Scheduling a macchina singola

Pre-requisiti:

Classi di complessità

Programmazione Lineare (Intera)

Sistemi Organizzativi

docente: Stefano Smriglio stefano.smriglio@univaq.it

Programmazione Lineare (Intera) Metodo branch-and-bound

Cammini minimi su grafi Materiale didattico:

• M. Pinedo, Scheduling (Systems, Models and Algorithms) – Prentice Hall

• A. Agnetis, dispense http://www.dii.unisi.it/~agnetis/didattica

• Trasparenti dalle lezioni http://www.di.univaq.it/~oil

Parte I:

Scheduling a macchina singola

1. Introduzione: esempi, elementi di un problema di scheduling, notazione. Formulazioni PLM, PLB 2. Problemi a macchina singola

• 1//ΣΣΣΣ^w_j^C_j algoritmo WSPT

• 1/chain/ΣΣΣΣ^{w C} algoritmo polinomiale

Indice

• 1/chain/ΣΣΣΣ^w_j^C_j algoritmo polinomiale

• 1/prec/h_max algoritmo di Lawler

• 1/r_j,prmp/L_max regola preemptive EDD

• 1/r_j/L_max complessità, branch-and-bound

• 1//ΣΣΣΣ^U_j algoritmo di Moore

• 1//ΣΣΣΣ^h_j Programmazione dinamica

• 1//ΣΣΣΣ^T_j algoritmo pseudo-polinomiale

• 1//ΣΣΣΣ^w_j^T_j branch-and-bound

Introduzione

problemi di scheduling esempi

classificazione

Esempio

Silvia (S) e Francesca (F) giungono nello stesso momento ad una macchina fotocopiatrice. F deve fare 1 fotocopia, S ne deve fare 100.

Il galateo imporrebbe a S di lasciar passare per prima F, che ha un compito molto più breve.

È una buona idea?

Analisi. Supponiamo che l’esecuzione di una fotocopia richieda 3 secondi. Due casi:

S

Attesa totale = 300 + 303 = 603 F

precede

0 300

303 S

Attesa totale = 3 + 303 = 306 F precede

0 3

303

Esempio

E se Francesca F arrivasse all’istante r_f?

Attesa totale = 300 + 303 – r_f =

= 603 – r

0 300

S F 303

r = 603 – r_f

0 300

0 303

r_f

Di nuovo, il galateo imporrebbe a Silvia di interrompere le proprie copie in favore di Francesca:

r_f

Attesa totale = 3 + 303 = 306 r_f + 3

Ricapitolando

• Attività: 2 blocchi di fotocopie (di durata nota)

• Risorse: una macchina fotocopiatrice

• Vincoli:

Capacità: al più una fotocopia alla volta

(caso 2) F non può iniziare prima dell’istante rf

(caso 2) F non può iniziare prima dell’istante rf

• Misura: attesa complessiva presso la macchina fotocopiatrice

• Rappresentazione di una soluzione: diagramma di Gantt

S

0 300

303F

CPU scheduling

• Il sistema operativo disciplina l’accesso alla CPU dei diversi programmi di calcolo.

• tecnica time-sharing (Linux): il tempo di CPU è suddiviso in intervalli (definiti dal timer interrupt) e, in ogni intervallo, è possibile eseguire al più un processo.

possibile eseguire al più un processo.

• diversi obiettivi: rispondere prontamente a ciascun processo, evitare interruzioni prolungate, evitare ritardi nei processi più urgenti.

• Linux attribuisce dinamicamente una priorità ai processi.

Ad es., la priorità è proporzionale all’attesa del processo

CPU scheduling

• Attività: programmi

• Risorse: CPU

• Vincoli: Capacità: al più un programma in ciascun intervallo per ciascuna CPU

• Misure:

• tempo massimo di attesa di un programma

• tempo massimo di attesa di un programma

• tempo di completamento di tutti i programmi

• ritardi nei processi “urgenti”

Scheduling dei velivoli in atterraggio

• La torre di controllo (ATC) ha il compito di assegnare una pista ed un istante di atterraggio a ciascun velivolo nel proprio campo radar (area terminale)

• Ogni velivolo ha una finestra temporale [r,s] definita da due istanti di atterraggio estremi, a seconda che il due istanti di atterraggio estremi, a seconda che il velivolo viaggi:

- alla sua massima velocità (istante r)

- in modalità di minimo consumo (istante s)

• Un velivolo in atterraggio impegna la pista per un tempo noto ma genera turbolenza: quello successivo deve attendere un tempo di “separazione” (funzione delle dimensioni dei velivoli)

Scheduling dei velivoli in atterraggio

• Ad ogni velivolo è associato un orario di atterraggio predeterminato (e pubblicato nelle tabelle)

• “L’importanza” di un velivolo dipende da fattori quali la dimensione, la compagnia, la distanza percorsa…

• Attività: atterraggi

• Risorse: k piste

• Risorse: k piste

• Vincoli:

•Capacità: su ogni pista, al più un atterraggio in un certo istante

• finestre temporali di atterraggio

• separazione fra atterraggi consecutivi

• Misura:

• somma (pesata in base all’importanza) dei ritardi rispetto all’orario pubblicato

Ancora nella vita quotidiana…

Aldo (A), Bruno (B), Carlo (C), Duilio (D) condividono un appartamento e, ogni mattino, ricevono 4 giornali:

Financial Times (FT), Guardian (G), Daily Express (DE), Sun (S).

Ognuno ha i propri gusti…inizia la lettura ad una certa ora, legge i giornali nella sua sequenza preferita e ora, legge i giornali nella sua sequenza preferita e (ciascuno) per un tempo prefissato:

Aldo 8.30 FT(60) G (30) DE (2) S(5) Bruno 8.45 G(75) DE(3) FT(25) S(10)

Carlo 8.45 DE(5) G(15) FT(10) S(30) Duilio 9.30 S(90) FT(1) G(1) DE(1) lettore inizio Sequenza giornali (min.)

inoltre, ciascun lettore:

rilascia un giornale solo dopo averlo letto completamente.

termina la lettura di tutti i giornali prima di uscire.

Ancora nella vita quotidiana…

infine, i quattro lettori attendono che tutti abbiano terminato di leggere prima di uscire di casa

Problema:

A che ora A, B, C, D riescono (finalmente!) ad uscire?

Interpretazione

Aldo 8.30 FT(60) G (30) DE (2) S(5) Bruno 8.45 G(75) DE(3) FT(25) S(10)

Carlo 8.45 DE(5) G(15) FT(10) S(30) Duilio 9.30 S(90) FT(1) G(1) DE(1) lettore inizio Sequenza giornali (min.)

A G B

S

Duilio 9.30 S(90) FT(1) G(1) DE(1)

DE FT

D C

determinare in quale sequenza ciascun giornale “accetta” i lettori in modo da minimizzare il tempo di lettura totale.

Soluzioni

Aldo 8.30 FT(60) G (30) DE (2) S(5) Bruno 8.45 G(75) DE(3) FT(25) S(10)

Carlo 8.45 DE(5) G(15) FT(10) S(30) Duilio 9.30 S(90) FT(1) G(1) DE(1) lettore inizio Sequenza giornali (min.)

una possibile soluzione:

FT A D C B

G B C A D

DE C B A D

S D A C B

giornale Sequenza lettori

Duilio 9.30 S(90) FT(1) G(1) DE(1)

E^SERCIZIO:

valutare l’ora in cui A,B,C e D escono di casa

C

FT A _B

ESERCIZIO:

data la soluzione in tabella valutare l’ora in cui A,B,C e D escono di casa

FT A D C B

G B C A D

DE C B A D

S D A C B

giornale Sequenza lettori

D C

FT A

G

DE

S

8.30 9.09.00 10.00 11.00

11.51

B

B C A

D D C

B A

A

C B D

Enumerazione totale

• Il numero di soluzioni è (4!)⁴ = 331.776

• per un problema con n lettori e m giornali diventa (n!)^m.

• esaminando 10.000 soluzioni al secondo (4 giornali e n

• esaminando 10.000 soluzioni al secondo (4 giornali e n lettori):

5 354 min

10 2 · 10¹⁷ giorni

n tempo

Elementi di un problema di scheduling:

job: attività da svolgere – insieme J = {1,…,n}

In generale

Con il termine scheduling si indica l’allocazione temporale di risorse scarse ad attività

job: attività da svolgere – insieme J = {1,…,n}

Fotocopia, esecuzione di un programma di calcolo Un job può rappresentare una singola attività o un insieme di attività (task) tecnologicamente legate

macchine: risorse che eseguono le attività – insieme M={1,…,m}

Fotocopiatrice, CPU, giornali

• tempo di processamento p_ij durata del processamento del job j sulla macchina i

• release date r_j tempo in cui j arriva nel sistema, rendendosi disponibile al processamento

Attributi dei job

rendendosi disponibile al processamento

• due date d_j tempo entro il quale si desidera che il job j sia completato (data di consegna)

• peso w_j indica l’importanza del job j

Classificazione

Il processamento di un job su una macchina è detto operazione.

I problemi di scheduling si classificano in base alle caratteristiche dei task e all’architettura delle macchine

Notazione a tre campi: αααα/βββ/γγγγ:β α

α α

α descrive il sistema di macchine

β β β

β rappresenta vincoli e modalità di processamento (0, 1 o più componenti)

γγγγ indica l’obiettivo macchine

Campo α

Macchina singola (1) : ciascun job richiede una singola operazione da eseguirsi sull’unica macchina disponibile

Macchine identiche parallele (P_m) : ciascun job richiede una singola operazione da eseguirsi su una qualunque delle m macchine identiche.

1 2

m

Campo α

Flow shop (F_m) : Ciascun job è composto di m task, ciscuno da eseguirsi su una macchina secondo una sequenza fissata, uguale per tutti i job.

1 2 m

Job shop (J_m) : Ciascun job j è composto di m(j) task, ciscuno da eseguirsi su una macchina secondo una sequenza fissata, dipendente da j

Campo β

• Release dates (r_j): il job j non può iniziare il processamento prima dell’istante r_j

• Preemption (prmp): è ammesso interrompere un’operazione per iniziarne una nuova. Il processamento eseguito prima dell’interruzione non va perso: quando eseguito prima dell’interruzione non va perso: quando l’operazione viene ripresa, essa richiede solo il tempo rimanente di processamento

1 2 1

schedule ammissibile

job 1 2

p_j 3 4 1 5 7

Campo β

prec: è dato un grafo G = (N, A) diretto e aciclico che rappresenta una relazione di precedenza fra job. Un job j può iniziare solo se tutti i suoi predecessori sono stati completati

3 1

2 4

5

2

1 4 3 5

schedule non ammissibile

chain: caso speciale in cui ogni componente connessa del grafo è un cammino orientato (catena)

Campo β

•Tempi di set-up (s_jk): tempo richiesto per il riattrezzaggio delle macchine fra i job j e k. Se dipende dalla macchina i, si esprime con sⁱ_jk

• breakdown (brkdwn): le macchine non sono sempre

• breakdown (brkdwn): le macchine non sono sempre disponibili, ma hanno periodi fissati di interruzione del servizio

Definizioni

C_j tempo di completamento del job j L_j = C_j–d_j lateness del job j

T_j = max(L_j,0) tardiness del job j U_j = 1 se C_j>d_j e 0 altrimenti

job 1 2

p_j 7 8 d_j 9 11

2 1

0 7 15

C₁= 7 L₁= −2

T₁ = 0 U₁= 0

C₂= 15 L₂= 4 T₂ = 4

U₂= 1

Campo γ: funzioni obiettivo

• Makespan (C_max) : max (C₁, …, C_n) tempo di completamento dell’ultimo job

• Massima Lateness (L_max) : L_max =max (L₁, …, L_n)

• Tempo totale pesato di completamento (ΣΣΣΣw_jC_j)

• Tempo totale pesato di completamento (ΣΣΣΣw_jC_j) o (weighted flow-time)

• Tardiness totale pesata (ΣΣΣΣw_jT_j)

• Numero di tardy job (ΣΣΣΣU_j)

tutte funzioni obiettivo regolari cioè non-decrescenti in C₁, …, C_n

Esempio

job 1 2

w_j 2 3 p_j 7 8 d_j 9 11

2 1

0 7 15

L_max= 4

Σw_jC_j = 59

Σw_jT_j = 12

ΣU_j = 1

d_j 9 11

Sequenze e schedule

• Si definisce sequenza una permutazione dei job che definisce l’ordine con cui i job sono processati su una certa macchina

• Si definisce schedule un assegnamento di un istante di inizio a ciascuno dei task di ogni job (se prmp, istanti di inizio di ciascuna delle parti in cui viene suddiviso un task)

Schedule nondelay

uno schedule ammissibile è detto nondelay se nessuna macchina è ferma quando esiste un’operazione disponibile al processamento

In molti casi (sempre se prmp) le soluzioni ottime sono nondelay. Ciò non è vero in generale

E

: schedule nondelay

dato il seguente problema P₂/prec/C_max

1

2

10

job 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5 8

6 7 9

job 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p_j 7 6 6 1 2 1 1 7 7 14

costruire uno schedule nondelay e verificarne l’ottimalità

1 2 9 5

46 7 8 3 10

32 M1

M2

Soluzione nondelay:

E

: schedule nondelay

0 10 20 30

0 10 20 30

1 2 9

5 4 6 7

8

3 10

27

M1 M2

fermo macchina “forzato”

Soluzione ottima:

1.1 Scheduling a macchina singola

Formulazioni di Programmazione Lineare Booleana e Mista (PL(0-1)-PLM)

Booleana e Mista (PL(0-1)-PLM)

Formulazione disgiuntiva

Variabili decisionali “naturali”:

t _j ∈Rⁿ istante di inizio del job j, j = 1, …, n

i precede j ⇒ t ≥ t + p Macchina a capacità unitaria:







= 0 1 yij

se i precede j se j precede i i precede j ⇒

j precede i ⇒ t_i ≥ t _j + p_j t _j ≥ t_i + p_i

Variabili aggiuntive (binarie):

valgono in alternativa !!

Formulazione disgiuntiva (PLM)

i precede j ⇒ y_ij = 1 ⇒

j precede i ⇒ y_ij = 0 ⇒ t_i ≥ t _j + p_j t _j ≥ t_i + p_i

Formulazione disgiuntiva

J j

i p

t t

M

y_ij + _j − _i ≥ _i ∀ ∈

− ) ,

1 (

J j

i p

t t

M

y_ij + _i − _j ≥ _j ∀ , ∈

t _j ≥ 0 ∀ ∈j J

J j

i

y_ij ∈ {0,1} ∀ , ∈

M costante grande (quanto?)

Problemi minsum: 1// ∑ ∑ ∑ ∑

_w

_C

min

∑ ∑ ∑

∈

∈

∈

+

= +

J j

j j J

j

j j J

j

i i

j t p w t w p

w ( )

J j

i p

t t

M

y_ij + _j − _i ≥ _i ∀ ∈

− ) ,

1 (

J j

i p

t t

M

y_ij + _i − _j ≥ _j ∀ , ∈

t _j ≥ 0 ∀ ∈j J

J j

i

y_ij ∈ {0,1} ∀ , ∈

n²+n variabili 2n² vincoli

Esercizio

Formulare come problema di PLM la seguente istanza del problema 1/r_j/∑_{j wjCj}

job 1 2 3

p_j 3 1 2

p_j 3 1 2

r_j 0 2 0

w_j 3 2 4

Problemi minsum: 1// ∑

_w

_T

} 0 , max{

min _j

J j

j j

j t p d

w + −

∑

∈

J j

i p

t t

M

y_ij + _j − _i ≥ _i ∀ ∈

− ) ,

1

(1− y_ij)M + t_j − t_i ≥ p_i ∀i, j ∈ J (

J j

i p

t t

M

y_ij + _i − _j ≥ _j ∀ , ∈

t _j ≥ 0 ∀ ∈j J

J j

i

y_ij ∈ {0,1} ∀ , ∈

R^ICHIAMO: Funzioni convesse lineari a tratti

è il più piccolo valore z per cui

1

1x d

c +

Tx d

c

z ≥ + i = 1,...,m

2

2x d

c +

3

3x d

c +

) (

max1,..., i

T m i

i c x + d

=

x

b Ax ≥

) (

max

min 1,..., i

T m i

i c x + d

=

b Ax ≥

z min

m i = 1,..., z

d x

c_i^T + _i ≤

i T

i x d

c

z ≥ + i = 1,...,m

Formulazione PLM

} 0 , max{t_j + p_j − d_j

j

j p

0 d −

tj

j jf

∑

j

j p

0 d −

} 0 , max{

min _j

J j

j j

j t p d

w + −

∑

∈ f_j ≥ t_j + p_j −d_j, j ∈J

≥ 0 fj

Formulazione PLM

j jf

∑

J j

d p

t

f_j − _j ≥ _j − _j, ∈

≥ 0 fj

J j

i p

t t

M

y_ij + _j − _i ≥ _i ∀ ∈

− ) ,

1 (

J j

i p

t t

M

y_ij + _i − _j ≥ _j ∀ , ∈

t _j ≥ 0 ∀ ∈j J

J j

i

y_ij ∈ {0,1} ∀ , ∈

Problemi min-max: L

f min

J j

d p

t

f − _j ≥ _j − _j, ∈

≥ 0 f

J j

i p

t t

M

y_ij + _j − _i ≥ _i ∀ ∈

− ) ,

1 (

J j

i p

t t

M

y_ij + _i − _j ≥ _j ∀, ∈

t _j ≥ 0 ∀ ∈j J

J j

i

y_ij ∈ {0,1} ∀ , ∈

Formulazioni Time-indexed

Variabili binarie: x_jt =1 se j inizia nel periodo t; 0 altrimenti Orizzonte temporale [0,T] discretizzato in periodi di durata unitaria. Il periodo t concide con l’intervallo di [t − 1, t]

vincolo 1 (Completezza): ogni job inizia in un qualche t

1 2 3 4 5 T≥Σpj

j

j

j

n j

x

pj

T

t jt 1, 1,...,

1 1

=

∑ =

+

−

=

j

Formulazioni Time-indexed

vincolo 2 (Capacità): al più un job processato nel periodo t un job occupa il periodo t se inizia nell’intervallo [t − p_j+1, t]

T t

x

j

j

p T t

p t s

js n

j

,..., 1

, 1

) 1 ,

min(

) 1 ,

1 max(

1

=

∑

∑

+

−

=

=

t

j

j j

quindi:

Formulazione PL(0-1)

∑ ∑

=

+

−

= n

j

p T

t

jt jt

j

x c

1

1

1

min

n j

x

pj

T

jt

1 , 1 ,...,

1

=

∑

=

−

c_jt costo di assegnazione del job j all’istante t

1 ,...,

1

; ,..., 1

}, 1 , 0

{ = = − +

∈ _j

jt j n t T p

x

nT variabili; n + T vincoli

n j

x

t jt

1 , 1 ,...,

1

=

∑ =

=

T t

x

j

j

p T t

p t s

js n

j

,..., 1

, 1

) 1 ,

min(

) 1 ,

1 max(

1

=

∑

∑

+

−

=

=

Funzioni obiettivo (min-sum)

j

se j inizia nel periodo t si ha C_j = t+p_j−1

t t+p_j−1

tempo totale di completamento:

∑

∑ ∑

=

=

+

−

=

=

− +

n

j

j j n

j

p T

t

jt j

j t p x w C

w

j

1 1

1

1

) 1

c_jt = w_j(t+p_j−1)⇒ (

− ⇒

− +

= _j max{0, _{j j} 1}

jt w t p d

c

∑

∑ ∑

=

=

+

−

=

=

−

− +

n

j

j j n

j

p T

t

jt j

j

j t p d x w T

w

j

1 1

1

1

) 1 ,

0 max(

tempo totale di completamento:

tardiness totale:

Esercizio

Formulare come problema di PL(0-1) la seguente istanza del problema 1/r_j/∑_{j wjCj}

job 1 2 3

p_j 3 1 2

p_j 3 1 2

r_j 0 2 0

w_j 3 2 4

Vincoli di precedenza

vincolo 3 (Precedenza i→j): se il job i non è iniziato nei periodi 1,2,…,t allora il job j non può iniziare nei periodi 1, 2,…, t + p_i

t

j i

1 ,...,

1 ,

1 1

+

−

−

=

≤

∑

∑

= +

=

j i

t

r

ir p

t

s

js x t T p p

x

i

quindi:

1.2 Tempo totale pesato di completamento Σ

Σ Σ

Σ w

C

nondelay schedule

Proprietà 0.1 Dato un problema del tipo 1//γ con γ funzione obiettivo regolare, esiste uno schedule ottimo in cui la macchina processa ininterrottamente dall’istante 0 all’istante C_max= Σp_j

Tempo totale pesato di completamento 1// Σ Σ Σ Σ w

C

Definiamo Weighted Shortest Processing Time (WSPT) una regola che ordina i job per valori non crescenti del rapporto w_j/p_j

Sussiste il seguente

Teorema 1.1 La regola WSPT calcola una soluzione ottima del problema 1//Σw_jC_j

Sussiste il seguente

Dimostrazione. (Per contraddizione)

Assumiamo che S sia uno schedule ottimo e che non rispetti WSPT

Dimostrazione

Allora devono esserci in S due job adiacenti, diciamo j seguito da k tali che

w_j/p_j < w_k/p_k

Assumiamo che il job j inizi all’istante t.

Eseguiamo uno scambio dei job j e k ottenendo un Eseguiamo uno scambio dei job j e k ottenendo un nuovo schedule S'

S

S′

k

j t

k j

t+p_j

t+p_k

t+p_j+p_k

Dimostrazione

S

S ′

k

j t

k j

t+p_j+p_k

Il tempo totale (pesato) di completamento dei job che precedono e seguono la coppia (j,k) non è modificato dallo scambio. Il contributo dei job j e k in S è:

(t+p_j)w_j + (t+p_j+p_k)w_k

mentre in S' è:

(t+p_k)w_k + (t+p_k+p_j)w_j

Dimostrazione

in S] (t+p_j)w_j + (t+p_j+p_k)w_k in S'] (t+p_k)w_k + (t+p_k+p_j)w_j

Eliminando i termini uguali:

in S] p_jw_k in S'] p_kw_j

Quindi, se w_j/p_j < w_k/p_k, risulta p_k w_j < p_j w_k, cioè il tempo totale pesato in S' è strettamente inferiore a quello in S, contraddizione

Vincoli di precedenza 1/prec/ Σ w

C

Nel caso generale il problema è NP-Hard.

Consideriamo invece il caso in cui le precedenze sono rappresentate da un insieme di catene in parallelo:

1/chain/ΣΣΣΣw_jC_j

Per questo caso esiste un algoritmo di soluzione polinomiale.

Catene non interrompibili

Date due catene:

1 → 2 → … → k

k+1 → k+2 → … → n

Minimizziamo Σw_jC_j con il vincolo che i job di ciascuna catena debbano essere processati consecutivamente.

catena debbano essere processati consecutivamente.

Lemma 1.2 Se

allora la catena 1, …,k precede la catena k+1, …, n

∑

∑

>

∑

∑

+

= +

=

=

=

n k

j j

n k

j j

k

j j

k

j j

p w p

w

1 1

1 1

Dimostrazione

• Per la sequenza 1,2,…,k,k+1,k+2,…,n (S1) il tempo totale di completamento è

∑ + + + ∑

∑ + +

+

= + =

= +

k j

n

j j

n k

j k

j j k

k p w p p w p

w p

w

1 1 1

1 1

1

1 K ( ) K

• Per la sequenza k+1,k+2,…,n,1,2,…,k (S2) il tempo totale di completamento è

∑ + + + ∑

∑ + +

+

+

= =

+ + =

+

n k j

n

j j

k j

n k

j j

n k

k p w p w p p w p

w

1 1 1

1 1

1

1 K ( ) K

Semplificando

• S1

) )(

(

1 1

1 1

1

∑ ∑ ∑ ∑

= +

=

= =

+ + + =

k j

j n

k j

j k

j

k j

j n

j

k p w p w p

w K

• S2

∑ = ∑ ∑

∑ + +

+

= = = +

+

=

n k j

n k

j j

k

j j

j n

k

j

p

w

p w p

w

1 1 1

1 1

K ( )( )

+

= = = +

+

=k j k j j k

j 1 1 1 1

• Quindi, ricordando l’ipotesi:

> ⇒

∑

∑

∑

∑

+

= +

=

=

=

n

k j

j n

k j

j k

j

j k

j

j

p w p

w

1 1

1

1 ( )( ) ( )( )

1 1

1 1

∑

∑

∑

∑

+

=

=

= +

=

<

n

k j

j k

j

j k

j

j n

k j

j p w p

w

cioè, S1migliore di S2

Coefficiente ρ di una catena

L’idea chiave dell’algoritmo è ricondurre 1/chain/Σw_jC_j al problema di sequenziare catene non-interrompibili, in modo da utilizzare il Lemma 1.2.

Definizione 1.3 Data una catena 1→ 2 → … →k Definizione 1.3 Data una catena 1→ 2 → … →k definiamo coefficiente ρ della catena il seguente rapporto:

 

 





 

 





∑

∑

≤

= ≤

∑

∑

= ρ

=

=

=

=

l

j j

l

j j

l

j j

l

j j

p w k

p l w k

1 1

* 1

* 1

1 ) max

, ,

1

( K

Esempio

1 2 3 4

job 1 2 3 4

p_j 3 4 2 6

w_j 10 4 17 8

1 2 3 4

l* = 3







= 

















≤

= ≤ ρ

∑

∑

=

=

15 ,39 9

,31 7

,14 3

10 4

1 ) max 4

, ,

1 (

1 1 l

j j

l

j j

p w l

K

Proprietà del coefficiente ρ

Proprietà 1.4 Se un job l* determina il coefficiente ρ(1,...,k) allora per qualunque 1<u<l* risulta:

∑

∑

w

w

∑

∑

>

∑

∑

=

=

+

= +

=

u

j j

j j

l u

j j

u

j j

p w p

w

1 1

* 1 1