5 Modellazione CFD di sistemi multifase

5 Modellazione CFD di sistemi multifase

5.1 Introduzione alla fluidodinamica computazionale

La fluidodinamica computazionale è la tecnica che permette lo studio dei problemi di fluidodinamica mediante l’utilizzo del computer.

Grazie alla sua capacità di simulare fenomeni fluidodinamici complessi, talvolta difficilmente riproducibili in laboratorio, la CFD trova applicazione in un sempre più vasto numero di settori, che possono andare dal campo medico a quello aerospaziale.

L’approccio richiede la discretizzazione del dominio di studio in celle elementari, così da ottenere una griglia di calcolo, detta anche “mesh”, sulla quale sono applicati metodi di risoluzione numerica iterativi al fine di risolvere le equazioni di Navier- Stokes.

In generale, ci sono due modi per descrivere i sistemi multifase:

• Approccio Euleriano-Euleriano (o multifluido), dove tutte le fasi sono considerate continue, e in ogni istante si descrive la distribuzione spaziale della velocità e altre quantità di interesse;

• Approccio Euleriano-Lagrangiano ( o “discrete particle”), dove la fase gas è risolta in un riferimento Euleriano, mentre il moto di ciascuna particella viene descritto attraverso un tracciato di tipo Lagrangiano.

5.1.1 Equazioni del moto della fase continua

Il fluido viene considerato come un corpo continuo e questo permette di studiarne una porzione infinitesima come se fosse un punto geometrico.

Sotto questa ipotesi si possono esprimere i principi di conservazione di massa, di quantità di moto e di energia, che governano i problemi fisici per il flusso dei fluidi, con le seguenti equazioni:

ƒ Equazione di continuità: esprime matematicamente il bilancio di massa.

Flusso massivo in ingresso-flusso massivo in uscita=accumulo:

i 0

i

u

t x

ρ ρ ∂

∂ + =

∂ ∂ [5.1]

ƒ Bilancio della quantità di moto: esprime matematicamente la seconda legge di Newton.

Totale delle forze agenti sulla porzione di fluido = massa x accelerazione:

j j i ij

j

i j i

u u u p

t x x x g

ρ ρ τ

∂ +∂ = − ∂ +∂ +ρ

∂ ∂ ∂ ∂ i,j=1,2,3 [5.2]

ƒ Bilancio energetico:

i i j

ij rad

i i i

hu q u

h Dp

t x x Dt x Q

ρ

ρ ^{∂ ∂} τ ^∂

∂ + = − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ & [5.3]

Le equazioni costitutive per il fluido: esprimono matematicamente la relazione tra il tensore degli sforzi τ e quello di deformazione s_ij ij.

Per un fluido Newtoniano:

ij 2 sij p ij

τ = µ − δ [5.4]

1 2

i j ij

j i

u u

s x x

⎛∂ ∂ ⎞

= ⎜⎜⎝∂ + ∂ ⎟⎟⎠ [5.5]

Sostituendo le equazioni costitutive nell’equazione di bilancio di quantità di moto si ha l’equazione di Navier-Stokes:

j i

j

j i i

j i

i j

j g

x u x u x

x p x

u u t

u ρ µ ρ

ρ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = +∂

∂

∂ [5.6]

In presenza di flussi laminari è possibile risolvere tale equazione direttamente (Direct Numerical Simulation), nel caso in cui sia trattato un flusso turbolento il costo computazionale è molto elevato, e si ricorre a tecniche di risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes mediate o filtrate.

Un primo modo di procedere consiste nell'utilizzare una formulazione mediata nel tempo delle equazioni di Navier-Stokes (formulazione RANS, Reynolds-averaged Navier-Stokes equations), che richiede l'utilizzo di ulteriori equazioni per la chiusura del problema; infatti dall’operazione di mediazione si generano dei termini incogniti (sforzi di Reynolds) che devono essere modellati con equazioni aggiuntive (modelli di turbolenza). Un altro approccio consiste nel simulare solamente le strutture vorticose più grandi e modellare ciò che accade per le strutture vorticose più fini (formulazione LES, Large Eddy Simulation).

In molti devono essere risolte anche altre equazioni contemporaneamente a quelle di Navier-Stokes e a quelle del modello di turbolenza. Queste ulteriori equazioni

(generalmente di tipo convettivo-diffusivo) possono comprendere quelle relative alla concentrazione di specie diverse (flusso multicomponente), di reazioni chimiche (flussi reagenti), irraggiamento termico, ecc... Problemi più complessi richiedono la modellazione di ulteriori fenomenologie, come nel caso dei flussi bifase (ad esempio gas / liquido) o nel caso di fluidi non Newtoniani.

5.2 La CFD applicata alla fluidizzazione: approccio Euleriano- Euleriano ed Euleriano-Lagrangiano

5.2.1 Approccio Euleriano-Euleriano

Il modello multifluido tratta entrambi le fasi solide e gas in un riferimento Euleriano, quindi è un modello Euleriano-Euleriano.

I modelli euleriani considerano sia la fase gassosa sia la fase solida come continue ed interagenti (Sinclair, 1997). Ciascuna fase occupa un volume proprio, non condivisibile con un’altra fase, pertanto si introduce il concetto di frazione volumetrica di solido, intesa come funzione continua del tempo e dello spazio.

Le frazioni volumetriche devono rispettare la condizione:

i 1

i

ε =

∑

Le equazioni di continuità e del moto sono risolte indipendentemente per ogni singola fase, ma con termini che tengono conto delle loro interazioni tramite opportune equazioni costitutive, che consentono di determinare i coefficienti di scambio interfase sulla base di dati empirici oppure attraverso la teoria cinetica.

Il costo computazionale relativamente contenuto di questo tipo di modelli li rende applicabili agevolmente anche a flussi con un’elevata frazione volumetrica di fase dispersa.

Proprio della formulazione euleriana è la necessità di usare leggi di chiusura per i parametri del fluido della fase particolata.

Le equazioni governanti per il modello multifase gas-solido sono riepilogate di seguito.

Equazione di continuità per la fase k:

(

) (

)

∂ + ∇ ⋅ =

∂

r [5.8]

dove ε, ρ e U sono frazione volumetrica, densità e velocità media.

Il bilancio di quantità di moto per la fase k (indicando con m l’altra fase):

(

) (

)

(

)

t

ρ ε ρ ε β ε τ

∂ + ∇ ⋅ = −∇ + − + ∇ ⋅ +

∂

r r r r r ε ρ [5.9]

dove P e g sono pressione e accelerazione gravitazionale, β è il coefficiente di interazione fra le fasi m e k, la cui trattazione verrà approfondita nel paragrafo 5.4.

Il tensore degli stress per la fase gas si scrive come:

, ,

2 3

i j

ij g eff g ij

j i q

q

g

U U

U

x x x

τ =µ ^⎡⎢⎢⎣^⎛⎜⎜⎝^∂∂ +^∂∂ ^⎞⎟⎟⎠− δ ^∂∂ ^⎤⎥⎥⎦

[5.10]

Dove δij è il delta di Kroenecker.

Il tensore per gli stress della fase solida è pari a:

, ,

2 3

q s i j q

ij s s ij s ij s ij

q j i q

s

U U U

P x x x

τ δ ξ δ µ δ ^U

x

⎡⎛ ⎞ ⎤

∂ ∂ ∂

= − + + + − ∂

⎢⎜⎜ ⎟⎟ ⎥

∂ ⎢⎣⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂ ⎥⎦

[5.11]

La pressione della fase solida Ps, la viscosità del bulk ξs, la viscosità di taglio µs

derivano dalla teoria cinetica per flusso granulare.

5.2.2 Approccio Euleriano-Lagrangiano

Un altro approccio al CFD è il modello “discrete particle”, modello Lagrangiano, in cui il moto delle particelle è trattato con un’equazione lagrangiana per ciascuna particella, ovviando in tal modo al problema delle leggi di chiusura per la fase dispersa, mentre la fase gas viene risolta ancora con l’approccio Euleriano.

Nei modelli lagrangiani si risolve un’equazione di continuità e un’equazione del moto per la fase gas, unitamente ad un’equazione del moto per ciascuna particella del flusso, al fine di determinare la traiettoria della stessa. Il trasferimento di quantità di moto tra le fasi è considerato con un opportuno termine di scambio.

Le equazioni di moto per la fase gas sono descritte dalle equazioni di continuità:

( ) (

)

g g g g j g 0

j

U

t x

ε ρ ε ρ

∂ ∂

+ =

∂ ∂ [5.12]

e l’equazione di quantità di moto:

(

) (

)

,

g g i g g g j g i g g ij g

g g g i D i

j i j

U U U P

g F

t x x x

ε ρ ε ρ τ

ε ε ρ

∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ − [5.13]

Il tensore dello stress per la fase gas è dato da:

, ,

i j

ij g eff g

j i g

U U

x x

τ =µ ^⎛⎜⎜ ∂⎝^∂ +^∂∂ ^⎞⎠⎟⎟ [5.14]

Nel modello “discrete particle” il termine di interazione per drag force per ogni particella nel fluido è data dalla somma di tutte le particelle passanti attraverso una specifica cella di fluido.

Nel modello multifluido, la drag force della fase solida agisce sulla fase gas ed è basata sulla frazione volumetrica del solido.

L’equazione di moto di una generica particella k può essere scritta come:

, p

p p D p

m dU m g F V

dt = + − ∇^p p

r r r [3.15]

dove mp e Up sono massa e velocità della particella p. I termini a destra rappresentano la gravità, l’attrito, le forze del gradiente di pressione.

La forza di attrito è espressa come:

(

2

, 8

D

)

D k p g g k g

C

Fr = πd ρ Ur −Ur Ur Uk

− r

[3.16]

L’accoppiamento particella-particella è modellato usando un modello collisionale particella-particella non elastico, non frontale e con attrito. Questo approccio è basato sulla collisione di particelle sferiche dure proposto da Wang e Mason (1992), che calcolano le dinamiche di collisioni istantanee non elastiche, non frontali e con attrito basato su tre coefficienti costanti.

Quando due particelle collidono, la componente normale della velocità relativa diminuisce a causa di un fattore e, chiamato coefficiente di restituzione normale. Si definisce e=1 per impatti normali di sfere perfettamente elastiche (senza perdita di energia cinetica), mentre e=0 per impatti normali di sfere perfettamente plastiche.

La componente tangenziale della velocità relativa tra le due particelle viene modificata dal coefficiente di restituzione tangenziale β, e dal coefficiente di frizione di Coulomb.

I modelli più recenti sono risolti con una tecnica ad iterazioni nidificate, il cui scopo è quello di tenere in conto l’interazione tra le fasi. Tale metodo consiste nel calcolare il campo di velocità della fase continua, inizialmente senza considerare la presenza delle particelle. In seguito si valutano le traiettorie e le velocità di queste, per poi determinare nuovamente il campo di velocità della fase continua, al fine di considerare l’azione della fase dispersa.

Il comportamento del sistema è ottenuto mediando i risultati ottenuti per le singole particelle.

L’elevato numero di equazioni previsto da questo tipo di modelli ne rende elevatissimo il costo computazionale, limitandone l’applicazione a sistemi molto diluiti, in cui la fase dispersa abbia una frazione volumetrica molto bassa.

Questa ipotesi consente di risolvere l’equazione del moto mediata nel tempo solo per la fase continua, applicando ai risultati ottenuti opportune correzioni, in modo da tenere conto della presenza della fase dispersa.

5.2.3 Confronto dei modelli Euleriano-Euleriano ed Euleriano- Lagrangiano per CFB

In letteratura sono riportati molti studi condotti per migliorare la modellazione della fase particolata in cui sono stati confrontati i risultati delle simulazioni ottenuti con il modello multifluido e quelli ottenuti con il modello “discrete particle”.

Ibsen et al. (2004) hanno simulato un CFB su scala di laboratorio e confrontato i risultati ottenuti dai due approcci. La scala di laboratorio utilizzata era sufficientemente piccola per modellare l’intero riser in 2D con il modello Lagrangiano.

Il setup sperimentale era costituito da un riser di diametro interno di 0.032 m e alto 1 m in vetro. L’ingresso di aria primaria era posto in fondo al riser dove era presente un distributore per garantire un flusso uniforme in ingresso.

In cima al riser, le particelle in sospensione entravano in un ciclone di vetro, dove il solido veviva separato dal gas e ricircolato. Un ingresso di gas secondario era posizionato ad un’altezza di 0.05 m, sopra l’ingresso di aria primaria, e alimentava nel riser il ricircolo di solido. L’ingresso di aria secondaria era di diametro di 0.008 m, l’aria entrava a una velocità di 0.5 m/s.

Sono state utilizzate dagli autori mesh differenti per i due modelli. Per il modello multifluido sono inclusi il ciclone e il ricircolo. Il vantaggio di modellare l’intero ricircolo è che sono rilevate alcune delle pulsazioni nel ricircolo.

Le condizioni iniziali per i due modelli sono differenti: le particelle sono distribuite nella metà inferiore del riser per il modello multifluido, mentre per il modello delle particelle discrete, le particelle sono distribuite in tutto il riser.

Un modello più dettagliato per le collisioni particella-particella è stato usato nel metodo delle “discrete particle”; nel modello multifluido è stato considerato solo il coefficiente di restituzione, e questa è un’altra differenza nota tra i due modelli: gli Euleriano-Lagrangiani permettono una migliore trattazione delle forze agenti sulle particelle.

Gli autori hanno osservato che i profili delle concentrazioni delle simulazioni del modello multifluido sono più regolari dei profili delle simulazioni del modello “discrete particle”. Questo è spiegato per il maggior tempo reale simulato.

I risultati ottenuti col metodo “discrete particle” si avvicinano maggiormente del metodo Euleriano ai risultati sperimentali anche se nessuno dei due codici dà risultati soddisfacenti

In conclusione il modello multifluido rispetto al modello “dicrete particle” è vantaggioso per il tempo, ma svantaggioso nella precisione. Il modello “dicrete particle” sembra potere dare il giusto andamento della velocità assiale dei solidi nel riser di un CFB.

L’andamento è risultato ancora più preciso quando si è usata una distribuzione di particelle a diametro differente.

Gli autori sostengono che il modello multifluido possa essere migliorato trattando più attentamente il drag.

Mathiesen et al. (2004) hanno presentato uno studio computazionale sul comportamento del flusso in un letto fluido su scala di laboratorio effettuando simulazioni in 2D. I risultati ottenuti con il metodo delle particelle discrete sono stati confrontati qualitativamente con i risultati ottenuti con il modello multifluido. Nel modello Euleriano-Lagrangiano il movimento bidimensionale di ogni particella sferica specifica è stato direttamente calcolato dalle forze che agiscono su loro, considerando le interazioni fra la particella e la fase gassosa. L’implementazione del modello di collisione è basato sulle leggi di conservazione della quantità di moto lineare ed angolare e richiede, oltre ai fattori geometrici, due parametri empirici: un coefficiente di restituzione e un coefficiente di attrito. Il modello fluidodinamico del gas è basato sull’equazione di Navier-Stokes. Nel modello multifluido, il gas e le fasi solide sono considerate come continue e completamente interpenetranti. Entrambe le fasi sono descritte in termini di insiemi separati delle equazioni di conservazione con i termini adatti di interazione che rappresentano l'accoppiamento fra le fasi.

Secondo gli autori, l'equazione di quantità di moto della particella Euleriana è strettamente connessa a quello Lagrangiano, tale che il precedente può essere derivato dal Lagrangiano facendo una media sulla fase solida. In entrambi i metodi l'equazione di quantità di moto della particella-fluido è accoppiata con i termini di attrito e la frazione volumetrica della fase solida.

Il flusso è caratterizzato da gradienti delle velocità delle particelle relativamente piccoli, e probabilmente per questa ragione le simulazioni sono risultate numericamente stabili per entrambi gli approcci.

Il metodo Lagrangiano sembra essere meno incline agli errori numerici di diffusione, è più stabile per i flussi con grandi gradienti di velocità della particella e prontamente è applicato ai sistemi poli-dispersi della particella. Dal lato negativo, nei sistemi concentrati con interazione significativa particella-particella e particella-fluido:

1) le formulazioni del modello sono inadeguate a causa di una mancanza di comprensione fondamentale riguardo alle interazioni;

2) si hanno limitazioni relative alla memoria dell'elaboratore, ai tempi di calcolo ed alla convergenza.

In linea di principio l’Euleriano è favorito ad alta concentrazione della fase solida.

5.3 Il modello Euleriano-Euleriano per CFB

Dalle considerazioni fatte nei paragrafi precedenti è evidente che, per il costo computazionale relativamente contenuto e nello stesso tempo per i risultati incoraggianti, il modello che più si adatta alle nostre necessità è il modello Euleriano.

Come detto in precedenza i modelli matematici euleriani, nella loro forma generale, sono costituiti da un’equazione di continuità [5.8] e da un’equazione di quantità di moto [5.9] sia per la fase gassosa sia per la fase solida.

Di seguito verranno illustrati i principali termini che caratterizzano questi modelli, nello specifico:

• coefficiente di interazione gas-particella;

• coefficiente di interazione particella-particella;

• stress del solido.

5.3.1 Coefficiente di interazione Gas-Particella

Il coefficiente di drag gas-particella rappresenta l’attrito tra il fluido e particelle con stessa dimensione e densità. Questo termine nell’equazione del momento, indica lo scambio di quantità di moto tra fase solida e fase gas.

Combinando la nota equazione [4.1] di Ergun per le cadute di pressione in un letto fluido con un bilancio della quantità di moto in fase gas, che trascura accelerazione e forze viscose (Gidaspow 1994), possiamo ottenere il coefficiente di interazione gas- particella nel caso di flussi densi:

( )

( )

2 2

1.75 1

150 1 ^{g g g s g}

gs g

s p g p s

U U

d d

ρ ε

β µ ε

ϕ ε ϕ

− −

= − +

r r

[5.17]

Tuttavia questa equazione non può essere applicata alla fase diluita (εg superiore a 0.8).

Gidaspow (1994) ha modificato il coefficiente in questo range di porosità con la seguente equazione:

(

)

3 4

g g g s g

gs d g

p

U U

C d

ε ρ ε

β = ^{− −} ε⁻

r r

[5.18]

Dove il coefficiente di drag Cd dipende dal numero di Reynolds della particella.

L’equazione [5.18] tiene conto della presenza di altre particelle nel fluido sebbene Cd

si applichi a singole particelle isolate.

Le equazioni [5.17] e [5.18] si applicano al flusso multifase con particelle monodimensionali.

Gidaspow et al (1990) hanno usato una differente forma per un flusso polidisperso, le equazioni, per la fase densa e quella diluita sono:

( )

( )

1.75

150 1 ^{g s g g s s s}

gs g

p s g s g

s p g

U U d d

ρ ε

ε ε ρ

β µ

ϕ ε ρ

ϕ ε

⎛ − − ⎞

⎜ ⎟

= +

⎜ ⎟ −

⎝ ⎠ ρ

r r

[5.19]

( )

3 4

s g s g s

gs d g

p s s g

U U C d

ε ρ ρ

β ϕ ρ ρ

− −

= − ε

r r

[5.20]

O’Brien e Syamlal (1991), hanno usato un’equazione completamente differente per il coefficiente di drag gas-particella, valida per tutti i valori della frazione del gas.

2

2

3 0.63 4.8

4 Re

s g g r

gs

r p

V U U

V d ε ε ρ

β = ^⎛⎜⎜⎝ + ^⎞⎟⎟⎠ r^g− r^s [5.21]

Dove:

( )

2 2

0.5( 0.06 Re 0.0036 Re 0.12 Re 2

Vr = A− + +A + B− A [5.22]

Dove A e B sono funzione di εg.

Sanyal e Cesmebasi (1994) hanno studiato l’ equazione di Ma e Ahmadi (1989), scritte per un flusso turbolento, ma che questi autori suggeriscono di applicare anche a un flusso laminare:

max

(

max

2.5

0.75 2

18 1 Re

s

i g g

gs

p s

d

ε µ ε ε

β ε

⎛ ⎞−

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⁺

)

Le variazioni nelle equazioni del coefficiente di drag si possono vedere meglio nelle figure 5.1 e 5.2, dove le equazioni descritte finora sono confrontate tra di loro, usando l’equazione di Ergun (1952) ricavata in seguito a numerosissimi dati sperimentali.

Fig.5.1 Variazione del coefficiente di drag gas-particella alla velocità di slip Vs=0.1 m/s

Fig.5.2 Variazione del coefficiente di drag gas-particella alla velocità di slip Us=1.5 m/s

5.3.2 Coefficiente di interazione particella-particella

Per determinare le caratteristiche di un letto fluido è importante considerare le interazioni tra le particelle. Come è importante il drag gas-particella, parimenti

importante è il drag e il trasferimento della quantità di moto tra le particelle. Una relazione che ha i requisiti di determinare il drag tra particelle di dimensioni diverse è conosciuta come coefficiente di interazione particella-particella. Il coefficiente spiega le collisioni e il contatto tra le particelle di dimensione e densità diversa con il trasferimento di quantità di moto tra le fasi.

Una prima equazione per la determinazione di questo coefficiente in un letto denso è stata data da Syamlal (1985):

( ) ( )

( )

,

13

2 ,

, , , , , ,

, ,

, 1

3

3 3 ,

, , , ,

, ,

1 1 3

2 1

i j g

s ij

s i s i g g p i p j s i s j

s i s j

s ij

s ij

p i s i p j s j

s i s j

e d d U

d d

α ε ρ ε ρ ε

ε ε

β

ρ ρ ε

ε ε

≠

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎥

+ + ⎢⎣ + ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ ⎥⎦

= + ⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎠ − ⎤⎥⎥⎦

−U

r r

[5.24]

Dove gli indici i e j si riferiscono a 2 classi di particelle e α è una costante pari a ed e è il coefficiente di restituzione, ε è pari a: _ij

,

, p j

p i

a d

= d con dpj>dpi

( ) ^{( )} ( ) ( )

, , , , , , , ,

,

1 1 1 ^{s i} _,

s ij s i s j s i s j s j s i s i s j

s i

a X

ε = Φ − Φ^⎡⎣ + − − Φ Φ ^{⎤ ⎡}⎦ ⎣ − Φ Φ + Φ ⎤⎦Φ + Φ [5.25]

dove e sono le frazioni volumetriche della fase solida al massimo impaccamento

Φi Φ_j

per:

( )

,

, ,

1

s i s i

,

s j s i s

X

i

≤ Φ

− Φ Φ + Φ mentre:

( ) ( ) ( )

, 1 1 , , , 1 _{, ,}

s ij a s j s i s i s i s i

ε = − ^⎡⎣ − Φ Φ + Φ ^⎤⎦ −X + Φ [5.26]

per:

( )

,

, ,

1

s i s i

,

s j s i s

X

i

≥ Φ

− Φ Φ + Φ

con:

, ,

, ,

s i s i

s i s j

X ε

ε ε

= + [5.27]

L’equazione [5.24] appare all’inizio essere adeguata a predire il coefficiente di interazione particella-particella; tuttavia, quando la frazione volumetrica di gas scende sotto 0.32 il coefficiente assume un valore negativo.

Sebbene sia raro che questo accada sperimentalmente, numericamente è invece abbastanza probabile, e questa equazione, usata da un codice del computer, porterebbe a instabilità numerica.

Una semplificazione dell’equazione per il coefficiente di interazione particella- particella è stata data da Gidaspow et al.(1990):

( ) ( )

( )

,

2

, , , , , ,

, 3 3

, , , ,

3 1 2

i j g

s i s i g g p i p j s i s j

s ij

s i s i s j s j

d d U U

e d d

ε ρ ε ρ

β α

ρ ρ

≠

+ −

= +

+

r r

[5.28]

La validità di questa equazione è tuttavia dubbia e sembra chiara la necessità di definire meglio le basi teoriche delle correlazioni per le interazioni particella- particella.

5.3.3 Stress del solido

Ci sono due metodi per implementare il “solid stress” nel flusso multifase: il primo utilizza un’equazione di tipo esponenziale, mentre il secondo usa la teoria cinetica del flusso granulare.

5.3.3.1 Equazione esponenziale

Il metodo dell’equazione esponenziale è il più semplice tra i due approcci.

Un’equazione di tipo esponenziale viene introdotta come termine sorgente nell’equazione di quantità di moto per la fase solida. Ci sono differenti forme di queste equazioni espresse da diversi autori.

Lo stress viscoso del solido può essere rappresentato da:

( )

( ^T)

s s s us us G g g

τ ε µ ε ε

∇ = ∇ ∇ + ∇ + ∇ [5.29]

dove µ_s è la viscosità della fase solida, us è un vettore velocità e G

( )

elastico del solido.

La viscosità della fase solida per questo metodo è basata su misure e correlazioni empiriche.

Bouillard et al. (1989) modificando le equazioni di Gidaspow e Ettehadieh (1983) e di Gidaspow e Syamlal (1985) definiscono lo stress solido per una singola particella non viscosa come:

( )

s G g _g

τ ε ε

∇ = ∇ [5.30]

dove:

( )

G [5.31]

dove c è il modulo di impaccamento e è l’impaccamento della frazione volumetrica della fase gas.

ε*

Kuipers et al. (1991) utilizzano la stessa equazione introducendo differenti costanti.

In tabella 5.1 sono riportati i valori di c ed ε^* per i vari modelli:

Tab.5.1 Costanti per il modulo elastico

MODELLI c ε ^*

Bouillard et al. (1989) 600 0.376

Kuipers et al (1991) 100 0.45

Gidaspow e Ettehadieh (1983) 20 0.62 Gidaspow e Syamlal (1985) 500 0.422

Lo stress del solido è legato all’impaccamento delle particelle, e dipende dal numero di dimensioni delle particelle. In questo caso occorre modellare lo stress del solido con un termine aggiuntivo. Syamlal (1985) lo definisce con la seguente espressione:

( )

s s s g

s = ∇ =τ ε G ε ∇ε_g [5.32]

Dove:

( )

G [5.33]

Con g1=1.5*10^-3 e g2=500.

Gidaspow et al. (1986) proposero un’equazione simile a quella precedente:

( )

s s g

s = ∇ = −τ G ε ∇ε_g [5.34]

con:

( )

G [5.35]

ma g1 e g2 non sono specificati.

Questo modello non è però corretto in quanto diminuendo la frazione volumetrica del solido la forza applicata è maggiore, ed è l’opposto di ciò che accade, tuttavia se la costante g1 è negativa viene predetto un corretto andamento.

La figura 5.3 mostra un grafico del modulo elastico dei solidi a differenti frazioni volumetriche della fase gas. Le equazioni di Bouillard, Syamlal e Gidaspow e Syamlal hanno gradienti simili, anche se quest’ultime hanno effetti per alte frazioni volumetriche. L’equazione di Kuipers dà luogo ad una curva con gradiente inferiore con effetti per frazioni volumetriche leggermente superiori, infine la curva derivante dall’equazione di Gidaspow e Ettehadieh differisce significativamente dalle precedenti ed ha un gradiente molto più basso delle altre. Questo significa che in presenza di basse frazioni volumetriche del gas la forza ricavata da quest’ultime due equazioni risulta essere notevolmente inferiore rispetto a quella ricavata dalle altre tre.

Ulteriori studi sono in atto per cercare di capire quali tra questi modelli dà risultati migliori per un letto fluido multifase.

Fig.5.3 Variazione del modulo elastico dei solidi con la frazione volumetrica della fase gas

5.3.3.2 Teoria cinetica del flusso granulare

Nella teoria cinetica, l’equazione costitutiva per lo stress della fase solida, in accordo con Gidaspow (1994) è:

[ ]

s Ps s u Is sS_s

τ = − + ∇ξ + µ [5.36]

Ps è la pressione della fase solida, ξ_s è la viscosità del bulk e:

1

( )

2 3

T 1

s s s

S = ⎡⎣∇ + ∇u u ⎤⎦− ∇u I^s [5.37]

La teoria cinetica del flusso granulare considera l’energia cinetica associata alla velocità fluttuante delle particelle solide. La pressione dei solidi e la viscosità sono calcolate tramite l’energia cinetica, conosciuta anche come temperatura granulare.

Per prima cosa occorre calcolare g0, funzione di distribuzione radiale, che deriva dalla meccanica statistica ed è semplicemente una misura della probabilità che le particelle urtino tra loro.

Esistono differenti equazioni per il calcolo di g0 citate da vari autori, in tabella 5.2 ne sono riportate alcune:

Tab.5.2 Equazioni per il calcolo della funzione di distribuzione radiale

MODELLI g0

Carnahan e Starling (1969)

( ) ( )

2

0 2 3

3 1

1 2 1 2 1

s s

s s s

g ε ε

ε ε ε

= + +

− − −

Ogawa et al. (1980)

1 1 3 0

,max

1 ^s

s

g ε

ε

⎡ ⎛ ⎞ ⎤−

⎢ ⎥

= − ⎜⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎥⎦

Ding e Gidaspow (1990)

1 1 3 0

,max

3 1 5

s s

g ε

ε

⎡ ⎛ ⎞ ⎤−

⎢ ⎥

= ⎢⎣ − ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎥⎦

Syamlal et al (1993) ⁰

( )

3 1

1 2 1

s

s s

g ε

ε ε

= +

− −

Le equazioni di Ogawa et al. (1980) e di Ding e Gidaspow (1990) sono entrambe non corrette per frazioni volumetriche sopra la frazione di impaccamento massimo.

Van Wachem et al. (1998) hanno superato questo problema applicando, per valori critici della frazione volumetrica, l’equazione:

( ) ( )

(

3 6 9 12

0 1.08 10 1.08 10 _{s crit} 1.08 10 _{s crit} 1.08 10 _{s crit}

g = ⋅ + ⋅ ε −ε + ⋅ ε −ε + ⋅ ε −ε

)

Dove ε_crit è leggermente inferiore alla frazione di massimo impaccamento.

Le equazioni di Syamlal et al (1993) e di Carnahan e Starling (1969) sono definite alla massima frazione di impaccamento anche se questa costante non è inclusa in queste equazioni.

Una volta calcolata la funzione di distribuzione radiale, può essere valutata la temperatura granulare prima di determinare la pressione e la viscosità del solido.

La temperatura granulare, , è una misura dell’energia cinetica associata alla velocità fluttuante delle particelle.

Θ

Boemer et al. (1994) definirono il bilancio dell’energia fluttuante come:

( ) ( ) ( )

3 :

2 ^{s s s s}u^{s s} u^s k

t ε ρ ε ρ τ _Θ γ_Θ

⎡∂ Θ + ∇ Θ =⎤ ∇ + ∇ ∇Θ − + Ω

⎢∂ ⎥

⎣ ⎦ ^g [5.39]

I termini a sinistra rappresentano il netto cambiamento dell’energia fluttuante. Il primo termine a destra rappresenta l’energia fluttuante dovuta alla pressione del solido e alla viscosità, il secondo termine è la diffusione dell’energia fluttuante nella fase solida, γ_Θ rappresenta le dissipazioni energetiche fluttuanti e lo scambio dell’energia tra le due fasi.

Ωg

Questa equazione può anche essere usata per calcolare la temperatura granulare, la procedure è complessa e computazionalmente dispendiosa.

Boemer semplificò l’equazione precedente in:

s: us

τ ∇ =γ_Θ [5.40]

oppure:

( )

( )

s s s s s s

P tr D µ tr D^{⎛ ⎞} ξtr D γ_Θ

− + ⎜⎝ ⎟⎠+ = [5.41]

dove D_i e il tensore degli sforzi, µ_iè la viscosità di taglio e ξ_i la viscosità del bulk.

Le dissipazioni dell’energia fluttuante, in accordo con Syamlal et al. (1993) possono essere scritte come:

(

)

12 1

s s p

e g γ d

Θ π

− ρ ε

= Θ [5.42]

Dove e è il coefficiente di restituzione.

Boemer ha aggiunto un termine all’espressione delle dissipazioni dell’energia fluttuante, in accordo con Gidaspow:

(

)

3 1 _{s s}

p

e g u

γ ρ ε d

Θ π s

⎡ Θ ⎤

= − Θ⎢ − ∇ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ [5.43]

La pressione del solido è funzione della funzione di distribuzione radiale ed aumenta quando la frazione volumetrica si avvicina all’impaccamento massimo.

L’equazione per la pressione della fase solida è data da Gidaspow nel seguente modo:

( )

1 2 1

Ps = +^⎡⎣ −e g ε ρ ε_s^⎤⎦ _{s s}Θ [5.44]

La viscosità della fase solida ha la particolarità di diventare estremamente alta quando la frazione volumetrica si avvicina all’impaccamento massimo, questo aiuta il controllo della pressione solida.

La viscosità è costituita da due fattori: ξ_i e µ_i. Il primo descrive le resistenze alla compressione, mentre il secondo riguarda le forze tangenziali causate dalla collisione delle particelle.

In letteratura esistono molte correlazioni per la determinazione di questi due fattori.

5.4 Modello Gidaspow

Esistono diversi modelli matematici euleriani per lo studio di un flusso multifase:

• Sinclair e Jackson (1989)

• Pita e Sundaresan (1991)

• Ocone et al. (1993)

• Lunge et al (1991)

• Bolio et al. (1995)

• Gidaspow et al. (1990)

Di seguito verrà descritto solamente il modello di Gidaspow, da noi utilizzato nelle simulazioni al CFD per un flusso bifase in un reattore a letto fluido ricircolante. La scelta è ricaduta su tale modello in quanto è tra i più noti e utilizzati.

Il modello di Gidaspow et al. (1990) è costituito dall’equazioni di continuità [5.8], dall’equazione del moto per il gas:

( ) ( )

g gUg g gU Ug g P gg Us Ug g g

t ρ ε ε ρ ρ β ε τ

∂ ⎡⎣ ⎤ + ∇⎦ = −∇ + + − + ∇

∂

r r r r r r [5.45]

e dall’analoga equazione per il solido:

( ) ( ) ( )

g sUs s sU Us s s s g g Ug Us G g s s

t ρ ε ρ ε ε ρ ρ β ε

∂ ⎡⎣ ⎤ + ∇⎦ = − + − − ∇ + ∇

∂

r r r r r r ε τ [5.46]

I tensori delle tensioni sono dati dalle:

2 2

3

S

g g g Ug g g g

τ = ε µ ∇ r − ε µ ∇U Ir

[5.47]

2 2

3

S

s s s Us s s s

τ = ε µ ∇ r − ε µ ∇U Ir

[5.48]

mentre quelli delle deformazioni dalle:

1 2

S

g g

U ⎡ U U_g^T⎤

∇ r = ⎣∇ r + ∇ r ⎦

[5.49]

1 2

S

s s

U ⎡ U U^T_s ⎤

∇ r = ⎣∇ r + ∇ r ⎦

[5.50]

Nel modello si possono riconoscere i tre termini discussi nei paragrafi precedenti.

Gidaspow ha svolto diversi studi computazionale di sistemi CFB, confrontando i risultati dei modelli con misurazioni sperimentali, per diverse condizioni di regime fluidodinamica e di flusso di solido.

Il modello è stato utilizzato per simulare la formazione di cluster, nel flusso discendente di solido in un riser del diametro di 7.62 * 10^-2 m e alto 5.5 m. Il diametro

delle particelle è di 520 µm, con una densità ρs = 2620 kg/m³. La velocità del gas all’imbocco è Ug = 4.979 m/s, con un flusso di solido Gs = 24.95 kg/(m²s) e εs = 0.0246.

La simulazione è stata condotta per 18 s, ipotizzando costanti le condizioni di alimentazione ed imponendo gradienti nulli di tutte le grandezze all’uscita. Alla parete è stata adottata la condizione di no-slip sia per la fase gas sia per quella solida.

Il modello, in accordo con i risultati sperimentali ha previsto correttamente la frequenza di oscillazione del flusso massico di solido in uscita dal riser, la velocità di caduta dei cluster di solido (1.1 m/s) e le loro dimensioni (2-3 cm), nonché i fenomeni legati alla loro formazione.

I risultati della simulazione evidenziano inoltre la formazione del regime core- annulus.