che si rendono disponibili alle epoche : 05 Ÿ 5 Ÿ 8, con 8 1, ovvero un vet- tore !8 œ Ða ,a ,...,a! &#34

1INTRODUZIONE

La condizione di purezza del Tasso Interno di Rendimento T.I.R. riveste un ruolo im-Ð Ñ portante per la significatività economica e finanziaria del criterio di scelta per i progetti che sul T.I.R. è basato, come si vede, 7 , dall'ampia letteratura sull'argomento.c d

Essa assicura infatti non solo l'unicità del T.I.R., ma pure la massimizzazione del Va- lore Attuale del progetto, nonché l'esistenza di un'unica scomposizione del progetto glo- bale in progetti monoperiodali, tutti della stessa natura economica (di investimento o fi- nanziamento).

Si studiano in questa nota ulteriori proprietà dei progetti puri, determinando condizioni atte a mantenere, in caso di prolungamento del progetto, tale proprietà.

Si analizzano infine particolari sottoinsiemi della classe dei progetti puri.

2DEFINIZIONI PRELIMINARI

Riportiamo definizioni e risultati, già noti in letteratura, che saranno usati in questa nota.

Definizione 1: Diremo progetto (d'investimento) una sequenza di flussi di cassa netti a₅ −‘, che si rendono disponibili alle epoche : 05 Ÿ 5 Ÿ 8, con 8  1, ovvero un vet- tore _!⁸ œ Ða ,a ,...,a_{! " 8}Ñ −‘^8", con gli a tali che:₅

Ú ÛÜ

a 0,

a 0,

a a 0, per almeno una coppia , .

! 8 4 5

 Á

†  4 5

Definizione analoga può essere data per i progetti per i quali a_! 0, che verranno detti di finanziamento, .

Quando non sia soddisfatta la Definizione 1, parleremo semplicemente di vettore (di flussi di cassa).

Definizione 2: Si dice monoperiodale un progetto del tipo:

¹_! −‘ ²: a ,a , ¹_! œ Ð _{! "}Ñ a_! †a_" 0 ,

ovvero, nel caso più generale, un progetto del tipo:

₅^51 −‘ ²: a ,a₅^51 œ Ð _{5 5}1Ñ, a₅†a_51 0 .

Supponendo che sia possibile arrestare la vita economica di un progetto _!⁸ alla fine di un qualunque periodo, ad esempio il -esimo, 05  5  8, avremo la:

Definizione 3: Si dice troncamento del progetto _!⁸ ogni vettore _!⁵ −‘^5": a ,a ,...,a_!⁵ œ Ð _{! " 5"},a , ₅Ñ con .5  8

Definizione 4: Si dice sottoprogetto di _!⁸ ogni suo troncamento _!⁵, 0 5  8, che soddisfi alla Definizione 1.

Definizione 5: Si dice coda di _!⁸, e lo indicheremo con ⁸₅, ogni vettore del tipo:

₅⁸ œ Ða ,a_{5 5"},...,a₈Ñ −‘^85", 0 5  8.

Supponendo che sia possibile prolungare la vita economica di un progetto _!⁸ dalla sua fine, al tempo , fino ad un qualunque periodo successivo, ad esempio l'(8 8  5)-esimo, a 5 −, diamo la

Definizione 6: Si dice prolungamento ^85_! di _!⁸ il vettore _!^85 −‘^851: a ,a ,...,a ,a ,...,a , con a 0.

_!^85 œ Ð _{! " 8 8" 85}Ñ _85 Á

Definizione 7: Dati _!⁸ œ Ða ,a ,...,a_{! " 8}Ñ −‘^8" e ⁷_! œ Ðb ,b ,...,b_{! " 7}Ñ −‘^71, si dice unione (temporale) di _!⁸ e _!⁷ il vettore:

_!⁸ _!⁷ _{! " 5 87} ‘^87 ₅ ⁵

58

‘ œ Ð Ñ − œ 5 Ÿ 8

5  8 c ,c ,...,c ,...,c , con c a se .

b se

1 2

œ 1

Dato _!⁸œ Ða ,a ,...,a , indichiamo con _{! " 8}Ñ ₈⁰ il vettore ₈⁰ œ Ðc ,c ,...,c , c_{! " 8}Ñ ₃ œa_83. Il Valore Attuale del progetto _!⁸ al tasso sarà dato da3

•_{8 4}

4œ!

8

Ð3Ñ œ a † Ð  3Ñ1 4,

mentre il suo Montante o Saldo sarà dato daÐ Ñ

’_{8 4}

4œ!

8

Ð3Ñ œ a † Ð  3Ñ1 84 .

Indicheremo il Valore Attuale del sottoprogetto _!⁵ con •₅Ð3Ñ e quello del prolunga- mento _!^85 con •85Ð3Ñ, ed i loro Montanti o Saldi rispettivamente con Ð Ñ ’5Ð3Ñ e con

’85Ð3Ñ.

Ricordiamo che un progetto è detto semplice quando i suoi flussi di cassa non nulli han- no tutti segno diverso da a , mentre è detto di investimento in senso stretto se i flussi di_! cassa negativi precedono quelli positivi.

3 PROPRIETA´ GENERALI DEI PROGETTI D'INVESTIMENTO Vale anzitutto la

Definizione 8: Chiamasi T.I.R. del progetto un tasso per il quale 3_! ’₈Ð3 Ñ œ0 0.

Si definiscono per ogni progetto _!⁸, le quantità:

È_{5 84}

4œ!

5

Ð3Ñ œ a † Ð  3Ñ1 45, 0Ÿ 5 Ÿ 8 1,

che rappresentano il Valore Attuale, al tempo 8  5, dei flussi di cassa della coda _85⁸ , e le quantità:

Æ_{5 84}

4œ!

5

( )3 œ a †(1 3) , 04 Ÿ 5 Ÿ 8 1,

che rappresentano il Saldo, a partire dal tempo 8  5, dei flussi di cassa della coda _85⁸ . Come detto in 14 e 15 , da ac d c d ! 0 segue 5 , : 0 , e quin-

 3Ä ∞lim Ð3Ñ œ  ∞ a5  5 Ÿ 8

+ ’ di vale la seguente:

Proposizione 1: Dato _!⁸œ Ða ,a ,...,a_{! " 8"},a , esiste un valore ₈Ñ 3_ tale che:

3 − 3_; ∞ Ê ’₅Ð3Ñ Ÿ0 , a5 : 0Ÿ 5  8. Risulta di immediata verifica la

Proposizione 2: 3_ œ 1 Í a₈†a₅ Ÿ0 , : 1a 5 Ÿ 5 Ÿ 8.

Essendo lim , con il segno di a , : 0 1, come detto in

3Ä 85 8

1^È Ð3Ñ œ ∞ a 5 Ÿ 5 Ÿ 8 

c d c d9 e 8 , vale la:

Proposizione 3: Dato _!⁸œ Ða ,a ,...,a_{! " 8"},a , con a₈Ñ ₈ 0, esiste tale che:3_ 3 − Ó 1; 3 Ó Ê_ È_85Ð3Ñ  0 , : 0a 5  5 Ÿ 8 1.

Proposizione 4: 3 œ ∞ Í + a!†a5 Ÿ 0 , : 0a 5  5 Ÿ 8. I valori 3_ e vengono denotati anche con 3_ 3₇₃₈ e 3_7+B.

I valori 3_ e possono essere introdotti anche partendo da un problema diverso,3_ quello della massimizzazione del Valore Attuale del progetto, 1 , o quello della minimiz-c d

zazione del Saldo delle sue code; essendo ( ) ( ) 1 ( ) , (1 )

•₈ 3 •_84" 3 œ _84 †È₄ 3

 3 avremo:

•₈( )3  •_84"( )3 ÍÈ₄( )3  0 e quindi risulta di immediata verifica la

Proposizione 5: Dato _!⁸ œ Ða ,a ,...,a_{! " 8"},a , con a₈Ñ ₈0, esiste tale che:3_ 3 − Ó 1; 3 Ó Ê_ •₈( )3  •₅( ) , : 03 a 5  5 Ÿ 8 1.

Quindi in ogni progetto d'investimento, con a_!†a₈ 0, il Valore Attuale del progetto è maggiore di quello di tutti i suoi sottoprogetti, almeno fino ad un certo valore, ovvero .3_

In maniera simile, essendo ( )Æ 3 Æ_4"( )3 œ (1 3 †)⁴ ’_84( ) , avremo:3 Æ( )3 Ÿ Æ_4"( )3 Í’_84( )3 Ÿ0

e quindi risulta di immediata verifica la

Proposizione 6: Dato _!⁸œ Ða ,a ,...,a_{! " 8"},a , esiste un valore ₈Ñ 3_ tale che:

3 − 3_; ∞ Ê Æ( )3 ŸÆ_4"( ) , 3 a 5 : 0Ÿ 5  8.

Quindi in ogni progetto d'investimento (a_! 0), il Saldo del progetto è minore di quello di tutte le sue code, almeno da un certo valore, 3 , in poi.

Osserviamo infine che la condizione a_! †a₈0 è sufficiente ad assicurare l'esistenza di almeno un T.I.R. 3  0 1.

4 I PROGETTI PURI E LE LORO PROPRIETA´

Seguendo quanto fatto in 13 , 14 , 15 e 4 , ricordiamo anzitutto la:c d c d c d c d

Definizione 9: Un progetto d'investimento _!⁸ si dice puro al dato tasso se i suoi sotto-3 progetti _!⁵, 0Ÿ 5 Ÿ 8 1, presentano Saldi, a quel tasso , non positivi:3

’_{5 4}

4œ!

5

Ð3Ñ œ a † Ð  3Ñ1 54 Ÿ0 , : 0a 5 Ÿ 5 Ÿ 8 1.

Scriveremo:

- _!⁸−c( ) per indicare che il progetto 3 ! è puro al tasso ,3

- _!⁸− X 3( ) per indicare che il progetto ! _!⁸ ammette quale suo T.I.R.,3!

- _!⁸−cX per indicare che il progetto _!⁸ è puro nel suo T.I.R., - _!⁸−cX 3( ) per indicare che il progetto _! _!⁸ è puro nel suo T.I.R. .3_! Vale, vedi 13 e 4 , la seguente:c d c d

Proposizione 7: Se _!⁸−cX 3( ), allora il T.I.R. è unico._! 3_!

Come detto in 3 , 4 , 5 e 9 , se c d c d c d c d _!⁸−cX 3( ), allora _! _!⁸ può essere decomposto in un'unico modo come una successione di progetti uniperiodali consecutivi:8

_5⁵ ₁ œš’_5"Ð3 Ñ  Ð  3 Ñ †_! ; 1 _! ’_5"Ð3 Ñ_! ›, 1Ÿ 5 Ÿ 8, tutti valutati al medesimo tasso , in quanto:3_!

’0Ð3 Ñ œ_! a ,_!

’₅Ð3 Ñ  Ð  3 Ñ †_! 1 _! ’_5"Ð3 Ñ œ_! a ,₅ Ð  3 Ñ †1 _! ’_8"Ð3 Ñ _! a₈œ0 .

Come detto in 9 , vale lac d

Proposizione 8: _!⁸−cX 3( ) _! Ê a_! †a₈0 .

E' facile vedere, come detto in 10 , che tutti i progetti semplici e tutti i progetti in sensoc d stretto sono puri nel loro T.I.R..

Dato che ’₈Ð3Ñ œ Ð  3Ñ1 ^85" † ’₅Ð3Ñ † Ð  3Ñ 1 È_85"Ð3Ñ , e dato che ’₈Ð3 Ñ œ_! 0, come detto in 9 e 8 , vale la seguente:c d c d

Proposizione 9: Sia _!⁸ −cX 3( ), allora:!

’5Ð3 Ñ Ÿ! 0ÍÈ85Ð3 Ñ  ! 0 , : 0a 5 Ÿ 5 Ÿ 8 1, da cui segue:

_!⁸ −cX 3( )_! ÍÈ_85Ð3 Ñ  _! 0 , a 5 : 0Ÿ 5 Ÿ 8 1.

Vale infine, vedi 9 e 8 , la seguente:c d c d

Proposizione 10: Sono equivalenti le seguenti condizioni:

a) ( )_!⁸−cX 3_! b) 0’₈Ð3 Ñ  _ c) 0È_!Ð3 Ñ Ÿ_

d) 3_ Ÿ 3_ , e risulta inoltre: 3_ Ÿ 3 Ÿ 3_{! }.

Come conseguenza della Proposizione 5 e della Proposizione 10 si dimostra, vedi 8 , lac d Proposizione 11: ⁸_! −cX 3( )_! Ê•₈Ð3Ñ   •₅Ð3Ñ 3 − Ó , 1; 3 Ó 3 Ÿ 3_ , _{! }, 0Ÿ 5  8.

5L'INSIEME DEI T.I.R. DI UN PROGETTO

Detto g ˆ ‰⁸_! l'insieme dei T.I.R. del progetto _!⁸, sia g =ˆ _!⁵, 0 5 Ÿ 8‰ l'insieme dei T.I.R. del progetto _!⁸ e di tutti i suoi troncamenti _!⁵.

Indicato con e X l'insieme delle soluzioni B  1 dell'equazione X B œ 0, si ha che g ˆ ‰⁸_! œe ’8Ð3Ñ , mentre g =ˆ _!⁵, 0 5 Ÿ 8 œ‰ e ’5Ð3Ñ, 0 5 Ÿ 8 .

Ovviamente , g ˆ ‰_!⁸ ©g =ˆ _!⁵ 0 5 Ÿ 8‰. Valgono le seguenti:

Proposizione 12: 3_ œMax ˜g ₌ˆ _!⁵, 0 5 Ÿ 8  "‰™.

Dimostrazione: basta osservare che 3_ œMax ee ’₅Ð3Ñ, 0 5 Ÿ 8  " f. Proposizione 13: 3 œ_ Min ˜g ₌ˆ ₅^", 1 5 Ÿ 8‰™.

Dimostrazione: basta osservare che 3 œ_ Min ee È_85Ð3Ñ, 0 5 Ÿ 8  " f. Proposizione 14: 3_ −g ˆ ‰_!⁵ , 0 5 Ÿ 8 Ê _!⁵ −cX 3( _) .

Per la dimostrazione di questa si veda 6 , e prendendo spunto da quanto detto in 8 ec d c d c d11 , si dimostra la:

Proposizione 15: _!⁸ − X 3( )* Ê b_!⁵, 0 5 Ÿ 8 b 3 3 Ÿ 3 e : _{! !} *, _!⁵ −cX 3( ) ._! Dimostrazione: Se ⁸_! −cX 3( ), allora * 3 œ 3! * e ⁵_! œ⁸_!, da cui la tesi.

Se _!⁸ÂcX 3( ), allora esiste * 3, con 3  3*, e dalla Proposizione 14 segue la tesi.

Quindi da ogni progetto che ammette almeno un T.I.R., , si può sempre estrarre un3*

sottoprogetto che risulta puro con un T.I.R. non superiore a .3! 3*

L'esame completo di questo problema verrà trattato alla fine del presente articolo.

Ritornando allora sull'ipotesi della troncabilità dei progetti, alla luce della precedente proposizione, al fine di mantenere un chiaro significato economico per il T.I.R., si potran- no considerare economicamente significativi solo quei troncamenti che costituiscono un sottoprogetto a T.I.R. puro; tale sottoprogetto potrebbe coincidere, come casi estremi, con il progetto monoperiodale _!¹ œ Ða ,a o con il progetto globale _{! "}Ñ _!⁸.

6PUREZZA E PROLUNGABILITA'

Vediamo, seguendo 2 e 11 , sotto quali ipotesi prolungamenti ed unioni temporali dic d c d progetti puri danno luogo ancora a progetti puri.

Valgono al riguardo le seguenti:

Proposizione 16: _!⁸ −cX 3( ) e ! œ⁸_! ‘ea81f, a81  0ÊÂcX . La dimostrazione segue immediatamente dalla Proposizione 8.

Proposizione 17: ⁸_! −cX 3( ) e ! œ_!⁸‘ea8¹f, a8¹  0Ê−cX 3( ), ¹ 3  3¹ !. La dimostrazione segue immediatamente dalla Proposizione 14, una volta osservato che il valore 3_ del progetto viene a coincide con . 3_!

L'aggiunta di flussi positivi in coda ad un progetto puro mantiene quindi la proprietà di purezza e comporta l'aumento sia del T.I.R. che del valore 3_ .

Come dimostrato in 2 , abbiamo lac d

Proposizione 18: Dati ⁸_! −cX 3( ) e ^_! _!⁷ −cX 3( ), se risulta _!^ 3  3_!^ _!^, allora

_!⁸‘_!⁷ ÂcX .

Dimostrazione: Sia _!⁸‘_!⁷ œ‚^87₀ ¹. Sarà:

’^‚_871Ð3 Ñ œ^₀ ’^₈Ð3 Ñ † Ð  3 Ñ₀^ 1 ^₀ ^81’₇^Ð3 Ñ ₀^ 0

in quanto ’₈^Ð3 Ñ œ₀^ 0 e ’^₇Ð3 Ñ ₀^ 0, dato che è puro e  3  3_!^{ }_!. Sarà poi:

’^‚_871Ð3 Ñ œ_!^ ’^₈Ð3 Ñ † Ð  3 Ñ_!^ 1 ^_! ^81’^₇Ð3 Ñ ^_! 0

in quanto ’^₇Ð3 Ñ œ^_! 0 e ’^₈Ð3 Ñ _!^ 0, dato che è puro e  3  3^_{! !}^.

Ma allora la funzione ’^‚_871Ð3Ñ, essendo continua, si annulla almeno una volta in :3^‚₀ 3  3  3^_! ^‚₀ ^_!. Essendo 3 Ÿ 3^₀ ^‚_, in quanto è un sottoprogetto di , segue che ‚

_!⁸‘_!⁷ ÂcX .

Vale invece, sempre seguendo quanto detto in 2 e 11 , lac d c d

Proposizione 19: Siano _!⁸−cX 3( ) e ^_! ⁷_! − cX 3( ), con ^_! 3 Ÿ 3^_{! !}^, allora _!⁸‘⁷_! ha almeno un T.I.R. 3^{ }_!^‘ tale che 3 Ÿ 3^_! ^{ }_!^‘ Ÿ 3^_! .

Dimostrazione: Sia _!⁸‘_!⁷ œ‚₀^871 e siano ’^₅Ð3Ñ, ’^₅Ð3Ñ e ’₅^‚Ð3Ñ i saldi dei pro- getti , e . Da a  ‚ 0 0 e bm 0 segue che ‚0^871 ha almeno un T.I.R.; sia esso .3_!^‚

Se fosse 3 Ÿ 3_!^‚ _!^, essendo ’₈^Ð3 Ñ œ₀^ 0 e puro in , sarà anche  3₀^ ’₈^Ð3 Ñ ^‚₀ 0. Ma

’^‚_871Ð3 Ñ œ Ð  3 Ñ₀^‚ 1 ^‚₀ ^71†’₈^Ð3 Ñ ^‚₀ ’₇^Ð3 Ñ œ₀^‚ 0 , da cui segue ’₇^Ð3 Ñ ₀^‚ 0. Ma questo è assurdo in quanto è puro in  3 Ÿ 3 Ÿ 3^‚_! ^_! ^_!.

Se fosse 3 Ÿ 3^_! ^‚_! sarà anche ’₈^Ð3 Ñ ₀^‚ 0 e allora, per avere ’^‚_871Ð3 Ñ œ^‚₀ 0, dovrebbe essere ’^₇Ð3 Ñ ^‚₀ 0, ma questo è assurdo in quanto è puro e  3 Ÿ 3^_! ^‚_!.

Quindi non può che essere 3 Ÿ 3 Ÿ 3_!^ _!^{‚ }_!, ovvero 3 Ÿ 3_!^ _!^{ ‘} Ÿ 3^_!. Vale poi, vedi anche 2 , lac d

Proposizione 20: Se ‚₀^871 œ⁸_! ‘⁷_! , con ⁸_! −cX 3( ) e ^_! ⁷_! −cX 3( ), allora_!^ 3 Ÿ 3 Ÿ^{ ‚} Max , .˜3^ 3^™

Dimostrazione: Essendo un sottoprogetto di , segue che  ‚ 3 Ÿ 3^_! ^‚_. Se fosse 3 Ÿ 3^_ ^_! si ricava subito che 3 œ 3^‚_ ^_!. Infatti:

’ ’

’ ’

‚   

    

5 ! 5 !

8 ! ! 58 !

58

Ð3 Ñ œ Ð3 Ñ Ÿ 5 Ÿ 8

Ð3 Ñ † Ð  3 Ñ  Ð3 Ñ 8  Ÿ 5 Ÿ 8  7

œ 0

1 1 .

1

Ma ’₅^Ð3 Ñ Ÿ^_! 0 in quanto è puro;  ’^₈Ð3 Ñ œ_!^ 0 mentre ’^_581Ð3 Ñ Ÿ_!^ 0, dato che 3 Ÿ 3^_ ^_!, per 8 1Ÿ 5 Ÿ 8  7.

Quindi 3 œ 3^‚_ ^_! se .3 Ÿ 3^_ ^_!

Supponiamo invece che sia 3 Ÿ 3^_! ^_, e vediamo allora che 3 Ÿ 3^‚_ ^_. Calcoliamo

’ ’

’ ’

‚   

    

5  5 

8   58 

58

Ð3 Ñ œ Ð3 Ñ Ÿ 5 Ÿ 8

Ð3 Ñ † Ð  3 Ñ  Ð3 Ñ 8  Ÿ 5 Ÿ 8  7

œ 0

1 1 .

1

Ma ’^₅Ð3 Ñ _^ 0, 0Ÿ 5 Ÿ 8, in quanto è puro e  3 Ÿ 3_!^{ }_; ’^_581Ð3 Ñ Ÿ_^ 0, per definizione di , e quindi 3^_ ’^‚₅Ð3 Ñ Ÿ_^ 0 , da cui segue a 5 3 Ÿ 3^‚_ ^_, e quindi la tesi.

Riassumendo, 3  3 Ê 3  3_!^{ }_ ^‚_ ^_ mentre .3 Ÿ 3 Ê 3 œ 3^_{ !}^ _^{‚ }_! In maniera analoga vale, vedi 11 , lac d

Proposizione 21: Se ‚₀^871 œ⁸_! ‘⁷_! , con ⁸_! −cX 3( ) e ^_! ⁷_! −cX 3( ), allora_!^ Min , ˜3^_ 3^_!™ Ÿ 3 Ÿ 3^‚_ ^_! .

Dimostrazione: Essendo una coda di , segue che  ‚ 3 Ÿ 3^‚_ ^_!. Se fosse 3 Ÿ 3^_! ^_ si ricava subito che 3 œ 3^‚_ ^_!. Infatti:

È È

È È

‚   

    

5 ! 5 !

7 ! ! 75 !

57

Ð3 Ñ œ Ð3 Ñ Ÿ 5 Ÿ 7

Ð3 Ñ † Ð  3 Ñ  Ð3 Ñ 7  Ÿ 5 Ÿ 7  8

œ 0

1 1 .

1

Ma È₅^Ð3 Ñ  _!^ 0 in quanto è puro;  È₇^Ð3 Ñ œ^_! 0 mentre È_57^ ₁Ð3 Ñ  _!^ 0, dato che 3 Ÿ 3^_! ^_, per 0Ÿ 5 Ÿ 8. Quindi 3 Ÿ 3 Ê 3 œ 3^_! ^_ ^‚_{ !}^.

Supponiamo invece che sia 3 Ÿ 3^_ ^_!, e vediamo allora che 3 Ÿ 3^_ ^‚_. Calcoliamo

È È

È È

‚   

    

5  5 

7   75 

57

Ð3 Ñ œ Ð3 Ñ Ÿ 5 Ÿ 7

Ð3 Ñ † Ð  3 Ñ  Ð3 Ñ 7  Ÿ 5 Ÿ 7  8

œ 0

1 1 .

1

Ma È₅^Ð3 Ñ _^ 0, 0Ÿ 5 Ÿ 7, in quanto è puro e  3 Ÿ 3^_{ !}^; È_57^ ₁Ð3 Ñ  _^ 0, per definizione di , e quindi 3^_ È₅^‚Ð3 Ñ  _^ 0 , da cui segue a 5 3 Ÿ 3^_ ^‚_, e quindi la tesi.

Riassumendo, 3  3 Ê 3  3  3_^{ }_{! }^ _^{‚ }_! mentre 3 Ÿ 3 Ê 3 œ 3^_{! }^{ ‚}_ ^_! . I risultati trovati portano alla

Proposizione 22: Sia ‚₀^871 œ⁸_! ‘⁷_! , con ⁸_! −cX 3( ) e ^_! ⁷_! −cX 3( ); se_!^ 3  3_!^{ }_!, allora 3 Ÿ 3 Ÿ 3 Ÿ 3 Ÿ 3^_! ^‚_ ^‚_! ^‚_ ^_! , ovvero l'unione temporale di due progetti puri a T.I.R. crescenti è un progetto puro, il cui T.I.R. è compreso tra e .3^_! 3^_!

Dimostrazione: Dalla Proposizione 19 sappiamo che esiste : 3^‚_! 3 Ÿ 3 Ÿ 3^_! ^‚_! ^_! ; dalle Pro- posizioni 20 e 21, se fosse 3  3^_ ^_ segue subito 3 Ÿ 3^‚_ ^‚_, e quindi, per la Proposizione 10, segue la tesi. Supponiamo invece che sia 3  3^_ ^_; dalle Proposizioni 20 e 21 segue che

3 Ÿ 3 Ÿ 3^_! ^‚_ ^_ e che 3 Ÿ 3 Ÿ 3^_ ^‚_ ^_! . Essendo:

’_87^‚ ₁Ð3Ñ œ’^‚₅Ð3Ñ † Ð  3Ñ1 ^{87 51} È_875^‚ Ð3Ñ † Ð  3Ñ1 ^875,

dalla definizione di esiste almeno un per il quale risulta: 3^‚_ 5 ’^‚₅Ð3 Ñ œ^‚_ 0. Essendo puro e 3 Ÿ 3^_! ^‚_, segue 8 1 5  8  7. Risulta quindi:

’_87^‚ ₁Ð3 Ñ œ^‚_ È_875^‚ Ð3 Ñ † Ð  3 Ñ_^‚ 1 ^‚_ ^875, ma, per 8 1 5  8  7, è È_875^‚ Ð3 Ñ œ^‚_ È_74^ Ð3 Ñ^‚_ , 0 4  7

ed essendo 3 Ÿ 3 Ÿ 3^‚_ ^_ ^_, avremo

È_74^ Ð3 Ñ  ^‚_ 0, e quindi ’^‚_871Ð3 Ñ  ^‚_ 0.

Dalla Proposizione 10 segue ‚_!^871 −cX 3( ), ovvero la tesi._!^‚ Un caso particolare infine, vedi 12 , è rappresentato dalla seguente:c d Proposizione 23: _!⁸ −cX 3( ) e _! ⁵_! − X 3( ), _! 5  8 Í 3_ œ 3 œ 3_{! }.

Possiamo quindi concludere che un progetto puro può essere prolungato, in modo da mantenere la proprietà di purezza, aggiungendo in coda flussi di cassa non negativi, o me- diante l'unione di una coda costituita da un progetto che sia puro con un T.I.R. non minore di quello del progetto.

Possiamo infine dare un'enunciato conclusivo anche riguardo al problema della tronca- bilità di un progetto, che come detto in precedenza si basa sull'esistenza di almeno un sot- toprogetto puro, con la

Proposizione 24: I soli progetti che non ammettono un sottoprogetto proprio puro sono i progetti per i quali a è l'unico flusso di cassa positivo.₈

Dimostrazione: Viste le Proposizioni 15 e 23, abbiamo anzitutto due casi: _!⁸ÂcX op- pure ._!⁸ −cX

Se ⁸_! ÂcX, esiste il sottoprogetto _!⁵, quello con T.I.R. pari a 3_, e si ha che 5  8. Se invece risulta _!⁸ −cX, potrebbe risultare sia 5  8 che 5 œ 8.

Se _!⁸ è un progetto semplice, diciamo a il suo primo flusso di cassa positivo; il sotto-5

progetto _!⁵ œ Ða ,0,...,0,a è puro, in quanto semplice oppure monoperiodale, e gli even-! 5Ñ tuali ulteriori flussi a_52  0, per la Proposizione 17, generano progetti puri a T.I.R.

crescenti.

Se _!⁸ è un progetto in senso stretto, diciamo a il suo primo flusso di cassa positivo; il5

sottoprogetto _!⁵ œ Ða ,0,...,a! 51,a è puro, in quanto semplice, e gli eventuali ulteriori5Ñ flussi a_52  0, per la Proposizione 17, generano ancora progetti puri a T.I.R. crescenti.

Se _!⁸ −cX 3( ), con _! 3_  3_!, allora, per la Proposizione 15, b ⁵_! −cX 3( _), con 5  8, ovvero un sottoprogetto proprio puro a T.I.R. 3_  3_!.

Se _!⁸ −cX 3( ), con _! 3_ œ 3_!, allora, per la Proposizione 23, b ⁵_! −cX 3( _), con 5  8, ovvero un sottoprogetto proprio puro a T.I.R. 3_  3_!.

Se 3_ œ 1, ovvero se a₅†a₈Ÿ 0, : 0a 5  5 Ÿ 8, allora non è possibile, per la Pro- posizione 8, estrarre un sottoprogetto puro proprio e l'unico sottoprogetto puro risulta il progetto stesso _!⁸. In questo caso ricadono ovviamente i progetti monoperiodali.

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