mf=−T c 2

8 dove:

T è il carico di taglio che agisce sulla centina C è la corda (distanza tra i due appoggi) corda

Fig. 6.13

In riferimento alla figura 6.11 ammettendo che su ciascuna soletta la sollecitazione sia uniformemente distribuita su tutta la sezione, si può ritenere che essa sia equivalente alla risultante applicata nel baricentro della soletta. La tensione normale di compressione a cui è soggetta la flangia superiore è pari a:

σ_comp=Mf Ix zG

Il momento di inerzia si calcola attraverso la seguente relazione:

I_X=(t_Fb_F)(h 2− tF 2) 2 dove

Il dimensionamento è effettuato mediante un ciclo iterativo di convergenza sulle tensioni, prendendo a riferimento il valore della tensione ammissibile di trazione, definita dall'utente; questo valore viene confrontato ad ogni ciclo con la tensione normale di compressione, calcolato tramite la seguente relazione:

σ_comp=2.5MX

IX

z_G dove:

La tensione di compressione varia ad ogni ciclo facendo variare il valore dello spessore della flangia; il ciclo iterativo viene ripetuto fino a convergenza, ottenendo così il valore dello spessore.

M_f è il momento flettente che agisce sulla centina: Ix è il momento di inerzia rispetto all'asse x della sezione a doppio T;

z_G è la coordinata z del baricentro

b_F è la larghezza della flangia della centina t_F è lo spessore della flangia

h è l'altezza della flangia

Mx è il momento flettente applicato sulla centina; I_X è il momento di inerzia della sezione a doppio T; z_G è la coordinata z del baricentro della sezione; 2.5 è il fattore di sicurezza.

6.5.2 Dimensionamento dell'anima della centina

Dopo aver dimensionato le solette occorre verificare l’anima del longherone per la sollecitazione di taglio. Poiché sappiamo che gli sforzi di taglio variano lungo l’altezza h della sezione parabolicamente passando dal valore nullo sulle fibre esterne al valore massimo in corrispondenza dell’asse neutro e che tale valore per una sezione di forma rettangolare è pari a 3/2 del valore della tensione media, si ottiene:

τ_max=3 2 τmedia= 3 2 T A= 3 2 T t_ah_a

Questo valore della tensione si modifica ad ogni ciclo facendo variare lo spessore dell'anima, e viene confrontato con il valore della tensione ammissibile. Si esce dal ciclo iterativo quando si è giunti a convergenza, ottenendo il valore di ottimo dello spessore.

6.5.3 Calcolo del peso delle centine

Dopo aver effettuato il dimensionamento delle centine, è possibile calcolarne il peso.

Il primo passo consiste nel calcolarne il volume, moltiplicando l'area della sezione della centina per la rispettiva corda:

A_centina=2(b_ft_f)+(h_at_a) V_centina=A_centinac_centina

Il peso della centina si ottiene moltiplicando il volume della centina per la densità del materiale:

P_centina=V_centinaρ_centina

T è il taglio che agisce sulla sezione; t_a è lo spessore dell'anima;

h_a è l'altezza dell'anima. dove:

b_f è la lunghezza della flangia; t_f è lo spessore della flangia; h_a è l'altezza dell'anima; t_a è lo spessore dell'anima;

c_centina è la corda del cassone in corrispondenza della posizione occupata dalla centina;

6.6 Peso complessivo del cassone alare

Il peso del cassone alare è stato calcolato nel capitolo precedente, integrando il peso per unità di lunghezza ottenuto nelle sezioni in cui è stata discretizzata l'ala.

Il peso complessivo delle centine è ottenuto sommando il peso di ognuna delle centine presenti sull'ala:

P_centineTOT=

∑

Il peso complessivo del cassone alare è quindi:

P_TOT=P_cassone+P_centineTOT

Tale peso è solo un peso di primo tentativo del cassone, che sarà poi perfezionato quando verrà effettuato il ciclo di dimensionamento a compressione del cassone, basato sui criteri di rigidezza e di robustezza, propri del dimensionamento dei pannelli dorsali.

Infatti come descritto nei capitolo 5 e 6 il ciclo di dimensionamento è stato realizzato facendo delle assunzioni semplificative sulle caratteristiche geometriche, inerziali e tensionali.

Tuttavia l'obiettivo a questo livello di progetto è quello di fornire un peso di primo tentativo della configurazione alare, in modo da avere un parametro di riferimento.