Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

(1)

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

1. y =√

16 − x²;

2. y = e^x2+4¹ +√

x²+ x + 1;

3. y = _x³_−4x^10−x²_+3x² ;

4. y = ln[1 − cos(x)].

Esercizio 2. Determinare il dominio e studiare il segno, determinando le intersezioni con gli assi coordinati, delle seguenti funzioni:

1. y = ^x²_x^+6x+5²_+4x ;

2. y = log2(4x² − 3x).

Valutazione esercizi: 1-x [1,5 punti]; 2-x [2 punti]

(2)

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 2]

1. y = e^√³^x+1;

2. y = _x³_+12x¹⁰ ;

3. y = e^x−1¹ + cos(√ x);

4. y = ln(x² + x + 6).

1. y =q

x² x²−4x−21;

2. y = e^x2+1¹ + x².

(3)

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 3]

1. y = _10−x¹ +√

x²+ 7x + 12;

2. y = log₄(15x²− 2x + 13);

3. y = _2x^x+2³_−4x²;

4. y = sin(x⁴).

1. y =√

e^x²⁻⁴− 1;

2. y = _x−11^x+4.

(4)

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 4]

1. y = _3x²_−4x+1^2x ;

2. y = 2^cos(x)+√

6x + 5;

3. y = p³

sin(x²) + 2;

4. y = _ln(x+2)¹ .

1. y = e^x√

4x²− 3x − 1;

2. y = log¹₂(7 − x).

(5)

Soluzione degli esercizi

Parte I

Correzione Compito [1]

Esercizio 1.

1. Il dominio D della funzione y = √

16 − x² si determina imponendo la condizione di esistenza della radice quadrata, dal momento che non vi sono altre operazioni non lecite sui reali:

16 − x² ≥ 0 =⇒ x²− 16 ≤ 0 =⇒ x ≤ −4 ∨ x ≥ 4 e, pertanto, D = (−∞, −4] ∪ [4 + ∞).

2. La funzione y = e^x2+4¹ +√

x²+ x + 1 è la somma delle funzioni f(x) = e^x2+4¹ ; g(x) = √

x²+ x + 1 per cui detti Df e Dg i domini di f e g, rispettivamente, il dominio della funzione è D = Df ∩ D_g.

Si ha che Df = Rin quanto il denominatore della frazione che compare come esponente è la somma di due quadrati e, quindi, mai nulla; Dg = R poichè x²+ x + 1 > 0 ∀ x ∈ R.

Ne segue D = R.

3. Il dominio D della funzione

y = 10 − x² x³ − 4x²+ 3x

è dato da tutti i numeri reali che rendono non nullo il denominatore:

D = {x ∈ R : x³− 4x²+ 3x 6= 0}.

Risulta

x³− 4x²+ 3x 6= 0 ⇐⇒ x(x²− 4x + 3) 6= 0 ⇐⇒

(6)

x 6= 0 ∨ x²− 4x + 3 6= 0 ⇐⇒ x 6= 0 ∨ x 6= 1 ∨ x 6= 3 cosicché D = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, 3) ∪ (3 + ∞).

4. Il dominio D della funzione y = ln[1 − cos(x)] si determina imponendo la condizione di esistenza del logaritmo, dal momento che non vi sono altre limitazioni:

1 − cos(x) > 0

che è vericata per ogni x 6= 0 + 2kπ, k ∈ Z essendo, com'è noto,

| cos(x)| ≤ 1 e l'uguaglianza vale solo per x = 0 da cui, tenendo conto del periodo, si ha la soluzione precedentemente scritta.

Ne segue D = {x ∈ R : x 6= 2kπ, k ∈ Z}.

Esercizio 2.

1. Detto D il dominio della funzione y = ^x²_x^+6x+5²_+4x e procedendo come al punto 3. dell'esercizio precedente, si ha:

D = (−∞, −4) ∪ (−4, 0) ∪ (0 + ∞).

Determiniamo, adesso, le intersezioni con gli assi coordinati e studiamo il segno della funzione.

Poiché 0 ∈ D, la funzione non interseca l'asse delle ordinate.

Per y = 0, si ha:

y = x²+ 6x + 5

x²+ 4x = 0 ⇐⇒ x²+ 6x + 5 = 0 ⇐⇒ x = −5 ∨ x = −1 cosicché la funzione interseca l'asse delle ascisse nei punti P1(−5, 0) e P₂(−1, 0).

Per avere informazioni sul segno, bisogna risolvere la disequazione x²+ 6x + 5

x²+ 4x > 0 (1)

tenendo conto anche degli intervalli in cui essa è negativa.

Le soluzioni della (1) si ottengono risolvendo le due disequazioni:

x²+ 6x + 5 > 0 e x²+ 4x > 0

(7)

e facendo il prodotto dei segni o, equivalentemente,

½ x²+ 6x + 5 > 0 x²+ 4x > 0 ∨

½ x²+ 6x + 5 < 0 x²+ 4x < 0

In entrambi i casi, si trova che l'insieme delle soluzioni è dato da S = (−∞, −4) ∪ (−4, 1) ∪ (5, +∞)

che coincide con l'insieme delle soluzioni della (1).

Ne segue

y(x) > 0 ∀ x ∈ (−∞, −4) ∪ (−4, 1) ∪ (5, +∞);

y(x) < 0 ∀ x ∈ (−4, 1) ∪ (0, 5).

2. Il dominio D della funzione y = log2(4x² − 3x) si ottiene imponendo che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo:

4x²− 3x > 0 =⇒ x < 0 ∨ x > 3 4 cosicché D = (−∞, 0) ∪ (³₄, +∞).

La funzione non interseca l'asse delle y poiché 0 /∈ D.

Per y = 0, si ha:

log₂(4x²− 3x) = 0 ⇐⇒ 4x²− 3x = 1 ⇐⇒ 4x²− 3x − 1 = 0 da cui

x = −1

4∨ x = 1

Ne segue che le intersezioni con l'asse delle x sono date dai punti A(−3/4, 0) e B(1, 0).

Per studiare il segno di y = y(x), imponiamo:

log₂(4x²− 3x) > 0 =⇒ 4x²− 3x > 1 =⇒ 4x²− 3x − 1 > 0 Le soluzioni dell'ultima disequazione scritta sono date da x < −3/4 ∨ x > 1 per cui, compatibilmente col dominio,

y(x) > 0 ∀ x ∈ (1, +∞) mentre y(x) < 0 ∀ x ∈ (−∞, −3/4).

(8)

Parte II

Correzione Compito [2]

Esercizio 1.

1. Il dominio D della funzione y = e^√³^x+1 è costitituito da tutti i numeri reali in quanto né l'esponenziale né la radice cubica né l'argomento di quest'ultima hanno limitazioni; in simboli D = R.

2. Il dominio D della funzione

y = 10 x³+ 12x si ottiene imponendo la condizione

x³+ 12x 6= 0 ⇐⇒ x(x² + 12) 6= 0 ⇐⇒ x 6= 0

essendo x² + 12 una somma di quantità sempre positive (somma di quadrati).

Ne segue D = R − {0}.

3. Il dominio D della funzione y = e^x−1¹ + cos(√

x) si ottiene imponendo (simultaneamente) le condizioni di esistenza della frazione, che compare come esponente di e e della radice quadrata argomento del cosin:

½ x − 1 6= 0 x > 0 =⇒

½ x 6= 1

x > 0 =⇒ D = (0, 1) ∪ (1, +∞)

4. Per determinare il dominio D della funzione y = ln(x² + x + 6), va imposto che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo:

x²+ x + 6 > 0 =⇒ ∀ x ∈ R

poiché il trinomio x²+x+6è associato ad una parabola con la concavità verso l'alto che non interseca l'asse delle ascisse.

Ne segue D = R.

(9)

Esercizio 2.

1. Il dominio D della funzione y =q

x²

x²−4x−21 coincide con l'insieme delle soluzioni della disequazione

x²

x²− 4x − 21 ≥ 0 =⇒ x < −3 ∨ x = 0 ∨ x > 7 e, quindi, D = (−∞, −3) ∪ {0} ∪ (7, +∞).

Si noti che x = 0 rappresenta un punto isolato per la funzione e O(0, 0) rappresenta l'intersezione con gli assi coordinati; la funzione è, invece, positiva nel resto del dominio.

2. La funzione y = e^x2+1¹ + x² è la somma delle funzioni u(x) = e^x2+1¹ e v(x) = x² che non presentano alcuna limitazione essendo x²+ 1 6= 0 ∀ x ∈ R in quanto somma di quadrati.

Inoltre, essendo u(x) > 0 e v(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R, si ha che u + v > 0 cosicché y = u(x) + v(x) è una funzione strettamente positiva.

Per x = 0 risulta y = e per cui la funzione interseca l'asse delle ordinate nel punto P (0, e).

(10)

Parte III

Correzione Compito [3]

Esercizio 1.

1. Il dominio della funzione y = _10−x¹ +√

x²+ 7x + 12 coincide con l'in- sieme D delle soluzioni del sistema di disequazioni

½ 10 − x 6= 0 x²+ 7x + 12 ≥ 0 =⇒

½ x 6= 10

x ≤ −4 ∨ x ≥ −3 per cui D = (−∞, −4] ∪ [−3, 10) ∪ (10, +∞).

2. La funzione y = log4(15x²− 2x + 13)è denita per valori della variabile indipendente che rendono posititivo l'argomento del logaritmo:

15x²− 2x + 13 > 0 che è vericata per ogni x ∈ R per cui il dominio della funzione è D = R.

3. Il dominio D della funzione y = _2x^x+23−4x² coincide con l'insieme delle soluzioni della disequaglianza

2x³ − 4x² 6= 0

da cui, dividendo ambo i membri per 2 e mettendo x² in evidenza al primo membro,

x²(x − 2) 6= 0 =⇒ x² 6= 0 ∨ x − 2 6= 0 =⇒ x 6= 0 ∨ x 6= 2 Dunque, D = (−∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).

4. la funzione y = sin(x⁴)è una funzione composta essendo essa il prodot- to operatorio [sin(·) ◦ (·)⁴](x) in cui nessuna delle due funzioni ha limitazioni; ne segue che, il dominio di tale funzione, è D = R.

Esercizio 2.

1. Per quanto concerne la funzione y =√

e^x²⁻⁴− 1, il dominio D è costi- tuito dalle soluzioni della disequazione esponenziale

e^x²⁻⁴− 1 ≥ 0 =⇒ e^x²⁻⁴ ≥ 1 = e⁰ =⇒ x²− 4 ≥ 0 =⇒ x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 e, in denitiva, D = (−∞, −2] ∪ [2, +∞).

(11)

Riguardo al segno, si ha che la funzione è non negativa su tutto D essendo una radice quadrata e, in particolare, essa è nulla per x = −2

∨ x = 2 ed è positiva in D − {−2, 2}.

Dunque, la funzione ovvero il suo graco interseca l'asse delle ascisse nei punti P1(−2, 0) e P2(2, 0).

Notiamo, inne, che 0 /∈ D cosicché la funzione non ha intersezione con l'asse y.

2. La funzione y = _x−11^x+4 è algebrica razionale fratta per cui il suo dominio D si ottiene dalla condizione di non annullamento del denominatore:

x − 11 6= 0 =⇒ x 6= 11 e, quindi, D = R − {11}.

Determiniamo l'intersezione con l'asse delle ordinate prima di studiare il segno della funzione.

Per x = 0, si ha che y(0) = 4/(−11) = −11/4 per cui la funzione interseca l'asse delle y nel punto P (0, −₁₁⁴).

Per y =, si ottiene l'equazione fratta x + 4 x − 11 = 0

che ammette l'unica soluzione x = −4 per cui la funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto Q(−4, 0).

Per procedere allo studio del segno, va risolta la disequazione fratta x + 4

x − 11 > 0

che ammette come soluzione l'insieme S = (−∞, −4) ∪ (11, +∞).

Ne segue

y(x) > 0 ∀ x ∈ S; y(x) < 0 ∀ x ∈ (−4, 11).

(12)

Parte IV

Correzione Compito [4]

Esercizio 1.

1. Il dominio della funzione algebrica razionale fratta

y = 2x

3x²− 4x + 1

coincide con l'insieme D delle soluzioni della disequazione di secondo grado 3x²− 4x + 1 6= 0 che sono x = ¹₃ ∨ x = 1.

Ne segue D = (−∞,¹₃) ∪ (¹₃, 1) ∪ (1, +∞). 2. La funzione y = 2^cos(x) + √

6x + 5 è la somma di due funzioni di cui la prima non ha limitazioni mentre la seconda è denita solo se l'argomento è non negativo:

6x + 5 ≥ 0 =⇒ x ≥ −5 6

per cui il dominio coincide con l'insieme D = (−5/6, +∞).

3. La funzione y =p³

sin(x²) + 2 è una funzione composta:

{p³

(·) ◦ [sin(·) ◦ (·)²+ 2]}(x) ma nessuna delle funzioni coinvolte ha delle limitazioni.

Il dominio D della funzione è, pertanto, D = R.

4. Il dominio D della funzione y = _ln(x+2)¹ coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema di disequazioni

½ ln(x + 2) 6= 0 (condizione sulla frazione) x + 2 > 0 (condizione sul logaritmo) =⇒

½ x 6= −1 x > −2 per cui D = (−2, +∞).

Esercizio 2.

(13)

1. La funzione y = e^x√

4x²− 3x − 1è il prodotto delle funzioni u(x) = e^x (funzione esponenziale elementare) e v(x) = √

4x²− 3x − 1 (funzione irrazionale composta). Dato che u(x) non ha limitazioni, il dominio D della funzione somma coincide con il dominio della funzione v(x) e, quest'ultimo, coincide con le soluzioni della disequazione di secondo grado

4x²− 3x − 1 ≥ 0 =⇒ x = −1

4 ∨ x = 1 per cui D = (−∞, −1/4] ∪ [1, +∞).

Notiamo, inoltre, che y(−1/4) = 0 = y(1) per cui la funzione interseca l'asse delle x nei punti P1(−1/4, 0) e P2(1, 0). In tutto il resto del dominio, la funzione è positiva essendo u(x) > 0 ∀ x ∈ R e v(x) > 0 ∀ x ∈ D − {−¹₄, 1}.

Poiché 0 /∈ D, la funzione non interseca l'asse delle ordinate.

2. Il dominio D della funzione y = log¹₂(7 − x) si ottiene imponendo che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo:

7 − x > 0 =⇒ x − 7 < 0 =⇒ x < 7 cosicché D = (−∞; 7).

Per x = 0, si ha y = log¹₂(7) per cui la funzione interseca l'asse delle y nel punto P (0, log¹₂(7)).

Per y = 0, si ha log¹₂(7 − x) = 0 da cui 7 − x = 1 cha ha per soluzione x = 6. Il punto Q(6, 0) costituisce, dunque, l'ntersezione della funzione con l'asse delle ascisse.

Studiamo il segno della funzione imponendo che y(x) > 0 che conduce alla disequazione logaritmica

log¹

2(7 − x) > 0 =⇒ 7 − x < 1 =⇒ x > 6 Compatibilmente con il dominio si ha, allora,

y(x) > 0 per 6 < x < 7; y(x) < 0 per x < 6.

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]