CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA
21 settembre 2017
Cognome e Nome: Matricola:
Corso di Laurea: Anno di corso:
1. (8 pt) Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = x y z
!
`
e il vettore delle incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h:
A =
h 1 −h
−2h h − 1 −1 + h
, B =0 1
. (a) Determinare il rango di A al variare di h:
rg A =
(2 se h 6= −1 1 se h = −1
(b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: h 6= −1 (c) Determinare per quali valori di h l’insieme delle soluzioni ha dimensione 1:
h 6= −1
(d) Sia h = 1. Determinare una rappresentazione parametrica della variet`a delle soluzioni:
x y z
!
=
−1/2 0
−1/2
! + α
0 1 +1
!
, α, β ∈ R
2. (8pt) Sia R(O, ˆı, ˆ, ˆk) un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A =
1 2 1
! , B =
2 0
−1
!
, e Q = 1 1 1
!
, determinare:
(a) una rappresentazione cartesiana della retta r = AB;
r :
(2x + y = 4 y − z = 1.
(b) una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l’origine O; π : 2x − 3y + 4z = 0
(b) Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A.
Vλ1: {y = z = 0}; Vλ2: {5x + y = y + z = 0}.
(c) Determinare una base di ciascun autospazio di A.
BV λ1 = { 1 0 0
!
}; BV λ2 = { 1
−5 5
! }.
(d) Discutere se la matrice B `e simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N−1AN . In caso negativo giu- stificare la risposta. Le due matrici non sono simili. Infatti A non `e diagonalizzabile, mentre B `e simmetrica, dunque diagonalizzabile.
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA
21 settembre 2017
Cognome e Nome: Matricola:
Corso di Laurea: Anno di corso:
1. (8 pt) Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = x y z
!
`
e il vettore delle incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h:
A =
h 1 h + 1
−2h h − 1 −h − 1
, B = 1−2
. (a) Determinare il rango di A al variare di h:
rg A =
(1 se h = 0, −1 2 se h 6= 0, −1
(b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: h 6= 0 (c) Determinare per quali valori di h la variet`a soluzione ha dimensione 1: h 6=
0, −1
(d) Sia h = 1. Determinare una rappresentazione parametrica della variet`a delle soluzioni:
x y z
!
= 1 0 0
! + α
1 1
−1
!
, α ∈ R
2. (8pt) Sia R(O, ˆı, ˆ, ˆk) un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A =
1 3 2
! , B =
0 1
−1
!
, e Q = 1
−1
−1
!
, determinare:
(a) una rappresentazione cartesiana della retta r = AB;
r :
(2x − y = −1 3x − z = 1.
(b) una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l’origine O; π : 5x − y − z = 0
(b) Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A.
Vλ1: {x = 4y + 3z = 0}; Vλ2: {x = y = 0}.
(c) Determinare una base di ciascun autospazio di A.
BV λ1 = { 0 3
−4
!
}; BV λ2 = { 0 0 1
! }.
(d) Discutere se la matrice B `e simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N−1AN . In caso negativo giu- stificare la risposta. Le due matrici non sono simili. Infatti A non `e diagonalizzabile, mentre B `e simmetrica, dunque diagonalizzabile.
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA
21 settembre 2017
Cognome e Nome: Matricola:
Corso di Laurea: Anno di corso:
1. (8 pt) Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = x y z
!
`
e il vettore delle incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h:
A =h 2 + h h 2 2 + h h
, B =2 0
. (a) Determinare il rango di A al variare di h:
rg A =
(1 se h = 2 2 altrimenti
(b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: h 6= 2 (c) Determinare per quali valori di h l’insieme delle soluzioni ha dimensione 1:
h 6= 2
(d) Sia h = 0. Determinare una rappresentazione parametrica della variet`a delle soluzioni:
x y z
!
=
−1 1 0
! + α
0 0 1
!
, α, β ∈ R
2. (8pt) Sia R(O, ˆı, ˆ, ˆk) un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A =
1
−1
−1
! , B =
0 2
−2
!
, e Q = 1
−1 2
!
, determinare:
(a) una rappresentazione cartesiana della retta r = AB;
r :
(3x + y = 2 x − z = 2.
(b) una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l’origine O; π : 4x + 2y + 2z = 0
(b) Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A.
Vλ1: {y = z = 0}; Vλ2: {3x − y = z = 0}.
(c) Determinare una base di ciascun autospazio di A.
BV λ1 = { 1 0 0
!
}; BV λ2 = { 1 3 0
! }.
(d) Discutere se la matrice B `e simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N−1AN . In caso negativo giu- stificare la risposta. Le due matrici non sono simili. Infatti A non `e diagonalizzabile, mentre B `e simmetrica, dunque diagonalizzabile.
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA
21 settembre 2017
Cognome e Nome: Matricola:
Corso di Laurea: Anno di corso:
1. (8 pt) Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = x y z
!
`
e il vettore delle incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h:
A =h 2 + h 2 2 2 + h h
, B =1 1
. (a) Determinare il rango di A al variare di h:
rg A =
(1 se h = 2, −2 2 altrimenti
(b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: h 6= −2 (c) Determinare per quali valori di h la variet`a soluzione ha dimensione 1: h 6=
2, −2
(d) Sia h = 0. Determinare una rappresentazione parametrica della variet`a delle soluzioni:
x y z
!
= 0 1/2
0
! + α
1
−1 1
!
, α ∈ R
2. (8pt) Sia R(O, ˆı, ˆ, ˆk) un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A =
3 2
−1
! , B =
1 0 2
!
, e Q = 1 1 1
!
, determinare:
(a) una rappresentazione cartesiana della retta r = AB;
r :
(x − y = 1 3x + 2z = 7
(b) una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l’origine O; π : 4x − 7y − 2z = 0
(b) Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A.
Vλ1: {x = 2y − z = 0}; Vλ2: {x = y = 0}.
(c) Determinare una base di ciascun autospazio di A.
BV λ1 = { 0 1 2
!
}; BV λ2 = { 0 0 1
! }.
(d) Discutere se la matrice B `e simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N−1AN . In caso negativo giu- stificare la risposta. Le due matrici non sono simili. Infatti A non `e diagonalizzabile, mentre B `e simmetrica, dunque diagonalizzabile.
