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Cenni di geometria analitica
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, che indicheremo con la notazione , un punto P del piano cartesiano è univocamente determinato dalle sue coordinate, , , dove x rappresenta l’ascissa e y l’ordinata del punto.
I punti che si trovano sulla retta hanno coordinate del tipo , 0 . I punti che si trovano sulla retta hanno coordinate del tipo 0, .
Nell’esempio qui proposto i punti hanno coordinate rispettivamente 2, 1 ; 6, 0 ; 0, 3 .
Dati due punti del piano cartesiano, , , , , per calcolare la distanza tra i due punti si utilizza il teorema di Pitagora:
⟹
Le coordinate del punto medio del segmento PQ sono date da:
2 , 2
La retta nel piano cartesiano
Una retta nel piano cartesiano può essere assegnata in forma
- Implicita: ! " 0, con , !, " ∈ ', e ! non entrambi nulli - Esplicita: 1 2
Le relazioni che legano i coefficienti che compaiono nelle due forme sono le seguenti:
1 ! , 2 "
1 rappresenta il coefficiente angolare (o pendenza) della retta, mentre 2 è detto intercetta e !
rappresenta l’ordinata del punto di intersezione tra la retta e l’asse y.
Osservazioni.
Se 1 3 0, la retta forma un angolo acuto con il semipiano positivo delle ascisse.
Se 1 4 0, la retta forma un angolo ottuso con il semipiano positivo delle ascisse.
2
Se 1 0, la retta è parallela all’asse delle ascisse e ha equazione = 2.
Il coefficiente angolare non è definito per le rette parallele all’asse y. Esse hanno equazione = 5, con 5 ∈ ℝ.
Se 2 = 0, la retta passa per l’origine.
Casi particolari
• Equazione dell’asse delle ascisse: = 0.
• Equazione dell’asse delle ordinate: = 0.
• Equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante: = .
• Equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante: = − .
Osservazione. Per due punti distinti , , , , passa una ed una sola retta.
Il coefficiente angolare della retta passante per i punti , , , è dato da:
1 = −
− L’equazione della retta passante per i due punti è data da:
−
− = −
−
L’equazione della retta passante per un punto , , avente coefficiente angolare 1, è data da:
− = 1 ∙ −
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Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra due rette
Siano 7: = 19 29, :: 1; 2; due rette distinte, allora diremo che:
7 ∥ : ⟺ 19 1; 7 > : ⟺ 19 1
1; ⟺ 19∙ 1; 1
La distanza di un punto , da una retta 7: ! " 0 , data in forma implicita, si trova con la seguente formula:
? , 7 | ! "|
√ !
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La parabola
Abbiamo introdotto la parabola parlando delle equazioni di secondo grado. La parabola è definita come il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (detto fuoco) e da una retta fissa (detta direttrice).
Ci limiteremo a considerare solo parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y. L’equazione di tale curva è:
= ! "
Il vertice della parabola ha coordinate
B − ! 2 , ∆
4 L’asse di simmetria ha equazione E
F
Osservazioni.
Se ! 0, G 0, dunque il vertice appartiene si trova sull’asse y.
Se " 0, la parabola passa per l’origine.
Il segno di fornisce indicazioni sulla concavità della parabola, in particolare:
- Se 3 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto. In tal caso il vertice sarà il punto di ordinata minima.
- Se 4 0, la parabola ha la concavità rivolta verso il basso. In tal caso il vertice sarà il punto di ordinata massima.
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L’iperbole equilatera
L’equazione di tale curva esprime un rapporto di proporzionalità inversa:
= 5 O equivalentemente
=5
Il grafico di tale curva è costituito da due rami, in particolare:
Se 5 3 0, i due rami sono contenuti nel primo e nel terzo quadrante. I vertici hanno coordinate:
BH √5, √5 ; B √5, √5
Se 5 4 0 , i due rami sono contenuti nel secondo e nel quarto quadrante. I vertici hanno coordinate:
BH √5, √5 ; B √5, √5