Gestione della produzione di energia elettrica

(1)

Claudio Arbib

Università di L’Aquila

Ricerca Operativa

Gestione della produzione di energia elettrica

(Gennaio 2006)

(2)

Fabbisogno elettrico

Andamento del fabbisogno annuo in Italia

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 anno

Gwh

(3)

Fabbisogno elettrico

Fabbisogno del 12 dicembre 2002

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Ore GW

(4)

Pianificare la produzione

Dati

– Un orizzonte temporale discreto T = {1, 2, …, n} (ore)

– Un vettore di domanda di potenza oraria r = (r_t)_t∈T (megawatt) – Un insieme U di centrali termoelettriche

trovare

– una schedula p = (p₁, …, p_n) che specifichi la potenza elettrica fornita da ciascuna centrale in ogni ora dell’orizzonte di

pianificazione T

in modo che

– venga soddisfatta la domanda di potenza per ogni t∈T – siano rispettati i requisiti operativi delle centrali

– il costo complessivo del combustibile consumato sia minimo

(5)

∆p₁ = ∆p₀ = 180, t₁ = 1, t₀ = 4

p_max = 350

p_min = 49

0 (off)

tempo t

Requisiti operativi

• Vincoli di potenza minima e massima: se la centrale è accesa nell’ora t∈T, la potenza p_t generata può variare solo entro un intervallo

specificato [p_min, p_max]

• Vincoli di rampa: se la centrale è accesa nelle ore t e t+1 ∈T, e si ha p_t+1 > p_t (ovvero p_t+1 < p_t), il dislivello | p_t+1 – p_t| non può mai superare una soglia prescritta ∆p₁ (ovvero ∆p₀)

• Vincoli di minimo on (off) time: la centrale deve rimanere accesa (spenta) per almeno t₁ (almeno t₀) ore

6 > t₁

3 < t₀

301 > ∆p₁

4 > t₀

schedula inammissibile

(6)

∆p₁ = ∆p₀ = 180, t₁ = 1, t₀ = 4

p_max = 350

p_min = 49

0 (off)

tempo t

Requisiti operativi

• Vincoli di potenza minima e massima: se la centrale è accesa nell’ora t∈T, la potenza p_t generata può variare solo entro un intervallo

specificato [p_min, p_max]

• Vincoli di rampa: se la centrale è accesa nelle ore t e t+1 ∈T, e si ha p_t+1 > p_t (ovvero p_t+1 < p_t), il dislivello | p_t+1 – p_t| non può mai superare una soglia prescritta ∆p₁ (ovvero ∆p₀)

• Vincoli di minimo on (off) time: la centrale deve rimanere accesa (spenta) per almeno t₁ (almeno t₀) ore

6 > t₁

4 > t₀

3 > t₁

schedula ammissibile

(7)

Costi

• I processi di produzione di energia presentano due termini principali di costo:

– uno legato in modo diretto al combustibile consumato dalla centrale in condizioni di esercizio

C’ =

Σ

t∈T₁(ap_t² + bp_t + c)

– l’altro legato ai consumi non produttivi della centrale al momento di accensione

C” = α(1 – e^–u/τ⁰) + β

costo C’

potenza erogata

p_min p_max

costo C”

tempo di

uncommitment

tempo di

uncommitment potenza

erogata istanti di

accensione

(8)

• Il costo complessivo C = C’ + C” di una schedula della centrale dipende esclusivamente dalla potenza p_t fornita dalla centrale in ogni ora t∈T

Costi

4 6 8 10 12

p_max p_min

0 (off)

2

1 3 5 7 9 11 13

tempo t

Σ

^(apt2 + bp_t + c)

6

t=1

+ [α(1 – e^4/^τ⁰) + β] +

Σ

^(apt2 + bp_t + c)

13

t=11

(9)

Gestione di una centrale

Poniamoci nella prospettiva del gestore di una singola centrale.

– Supponiamo che in ogni ora del giorno alla centrale venga offerto un prezzo y_t per ogni megawatt prodotto

– Indichiamo con T₁ = {t∈T: p_t > 0} l’insieme delle ore nelle quali la centrale è accesa

t∈T

Σ

₁ ^[apt2 + (b – y_t)p_t + c] + C”(p)

costo netto

In ogni t ∈ T₁ conviene scegliere una potenza p_t che minimizzi

t∈T

Σ

₁ ^[apt2 + (b – y_t)p_t + c] + C”(p)

costo netto

Il punto di minimo del termine di costo [ap_t² + (b – y_t)p_t + c]

si calcola annullando la derivata prima rispetto a p_t: d[ap_t² + (b – y_t)p_t + c]

dp_t = 2ap_t + b – y_t = 0 p_t^* = y_t – b 2a

(10)

Gestione di una centrale

Poniamoci nella prospettiva del gestore di una singola centrale.

– Supponiamo che in ogni ora del giorno alla centrale venga offerto un prezzo y_t per ogni megawatt prodotto

– Indichiamo con T₁ = {t∈T: p_t > 0} l’insieme delle ore nelle quali la centrale è accesa

t∈T

Σ

₁ ^[apt2 + (b – y_t)p_t + c] + C”(p)

costo netto

se

p_min ^y^t_2a^{– b} < p_min

p_max ^y^t_2a^{– b} > p_max

y_t – b 2aⁱ

y_t – b

2a < p_max p_min <

costo C’

potenza erogata

p_min p_max

(11)

4 6 8 10 12 13

p_max p_min

0 (off)

2 3 5 7 9 11

1

Economic dispatching

Il problema di economic dispatching (gestione della centrale che minimizzi i costi complessivi) consiste nel decidere

– quali sono gli intervalli di spegnimento della centrale

– quali sono gli intervalli di accensione della centrale e quale potenza viene erogata in ciascuna ora di tali intervalli

(12)

7, 10

4 6 8 10 12 13

p_max p_min

0 (off)

2 3 5 7 9 11

1

Economic dispatching

• Associamo un nodo a ogni intervallo [r, s] durante il quale la centrale risulta accesa

• Una transizione tra nodi consecutivi [r, s], [t, u] corrisponde a un periodo di spegnimento lungo (t – s – 1) ore

• Siccome la durata del periodo di spegnimento è nota, risulta noto il corrispondente costo di accensione α(1 – e^{–(t–s–1)/}^τ⁰) + β

1, 6 α(1 – e^–4/τ⁰) + β 11, 13

(13)

• Associate a node with every period [r, s] during which a unit is in the

“on” state.

• A transition between consecutive nodes [r, s], [t, u] corresponds to an

“off” period (t – s) hours long.

• Siccome la durata del periodo di spegnimento è nota, risulta noto il corrispondente costo di accensione α(1 – e^{–(t–s–1)/}^τ⁰) + β

4 6 8 10 12 13

p_max p_min

0 (off)

2 3 5 7 9 11

1

Economic dispatching

1, 6 α(1 – e^–4/^τ⁰) + β 11, 13

• I nodi sono pesati con il costo di fornire la potenza ottima p_t^* (cioè quella che minimizza il costo netto ap_t² + (b – y_t)p_t + c)

Σ

⁶ ^[a(p^t^*⁾² ^{+ (b – y}^t^*^)p^t^* ^{+ c]}

t=1

Σ

¹³ ^[a(p^t^*⁾² ^{+ (b – y}^t^*^)p^t^* ^{+ c]}

t=11

(14)

• I nodi e gli archi introdotti formano un grafo G orientato e privo di circuiti

• Il problema si riduce a individuare un cammino di peso minimo nel grafo G

1, 1 1, 2 1, 3 1, 4

2, 2 2, 3 2, 4

3, 3 3, 4

1, n

2, n

3, n

inizio

Economic dispatching

fine

• Questo calcolo si può eseguire in tempo O(n³)

1, 1

3, 4