Scheda - Le basi della Matematica Equazioni e problemi di I grado. Le equazioni di I grado

Scheda - Le basi della Matematica Equazioni e problemi di I grado Le equazioni di I grado

Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali in cui compare almeno un'incognita (di solito essa si indica con la lettera x).

L'obiettivo della risoluzione di un'equazione è quello di trovare il valore nu- merico che, sostituito al posto della x, rende vera l'uguaglianza.

Esaminiamo insieme il procedimento risolutivo di un'equazione di primo grado,

2x + 2 = 4x + 6

Si procede portando i termini contenenti la x a sinistra dell'uguale ed i numeri a destra dell'uguale. Bisogna ricordare che, quando si sposta un termine dal membro sinistro a quello destro (o viceversa) bisogna cambiargli il segno.

Quindi, ritornando alla risoluzione dell'equazione, possiamo scrivere 2x − 4x = +6 − 2

che implica

−2x = +4 (forma canonica)

L'ultima forma dell'equazione, è stata colorata di verde perché si chiama forma canonica e riveste un'importanza particolare. Essa si caratterizza per il fatto che appartiene a questa famiglia

ax = b dove a e b sono numeri reali Nel caso di prima

a = −2 e b = 4

Una volta arrivati alla forma canonica (tutte le equazioni, prima di essere risolte devono passare per la forma canonica) bisogna classicare l'equazione guardando la seguente tabella

Condizione Famiglia di equazione

a 6= 0 Equazione determinata (1 soluzione) a = 0 e b 6= 0 Equazione impossibile (nessuna soluzione)

a = 0 e b = 0 Equazione indeterminata (tutti i numeri sono soluzione)

Visti i valori dei parametri dell'equazione, a = −2 e b = 4 possiamo dire che la nostra equazione appartiene alla famiglia delle equazioni determinate e pertanto avrà 1 sola soluzione.

Adesso, per isolare la x, bisogna dividere entrambi i membri dell'equazione per il numero che sta davanti alla x. Quindi scriviamo

−2x

−2 = +4

−2 =⇒ x = −2

La verica. Come fare a vericare se hai risolto correttamente l'equazione?

Niente di più semplice! Basta sostituire il numero che hai trovato (nel caso di un'equazione determinata) nel testo dell'equazione iniziale. Se ne risulta un'uguaglianza, scriviamo uno smile e siamo sicuri di aver trovato la soluzione, altrimenti, dobbiamo ricontrollare i calcoli.

Se ritorniamo all'esempio precedente, abbiamo risolto l'equazione 2x + 2 = 4x + 6

trovando la soluzione x = −2. Facciamo la verica sostituendo il numero −2 al posto della x:

2 · (−2) + 2 = 4 · (−2) + 6 =⇒ −4 + 2 = −8 + 6 =⇒ −2 = −2 ,, Quindi abbiamo trovato la soluzione dell'equazione!

Esempio 2

Per risolvere un'equazione di primo grado, ad esempio

−2x − 8 = 3x + 7

si procede portando i termini contenenti la x a sinistra dell'uguale ed i numeri a destra dell'uguale. Bisogna ricordare che quando si sposta un termine dalla parte sinistra del segno di uguaglianza a quella destra (o viceversa) bisogna cambiargli il segno.

Quindi, ritornando alla risoluzione dell'equazione, possiamo scrivere

−2x − 3x = +7 + 8 che implica

−5x = 15 (forma canonica)

Visto che a = −5 e b = 15 possiamo dire che anche quest'equazione appar- tine alla famiglia delle equazioni determinate e quindi avrà 1 sola soluzione.

Adesso, per isolare la x, bisogna dividere entrambi i membri dell'equazione per il numero che sta davanti alla x. Quindi scriviamo

−5x

−5 = 15

−5 =⇒ x = −3

La verica della correttezza del risultato trovato

Avendo svolto i calcoli, siamo arrivati alla conclusione che x = −3. Ma per essere sicuri di aver fatto bene tutti i passaggi, dobbiamo sostituire il valore trovato al posto della x nella traccia iniziale e vedere se abbiamo un'uguaglianza. Così scriviamo

−2(−3) − 8 = 3(−3) + 7 sviluppiamo i calcoli

+6 − 8 = −9 + 7 =⇒ −2 = −2 ,

Siccome nell'ultimo passaggio ho ottenuto un'uguaglianza, posso rappre- sentare uno smile che mostra la correttezza del procedimento.

Esempio 3

Proviamo a risolvere insieme l'equazione

2(x − 3) − 4(1 − 2x) = 10(x − 2) Iniziamo togliendo le parentesi:

2x − 6 − 4 + 8x = 10x − 20

Portiamo ora a sinistra dell'uguale i termini che hanno la x ed a destra dell'uguale i termini numerici. Ricordiamo che quando un termine viene spostato da destra a sinistra dell'uguale cambia di segno. Quindi scriviamo:

2x + 8x − 10x = 6 + 4 − 20 Sommiamo i termini simili:

0x = −10 (forma canonica)

Siccome a = 0 e b = −10 l'equazione in questione è impossibile e quindi non ha nessuna soluzione (infatti nessun numero moltiplicato per 0 potrà dare come risultato -10). Quindi terminiamo qui il nostro procedimento risolutivo.

Esempio 4

Proviamo a risolvere insieme l'equazione contenente prodotti notevoli:

(x − 1)² =(x + 3)²− 2(4x + 4)

Iniziamo con lo svolgere i prodotti notevoli che sono stati colorati:

(x − 1)² = (x − 1)(x − 1) = x²− x − x + 1 = x²− 2x + 1 mentre

(x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = x²+ 3x + 3x + 9 = x²+ 6x + 9

Adesso riportiamo nell'equazione i risultati degli sviluppi dei prodotti notevoli:

x²− 2x + 1=x²+ 6x + 9− 8x − 8

Portiamo ora a sinistra dell'uguale i termini che hanno la x ed a destra dell'uguale i termini numerici. Ricordiamo che quando un termine viene spostato da destra a sinistra dell'uguale cambia di segno. Quindi scriviamo:

x²− x²− 2x − 6x + 8x = −1 + 9 − 8 Sommiamo i termini simili ed otteniamo:

0x = −10 (forma canonica)

Siccome a = 0 e b = 0 l'equazione in questione è indeterminata e quindi tutti i numeri ne sono soluzione (infatti ogni numero moltiplicato per 0 darà come risultato 0). Quindi terminiamo qui il nostro procedimento risolutivo.

Esempio 5

Risolviamo insieme l'equazione a coecienti frazionari x + 2

4 = x 3

In questo caso conviene calcolare il mcm tra i denominatori, che è 12, e scrivere:

3 · (x + 2)

12 = 4 · x

12 =⇒ 3x + 6

12 = 4x 12

Arrivati a questo punto, possiamo moltiplicare i membri dell'equazione per uno stesso valore (scegliamo, per comodità il numero 12, per eliminare il denominatore) ed otteniamo

12 · 3x + 6 12 = 4x

12· 12 =⇒ 3x + 6 = 4x

Ora che è diventata un'equazione a coecienti interi, possiamo risolverla con i metodi esaminati in precedenza. Ovvero possiamo scrivere

3x − 4x = −6 =⇒ −x = −6

Siccome a = −1 e b = −6 possiamo dire che l'equazione appartiene alla famiglia delle equazioni determinate e quindi avrà 1 sola soluzione.

Procedendo con il procedimento scopriamo che x = 6.

Le funzioni polinomiali

Passo 1: dalla formula alla tabella

Per cercare di capire come i polinomi possono aiutarci a risolvere i pro- blemi, soermiamoci prima a capire cosa sono le funzioni polinomiali. Esse sono delle istruzioni di calcolo, costituite da polinomi in una o più variabili, che applicate al numero che la funzione riceve in ingresso, restituiscono un risultato. Esempi di funzioni polinomiali sono, ad esempio

P (a) = 2a − 3 (di una variabile), P (a, b) = a²− b² (di due variabili) Per cercare di capire come lavora una funzione polinomiale, possiamo imma- ginarla come una macchinetta con una manovella, che riceve un numero in ingresso e, dopo il giro della manovella che simboleggia lo svolgimento dei calcoli ad essa collegati, ne restituisce uno in uscita.

Figure 1: Una funzione polinomiale

ad una entrata Figure 2: Una funzione polinomiale a due entrate

Per capire meglio come funziona una funzione polinomiale, dobbiamo imma- ginare il fatto che, ad uno ad uno, entrano tutti i numeri dentro la macchinetta.

Per esmplicare quali siano i numeri restituiti dalla prima macchinetta, pro- poniamo una tabella:

a 2a − 3

1 -1 ovvero 2 · 1 − 3 2 1 ovvero 2 · 2 − 3 5 7 ovvero 2 · 5 − 3 -2 -7 ovvero 2 · (−2) − 3

0 -3 ovvero 2 · 0 − 3 -10 -23 ovvero 2 · (−10) − 3

Alcuni ingressi e le relative uscite della funzione 2a − 3 Ora mostriamo la tabella per la funzione con due ingressi a²− b²

a b a²− b²

3 1 8 ovvero 3²− 1² 2 4 -12 ovvero 2²− 4² 0 -1 -1 ovvero 0²− (−1)² 5 4 9 ovvero 5²− 4² 3 -2 5 ovvero 3²− (−2)² 6 7 -13 ovvero 6²− 7²

Alcuni ingressi e le relative uscite della funzione a²− b² Passo 2: dalla tabella alla funzione polinomiale

Immaginiamo di voler risolvere un problemino. Dobbiamo creare una fun- zione polinomiale che, ricevuto in ingresso il numero di vittorie (nel campio- nato di serie A) ci fornisca il numero di punti ricavati dalle vittorie. Allora possiamo subito stilare una tabella che ci mostri quali sono le uscite della funzione, al variare di alcune entrate scelte a nostro piacimento:

v punti per le vittorie

1 3

2 6

3 9

5 15

0 0

10 30

In questo caso, dobbiamo fare noi il procedimento inverso, ovvero trovare quale sia la formula che denisce la funzione polinomiale e scoprirne così la sua denizione. In questo caso, si evince facilmente, dopo l'osservazione che,

indicato con v il numero di vittorie

la funzione polinomiale cercata risulta essere F (v) = 2 · v

Se vogliamo poi trovare la funzione polinomiale che, ricevuti in ingresso il numero di partite vinte v e di partite pareggiate p fornisce il numero di punti, possiamo stilare la seguente tabella

v p ? 3 1 10 2 0 9 0 1 1 5 4 19 3 2 8 6 7 25

In questo caso, dobbiamo fare noi il procedimento inverso, ovvero trovare quale sia la formula che denisce la funzione polinomiale e scoprirne così la sua denizione. In questo caso, si evince facilmente, dopo l'osservazione che,

indicato con v il numero di vittorie e con p il numero di pareggi la funzione polinomiale cercata risulta essere

F (v, p) = 3 · v + 1 · p

I problemi di I grado

Le equazioni sono degli ecaci strumenti che ci aiutano a risolvere problemi.

Vediamo un esempio: proviamo a risolvere il seguente problema:

Esempio 1: Sommando 3 al triplo di un numero si ottiene il suo quadruplo diminuito di 6. Qual è questo numero?

Indicazioni per la risoluzione: Proviamo a scrivere l'equazione che ci permette di risolvere il problema.

Indichiamo innanzitutto con x il numero da trovare e trasformiamo, mediante scrittura algebrica, il testo del problema.

Il testo il triplo di un numero si trasforma, in termini matematici, in 3x

Quindi, il testo 3 più il triplo di un numero si può scrivere, in matematichese, come

3 + 3x

Il quadruplo di un numero diminuito di 6 si può invece scrivere come 4x − 6

Quindi il testo del problema si può scrivere come:

3 + 3x = 4x − 6 Tale equazione si risolve, ottenendo

3x − 4x = −3 − 6 =⇒ −x = −9 =⇒ x = 9

Esempio 2: Andrea e Luca arrivano rispettivamente primo e secondo in un torneo amatoriale di tennis. Devono dividersi il montepremi di 180 e in modo che al vincitore vada una cifra doppia rispetto al secondo classicato.

Quali saranno le somme vinte da Andrea e Luca?

Indicazioni per la risoluzione: Proviamo a scrivere l'equazione che ci permette di risolvere il problema.

Dopo aver letto più volte il testo del problema, individuiamo l'obiettivo, ovvero calcolare la somma vinta da Andrea e la somma vinta da Luca. Visto che dobbiamo trovare due quantità distinte, potremmo impulsivamente scri- vere

x =somma vinta da Luca e y =somma vinta da Andrea Ma, dopo una lettura più attenta del testo, scopriamo che le due somme sono collegate, in quanto la somma vinta da Andrea (I classicato) deve essere il doppio della somma vinta da Luca (II classicato). Quindi, avendo indicato con x la somma vinta da Luca, per denominare la somma vinta da Andrea, non bisogna scomodare la variabile y ma si possono scrivere le due quote utilizzando una sola variabile. Quindi scriveremo:

x =somma vinta da Luca e 2x =somma vinta da Andrea Poi dobbiamo scrivere l'equazione che corrisponde, in termini matematici al testo del problema, ovvero che la somma dei due premi corrisponda a 180 e ovvero:

x + 2x = 180 Inne, risolviamo l'equazione

3x = 180 =⇒ 3

3x = 180

3 =⇒ x = 60

Se la quota vinta da Luca, ovvero x, è pari a 60 e la quota vinta da Andrea, ovvero 2x, sarà pari a 2 · 60 = 120 e.

Esercizi

Esercizio 1 - (Equazioni di I grado)

Risolvi le seguenti equazioni di primo grado eettuando la discussione del numero di soluzioni in base alla forma canonica e verica se la soluzione che hai trovato è quella giusta (nel caso delle equazioni determinate).

a) 2(x − 3) = 3(1 − x) + 1 b) 3(x − 2) = 2(3 + 2x) − 3

c) 2(x + 3) − 4(1 − x) = 4(2x + 4) d) 2(x − 1) + 3(2 − x) = x − 4 e) x(x − 2) = (x + 3)²

f ) (2x + 1)² = (2x − 1)(2x + 1)

g) (2x + 1)²+ 4(1 − x)(1 + x) = 2(2x + 4) h) 4(x − 5)² = (2x − 10)²

i) x − 2

3 = x + 2 (vedi l'Esempio 5 della teoria) j) x + 1

3 = 2x − 3 k) 2x − 1

5 = x − 5 l) x − 1

4 = 2x − 7 3 m) 2(x + 2)

5 = x − 1 n) 5(x + 4)

2 + 5(x − 4) + x − 2

2 = 10x − 3 o) (x − 2)²− (x + 1)(x − 3) = 2(3 − x)

p) (x − 1)²+ (x + 1)²+ (x − 1)(x + 1) = 3x²+ 1 q) (3 + x)(4 − x) + (2x − 3)² = x(3x + 1) − 3 r) 2(1 + x) − 3(2 − x) = 5(x − 1) + 1

s) 3(x + 2) − (3 − x) = 7x − 3(x − 1) t) 7x − 8(x + 1) − 3 = 3(x + 4) − 4(x + 1) u) 4 + 5(2x − 5) − x = 5 + 9(x − 1)

v) (2x + 1)²+ (3x − 2)² = (2x − 1)(2x + 1) + (3x + 2)(3x − 2)

Esercizio 2A

Compila le tabelle (puoi trovarne in basso lo schema) relative alle seguenti

funzioni polinomiali:

P (a) = 4a − 1; Q(a) = 2a − 3; S(a) = a²− 2 a ... ? ...

12 5 -20

Esercizio 2B

P = (a + b)(a − b); Q = 3ab²; R = a − 3b; S = (a + b)² stabilisci, osservando le 4 griglie seguenti, a quale espressione si riferisce ciascuna griglia.

a b ... ? ...

0 1 0

1 2 12

2 1 6

a b ... ? ...

0 1 -3

1 2 -5

2 1 -1

a b ... ? ...

0 1 1

1 2 9

2 1 9

a b ... ? ...

0 1 -1

1 2 -3

2 1 3

Esercizio 2M

Determina le funzioni polinomiali che danno luogo alle seguenti tabelle:

a ... ? ...

0 2

1 4

3 8

-2 -2

-5 -8

a ... ? ...

0 -5

1 -2

3 4

-2 -11 -5 -20

a ... ? ...

0 6

1 4

3 0

-2 10

-5 16

Esercizio 3 - (Risoluzione di problemi di I grado)

Prova a risolvere i seguenti problemini utilizzando le equazioni di I grado:

(a) Qual è quel numero che si deve sottrarre a ⁷₂ per ottenere 1?

(b) Qual è quel numero che bisogna aggiungere a −²₅ per ottenere 4?

(c) Qual è quel numero il cui triplo è pari al suo doppio sommato a 12?

(d) Qual è quel numero che sommato ai suoi ²₃ fornisce come risultato 5?

(e) La somma tra il doppio ed il triplo di un numero dà come risultato 20.

Trova tale numero.

(f) Trova quel numero che, sommato alla sua metà dà come risultato 21;

(g) Se moltiplico un numero per 7 e poi aggiungo la quinta parte del numero stesso, ottengo come risultato 38. Determina il numero di partenza;

(h) Determina due numeri,sapendo che la loro somma vale 43 e la loro dif- ferenza è 19. (Suggerimento:) Indichiamo il primo numero con x. se la somma dei due numeri è 43, allora il secondo numero deve valere 43 − x. Quindi...

(i) La somma di 3 numeri consecutivi è 72. Scopri quali sono i 3 numeri.

(j) qual è quel numero il cui triplo supera di 20 i suoi ⁵₃?

(k) dividi il numero 80 in due parti in modo che, togliendo 10 da una parte ed aggiungendolo all'altra, si ottengono parti uguali.

(l) trova due numeri sapendo che la loro somma è 19 e la loro dierenza è 11.

(m) trova due numeri consecutivi sapendo che che la loro somma è 15;

(n) trova il numero tale che il suo doppio sommato al suo triplo fornisce il totale di 25;

(o) trova il lato di un quadrato che ha il perimetro di 100 cm;

(p) la somma della base e dell'altezza di un rettangolo è di 30 cm determina le dimensioni del rettangolo, sapendo che la base ha misura doppia rispetto all'altezza

(q) Trova il lato di un triangolo equilatero il cui perimetro è 15 cm.

(r) la somma della base e dell'altezza di un rettangolo è di 50 cm determina le dimensioni del rettangolo, sapendo che la base è il quadruplo

(s) Un quadrato ed un rettangolo hanno la stessa area. La base del rettan- golo supera di 5 cm il lato del quadrato e l'altezza del rettangolo è 3 cm in meno rispetto al lato del quadrato. Qual è l'area del quadrato?

(t) dividi un segmento di 11 cm in 3 parti, in modo che la seconda sia 1 cm in più della prima e la terza sia i ²₅ della seconda;

Esercizio 4 - (Risoluzione di problemi di I grado [un pò più gustosi])

Prova a risolvere i seguenti problemini utilizzando le equazioni di I grado:

(a) In un albergo per animali ci sono al momento cani e pappagalli. Le teste sono 27 e le zampe 100. Sai trovare quanti sono i cani e quanti i pappagalli?

(b) In un parcheggio ci sono scooter (a 2 ruote) ed auto. Sapendo che le ruote totali sono 94 e che in tutto ci sono 36 veicoli, calcola il numero degli scooter e quello delle auto;

(c) La dierenza tra le età di Paolo e quella di Marco è 15 anni. Calcola l'età di Paolo, sapendo che Marco ne ha il doppio.

(d) Luca e Paolo possiedono, rispettivamente, 120e e 80e. Luca spende, ogni giorno, 15e mentre Paolo ne spende 10. Tra quanti giorni i due amici avranno la stessa somma?

(e) Ad una gita in barca partecipano 48 persone. Il prezzo del biglietto è 15e per gli adulti e 6e per i bambini. Sapendo che l'incasso totale è 576e, calcola quanti adulti e quanti bambini hanno partecipato alla gita;

(f) Nella classe II A, un terzo degli alunni ha riportato l'insucienza in Matematica e 18 hanno avuto dei voti positivi. Da quanti alunni è composta la II A?

(g) Si vuole formare la somma di 7,30eusando 20 monete, alcune da 20 centesimi ed altre da 50 centesimi. Quante monete di ciascuna categoria occorreranno?

(h) Un ladro ruba alcune monete d'oro. Sulla via di fuga, però, incontra 3 guardie, una dopo l'altra. Ad ogni guardia il ladro deve lasciare la metà delle monete che ha ancora con sé più una. Alla ne, il ladro, riesce a scappare portando con sé 1 sola moneta. Quante monete aveva rubato?

(i) Le sale cinematograche, di sabato, praticano un prezzo (per vedere il

lm capolavoro La matematica, la mia passione) di 1e superiore a quello praticato il mercoledì. Così,con la stessa somma, si possono vedere 5 spettacoli di sabato e 6 di mercoledì. Quanto costa il biglietto il sabato?

(j) Una rockstar, nei suoi ultimi 4 concerti, ha raccolto ben 600.000 spet- tatori, raddoppiandoli ad ogni spettacolo. In quanti hanno assistito all'ultimo concerto?

(k) La somma delle età di Alisa ed Arianna è 11 anni mentre la dierenza delle loro età è 5 anni. Sai trovare l'età delle due sorelline¹?

(l) Un cassetto da cuoco contiene forchette a 2 ed a 3 punte. Sapendo che le forchette sono in totale 22 e che le punte sono in totale 54, calcola quante sono le forchette di entrambe le tipologie.

(m) Per incoraggiare suo glio a studiare la Matematica, un genitore con- corda di dare a suo glio Marco 8e per ogni problema risolto bene ma gli prende 5e per ogni problema risolto male. Dopo 26 problemi, Marco e suo padre sono in parità. Sai calcolare quanti problemi ha risolto correttamente Marco?

(n) Sopra due rami di un albero ci sono dei passeri: 49 sul più alto e 27 su quello inferiore. Quanti passeri sono volati dal ramo inferiore a quello superiore se il numero dei passeri che si trova sul ramo superiore è ora il triplo di quello che sono rimasti sull'altro ramo?

1In realtà, Alisa ed Arianna sono le mie nipotine ,.

Suggerimento: (Utilizziamo le funzioni polinomiali per risolvere il pro- blemino a). Esso ci chiede quanti sono i cani ed i pappagalli. Quindi scegliamo una delle due quantità come quantità incognita. Ad esempio, pos- siamo indicare con x il numero di cani presenti nell'albergo. Quindi

x = numero di cani

Adesso dobbiamo usare la prima informazione, ovvero che ci sono 27 teste.

In questo caso creiamo una tabella per capire quale sarà la funzione che denisce il numero dei pappagalli. La tabella è la seguente:

cani pappagalli

1 26

2 25

5 22

10 17

x 27 − x

Concludiamo che la funzione polinomiale che determina il numero dei pap- pagalli presenti nell'albergo (una volta che abbiamo stabilito di indicare con x il numero dei cani) è 27 − x. Quindi possiamo scrivere

27 − x = numero dei pappagalli

Adesso dobbiamo usare la seconda informazione dataci dal testo, ovvero che nell'albergo si possono osservare 100 zampe. Quindi stiliamo una tabella che ci faccia capire quale funzione polinomiale rappresenti il numero delle zampe dei cani, ovvero

x (cani) zampe dei cani

1 4

2 8

5 20

10 40

x 4 · x

Capiamo subito che, se sono presenti x cani nell'albergo, devono essere pre- senti 4x zampe che appartengono a cani.

Ora stiliamo una tabella che ci faccia capire quale funzione polinomiale rap- presenti il numero delle zampe dei pappagalli, ovvero

x (cani) zampe dei pappagalli

1 2

2 4

5 10

10 20

27 − x 2 · (27 − x)

Capiamo subito che, se sono presenti 27 − x pappagalli nell'albergo, devono essere presenti 2(27 − 7) zampe che appartengono a pappagalli.

Ora, scriviamo l'equazione che rappresenti il fatto che nell'albergo sono pre- senti 100 zampe:

4x + 2(27 − x) = 100 che, risolta, fornisce

4x + 54 − 2x = 100 =⇒ 2x = 46 =⇒ x = 23 se sono presenti 23 cani, allora ci saranno 27 − 23 = 4 pappagalli.