sulle equazioni di primo grado o equazioni ad esse riconducibili [1]
1. Risolvere le seguenti equazioni di primo grado:
(a) 81x + 7 = 0;
(b) 5(x − 1) = 16 − 5x;
(c) (x + 4)(x − 4) − 6x + 2 = 1 + (x − 7)2− 49;
(d) (x − 1)3+ 3x(x + 7) = x(x2− 5) + 15;
(e) 11x
10 − 2− x 5 +1
2 = x− 2 4 − x;
(f) 5 3x = 9
10;
(g) 2x − (1 − 4x) = 4x + 5.
2. Risolvere le seguenti equazioni di primo grado in cui compaiono valori assoluti:
(a) |10 − 2x| = 58;
(b) |3x − 4| = 16;
(c) |11 − 6x| = x − 44;
(d) |7x − 2| = 5x.
3. Considerata la retta di equazione 10x − 20y + 41 = 0, stabilire quali dei seguenti punti appartengono alla retta e quali no: A
(
− 1 10, 2
) , B(4, 0), C
(
−4, 1 40
) , D
( 1,51
20 )
.
4. Rappresentare, nel piano cartesiano, le rette le cui equazioni sono le seguenti dopo averle scritte in forma esplicita:
(a) x − 10y + 20 = 0;
(b) 7x + y − 4 = 0;
(c) 18x + 15 = 0;
(d) 10y − 29 = 0.
Risoluzione esercizi
1. (a) Trasportando 7 al secondo membro e dividendo ambo i membri per 81 (coeciente della x), si ha la soluzione x = − 7
81.
(b) Eliminando le parentesi ovvero svolgendo le operazioni richieste, si ha:
5x− 5 = 16 − 5x =⇒ 5x + 5x = 16 + 5 =⇒ 10x = 21 =⇒ x = 21 10 (c) Eliminando le parentesi anche tenendo conto dei prodotti notevoli,
si ha:
x2− 16 − 6x + 2 = 1 + x2− 14x + 49 − 49
da cui, trasportando i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, si ha:
x2− 6x − x2+ 14x = 1 + 49− 49 − 2 + 16 che, sommando i termini simili, conduce a
8x = 15 =⇒ x = 15 8 (d) Eliminando le parentesi, si ha:
x3− 3x2+ 3x− 1 + 3x2+ 21x = x3− 5x + 15
e, trasportando i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, si ha:
x3− 3x2+ 3x + 3x2+ 21x− x3+ 5x = +115 da cui, sommando i termini simili,
29x = 16 =⇒ x = 16 29
(e) Allo scopo di eliminare i denominatori, riduciamo le frazioni al pri- mo membro e quelle al secondo membro allo stesso denominatore:
22x− 4(2 − x) + 10
20 = 5(x− 2) − 20x 20 da cui, moltiplicando ambo i membri per 20,
22x−4(2−x)+10 = 5(x−2)−20x =⇒ 22x−8+4x+10 = 5x−10−20x Portando tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini noti al secondo per poi sommare algebricamente i termini simili, si ha:
22x + 4x− 5x + 20x = −10 − 10 + 8 =⇒ 41x = −12 =⇒ x = −12 41
(f) Dividendo ambo i membri per il coeciente della x, si ha:
x = 9 10
5 3
=⇒ x = 9 10· 3
5 =⇒ x = 27 50
(g) Procedendo come al punto (b), si ha:
2x−(1−4x) = 4x+5 =⇒ 2x−1+4x = 4x+5 =⇒ 2x = 6 =⇒ x = 3 .
2. (a) Togliendo il modulo, si ha:
10− 2x = ±58 e, cioè, le due equazioni:
• 10 − 2x = 58 =⇒ −2x = 58 − 10 =⇒ −2x = 48
=⇒ 2x = −48 =⇒ x = −48
2 =⇒ x = −24;
• 10 − 2x = −58 =⇒ −2x = −58 − 10 =⇒ −2x = −68
=⇒ 2x = 68 =⇒ x = 68
2 =⇒ x = 34.
L'equazione data ammette, dunque, le due soluzioni x1 = −25, x2 = 35.
(b) Procedendo in modo analogo al precedente, nel togliere il segno di valore assoluto, si hanno le due equazioni
3x− 4 = ±16 da cui
• 3x − 4 = 16 =⇒ 3x = 16 + 4 =⇒ 3x = 20 =⇒ x = 20 3 ;
• 3x − 4 = −16 =⇒ 3x = −16 + 4 =⇒ 3x = −12 =⇒ x =
−12
3 =⇒ x = −4.
Dunque, l'equazione data ammette le due soluzioni x1 = 20/3 e x2 =−4.
(c) Togliendo il modulo, otteniamo le due equazioni 11− 6x = ±(x − 44) da cui
• 11 − 6x = x − 44 =⇒ −7x = −55 =⇒ 7x = 55 =⇒ x = 55 7 ;
• 11 − 6x = −(x − 44) =⇒ 11 − 6x = −x + 44 =⇒ −5x = 33 =⇒ x = −33
5 .
Discutiamo l'accettabilità delle soluzioni.
Risulta
• x − 44|x=55/7 = 55
7 − 44 = 55− 308
7 = −253
7 < 0 per cui la soluzione x = 55/7 non è accettabile;
• x − 44|x=−33/5 = 33
5 − 44 = −33 − 220
5 = −187
7 < 0 per cui la soluzione x = −33/7 non è accettabile
e, in denitiva, l'equazione di partenza non ammette soluzione.
(d) Togliendo il segno di valore assoluto come nel caso precedente, otteniamo le due equazioni
7x− 2 = ±5x da cui
• 7x − 2 = 5x =⇒ 2x = 2 =⇒ x = 2
2 =⇒ x = 1;
• 7x − 2 = −5x =⇒ 12x = 2 =⇒ x = 2
12 =⇒ x = 1 6. Discutiamo l'accettabilità delle soluzioni.
Risulta
• 5x|x=1 = 5· 1 = 5 > 0 per cui la soluzione x = 1 è accettabile;
• 5x|x=1
6 = 5· 1 6 = 5
6 per cui la soluzione x = 1
6 è accettabile e, dunque, entrambe le soluzioni trovate sono accettabili.
3. Ricordando che un punto P (x0, y0)appartiene ad una retta di equazione ax+by+c = 0se ne verica l'equazione stessa ovvero se, per x = x0, y = y0, risulta ax0+ by0+ c = 0, nei casi proposti si ha:
A (
− 1 10, 2
)
=⇒ x = − 1
10, y = 2 =⇒ 10 · (
− 1 10
)
− 20 · 2 + 41 =
=−1 − 40 + 41 = 0 sicché A appartiene alla retta;
B(−4, 0) =⇒ x = −4, y = 0 =⇒ 10·(−4)−20·0+41 = −40+41 = 1 ̸= 0 per cui B non appartiene alla retta.
In modo del tutto analogo si verica che C, D appartengono alla retta.
4. (a) Poniamo dapprima la retta in forma esplicita risolvendo l'equazione data rispetto ad y:
x−10y+20 = 0 =⇒ 10y = x+20 =⇒ y = x + 20
10 =⇒ y = 1 10x+2. Adesso, dando due arbitrari valori alla x e calcolando le corrispon- denti y, si ottengono i due punti per cui passa la retta.
Così facendo, si ha:
x y 0 2 10 3
←− y = (1/10) · 0 + 2 = 2
←− y = (1/10) · 10 + 2 = 1 + 2 = 3
per cui la retta passa per A(0, 2), B(10, 3) ovvero contiene il seg- mento AB come nella gura seguente rappresentante il graco richiesto.
(b) Procedendo come nel caso precedente, si ha:
7x + y− 4 = 0 =⇒ y = −7x + 4
che costituisce la forma esplicita della retta data.
Ancora, dando due arbitrari valori alla x e calcolando le corrispon- denti y, si ottengono i due punti per cui passa la retta.
Così facendo, si ha:
x y
0 4
1 −3
che costituiscono i due punti A, B per cui passa la retta rappre- sentata nel graco seguente.
(c) In questo caso, non essendovi la y nell'equazione che denisce la retta, abbiamo una retta verticale dalla forma esplicita x = −15 e dal graco seguente. 18
(d) Poiché nell'equazione non compare la x, abbiamo una retta oriz- zontale dalla forma esplicita y = 29
10 e dal graco seguente.