Testi consigliati GIUSEPPE ZINGALES MISURE ELETTRICHE METODI E STRUMENTI UTET TORINO 1992

Misure di potenza

- Sistemi trifase a tre conduttori:

Numero di misure totali

• Misure wattmetriche

numero di possibili inserzioni

teoremi sulle inserzioni wattmetriche numero minimo di misure

teoremi sulle potenze reattive

• Metodo generale per sistemi non simmetrici nelle tensioni e squilibrati nelle correnti

inserzione Barbagelata

• Metodo generale per sistemi simmetrici nelle tensioni e squilibrati nelle correnti

inserzione Barbagelata

Testi consigliati

GIUSEPPE ZINGALES

MISURE ELETTRICHE

METODI E STRUMENTI

UTET TORINO

1992

Sistemi trifase a tre conduttori

Ad una generica sezione di un sistema trifase a tre conduttori, di qualunque tipo, funzionante in regime alternato sinusoidale, la condizione energetica è completamente definibile quando sono note :

1) la terna dei fasori delle tensioni 2) la terna dei fasori delle correnti

G U

V₃₁ V₁₂

V₂₃

I₁ I₂ I₃

Sistemi trifase a tre conduttori

V₃₁

V₁₂

V₂₃

I₁

I₂ I₃

E₁

E₂ E₃

ϕ₁ ϕ₂ ϕ₃

Potenza attiva P:

P E I E I E I

= ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅

1 1 1

2 2 2

3 3 3

cos( ) cos( ) cos( )

ϕ ϕ ϕ

P = →E I E I E I

× →

+ →

× →

+ →

× →

1 1 2 2 3 3

Potenza reattiva Q:

Q E I E I E I

= ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅

1 1 1

2 2 2

3 3 3

sen( ) sen( )

sen( ) ϕ

ϕ ϕ

Sistemi trifase a tre conduttori

Numero di grandezze

• 3 tensioni V₁₂, V₂₃, V₃₁

• 3 correnti I₁, I₂, I₃

• 3 angoli ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃

9 grandezze in totale

Tutte indipendenti?

NO V₃₁

V₁₂

V₂₃

I₁

I₂ I₃

E₁

E₂ E₃

ϕ₁ ϕ₂ ϕ₃

9 grandezze in totale 2 relazioni tra le

grandezze

7 grandezze indipendenti

7 misure

Sistemi trifase a tre conduttori

V V V

→ + →

+ →

12 23 31 = 0

V₃₁

V₁₂

V₂₃

I₁

I₂ I₃

E₁

E₂ E₃

ϕ₁ ϕ₂

ϕ₃ I I I

→ + →

+ →

1 2 3 = 0

^{7 misure}

per esempio:

3 misure di tensione (moduli)

3 misure di corrente (moduli)

1 misura di fase

Sistemi trifase a tre conduttori

V₃₁

V₁₂

V₂₃

I₁

I₂ I₃

E₁

E₂ E₃

ϕ₁ ϕ₂ ϕ₃

Sistemi trifase a tre conduttori Per la misura di fase:

Esistono strumenti per la misura diretta dello

sfasamento tra due grandezze elettriche

sinusoidali, ma sono poco usati.

Nella pratica la misura si realizza attraverso una misurazione di tipo

wattmetrico:

P = E ⋅ I ⋅ cos(ϕ) da cui, noti E e I:

V₃₁

V₁₂

V₂₃

I₁

I₂ I₃ E₁

E₂ E₃

ϕ₁ ϕ₂ ϕ₃

cos( ) = P ϕ E I

⋅ Attenzione: vi è una

indeterminazione sul segno di ϕ

⇒

Sistemi trifase a tre conduttori

Come operare la scelta tra i due sistemi?

• si conosce a priori il senso ciclico

• si conosce la natura del carico

• Si usa un rilevatore di senso ciclico

V₃₁ V₁₂

V₂₃ I₁

I₂

I₃ E₁

E₂

E₃ ϕ₁

ϕ₂

ϕ₃ V₃₁

V₁₂

V₂₃

I₁

I₂ I₃

E₁

E₂ E₃

ϕ₁ ϕ₂ ϕ₃

9 possibili inserzioni wattmetriche tutte indipendenti? NO

Inserzioni wattmetriche

W

W

W

W

W

W

W W

W

Indicazione convenzionale delle inserzioni

W

W

W

P₁₍₁₃₎ o P₁₃

P₂₍₃₁₎

P₃₍₃₁₎ o P₃₁ 1

2 3

Inserzioni wattmetriche

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

I° TEOREMA

La differenza tra le indicazioni di un wattmetro con l’amperometrica inserita su un conduttore qualunque (n), con l’entrata della voltmetrica collegata al conduttore stesso, e con l’uscita successivamente agli altri due (p e m) coincide con l’indicazione che si avrebbe derivando direttamente la voltmetrica tra i conduttori p e m, ossia:

P_nm - P_np= P_n(pm)

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

P₁₃ - P₁₂ = P₁₍₂₃₎

W W W

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

In virtù del I° teorema, 3 inserzioni wattmetriche sono ridondanti, in quanto possono essere derivate dalle altre inserzioni

9 inserzioni ⇒ 6 inserzioni

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

Corollario al I° teorema

Nei sistemi trifase comunque squilibrati ma simmetrici, la differenza tra due valori P_nm aventi il primo indice in comune, fornisce il valore Q_n della potenza reattiva della fase corrispondente all’indice comune,

moltiplicato per il fattore ₃

P_{n pm( )} = P_nm − P_np = 3 ⋅ Q_n

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

II° TEOREMA

La somma di due valori P_nm aventi in comune il secondo indice fornisce in ogni caso la potenza totale del sistema P = P₁ + P₂ + P₃ , ossia:

P_nm + P_pm = P

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

Il II° teorema è un teorema fondamentale, in quanto mostra la possibilità di misurare in ogni caso la potenza di un qualsiasi sistema a tre fili medianti due soli wattmetri (inserzione Aron)

P₁₃ + P₂₃ = P

W

W

esempio:

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

In virtù del II° teorema, 2 inserzioni wattmetriche sono ridondanti, in quanto possono essere derivate dalle altre inserzioni

6 inserzioni ⇒ 4 inserzioni

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

III° TEOREMA

La somma di due valori P_nm aventi in

comune il primo indice fornisce in ogni caso il triplo della potenza trasportata dal

conduttore corrispondente a detto indice comune.

P_nm + P_np = ⋅3 P_n

Teoremi sulle inserzioni wattmetriche

P₁₃ + P₁₂ = ⋅3 P₁

W W esempio:

Inserzioni wattmetriche

Vi sono solo quattro inserzioni wattmetriche indipendenti. Come sceglierle?

Condizione necessaria e sufficiente è che dei quattro valori di potenza P_nm misurati, due di essi abbiano in comune il secondo indice, il quale invece deve essere diverso per gli altri due valori

Per esempio:

P₁₃, P₂₃, P₁₂, P₂₁

Si possono effettuare le misure inserendo i wattmetri su due soli conduttori

Teoremi sulle potenze reattive

Si può dimostrare, procedendo in modo simile a quello visto per le potenze attive, che, nei sistemi trifase a tre conduttori, valgono per le potenze reattive tre teoremi analoghi a quelli validi per le potenze attive

Teoremi sulle potenze reattive

I° TEOREMA: Q_nm - Q_np= Q_n(pm) II° TEOREMA: Q_nm + Q_pm= Q III° TEOREMA: Q_nm + Q_np= 3 Q_n

Sono necessarie 7 misure indipendenti Vi sono diverse possibilità di scelta, ma solitamente si preferisce evitare

l’impiego di amperometri.

SISTEMA TRIFASE A TRE CONDUTTORI QUALUNQUE

V₃₁ V₁₂

V₂₃

I₂ I₃

G U

I₁

Il metodo più utilizzato richiede tre misure voltmetriche e quattro misure wattmetriche (inserzione Barbagelata)

SISTEMA TRIFASE A TRE CONDUTTORI QUALUNQUE

V V V

W

W

W

W

V₁₂ V₁₃ V₂₃

P₁₃ P₂₃ P₁₂ P₂₁

SISTEMA TRIFASE A TRE CONDUTTORI QUALUNQUE

Note le misure delle tre tensioni e delle quattro potenze attive, con un procedimento di calcolo a passi successivi un po’

complesso si giunge alla determinazione di tutte le grandezze che interessano la sezione.

In questo caso la terna delle tensioni concatenate forma un triangolo equilatero:

V₁₂ = V₂₃ = V₃₁

in questo caso sono necessarie 5 misure indipendenti

SISTEMA TRIFASE A TRE CONDUTTORI

SIMMETRICO NELLE TENSIONI

V₁₂ V₂₃

V₃₁

Il metodo più utilizzato richiede una misura voltmetrica e quattro misure wattmetriche (inserzione Barbagelata)

SISTEMA TRIFASE A TRE CONDUTTORI SIMMETRICO NELLE TENSIONI

W

V

W

W

W

V₂₃

P₁₃ P₂₃ P₁₂ P₂₁

SISTEMA TRIFASE A TRE CONDUTTORI SIMMETRICO NELLE TENSIONI

Anche in questo caso note le misure della tensioni e delle quattro potenze attive, con un procedimento di calcolo a passi successivi si giunge alla determinazione di tutte le grandezze che interessano la sezione.

:

SISTEMA TRIFASE A TRE CONDUTTORI SIMMETRICO NELLE TENSIONI Si dimostra che se risulta:

P₁₃ = P₂₁ P₂₃ = P₁₂

il sistema è anche equilibrato nelle correnti:

I₁ = I₂ = I₃ = I

Dal corollario del II° teorema:

^{Q = ⋅ Q}_n ^{= }

(

)



 3 3 1 

3 ^{13 12}