Exercice V-3: Méthodes des résidus pondérés
Thème : Mise en équations et méthodes d’approximation appliquées à une poutre, comparaison à la solution analytique.
Nous nous intéressons aux oscillations verticales de la poutre représentée par la figure ci contre.
Mise en équations - Solution analytique.
g G
Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.
Déterminez les 3 premiers modes de vibrations de cette structure. Cette solution analytique servira de comparaison pour les modèles numériques (approximations).
Approximation polynomiale.
Nous cherchons deux fonctions de comparaison, c'est-à-dire deux fonctions de forme, satisfaisants toutes les conditions aux limites du problème.
Montrer que x 2 ( A − x ) est une fonction cinématiquement admissible.
Déterminer deux fonctions satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème. On cherchera des fonctions de la forme :
2 ( ) ( )
x A − x P x avec P x ( ) polynôme de degré 1 puis 2 Méthode de Galerkin.
Cette méthode consiste à utiliser les fonctions de forme comme fonctions tests dans la méthode des résidus pondérés.
Comparez les résultats obtenus avec la première fréquence propre pour chacun des polynômes précédents, (approximation à un paramètre).
Construisez le système matriciel correspondant à l’approximation à deux paramètres sur les deux polynômes précédents. Comparer l’approximation des deux premières fréquences propres à la solution analytique.
Réponse statique.
Déterminer la réponse statique, dans le cadre de l’approximation à deux paramètres, de la structure placée dans le champ de pesanteur.
Corrigé de l’exercice V-3 : Méthodes des résidus pondérés
Mise en équations – solution analytique
On cherche v ( , ) x t solution de :
L’équation locale sur ] [ 0 , A : ρ S v + EI v , x
4= − ρ gS Conditions aux limites en x = 0 :
⎩ ⎨
⎧
=
= 0 0
) , 0 , (
) , 0 (
x t t
v
v et en x = A :
2
( , ) ( , ) ,
0 0
t x t
v EI v
⎧⎪ =
⎨ =
⎪⎩
A A
Le problème n’ayant pas de mode rigide ( ω ≠ 0 ) les solutions sont de la forme :
( ) cos sin ch sh
V x = A λ x + B λ x C + λ x + D λ x avec
2
4 S
EI λ = ω ρ
Les conditions aux limites :
en x = 0 Î 0
0 A C B D
⎧ + =
⎨ + =
⎩ nous conservons A et B
en x = A Î (cos ch ) (sin sh ) 0
(cos ch ) (sin sh ) 0
A B
A B
λ λ λ λ
λ λ λ λ
− + − =
⎧ ⎨ + + + =
⎩
A A A A
A A A A
ÎÉquation caractéristique : tan λ A − t h λ A = 0
Solution non banale si
det = 0
tan λ A
t h λ A
λ A
λ1A λ2A
π/ 2 3 / 2π 5 / 2π
λ3A 7 / 2π
1 3, 9266
λ A = λ 2 A = 7, 0686 Puis 2
i 4
i > λ A ≅ + π i π et i ( ) i 2 4
EI ω λ S
= A ρ
A
Les 3 premières pulsations propres de la solution analytique sont :
ω 1 2 = 237 ,72 EI ρ S 4 ω 2 2 = 2496,5 EI ρ 4 ω 3 2 = 10876,6 ρ 4
S EI
A A S A
Les modes de vibration correspondant seront donnés par :
( )
cos ch
( ) cos ch sin sh
sin sh
i i
i i i i i
i i
V x λ x λ x λ λ λ x λ x
λ λ
= − − − −
−
A A
A A
Approximation polynomiale.
La fonction de forme ϕ ( x ) = x 2 ( A − x ) satisfait les CL. Cinématiques du problème.
⎩ ⎨
⎧
=
=
=
=
0 0
) 0 , (
) 0 (
x x x
ϕ
ϕ et ϕ ( x = A ) = 0
Î ϕ (x ) est dite cinématiquement admissible Cherchons W ( x ) = P ( x ) ϕ ( x ) avec P x ( ) polynôme
Pour satisfaire la condition de moment en x = A il faut que : ,
2( x = A ) = 0 w x
Or W , x
2( x ) = P , x
2( x ) ϕ ( x ) + 2 P , x ( x ) ϕ , x ( x ) + P ( x ) ϕ , x
2( x ) Î W
,x2( A ) = − 2 A
2P
,x( A ) − 4 A P ( A )
Pour P ( x ) = a o + a 1 x
0 3 2
0 1
,
2( A ) = ⇒ a + a A =
w x o
Choix a 1 = − 2 ⇒ a o = 3 A
D'où w 1 ( x ) = x 2 ( A − x )( 3 A − 2 x )
Pour P ( x ) = a o + a 1 x + a 2 x 2
0 4
3 2
0 1 2 2
,
2( A ) = ⇒ a + a A + a A =
w x o
Choix 4 A
3 0
1 2
=
⎩ ⇒
⎨ ⎧
−
=
= a
a a o
D'où w 2 ( x ) = x 3 ( A − x )( 4 A − 3 x )
Approximation à 1 paramètre : v ( , ) x t = w i ( ) x q ( ) t avec i = 1, 2 Le résidu est défini par : R v ( ) = ρ S w q i + EI w i x ,
4q Annuler le résidu pondéré revient à écrire :
( ) ( ) 0
0 0
4
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ∫ A ρ S P x w i (x) dx q ∫ A P x EI w i,x (x) dx q
Nous utiliserons la méthode de Galerkin en prenant : P i ( ) x = w i ( ) x
L’équation matricielle est donc : m q + q k = 0 avec :
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
=
=
∫
∫
A A
0
, 0
) (
) (
4
(x) dx w
x w EI k
dx (x) w x w S m
x i i
i
ρ i
Nous obtenons un modèle « masse – ressort » à 1 degré de liberté pour représenter le milieu continu.
Application numérique :
Approximation masse et raideur équivalente Approximation de la première
pulsation propre Écart /
solution analytique )
2 3 )(
( )
(
21
x x x x
W = A − A −
⎩ ⎨
⎧
=
=
5 9
5 36
19 630
A A EI k
S
m ρ
4 2
1 238 , 7
A S EI
ω = ρ 0,4 %
) 3 4 )(
( )
(
32
x x x x
W = A − A −
⎩ ⎨
⎧
=
=
7 11
35 192
52 3465
A A EI k
S
m ρ
4 2
1 365 , 5
A S EI
ω = ρ 54 %
Analyse :
Pour expliquer ces résultats il faut comparer l’allure des deux fonctions de forme et la solution analytique données par la figure suivante.
Solution analytique : courbe + Approximation W
1(x) Approximation W
2(x)
L'équation locale est une équation différentielle
d'ordre 4, il faut donc des fonctions polynomiales
d'ordre 4 pour que le résidu (erreur pondérée)
soit défini.
Approximation à 2 paramètres : v ( , ) x t = w 1 ( ) x q 1 ( ) t + w 2 ( ) x q 2 ( ) t
Nous utilisons ici la notation matricielle, qui permet de construire directement l’équation matricielle cherchée.
L’approximation sera notée : v ( , ) x t =< w ( ) x > { } q ( ) t avec < w ( ) x >= < w 1 ( ) x w 2 ( ) x >
Le résidu est alors : R v ( ) = ρ S < > w { } q + EI < w , x
4> { } q
Annuler le résidu pondéré revient à écrire :
{ }
4{ }
( ) ( ) ( ) ( )
,
0 0
< > < > 0
x x x x
S P w dx q EI P w x dx q
⎛ ρ ⎞ ⎛ ⎞
+ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∫ A ⎠ ⎝ ∫ A ⎠
Nous obtenons une équation à 2 paramètres ( , q q 1 2 ) . Pour écrire un système de 2 équations à 2 inconnues nous nous limiterons au choix de 2 fonctions de pondération ( P 1 , P 2 ) :
{ } { }
{ } { }
4
4
