METODO DI DETUNING CON INTEGRAZIONE CONDIZIONALE

CAPITOLO 5

METODO DI DETUNING CON INTEGRAZIONE CONDIZIONALE

5.1 Introduzione

Nei capitoli precedenti si è visto come i metodi di detuning abbiano consentito di ottenere risposte alla variazione del set-point caratterizzate da sovraelongazioni iniziali meno elevate rispetto a quelle ottenute utilizzando la tecnica sequenziale, ma tuttavia ancora troppo rilevanti.

Risultati nettamente migliori in tal senso si sarebbero ottenuti solo attraverso l’introduzione di meccanismi di anti-windup.

Sono state studiate soluzioni di tipo diverso al fenomeno della carica integrale, cui è dovuta la sovraelongazione che tipicamente compare nella risposta al gradino di sistemi in cui è presente una non linearità in concomitanza con una azione integrale.

Una delle più note si fonda sulla considerazione che l’azione integrale introdotta in un sistema mediante l’introduzione in esso di un controllore P.I.D. ha l’unico scopo di reiettare l’errore a regime, per “inseguire” il gradino in ingresso in modo perfetto.

A nulla serve, dunque l’azione integrale nelle fasi iniziali, anzi, poiché l’errore è molto rilevante in tali fasi, diventa la causa dei problemi sopra esposti.

L’idea è, quindi, di far entrare in gioco la componente integrale solo quando l’evoluzione del sistema è vicina alla condizione di regime. In tal caso, infatti, l’errore, pressoché nullo, non determina una carica rilevante dell’integratore, che quindi assolve la sua funzione senza effetti collaterali. Ciò è ottenibile assegnando al coefficiente integrale del P.I.D., non più un valore costante, ma una quantità che varia istante per istante in funzione dell’errore secondo la legge:

2 ( ) 1 I I K K e e γ = + in cui

γ

è una costante positiva.

Nel transitorio iniziale, quando l’errore è molto significativo, tale funzione assume un valore trascurabile, ossia l’azione integrale risulta pressoché inesistente; nei pressi della condizione di regime, invece, l’errore diventa piccolo e di conseguenza il coefficiente integrale del P.I.D. assume valori significativi.

Un approccio di questo tipo, pur riducendo in modo significativo il problema del windup, introduce quello della scelta opportuna del parametro

γ

.

Nel caso M.I.M.O., poi, che è quello che si intende prendere in considerazione, tale scelta non è limitata ad un solo parametro, ma ad un numero di parametri pari al numero degli anelli.

La soluzione nel seguito descritta in dettaglio propone ancora una volta l’utilizzo dei criteri di ottimalità integrale , ossia si scelgono i parametri che minimizzano una determinata funzione obiettivo.

5.2 Descrizione dettagliata

Si descrive ora in dettaglio la soluzione proposta, considerando per semplicità un sistema T.I.T.O. Sono previsti 5 passi fondamentali:

1. Si calcolano i coefficienti proporzionale, integrale e derivativo per i due P.I.D. utilizzando la procedura descritta nel precedente capitolo.

2. Si assumono quali coefficienti integrali dei due controllori le funzioni dell’errore:

1 1 12 1 1 ( ( )) 1 ( I I K K e t e t

γ

= + ) 2 2 2 2 2 2 ( ( )) 1 ( I I K K e t e t γ = + )

dove K_I1 e K_I2 rappresentano le costanti integrali calcolate per i due controllori al passo1, ed:

( ) ( )

i i i

e t = −r y t

in cui rappresenta il set-point relativo all’i-esimo anello, e rappresenta l’i-esima uscita del sistema. i r y t_i( ) 3. Si pone: 1 2 0 0 γ γ = =

4. Si calcola il valore di una delle seguenti funzioni obiettivo: 1 0

:

| ( ) |

m i i

IAE

e t

dt

∞ =

∑∫

1 0

:

| ( ) |

m i i

ITAE

t e t

dt

∞ =

∑∫

2 1 0

:

(

m i i

)

ISE

e

t dt

∞ =

∑∫

2 1 0 : ( m i i ITSE te t dt ∞ =

∑∫

) 2 2 1 0 2 : ( ) m i i IT SE t e t dt ∞ =

∑∫

dove m rappresenta il numero degli anelli che caratterizzano il sistema, in questo caso 2. 5. Si variano γ1 e γ2 e si torna al punto 4 finché il criterio di ottimalità scelto non risulti

minimizzato.

5.3 Implementazione

Il programma Matlab che realizza la tecnica di tuning con integrazione condizionale per sistemi a due ingressi e due uscite è contenuto nello script Dintcond , che contiene le chiamate a 3 sole funzioni:

K=zntune; F=Ftune(K); G=intcond(K,F);

Le prime due funzione sono già state decritte nel capitolo precedente, e nulla è necessario aggiungere a quanto già detto.

La funzione intcond riceve in ingresso le costanti di Ziegler-Nichols calcolate per i due loops considerati indipendentemente l’uno dall’altro e il fattore di detuning ottimale F e restituisce i parametri γ₁ e γ₂ che minimizzano l’indice di ottimalità usato.

Il modello Simulink utilizzato per le simulazioni, riportato in figura 5.1, è molto simile a quello utilizzato nel caso precedente.

Figura 5.1

Si noti la comparsa delle costanti g1 e g2 che rappresentano i parametri da ottimizzare. La struttura interna dei controllori P.I.D. è stata modificata come indicato in figura 5.2.

La legge di integrazione condizionale viene implementata mediante una Matlab function che prende in ingresso la costante ki, l’errore e ed il parametro gamma e restituisce il coefficiente della componente integrale del P.I.D.

Figura 5.2

Per effettuare l’ottimizzazione viene utilizzata la funzione dell’ Optimization Toolbox di Matlab lsqnonlin, a cui occorre passare fra i parametri di ingresso la funzione obiettivo, rappresentata dalla funzione calcsim.

Nel seguito si riportano i codici delle funzioni intcond e calcsim. function G=intcond(ZN,F) kp1=ZN(1,1); ki1=ZN(1,2); kp2=ZN(2,1); ki2=ZN(2,2); F=F;

gamma0=[0 0]; %assegna ai parametri i valori iniziali

options=optimset('LargeScale','off','Display','iter','TolX',0.001,'TolFun',0.001); % effettua l’ottimizzazione gamma=lsqnonlin(@calcsim,gamma0,[0,0],[inf,inf],options,ZN,F) g1=gamma(1); g2=gamma(2); G=[g1,g2] opt=simset('solver','ode15s','SrcWorkspace','Current'); [tout,xout,yout]=sim('LuybenW2',[0,100],opt); plot(L1(:,1),L1(:,2),'k','LineWidth',2.5) hold on plot(L2(:,1),L2(:,2),'k--','LineWidth',2.5) function E= calcsim(gamma,ZN,F)

g1=gamma(1); %assegna le variabili ai parametri del modello g2=gamma(2); kp1=ZN(1,1); ki1=ZN(1,2); kp2=ZN(2,1); ki2=ZN(2,2); F=F;

% decide il risolutore e il workspace in cui eseguire la simulazione opt=simset('solver','ode5','SrcWorkspace','Current');

[tout,xout,yout]=sim('LuybenW2',[0 100],opt); E=yout; % segnale errore

La prima funzione, dopo aver assegnato i valori iniziali ai parametri del modello, invoca la funzione lsqnonlin che, a sua volta, chiama iterativamente, fino alla convergenza dei parametri, la funzione

calcsim. Quest’ultima infatti, invocata ad ogni passo di iterazione, esegue la simulazione del

modello in modo tale da poter calcolare il valore della funzione obiettivo, che in figura 5.1 è indicato con E, e rappresenta l’uscita della funzione calcsim stessa.

5.4 Simulazioni e confronti

Esempio 1

Si prende ancora in considerazione il sistema di Wood e Berry e si confrontano le uscite ottenute con il metodo di detuning con e senza integrazione condizionale.

Il criterio utilizzato è, in entrambi i casi, l’ITAE. I valori calcolati per i parametri risultano essere:

1 2 8.2246 0

γ

γ

= = Figura 5.3

In figura 5.3 sono messe a confronto le uscite sul primo canale in risposta al gradino.

Si può osservare come la sovraelongazione sia stata completamente abbattuta e il tempo di assestamento migliorato. Il tempo di salita, invece, risulta essere aumentato.

Per quanto riguarda il secondo canale, possiamo osservare, in figura 5.4, una notevole riduzione dell’overshoot iniziale ed una apprezzabile diminuzione del tempo di assestamento.

Figura 5.4

Esempio 2

Prendiamo ora in considerazione il sistema a 3 ingressi e tre uscite di Ogunnaike-Ray.

I valori calcolati dall’algoritmo di ottimizzazione per le costanti di integrazione condizionale risultano essere: 1 2 3 0.6425 0 0 γ γ γ = = =

Possiamo osservare, dalle figure 5.5, 5.6 e 5.7, che l’introduzione della integrazione condizionale nei controllori di tale sistema non risulta conveniente.

Infatti, la lieve diminuzione in ampiezza delle sovraelongazioni iniziali non risulta giustificare l’inaccettabile aumento del tempo di assestamento.

Figura 5.5

5.5 Saturazione del controllo

Le simulazioni considerate finora sono relative al caso ideale in cui non è presente alcuna saturazione sull’uscita di controllo.

In realtà, invece, qualunque sia l’impianto considerato, l’energia di controllo che gli attuatori sono in grado di fornire risulta essere limitata.

La presenza di tale non linearità in concomitanza con una azione integrale determina una maggiore sovraelongazione rispetto al riferimento e una minore velocità di risposta.

Al fine di osservare come la tecnica di detuning insieme con il meccanismo di integrazione condizionale consenta di attenuare, se non risolvere, questo tipo di problema, si prende ancora in considerazione la colonna di Wood e Berry inserendo, questa volta, nel modello Simulink finora utilizzato per le simulazioni, un blocco saturation sul segnale di controllo.

Nelle figure 5.8 e 5.9 è possibile osservare le uscite del sistema al variare del fattore di detuning e dopo l’introduzione del meccanismo di integrazione condizionale.

Gli andamenti ottenuti sui due canali, non sono molto diversi da quelli osservati nel caso ideale (in assenza di saturazione), ma i valori calcolati per il fattore di detuning e per le costanti di integrazione condizionale risultano essere diversi.

Più precisamente si ha:

1 2 2.6 10.3092 0 F γ γ = = =

Si noti che il valore di γ1, in particolare, è aumentato, in quanto è necessario abbattere una

Uscita y1

Figura 5.8

Uscita y2

Si osservino ora, nelle figure 5.10 e 5.11, i miglioramenti apportati dalla introduzione della integrazione condizionale.

Figura 5.10

Nelle figure 5.12, 5.13 e 5.14 si mostrano gli andamenti ottenuti per le tre uscite del sistema di Ogunnaike-Ray . Uscita y1 Figura 5.12 Uscita y2 Figura 5.13

Uscita y3

Figura 5.14

Introducendo l’integrazione condizionale, si ottengono i risultati mostrati nelle figure 5.15, 5.16 e 5.17.

Figura 5.16