CAPITOLO 3 Sviluppo di un ricevitore digitale tramite sottocampionamento

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 34

CAPITOLO 3

Sviluppo di un ricevitore digitale tramite

sottocampionamento (undersampling)

3.1 Caratteristiche generali del progetto

L’idea complessiva del progetto è quella di realizzare una macchina NMR per micro-imaging su piccole cavie (ad es. topi): questo presuppone, dal punto di vista pratico, l’impiego di una strumentazione che sia collocabile in laboratorio (si pensi al magnete), nonchè di bobine RF di piccole dimensioni; dal punto di vista più qualitativo, infine, è necessario ottenere una elevata risoluzione dell’immagine finale.

3.1.1 Il trasmettitore e il sistema per i gradienti

Il trasmettitore e il sistema per la generazione dei gradienti, al momento, non sono disponibili, in quanto ancora oggetto di studio; ciò comunque non ci impedisce di portare avanti il progetto del ricevitore, semplicemente dimensionando quest’ultimo sulla base delle specifiche del segnale al suo ingresso.

3.1.2 La bobina RF

Nel capitolo precedente abbiamo già visto come il cuore di una macchina per MRI sia proprio la bobina RF; in particolare, la bobina che si intende utilizzare nel nostro sistema è una birdcage coil di tipo low-pass realizzata nel laboratorio ITENI dell’Istituto di Fisiologia Clinica del C.N.R. di Pisa dall’Ing.Giovannetti. La genesi delle bobine realizzate nasce con lo sviluppo di un software per la simulazione di birdcage coil, in grado di calcolare frequenze di risonanza e pattern di campi magnetici per bobine di ogni dimensione.[20]

I vantaggi della birdcage coil sono già stati evidenziati in precedenza mentre c’è da dire che la scelta della low-pass è dovuta essenzialmente al costo notevolmente ridotto rispetto alla versione high-pass (il numero di condensatori è esattamente la metà e il valore delle capacità è più piccolo).

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Sviluppo di un ricevitore digitale tramite sottocampionamento

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 35 una schematizzazione ideale tali conduttori possono essere considerati induttori puri, privi di resistenza, ma, evidentemente, nella realtà presentano una parte resistiva che può influenzare il comportamento della stessa bobina; infatti, nel caso in cui la bobina sia utilizzata in fase di trasmissione l’effetto della resistenza dei conduttori è quello di una dissipazione di potenza e di un aumento dell’ampiezza degli impulsi RF, mentre, se utilizzata in ricezione, si avrà un aumento del rumore in ingresso al sistema.

Un parametro per rappresentare le perdite dovute alla parte resistiva dei conduttori è il cosiddetto fattore Q, che può essere espresso come

R L Q=ω

dove L è l’induttanza e R è la resistenza caratteristica dell’induttore che può essere considerata in serie.

In linea di massima possiamo dire che tale fattore influenza notevolmente il comportamento della bobina e di tutto il sistema, in quanto si ha che SNR ∝

Q1/2. Lo stesso discorso si ripete chiaramente per i condensatori, caratterizzati

anch’essi da perdite resistive, quindi la scelta di tali componenti va fatta orientadosi verso alti fattori di qualità.

Il parametro Q può essere espresso anche in maniera differente come B

f

Q₌ 0

in cui f0 è la frequenza di risonanza e B è la banda passante del circuito risonante;

tale definizione in particolare evidenzia quella che è la selettività del circuito risonante. C’è da dire che il Q della bobina diminuisce nel caso in cui si consideri “caricata”, cioè con il campione all’interno; un altro parametro molto importante da prendere in considerazione è proprio il rapporto tra il Q della bobina scarica e quello con il carico, cioè

carica scarica

Q Q

r =

Infatti, nel caso in cui r ≅ 1, le perdite sono prevalentemente dovute alla bobina, mentre nel caso in cui r >> 1, le perdite sono dovute essenzialmente al carico; in questo senso si può dire che un valore ottimale di r è intorno a 4-5.

(3.1)

(3.2)

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 36 Per quel che riguarda la bobina utilizzata nel nostro sistema essa è composta di 8 rami verticali (legs) su ciascuno dei quali sono inseriti dei condensatori di 2 nF (due da 1 nF in parallelo con Q ∼ 10000) e da due anelli orizzontali (end-rings). Un’ immagine della bobina è riportata in fig 3.1 .

Le frequenze di risonanza caratteristiche della bobina relative ai diversi modi sono riportate nella tabella 2.1 .La banda a –3 dB in riferimento al picco di risonanza relativo al modo fondamentale (8.06 MHz), che è quello poi utilizzato in MRI, è pari a circa 16,9 kHz. Ricordando quindi la (3.2) si ottiene infine che Q = 477, sicuramente migliore rispetto ad altri tipi di bobine.

Infine, caricando la bobina con un fantoccio costituito da una soluzione salina che simula la conducibilità di un ginocchio (55mM di NaCl e 5mM di NiCl), si ottiene che le frequenze di risonanza rimangono invariate, mentre la banda risulta pari a

49,5 kHz cui corrisponde un Q = 163 .

Il rapporto tra i due fattori di qualità è quindi r = 2,93.

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 37 3.1.3 Il magnete

Il magnete che verrà utilizzato nel nostro sistema fornisce un campo di 0.18 T;

ricordando che ₀ ₀ 2 B f π γ = ( T MHz 58 . 42 2π = γ

per l’idrogeno), si ottiene che la frequenza di risonanza è pari a circa 7.66 MHz.

Ora, tenendo conto che il modo fondamentale della bobina è a 8.06 MHz, occorrerà “sintonizzare” la bobina alla frequenza caratteristica legata al campo magnetico. Questo potrà essere fatto ponendo su ogni ramo della bobina stessa dei trimmer capacitivi che ci consentiranno di effettuare una sintonia fine della frequenza voluta.

3.1.4 Il sistema di ricezione

La funzione del sistema di ricezione è quella di rivelare il segnale FID emesso dal campione e di generare un segnale che possa essere elaborato tramite un computer.

Il segnale in ingresso al sistema di ricezione è della forma:

( )

t f

( ) (

t cos 2 f₀t

) ( ) (

g t sin 2 f₀t

)

.

S = π + π

Lo schema classico di un ricevitore per MRI è riportato in fig 3.2 [3] .

Il segnale viene prelevato dalla bobina tramite una opportuna rete di adattamento che massimizza il trasferimento di energia nel successivo preamplificatore.

Il preamplificatore è un dispositivo che ha il compito, evidentemente, di amplificare il segnale minimizzando l’introduzione di rumore; l’uscita viene a questo punto portata in un sistema di rivelazione fase-quadratura.

Modo Freq (MHz)

1 8.06 3 12.02 5 13.78 7 14.37

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Figura 3.2 - Schema a blocchi di un ricevitore per MRI

Tale rivelatore accetta in ingresso il segnale NMR a radio-frequenza, che consiste

di una distribuzione di frequenze attorno alla frequenza di trasmissione f0 (la

frequenza di Larmor caratteristica), e trasla il segnale stesso di una quantità pari a f0 stesso.

In seguito a questo processo la distribuzione di frequenze risulta invariata eccetto per il fatto che ora è centrata intorno allo zero.

Questa operazione è l’usuale operazione di rivelazione in banda base, e si ottiene moltiplicando il segnale NMR in ingresso con un segnale di riferimento a

frequenza pari a f0 ; l’uscita del phase-sensitive detector è la somma di due

componenti, una costituita da uno stretto range di frequenze centrate attorno allo zero e l’altra da uno stretto intervallo di frequenze attorno a 2f0.

Il filtro passa-basso successivo rimuove tutte le componenti eccetto quelle centrate attorno allo zero. Infine, il segnale complesso (a 2 canali) viene

Bobina RF Rete _di adattamento Preamplificatore Phase-sensitive detector Phase-sensitive detector Filtro Passa-basso Filtro Passa-basso Convertitore A/D Convertitore A/D 90° Phase-Shift al computer Segnale di riferimento Rivelatore fase-quadratura

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 39 convertito tramite due convertitori analogico-digitali per il successivo processing nel computer.

Questo tipo di schema risulta molto semplice, ma presenta molti problemi.

Innanzitutto, le caratteristiche dei filtri e degli amplificatori per l’adattamento alla dinamica dei convertitori (non rappresentati nello schema) devono avere identici guadagni nonché uguali caratteristiche di fase e frequenza; inoltre, c’ è la necessità di un’estrema accuratezza nella differenza di fase di 90° tra i due segnali di riferimento.

La conseguenza di una perdita di ortonormalità nel processo di rivelazione si manifesta in una distorsione del primo ordine del segnale; per capirne l’effetto facciamo riferimento alla figura di Lissajous, che, nel caso di perfetta quadratura, si presenta circolare, mentre, in presenza di una distorsione, diventa ellittica, con una conseguente prima armonica nello spettro del segnale stesso (vedi fig 3.3)

Figura 3.3 - (a) Figura di Lissajous nel caso di perfetta ortonormalità dei segnali sui due canali (b) Figura di Lissajous nel caso di perdita di ortonormalità

(c) Spettro del segnale con distorsione di prima armonica dovuta alla mancanza di ortonormalità

Quindi, lo spettro del segnale evidenzia in questo caso la presenza di una piccola risonanza “fantasma” (ghost), come rappresentato in fig 3.3(c), che si traduce poi in un artefatto nell’immagine finale.

La correzione di tale distorsione del primo ordine può essere effettuata tramite il cosiddetto phase cycling [4] . Per esempio, supponiamo di aver acquisito la figura

Y X Y X 0 ∆ω ghost (a) (b) (c)

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 40 di Lissajous del primo FID (vedi fig 3.4(a)); se mediante un’elaborazione si operasse uno shift di +90° su tale segnale, si otterrebbe una figura come quella rappresentata in fig 3.4(b), con il punto di partenza localizzato sull’asse Y. A questo punto, effettuando per il secondo FID uno shift di -90° in trasmissione e un successivo shift di +90° sul segnale acquisito, si otterrebbe invece una figura come quella di fig 3.4(c).

Infine, sommando (a) e (c) otterremmo un’eccellente approssimazione di un cerchio, come si vede in fig 3.4(d).

Figura 3.4 - Correzione di una distorsione del primo ordine tramite phase-cycling

Naturalmente, lo stesso procedimento può essere adottato per correggere distorsioni di ordine diverso, cui corrispondono shift di fase diversi (e quindi anche differenti rotazioni nelle corrispondenti figure di Lissajous); caso particolare è una distorsione di ordine zero, vale a dire un offset dovuto alle

Y X Y X Y X Y X (a) (b) (c) (d)

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 41 tensioni dirette presenti in uscita dal ricevitore, che si traduce in un offset della figura di Lissajous rispetto all’origine.

Alla luce delle problematiche legate alla realizzazione di un classico ricevitore analogico, la nostra attenzione si è focalizzata sull’implementazione di un sistema di rivelazione fase-quadratura digitale, il quale consente di svincolarci dalla presenza di errori di fase, di sbilanciamento dei due canali, di artefatti dovuti a ghost e dall’utilizzo di tutta la circuiteria di mixing del segnale tipici di una configurazione super-eterodina [5,6] . La descrizione del ricevitore digitale sarà approfondita nel prossimo paragrafo.

3.2 Implementazione del ricevitore digitale

Lo schema a blocchi del ricevitore digitale che vogliamo implementare è riportato in fig 3.5, in cui sono stati rappresentati i vari blocchi del sistema a partire dal prelievo del segnale dalla bobina fino all’interfacciamento con un personal computer.

Figura 3.5 - Schema a blocchi del ricevitore digitale

Il segnale, prelevato dalla bobina mediante un opportuno circuito di adattamento, viene portato in ingresso ad un preamplificatore che ottimizza il rapporto segnale-rumore; subito dopo, abbiamo il circuito di condizionamento del segnale, il quale lo amplifica adattandolo opportunamente alla dinamica del convertitore

Birdcage Coil Circuito di adattamento e preamplificatore Amplificatore a guadagno variabile Filtro passa-banda antialiasing

ADC

Demodulatore digitale (digital down converter) Computer

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 42 analogico-digitale, quindi segue il filtro anti-aliasing che seleziona il range di frequenze di interesse, eliminando altresì le componenti fuori banda.

Il convertitore analogico-digitale ha il compito, evidentemente, di digitalizzare il segnale in modo tale che possa essere opportunamente elaborato; l’ultimo blocco prima del computer è costituito dal demodulatore digitale, la cui descrizione sarà sviluppata dettagliatamente in seguito.

3.2.1 Tecnica di campionamento diretto

La tecnica che è stata utilizzata per digitalizzare il segnale, come è evidente anche dallo schema di fig 3.5, è quella del cosiddetto campionamento diretto o

campionamento in banda passante, in cui il segnale viene campionato senza

essere riportato in banda base, come invece succedeva nel sistema di ricezione analogico.

A questo punto è stato fondamentale scegliere la giusta frequenza di campionamento, in funzione delle specifiche di progetto che si vogliono ottenere. L’obiettivo di realizzare un sistema per microimaging necessita il perseguimento di una notevole risoluzione dell’immagine; l’abilità di distinguere due caratteristiche in un’immagine dipende da molti fattori [7] :

• rapporto segnale-rumore • velocità di campionamento

• T2

• spessore dello strato selezionato

• dimensione della matrice dell’immagine solo per indicarne alcuni.

In particolare, se vogliamo ottenere una risoluzione finale di almeno 14-16 bit sull’immagine, dovremmo utilizzare un convertitore analogico-digitale con tale range dinamico, vale a dire un ADC che garantisca un rapporto segnale-rumore pari a 80-90dB, come risulta dall’espressione

che rappresenta il rapporto tra il valore rms di una sinusoide di ampiezza pari al

, dB 76 . 1 N 02 . 6 SNR = + (3.4)

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 43 fondoscala e il valore rms del rumore di quantizzazione e dove N è proprio il numero di bit in un ADC ideale; sostituendo infatti N=14 nell’espressione si ottiene SNR ≅ 86dB.

Se la banda B del segnale è minore di fs/2, allora l’ SNR dentro la stessa banda B risulta incrementato poiché la quantità di rumore nella stessa è ora più piccola. L’espressione corretta è dunque

      + + = B f dB N SNR s 2 log 10 76 . 1 02 . 6

e tale condizione è detta oversampling o sovracampionamento ed il termine       B f_s

2 viene detto fattore di oversampling. Cerchiamo di spiegare meglio questa

tecnica e soprattutto le condizioni per cui essa risulta valida. Infatti, dovendo dare una definizione precisa di oversampling, dobbiamo dire che con ciò si intende un campionamento a frequenza più elevata della minima richiesta, seguito da filtraggio digitale passa basso e da una decimazione [22]. Inoltre condizione indispensabile, già comprensibile da un punto di vista teorico, affinché l’oversampling risulti efficace, è che il rumore dovuto all’errore di quantizzazione abbia densità spettrale equamente distribuita nella banda del segnale. Se l’input ricopre la dinamica del convertitore e varia abbastanza velocemente tale ipotesi risulta ragionevole. Nel caso invece essa non sia verificata il sovracampionare di per sé non apporta miglioramenti da un punto di vista dell’SNR perché di fatto non aggiunge informazione, e bisogna quindi sommare del rumore “bianco” all’ ingresso all’ADC, ad esempio utilizzando un circuito di dither.

Un diagramma a blocchi di un sistema di questo tipo è il seguente:

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Figura 3.6 - Schema a blocchi di un sistema che opera oversampling

Assicurato il fatto che il rumore possa essere considerato di tipo bianco, si capisce che tanto più velocemente il segnale sarà campionato, tanto più basso sarà il tetto di rumore in quanto lo stesso rumore è distribuito su un range maggiore di frequenze (vedi fig 3.6); il termine di correzione nella (3.5) è chiamato process

gain e comporta un incremento di 3 dB del SNR per ogni raddoppio della fs.

Infatti la densità spettrale del rumore può essere scritta come S(f)=Sv*rect(f/ fs) e

la potenza ad essa associata (indicando con ∆V l’intervallo di quantizzazione del

convertitore) sarà Pfs=∫S(f)df=(∆V^2)/12. Da queste due relazioni possiamo dire

che Sv* fs= (∆V^2)/12 e quindi Sv=(∆V^2)/(12* fs ).

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Figura 3.7– Densità spettrale di rumore per frequenza di campionamento pari a fs

Se sfruttando lo stesso convertitore (∆V rimane lo stesso e quindi anche l’area sottesa da S(f) non cambia il suo valore), si campiona ad una frequenza maggiore, ad esempio fs’=2* fs si ottiene: Sv’= (∆V^2)/(12* fs’ )=(∆V^2)/(12*2* fs ) =Sv/2.

Le due densità spettrali di rumore a frequenze diverse sono rappresentate nella figura sottostante.

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Figura 3.8– Densità spettrale di rumore per frequenze di campionamento pari a fs e fs’

Se ora operiamo un filtraggio numerico LP con frequenza di taglio pari ad fs/2

(ipotizzando in questo esempio un segnale in ingresso all’ADC che abbia una

banda pari ad fs/2), dimezzeremo la potenza di rumore di quantizzazione e quindi

raddoppieremo l’SNR del sistema. Possiamo concludere quindi che, campionare ad una frequenza pari a k volte la frequenza minima richiesta per una corretta ricostruzione del segnale, permette di aumentare il rapporto segnale rumore di una quantità pari proprio a k, detto fattore di sovracampionamento.

SNR=k*SNRmin

Tale risultato è analogo a quello che si otterrebbe usando un convertitore con risoluzione maggiore di quello che stiamo adoperando in realtà. In particolare vedendo k come potenza di 2 (k=2^(2*N)) si guadagnano N bit in risoluzione.

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Figura 3.9 - Effetto dell’oversampling sul rumore

Nella tabella seguente sono elencati i miglioramenti relativi ad alcuni fattori di oversampling [22].

Tabella 3.2 – Miglioramenti relativi ad alcuni fattori di oversampling

Cerchiamo quindi di applicare quanto detto al nostro segnale:

il segnale che viene prelevato dalla nostra bobina è centrato, come già detto, ad una frequenza di 7.66 MHz ed ha una banda di circa 50-55 kHz.

Per ottenere la risoluzione voluta possiamo agire in due modi:

• Sovracampionare rispetto alla massima frequenza del segnale, cioè rispetto a circa 8 MHz. In tal caso nella formula 3.5 al posto della banda del

segnale

Filtro passa -banda

Rumore di quantizzazione rimosso mediante il filtro

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 48 segnale dobbiamo mettere la frequenza massima del segnale. Questa strada era stata scartata in un progetto precedente al nostro perché implica la reperibilità sul mercato di un convertitore analogico-digitale con una risoluzione di almeno 14 bit e con una frequenza di campionamento molto elevata; fino a circa un anno fa (2002) nessun ADC presente sul mercato garantiva tale performance.

• Sovracampionare rispetto alla banda del segnale. Infatti, secondo una interpretazione più elastica del criterio di Nyquist, è sufficiente ,per evitare aliasing, che la frequenza di campionamento sia il doppio della banda del segnale e non della frequenza massima del suo spettro. Questa nuova ed interessante tecnica si sta affermando nel mondo delle telecomunicazioni e si presta ottimamente alla nostra applicazione per MRI perché il segnale da noi trattato è a frequenza abbastanza alta e banda piuttosto stretta. Essa prende il nome di sottocampionamento ( undersampling ) o

campionamento Super-Nyquist e consiste nell’uso di una frequenza di campionamento minore, a volte molto minore, della frequenza massima presente nel segnale. Avendo a disposizione ADC con la risoluzione richiesta e frequenze di campionamento più elevate rispetto al passato, si può pensare di portare al limite tale tecnica, massimizzando il fattore di oversampling e ottenendo quindi prestazioni migliori dal punto di vista dell’SNR. Da un punto di vista di previsioni teoriche ci aspettiamo che il sottocampionamento risulti più efficace rispetto a Nyquist normale proprio perché il fattore di OVS è più elevato. Infatti i convertitori a 14 bit di nuovissima generazione su cui abbiamo focalizzato la nostra attenzione non superano gli 80MSPS (80M/16M<15M/110K). Quindi l’undersampling ,anche alla luce dell’attuale stato dell’arte, si presenta come la strada più invitante da seguire.

Sarebbe dunque interessante ,utilizzando uno degli attuali ADC, fare un confronto ,in termini di SNR in uscita dal convertitore, tra Nyquist e SuperNyquist ed inoltre cercare di spingere al massimo le prestazioni della seconda tecnica.

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 49 3.2.2 Il sottocampionamento (undersampling)

Per capire l’applicazione di tale tecnica, rivediamo brevemente le basi del processo di campionamento.

I dati analogici devono essere campionati ad intervalli discreti tS, la cui ampiezza

deve essere scelta in maniera tale da assicurare una giusta rappresentazione del segnale (vedi fig 3.10).

Figura 3.10 - Campionamento di un segnale analogico

Chiaramente, maggiore è il numero dei campioni, migliore sarà la rappresentazione del segnale, mentre uno scarso numero dei campioni implicherà una perdita di informazione; questo porta all’enunciazione del teorema di Shannon che stabilisce che [8] :

Un segnale analogico con una banda di fa deve essere campionato ad una

velocità fS > 2fa per evitare perdita di informazione.

Da tale teorema discende il criterio di Nyquist , il cui enunciato è:

Se fS < 2fa si ha il fenomeno dell’aliasing.

Nello stabilire questi enunciati, però, si è assunto che il segnale abbia componenti

frequenziali che si estendono dalla continua fino ad fa; in questo caso il criterio di

y(t) y(n) y(n+1) n-1 n n+1 n+3 campionamento tempo discreto quantizzazione tS

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Nyquist stabilisce che fS > 2fa in modo tale da evitare la sovrapposizione tra le

repliche del segnale.

Nel caso in cui, però, il segnale non si estenda fino alla continua, la velocità di campionamento richiesta è funzione della banda del segnale così come della sua posizione nello spettro di frequenze.

In questo caso, quindi, il teorema di Shannon e il criterio di Nyquist sostengono rispettivamente che:

f_S > 2f_a , dove però f_a= f₂ – f₁ = banda del segnale l’aliasing è utilizzato in maniera vantaggiosa.

Questi principi vengono utilizzati, dunque, proprio in applicazioni di sottocampionamento.

Cerchiamo ora di capire le implicazioni dell’aliasing nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza.

La fig 3.8 rappresenta quattro diversi casi di campionamento di un segnale sinusoidale nel dominio del tempo.

Il primo caso rappresenta la situazione in cui è stato preso un numero sicuramente sufficiente di campioni; nel secondo caso sono stati raccolti solo quattro campioni, un numero comunque ancora adeguato per preservare l’informazione. Il caso 3

evidenzia quella che è la condizione limite in cui fS = 2fa: se i campioni prelevati

corrispondessero ai punti di attraversamento dello zero da parte del segnale, l’informazione andrebbe completamente persa. Infine, nel caso 4 si prende in

considerazione una fS = 1.3 fa: l’informazione che si ricava dai campioni indica

una sinusoide con una frequenza inferiore a fS/2, ciò significa che il segnale fuori

banda è stato “aliased” nella banda di Nyquist tra dc e fS/2. Se la velocità di

campionamento fosse ulteriormente diminuita, il segnale dovuto all’aliasing si avvicinerebbe alla continua nello spettro di frequenza.

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Figura 3.11 - Aliasing nel dominio del tempo

Lo stesso discorso può essere rivisto nel dominio della frequenza, come rappresentato in fig 3.12.

Innanzitutto, diciamo che se la banda di Nyquist corrisponde al range di frequenze

compreso tra dc e fS/2, lo spettro può essere poi suddiviso in un numero infinito di

zone di Nyquist, ognuna con un’ampiezza di 0.5fS.

Mettiamo subito in evidenza come il campionamento ad una frequenza fS di un

segnale caratterizzato da una frequenza fa causi la comparsa di due componenti di

aliasing: una a fS + fa e l’altra a fS - fa. La componente di alias superiore, fS + fa,

raramente crea problemi, in quanto va a cadere fuori dalla banda di Nyquist; è,

invece, la componente inferiore a fS - fa che causa problemi in quanto il segnale

invade la banda di Nyquist pari a fS/2.

invade la

1/fS

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Figura 3.12 -Aliasing nel dominio della frequenza

Osserviamo dunque che, indipendentemente da come il segnale analogico è campionato, l’effetto di tale campionamento è che il segnale stesso o una

componente di aliasing vada a cadere nella banda di Nyquist tra dc e fS/2.

Quindi, tutti i segnali che cadono fuori dalla banda di interesse , siano essi toni spuri o rumore, devono essere adeguatamente filtrati prima del campionamento; se ciò non viene fatto, il processo di campionamento spingerà le loro alias o immagini all’interno della banda di Nyquist, degradando così il segnale desiderato.

Quindi uno scoglio nella fase di progetto è rappresentato dalle performance del filtro Passa Banda.

E’ necessario che il filtro limiti la banda di interesse eliminando eventuali segnali indesiderati l’effetto dei quali ridurrebbe di gran lunga le performance del ricevitore

Vediamo ora come, in applicazioni di sottocampionamento, l’effetto dell’aliasing risulti invece vantaggioso [8] .

Caso 1 : fS=8fa Caso 2 : fS=4fa Caso 3 : fS=2fa Caso 4 : fS=1.3fa fa Banda di Nyquist fS-fa fS+fa componenti dovute all’aliasing: si ripetono a 2fS,3fS,… fS fa fS-fa fS+fa fS fS/2 fS/2 fa fS fS+fa fS-fa fa fS fS-fa fS/2 fS+fa

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Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 53 In fig 3.10 sono rappresentati quattro casi, in cui lo stesso segnale con banda di 1 MHz giace in differenti porzioni dello spettro; la frequenza di campionamento deve essere scelta in modo tale che non ci sia sovrapposizione tra le repliche del segnale.

Figura 3.13 - Minima velocità di campionamento richiesta per un segnale a 1 MHz in modo tale da evitare aliasing

Nel primo caso, il segnale occupa una banda che va dalla continua fino a 1 MHz, quindi deve essere campionato almeno a 2 MSPS. Il secondo caso mostra un

segnale sempre di 1 MHz che però occupa una banda da 0.5 a 1.5 MHz; la fS deve

essere almeno 3 MSPS per evitare aliasing. Nel terzo caso, il segnale si trova in

un range di frequenze compreso tra 1 e 2 MHz, ma la fS minima torna ad essere

pari a 2 MSPS. Infine, l’ultimo caso mostra un segnale che occupa una banda da 1.5 a 2.5 MHz; questo segnale deve essere campionato ad un minimo di 2.5 MSPS.

Questa analisi può essere generalizzata come rappresentato in fig 3.14.

Di fatto possiamo dire che la velocità minima di campionamento richiesta perché non ci sia aliasing è funzione del rapporto tra la massima frequenza del segnale,

fMAX, e la banda totale del segnale stesso, B; infine, notiamo come, al crescere del

valore di tale rapporto, la fS minima tende proprio a 2B.

fS >2B fS >3B fS >2B fS >2.5B B fS 2fS 3fS fS 2fS fS 2fS 3fS fS 2fS 3fS

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Figura 3.14 - Minima frequenza di campionamento richiesta in funzione del rapporto tra fMAX e B

Consideriamo come esempio, dunque, il segnale di fig 3.12, in cui cioè occupa una banda di 1 MHz e giace tra 6 e 7 MHz, in corrispondenza cioè della settima zona di Nyquist. Alla luce delle considerazioni fatte il segnale deve essere campionato ad un frequenza di almeno 2 MSPS (B = 1 MHz) in modo tale da

evitare sovrapposizione tra le repliche; supponendo che la fS = 2 MSPS, vengono

generate ulteriori frequenze di campionamento a tutti i multipli interi 4 MHz, 6 MHz, 8 MHz e così via. Questo fa sì che il segnale tra 6 e 7 MHz venga “aliased”

intorno a ciascuna di queste armoniche di fS (da qui il nome di campionamento

armonico); le componenti immagine sono un’accurata rappresentazione del segnale originale (l’inversione dello spettro del segnale non è un problema in quanto può essere corretta via software).

In particolare, la componente che cade in banda base è quella di nostro interesse; questo segnale ci darà tutte le informazioni riguardanti il segnale originale, a meno della reale posizione nello spettro, che comunque è nota a priori.

1 2 3 4 5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 B f_S B f_MAX

B = banda del segnale

fMAX = frequenza max del segnale

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Figura 3.15 - Effetto dell’aliasing nel caso di sottocampionamento

Un vincolo importante si pone nella scelta della frequenza di campionamento, e cioè che la banda del segnale campionato sia limitata ad una singola zona di Nyquist. In questo modo, evidentemente, non avrò sovrapposizione tra le repliche; del resto, in applicazioni di sottocampionamento, questa risulta essere la principale funzione del filtro antialiasing, che sarà, chiaramente, un filtro passa-banda.

Anche nel campionamento in banda passante, come quello in banda base, le caratteristiche del filtro antialiasing possono essere rilassate aumentando la frequenza di campionamento (oversampling), però, allo stesso tempo, la frequenza

centrale del segnale fC deve essere incrementata proporzionalmente in modo tale

che il segnale sia sempre al centro di una zona di Nyquist.

Per selezionare la frequenza di campionamento fS, dunque, sono due le equazioni

chiave a cui fare riferimento [9] : • f_S >2B • 1 2 4 − = NZ f f C S dove

B = banda del segnale

fC = frequenza centrale del segnale

NZ = zona di Nyquist = 1,2,3,4,…

La prima equazione rappresenta il criterio di Nyquist.

0 1 2 3 4 5 6 7

fS = 2 MSPS

alias in banda base segnale 6-7 MHz

dc a 1 MHz

fS 2fS 3fS

(3.7) (3.8)

(23)

La seconda, invece, assicura che la fC sia piazzata al centro di una zona di Nyquist

(vedi fig 3.16).

Figura 3.16 - Piazzamento del segnale sottocampionato al centro di una zona di Nyquist

Proponiamo ora un esempio chiarificatore.

Supponiamo di avere un segnale con banda di 4 MHz, centrato attorno ad una portante di 71 MHz. La minima frequenza di campionamento richiesta è dunque

8 MSPS; risolvendo la (3.7), utilizzando fC = 71 MHz e fS = 8 MSPS, si ottiene

NZ = 18.25. NZ deve essere però un intero, quindi lo approssimiamo all’intero più piccolo e prossimo a quel valore, in questo caso NZ = 18; risolvendo nuovamente

l’equazione si ottengono i valori finali di fS = 8.1143 MSPS, fC = 71 MHz e NZ =

18.

Se vogliamo ora avere più margine per il filtro antialiasing, selezioniamo una frequenza di campionamento di 10 MSPS. Risolvendo ancora la (3.7), sempre per

fC = 71 MHz, otteniamo NZ = 14.7; arrotondiamo tale valore a 14 e, sostituendo

nuovamente, otteniamo i valori finali di fS = 10.519 MSPS, fC = 71 MHz e NZ =

14.

Lo stesso processo iterativo può essere ripetuto fissando fS e aggiustando fC in

modo tale da avere un numero intero per NZ. B

(24)

3.2.2.1 Problematiche relative all’utilizzo del sottocampionamento

Finora abbiamo esposto quelli che sono i vantaggi dell’applicazione della tecnica di campionamento diretto, in particolare del sottocampionamento, primo fra tutti l’eliminazione di tutta la circuiteria analogica per il mixing del segnale; ora, però, vogliamo evidenziare quelli che devono essere gli accorgimenti da prendere per evitare di ottenere risultati molto diversi da quelli attesi.

Il più grande svantaggio introdotto dall’undersampling è la degradazione del rapporto segnale rumore. Infatti ,con questa tecnica, non solo il segnale NMR viene traslato in banda base, ma anche il rumore presente su tutto il range frequenziale. Più la frequenza di campionamento si allontana dalla frequenza di Larmor, più l’SNR peggiora. E’ proprio per questo motivo che è necessario un buon filtraggio passabanda prima della conversione e che fin dall’inizio abbiamo parlato sempre di sottocampionamento associato ad oversampling.

Inoltre, il sottocampionamento richiede che l’ADC utilizzato abbia bassa distorsione alla frequenze caratteristiche del segnale; questo significa che, facendo riferimento all’esempio trattato in precedenza, la velocità di campionamento richiesta è di solo 10 MSPS circa, ma poi lo stesso convertitore deve avere una bassa distorsione (tipicamente 60-80 dB di SFDR, cioè la differenza in dB tra il valore rms dell’ampiezza del segnale d’ingresso e il picco di segnale spurio) alla frequenza di 71 MHz.

Del resto, gli ADC sono generalmente progettati per processare segnali nella

banda di Nyquist (fino a fS/2) con sufficiente performance dinamica; c’è da dire

anche che, nonostante la banda di ingresso dell’ADC sia molto più grande della sua massima velocità di campionamento, SFDR e numero effettivo di bit (ENOB)

decrementano notevolmente per segnali d’ingresso molto al di sopra di fS/2.

Questo implica che i criteri per la selezione dell’ADC in applicazioni di sottocampionamento riguardano SFDR e ENOB alla frequenza caratteristica del segnale,oltre che la velocità di campionamento [8] .

(25)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 58 E’ inoltre molto importante che l’oscillatore del convertitore utilizzato in questo tipo di applicazioni sia molto stabile (questo concetto verrà meglio compreso nel paragrafo successivo in cui si trattano le problematiche relative al jitter del clock). Ricapitolando, la procedura per la selezione del giusto ADC, quindi, prevede che:

• la banda del segnale e la sua posizione all’interno dello spettro siano note; • sia stabilita la frequenza di campionamento considerando la necessità di

operare oversampling anche in virtù di un rilassamento della specifiche del filtro antialiasing (fS almeno 2.5B);

• siano verificate le specifiche di SFDR, S/(N+D) (cioè il rapporto tra il valore rms del segnale d’ingresso e il valore rms della somma di tutte le altre componenti spettrali sotto la frequenza di Nyquist, incluse tutte le armoniche ma escludendo la continua) e di ENOB alla frequenza caratteristica del segnale.

3.2.2.2 Effetto del jitter del clock in applicazioni di sottocampionamento

Un’altra ragione per cui l’SNR di un ADC decresce all’aumentare della frequenza d’ingresso è l’effetto del rumore di fase, dovuto al cosiddetto jitter sul clock di campionamento o sul sample-and-hold (SHA) interno allo stesso convertitore analogico digitale.

Vediamo di fare alcune precisazioni. Dato un campionatore, si definisce “aperture time” il tempo necessario dopo il comando di “hold” prima che lo switch sia aperto definitivamente. Questo produce un ritardo sull’effettivo tempo di campionamento. Con “aperture jitter” si indica invece l’incertezza sull’aperture time e quindi sull’istante di campionamento [23].

Possiamo affermare che, tanto più l’aperture jitter di un ADC è basso, tanto migliori sono le prestazioni del dispositivo in termini di SNR. Ed è proprio questo uno dei concetti su cui ci siamo basati nella scelta del convertitore per il nostro lavoro di tesi.

(26)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 59 • un incremento nel rumore del sistema;

• un’incertezza sulla reale fase del segnale campionato; • un’interferenza intersimbolica.

Ad esempio, per ottenere buoni risultati dal punto di vista del rumore in campionamenti IF, è necessario un aperture jitter minore di 1 ps.

Comunque in termini di accuratezza della fase e interferenza intersimbolica, gli effetti sono piuttosto bassi. Infatti, ipotizzando il caso peggiore di jitter pari ad un ps per un segnale IF di 250 MHz , l’errore sulla fase risulta di 0,09 gradi rms , che è un valore accettabilissimo in molte applicazioni.

Quindi l’attenzione nella nostra analisi verrà focalizzata sul contributo al rumore totale del sistema.

Il jitter di fase causa un errore nella tensione che è funzione dello slew rate del segnale, come rappresentato in fig 3.17.

In un’onda sinusoidale, il massimo slew rate si ha in corrispondenza dell’attraversamento dello zero; in questo punto, lo slew rate è definito come la derivata prima della funzione seno valutata per t = 0; quindi

( )

(

)

v

( )

t A f

(

ft

)

dt d ft A t v = sin 2π ⇒ = 2π cos 2π e in definitiva

( )

t A f v dt d t=0 = 2π (3.9) (3.10)

(27)

Figura 3.17 - Effetto del jitter relativo al clock di campionamento e all’apertura

L’unità di misura dello slew rate è di volt/secondi e sta ad indicare quanto velocemente il segnale d’ingresso attraversa lo zero; quindi se il clock ha un incertezza sull’apertura, questo si traduce in un errore sulla tensione d’uscita dato da

jitter errore SlewRate t

V = ×

la cui unità di misura è in volt; generalmente, l’incertezza di apertura è espressa in secondi rms e, quindi, la tensione di errore va espressa in volt rms.

Da un punto di vista prettamente teorico possiamo quantificare l’errore introdotto da questo fenomeno anche in un altro modo [24].

Infatti il risultato di un’operazione di conversione è idealmente il valore del segnale di ingresso nell’istante di campionamento. Questo può essere espresso nel seguente modo: fs(n)=∫f(t)δ(t-nτ)dt segnale analogico

( )

t pendenza v dt d ₌ t dt dv v= ⋅∆ ∆

∆vRMS = errore del jitter di apertura

∆tRMS = jitter di apertura

TRACK

HOLD

(3.11)

(28)

dove δ(t-nτ) è una distribuzione delta di dirac, f(t) è il segnale di ingresso, fs(n) è

la funzione campionata e l’integrazione viene teoricamente effettuata su un intervallo infinito.

Nella pratica però tale operazione avviene in modo diverso perché il campionamento istantaneo è sostituito ad un’integrazione su un piccolo intervallo di tempo, ed inoltre c’è aperture jitter, cioè incertezza sull’istante in cui il segnale viene prelevato. Si può tenere di conto di queste due non idealità sostituendo la delta di dirac con un’altra funzione ψ(t), ordinaria e continua che include una

variabile random con valor medio nullo ξ il cui valore rms è proprio tjitter. Adesso

possiamo scrivere il risultato dell’operazione di campionamento come: fs(n)=∫f(t) ψ (t-nτ)dt.

Per considerare l’effetto dell’aperture jitter ( che è quello che ci interessa in questa analisi) assumiamo che ψ sia δ(t+ ξ). L’errore generato nella conversione ad un certo istante t’ sarà:

f(t’)-f(t’+ ξ).

Se consideriamo l’espansione di Taylor attorno a t’ si ha: f(t)=f(t’)+f’(t’)*(t-t’). Calcolando tale espressione per f(t’+ ξ) si ottiene:

f(t’+ ξ)=f(t’)+f’(t’)*(t’+ξ-t’).

Da cui l’errore generato su ciascun campione è approssimativamente pari a: f’(t)* ξ.

Quindi siamo giunti alla stessa relazione introdotta precedentemente (la 3.11), che ci dice che ,quando un segnale viene campionato, l’errore atteso sarà dato dallo slew rate moltiplicato per l’rms della variabile ξ, cioè l’aperture jitter.

Possiamo notare dalla relazione dedotta che all’aumentare della frequenza del

segnale d’ingresso, la tensione d’errore aumenta proporzionalmente al tjitter.

Tale errore sulla tensione in uscita dal campionatore può creare molti problemi, soprattutto alle alte frequenze; per questo occorre una notevole cura relativamente a tutti gli aspetti del clock, a partire dall’oscillatore che fornisce il segnale di

(29)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 62 sincronizzazione per finire con il sample-and-hold normalmente integrato sul chip del convertitore.

Come avevamo accennato precedentemente, in un’applicazione di sottocampionamento, poi, la purezza del clock diventa di estrema importanza. Così come, infatti, in un processo di mixing il segnale d’ingresso è moltiplicato per un’oscillazione locale, in questo caso la moltiplicazione è per il clock di campionamento.

Poiché la moltiplicazione nel tempo corrisponde ad una convoluzione in frequenza, lo spettro del segnale di clock è convoluto con lo spettro del segnale d’ingresso; del resto, l’incertezza sull’apertura rappresenta rumore a banda larga sul clock, che si manifesta chiaramente come rumore sullo spettro del segnale campionato. E’ così, dunque, che l’ SNR complessivo dell’ADC viene degradato. Per fare una stima del rapporto segnale rumore in presenza di jitter consideriamo un segnale sinusoidale

x(t) = 1/2Asin(2Πfanalog*t).

Campionando ad un certo istante avremo

x(k)=x(kTs+ ξ )

e questo per lo sviluppo in serie di Taylor è circa uguale a 1/2Asin(2Πfanalog*kTs)+[(dx(t)/dt) * ξ ]t=kTs

che è pari a

1/2Asin(2Πfanalog*kTs)+AΠfanalogcos(2Πfanalog*kTs)* ξ.

Da cui l’rms di x(k) è

1/8(A^2)+1/2(A^2)(Π^2)(fanalog^2)*rms (ξ)=Ps+Pn.

Da qui

SNR=Ps/Pn=1/[4 (Π^2)(fanalog^2)* rms (ξ)].

Il rapporto segnale-rumore in presenza di jitter è quindi dato dall’espressione

(

)

[

2 fanalogtjitter rms

]

log

20

SNR =− π ₋

e l’andamento è riportato in fig 3.18.

(30)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 63 frequenza di una sinusoide di ampiezza FS in ingresso (MHz)

Figura 3.18 - SNR dovuto al jitter

Può essere interessante capire come sia possibile misurare dei tempi così piccoli, dell’ordine del ps [10]. Quando si analizzano le prestazioni complessive del sistema, è preferibile usare un’equazione più generalizzata., in cui si considerano anche gli effetti del rumore termico e delle non linearità differenziali (DNL).

SNR (dB)

ENOB

(31)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 64 L’aperture jitter può essere facilmente misurato osservando che la degradazione dell’SNR dovuta a questo fenomeno aumenta all’aumentare della frequenza del segnale di ingresso. E’ necessario il calcolo di due trasformate di Fourier.

La prima FFT viene effettuata ad una frequenza piuttosto bassa per cui gli effetti del jitter sono trascurabili. Si misura l’SNR e poi si risolve l’equazione 3.16 assumendo che il rumore termico venga incluso in quello di quantizzazione e che gli effetti dell’incertezza siano nulli. Questo ci fornisce l’equazione seguente.

La seconda FFT viene calcolata ad una frequenza molto alta, che sia prossima alla banda a 3 dB del convertitore. Si misura di nuovo l’SNR. In questo caso possiamo considerare che sia il jitter il maggiore responsabile del rumore. Dalla precedente misura abbiamo ricavato il valor medio del rumore di quantizzazione e termico, e possiamo quindi, risolvendo l’equazione 3.16, ricavarci il valore dell’aperture jitter.

Vediamo ora come minimizzare l’errore causato dall’aperture jitter. Possiamo scegliere fra metodi diversi.

• Dalla relazione 3.11 sappiamo che l’ampiezza del rumore aumenta con l’aumentare dello slew rate, quindi una strategia potrebbe essere proprio quella di minimizzare quest’ultimo. Infatti, dal nostro punto di vista, la sola cosa importante è che lo slew rate sia basso nell’istante di campionamento, dato che rapide variazioni tra un campione e l’altro non

(3.17)

(32)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 65 contribuiscono all’errore. Ci possono essere in questo caso vari tipi di approccio; quello che però a noi è risultato più interessante, avendo a disposizione un convertitore con un valore non troppo buono di aperture jitter, è l’idea di piazzare davanti al convertitore un circuito di “sample and hold” la cui incertezza sull’istante di campionamento sia molto più bassa rispetto a quella dell’ADC. In questo modo gli errori di apertura vanno tutti a carico del S&H e quindi le prestazioni globali risultano migliori. Tale soluzione risulta particolarmente interessante con ADC monolitici ad alta velocità e risoluzione, perché le loro prestazioni in termini di aperture jitter sono scarse e ,anche se le frequenze di campionamento vengono ridotte al di sotto di quella di Nyquist, l’errore dovuto all’incertezza rimane dominante. Inoltre anteponendo un SHA ad un convertitore caratterizzato da tempi più lenti, si aumenta la frequenza massima accettabile in ingresso al sistema. Infatti i parametri temporali determinanti diventano quelli relativi al Sample and Hold (che si presumono più bassi) e non più il tempo di conversione dell’ADC.

• Ovviamente,utilizzare un ADC con buon valore di aperture jitter e che mantenga le specifiche richieste dal punto di vista della risoluzione, dispositivo che almeno fino a poco tempo fa non era disponibile sul mercato.

• Un altro modo potrebbe essere quello di utilizzare alcune tecniche standard di elaborazione dei segnali per minimizzare l’effetto del rumore in generale, visto che anche quello generato dal jitter ha proprietà random [24]. L’uscita di un ADC contiene rumore dovuto all’errore di quantizzazione, all’aperture jitter e ad altre sorgenti. Possiamo raggruppare tutte queste cause e lavorare per ridurne gli effetti. Le tecniche possibili sono due:

1. Sovracampionare l’ingresso e poi filtrarlo con un passa basso. Su questo aspetto ci siamo già soffermati precedentemente.

(33)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 66 2. Un’altra idea ci viene suggerita dall’architettura di convertitori

particolari, i sigma-delta. Uno schema a blocchi di tale sistema è il seguente.

Figura 3.19 - schema di un sistema sigma- delta

Se sostituiamo l’ADC ed il DAC con un semplice rumore aggiunto che rappresenta il rumore totale dovuto al processo di campionamento, lo schema diventa quello di figura 3.20.

(34)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 67 Si vede che la funzione di trasferimento del sistema rispetto al segnale d’ingresso è STF=H(s)/[1+H(s)], mentre per quanto riguarda il rumore si ha NTF=1/[1+H(s)]. Quindi se H(s) assume un valore elevato nel range frequenziale a cui appartiene il segnale, avremo STF prossima all’unità, mentre il rumore in tale zona sarà molto attenuato. Progettando un filtro H(s) possiamo ottenere ottimi risultati in termini di SNR.

3.2.2.3 Effetto del jitter del clock, del rumore di quantizzazione e della

frequenza di campionamento sulle performance di un ADC.

E’ bene comunque precisare che l’errore di quantizzazione e il rumore dovuto all’aperture jitter sono due fenomeni di origine completamente diversa. Riportiamo di seguito dei dati che ci sono sembrati interessanti, riguardo ad una simulazione relativa ad un ADC, elaborata presso l’Università di Ioannina in Grecia [25].

Nella simulazione si è assunto che il segnale di ingresso sia sinusoidale a frequenza fc ed il numero di campioni analizzato è 10^4. Sono stati analizzati tre casi

1. Presenza di jitter, ma non di errore di quantizzazione. La frequenza del segnale è stata fissata a 100 MHz e, assunto l’aperture jitter pari a 2 ps, la frequenza di campionamento è stata variata da 200 MHz a 300 MHz con step di 1 MHz. Come si vede dalla figura 3.21, l’SNR in questo caso è indipendente dalla frequenza di campionamento, in accordo con l’equazione 3.11.

(35)

Figura 3.21- SNR in funzione della frequenza di campionamneto

Nella figura 3.22 invece è riportato l’andamento dell’SNR ad una

frequenza di campionamento fissata a 200 MHz , sempre con jitter

considerato pari a 2 ps, al variare della frequenza del segnale tra 1 e 100 MHz con passo di 1 MHz. Si nota che all’aumentare di tale frequenza l’SNR diminuisce.

Figura 3.22- SNR in funzione della frequenza del segnale

Infine fissata la frequenza del segnale a 100 MHz e quella di campionamento a 200 MHz è stato variato l’aperture jitter da 1 ps a

(36)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 69 100 ps con step di 1 ps ed è stato tracciato il grafico in figura 3.23. Si nota come l’SNR diminuisce all’aumentare di tale parametro.

Figura 3.23- SNR in funzione dell’aperture jitter

2. Presenza di errore di quantizzazione, ma non di jitter. Fissata la frequenza del segnale fc si è ipotizzata una frequenza di campionamento pari a 2*fc e si è variata la risoluzione, intesa come numero di bit. Il risultato è rappresentato in figura 3.24. Si nota che risulta valida l’equazione 3.5 per frequenze al di sopra della minima richiesta dal criterio di Nyquist. Se si aumentasse la frequenza di campionamento si otterrebbe un aumento del rapporto segnale rumore in virtù dell’effetto dell’oversampling.

(37)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 70 3. Presenza di aperture jitter ed errore di quantizzazione. In questo

caso si considerano entrambi le sorgenti di rumore. E’ stata fissata la frequenza del segnale a 100 MHz e quella di campionamento a 200 MHz. In figura 3.25 è rappresentato l’SNR in funzione del numero di bit per valori dell’aperture jitter pari a 0.25, 0.5, 1.0 e 2 ps. Si nota che ,per tutte le quattro curve, ci sono tre zone. Ad esempio per il grafico corrispondente a tjitter pari a 2 ps abbiamo la

prima zona, fino a 9 bit, in cui l’SNR totale aumenta linearmente con il numero di bit (z. lineare). Poi da 9 ad 11 bit l’SNR continua da aumentare,ma non linearmente (z. di transizione). Nella terza zona, da 11 a 16 bit, l’SNR è costante (z. a valore costante) .

Figura 3.25- SNR totale in funzione numero di bit

Si può inoltre vedere che nella zona lineare l’SNR dovuto alla sola presenza del jitter (SNRaj),è maggiore di quello dovuto all’errore di quantizzazione (SNRq) quindi il rapporto segnale rumore totale dipende per lo più da quest’ultimo (figura 3.26).

(38)

Figura 3.26- SNR totale, SNRq ed SNRaj in funzione numero di bit

Dallo stesso grafico si vede che nella zona di transizione l’SNR totale dipende da entrambe le cause, dato che SNRaj e SNRq hanno qui valori confrontabili e invece nella zona costante esso è dovuto per lo più al jitter, il cui contributo non varia al variare del numero di bit. Da queste curve si arriva alla conclusione che, come l’aperture jitter aumenta, la zona lineare diventa più stretta e l’SNR totale nella zona a valore costante diminuisce dato che l’SNRaj è inversamente

proporzionale a tjitter . Stessa conseguenza se si aumenta la frequenza

del segnale ad esempio a 200, 300, 400 e 500 MHz, perché l’SNRaj è inversamente proporzionale alla fc ( figure 3.27 a,b,c,d).

(39)

(40)

Figura 3.27- SNR totale in funzione numero di bit per fc pari a 200(a),300(b),400(c) e 500 MHz(d).

Si giunge alla conclusione che per frequenze di segnale e di campionamento fissate esiste un valore specifico di risoluzione in bit

(b0) oltre il quale la performance dell’ADC dipende solo dall’aperture

jitter, che diventa più rilevante dell’errore di quantizzazione. Tale valore viene ricavato uguagliando la relazione 3.11 alla 3.5 senza in quest’ ultima considerare il process gain (visto che nell’esempio riportato non si opera OVS) ed è pari a :

Quindi tramite queste simulazioni si è verificato che:

• un aumento nella frequenza di campionamento migliora le prestazioni dell’ADC ed aumenta la frequenza massima d’ingresso elaborabile dal dispositivo.

• Un aumento nella risoluzione (numero di bit) che corrisponde ad una diminuzione dell’errore di quantizzazione, migliora la performance del campionatore solo quando il rumore dovuto all’aperture jitter è minore di quello dovuto alla

(41)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 74 quantizzazione. Quindi esiste un valore preciso del numero di bit oltre il quale l’SNR del convertitore aumenta solo diminuendo l’incertezza sull’istante di campionamento.

3.2.3 Digital Down Converter

Analizziamo, ora, la funzione del blocco indicato come Digital Down Converter nello schema di fig 3.5.

Quando il segnale è sottocampionato, in uscita dall’ADC ci aspettiamo un alias del segnale nella prima zona di Nyquist.

Ora, affinché il segnale possa essere centrato intorno allo zero, occorre effettuare una traslazione in frequenza dello spettro.

Facciamo un esempio [11] : supponiamo di avere un segnale centrato a 70 MHz e che venga campionato a 13 MSPS; la prima replica del segnale nello spettro comparirà a 5 MHz e questo sarà il valore di cui deve essere traslato lo spettro del segnale per centrarlo attorno allo zero.

Questo shift di frequenza può essere rappresentato matematicamente dall’equazione: ; nto campioname di velocità segnale MOD f f

questa espressione fornisce le frequenze risultanti nella prima e seconda zona di Nyquist. Poiché noi siamo interessati solo alla prima zona di Nyquist, bisogna fare

attenzione che il risultato non vada oltre fS/2; se ciò accade, allora dobbiamo

sottrarre il risultato a fvelocità di campionamento.

Vediamo un altro esempio che aiuti a chiarirci quest’ultimo caso:

consideriamo un segnale centrato a 70 MHz e supponiamo di campionarlo a 25.344 MSPS. La (3.20) fornisce in questo caso un valore pari a 19.312 MHz; (3.20)

(42)

poiché tale valore è superiore a fS/2 = 12.672 MHz, allora per ottenere l’esatto

shift di frequenza, dobbiamo effettuare il calcolo

(

25.344−19.312

)

MHz=6.032MHz.

L’esempio appena fatto è riportato in fig 3.28.

La tabella 3.3 riassume quelle che devono essere le frequenze di traslazione del segnale a seconda della zona di Nyquist occupata.

Il Digital Down Converter ha la funzione di effettuare proprio tale shift di frequenza, che corrisponde ad una rivelazione fase – quadratura del segnale, come evidenziato in fig 3.29.

Come già indicato in precedenza, il segnale S(t) è del tipo

( )

t f

( ) (

t cos 2 f₀t

) ( ) (

g t sin 2 f₀t

)

.

S = π + π

Figura 3.28 - Il segnale viene centrato attorno allo zero tramite il sottocampionamento (sopra) e il successivo shift di frequenza (sotto)

(3.21)

(3.22)

(43)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 76 Rn

In

Figura 3.29 - Funzione del Digital Down Converter

In seguito al sottocampionamento e alla traslazione in frequenza del DDC, otteniamo le due sequenze {Rn} e {In}.

Segnale

d’ingresso Frequenza Range di frequenzaShift di Senso dello spettro 1a_{zona di Nyquist} _{DC - f} S/2 input normale 2a_{zona di Nyquist} _f S/2 - fS fS - input invertito 3a_{zona di Nyquist} _f S - 3/2fS input - fS normale 4a_{zona di Nyquist} _3/2f S - 2fS 2fS - input invertito 5a_{zona di Nyquist} _2f S - 5/2fS input – fS normale

Tabella 3.3 – Frequenze di shift dello spettro del segnale sottocampionato

S(t) Sn

ADC

sin cos R’n I’n Filtro Decimatore Filtro Decimatore Digital Down Converter

(44)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica 77 A questo punto, il DDC effettua un’altra operazione fondamentale ai fini dell’elaborazione successiva del segnale.

Infatti, una volta che il segnale è localizzato in banda base, ai fini del processing gain descritto in precedenza, occorre effettuare il filtraggio del segnale; del resto, a questo punto della catena del ricevitore, il segnale di interesse è in una banda 2B < fS/2, quindi in ogni canale possiamo ridurre la velocità dei dati in ingresso da fS

a 2B. Il rapporto S _N_DEC

B f =

2 è detto fattore di decimazione (corrisponde,

evidentemente, al fattore di oversampling).

La selezione della banda è effettuata in tempo reale dal DDC tramite una serie di

filtri decimatori, che danno origine alle due sequenze finali R’n e I’n. Queste

sequenze rappresentano, ora, un flusso di dati a velocità accettabile per essere elaborati in tempo reale; nel nostro caso, i dati verranno acquisiti e memorizzati nella memoria di un computer, in modo tale da poter effettuare in un secondo momento il processing del segnale.

In conclusione, quindi, ripetiamo che, rispetto ad un convenzionale ricevitore analogico, i maggiori vantaggi di una sua implementazione digitale sono:

• maggiore immunità agli offset e alle interferenze a bassa frequenza poiché tutto il processing del segnale in banda base è effettuato digitalmente; • i canali R e I sono perfettamente simmetrici e quindi sono eliminati i

problemi relativi a ghost e artefatti;

• i filtri digitali sono notevolmente superiori in termini di risposta, realizzabilità e convenienza rispetto ai corrispondenti filtri analogici.

Una volta chiariti e approfonditi tutti gli aspetti relativi alla tecnica che si vuole utilizzare per l’implementazione del nostro ricevitore digitale, nel prossimo capitolo parleremo delle scelte effettuate in termini di componenti commerciali adatti per ottenere le specifiche auspicate e della effettiva realizzazione del sistema di ricezione.

(45)

3.3 Precedenti applicazioni di undersampling NMR.

Durante la nostra ricerca in rete, abbiamo trovato un’unica esperienza rilevante di sottocampionamento di dati provenienti da risonanza magnetica, che è stata condotta nel 2001 presso l’Università Politecnica di Madrid [26] utilizzando un dispositivo Biospec BMT 47/40 MR (Bruker 4,7T pari a 200.36MHz per H). La catena di ricezione proposta è quella in figura 3.30, anche se in realtà poi l’esperimento è stato eseguito acquisendo il segnale con un oscilloscopio digitale (Tektronix TDS-524A con interfaccia GPIB) e trasferendolo ad un PC ( che fornisce una risoluzione di 8 bit per ogni campione elaborato) tramite il quale è stato possibile campionare dati con frequenze diverse in modo da poter confrontare la tecnica di SuperNyquist con quella di Nyquist.

Figura 3.30- catena di ricezione

In figura 3.31 sono riportati i risultati in fase e frequenza dei due approcci. I picchi presenti nello spettro della fase ottenuto con sottocampionamento sono dovuti a distorsioni associate a componenti spurie la cui ampiezza sarebbe stata irrilevante se si fosse usata una risoluzione maggiore (ad esempio 12 bit).

(46)

Figura 3.31- media e deviazione standard dello spettro della fase dei segnali acquisiti con SuperNyquist (a sinistra in alto, a destra in basso) e Nyquist (a destra in alto, a sinistra in basso)

La conclusione che è stata tratta da questi dati è che l’informazione in frequenza e fase,cioè l’informazione necessaria per elaborare una immagine, viene ricostruita correttamente anche utilizzando undersampling e quindi questa tecnica è applicabile alla MRI. In figura 3.32 si può vedere l’ampiezza del segnale rilevato con i due diversi approcci. L’SNR misurato è pari a 37,4dB per Nyquist e 27,5dB per superNyquist. Le apparenti prestazioni più scarse della seconda sono comunque giustificate dal fatto che in questa esperienza non è stato possibile scegliere una frequenza adeguata di campionamento (magari più elevata) e un maggior numero di bit. Infatti si è operato undersampling campionando solamente a 2,5Msample/s e con una risoluzione pari ad 8 bit.

(47)

Figura 3.32- media e deviazione standard dello spettro dell’ampiezza dei segnali acquisiti con SuperNyquist (a destra) e Nyquist (a sinistra)

I risultati ottenuti dagli studiosi di Madrid non possono quindi far altro che incoraggiare la nostra idea di applicare SuperNyquist nel campo della risonanza magnetica.