Dallo spazio dell’esperienza all’organizzazione spaziale
Paola Vighi, Igino Aschieri
Dipartimento di Matematica - Università di Parma Unità Locale di Ricerca in Didattica della Matematica
Abstract
In this work we propose a learning path which aims to introduce very young children to geometrical concepts. A simple story about a furry caterpillar is used to illustrate underlying theoretical concepts. The book is “illustrated” with pipecleaners which are stick to the pages that readers can distinguish by touch different shapes : segment lines, curves, circles etc.
Suggestions are given for other possible learning activities.
1. Introduzione
La Geometria è originata da una schematizzazione delle esperienze motorie, visive e tattili: i concetti geometrici si formano a partire dalle esperienze spaziali, dall’osservazione e manipolazione di oggetti concreti, attraverso una selezione delle loro caratteristiche: si trascurano, per esempio, colore e materia privilegiando forma e dimensioni. Nel presente lavoro si propone un itinerario didattico studiato allo scopo di introdurre al pensiero geometrico i bambini di Scuola dell’Infanzia. A partire dalla lettura di una storia “illustrata”
utilizzando materiale facilmente distinguibile al tatto, si descrivono i concetti teorici soggiacenti e si mostrano ulteriori possibili sviluppi didattici dell’attività.
2. La storia del bruco Pelù
La storia riportata qui di seguito è stata ideata da Elena Alberici1. Allo scopo di coinvolgere l’esperienza tattile, l’Autrice ha realizzato un libricino con pagine rigide in cui su ogni pagina di sinistra ha scritto un brano del testo, su quella di destra corrispondente ha incollato un “nettapipe” (detto anche
“scovolino”), sagomato in modo che raffigurasse la posizione del corpo del
1 Per ulteriori informazioni sul lavoro di E. Alberici e sulle motivazioni che l’hanno condotta a produrre il materiale descritto si veda il seminario degli stessi autori, contenuto in questo volume, dal titolo: “Lo spazio dell’esperienza: attività concrete”.
bruco descritta nella pagina a fianco. Riportiamo qui di seguito il testo e immagini che riproducono le diverse posture del bruco.
Sono il bruco Pelù, sto disteso sulla pagina.
Son curioso mi metto in piedi.
Che emozione…
mi metto di traverso
Provo una cosa nuova:
mi metto ondulato.
Ma son scomodo e mi rilasso dondolando
Quanto movimento!
Tento di arrotolarmi come le lumachine … Che fatica!
Mi prude la coda … Ecco il rotondo: che bella posizione!
Mi fermo così
fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 4
fig. 5
fig. 6
fig. 7
A prima vista la “Storia del bruco Pelù” può sembrare un piacevole testo da raccontare ai bambini, ma, se l’esaminiamo più attentamente, possiamo ritrovare in essa molto di più. Interroghiamoci, per esempio, sulle finalità: a che scopo proporla? con quali obiettivi? Una finalità può essere, per esempio, quella di sviluppare abilità percettive (le diverse “posizioni” o “forme” assunte dal bruco) ed abilità linguistiche (“disteso”, “in piedi”, “di traverso” ...), ma ve ne possono essere tante altre. Analizziamo la storia del bruco ricorrendo agli Orientamenti programmatici per la Scuola dell’Infanzia. Sicuramente uno dei campi di esperienza coinvolti è “Lo spazio, l’ordine e la misura”: vengono usati disegni di figure geometriche, segmenti, linee diritte e non, un cerchio.
Un altro campo è “Le cose, il tempo e la natura”, in particolare la conoscenza di diverse forme di vita, nel nostro caso quella del bruco. È toccato anche il campo “Il corpo ed il movimento”: in un primo tempo si tratta di quelli del bruco, ma nessuno vieta di farli mimare al bambino; assumere posizioni analoghe, quando possibile, a quelle del bruco comporta una scelta di strategie motorie, nonché un controllo dei propri schemi motori. E ancora il campo
“Messaggi, forme e media”: il racconto è accompagnato da immagini che simbolizzano le diverse posture assunte dall’animale, si tratta di rappresentazioni simboliche che devono essere interpretate.
Quest’analisi potrebbe proseguire a lungo, ma, dopo aver addotto diversi buoni motivi per presentare la storiella ai bambini, ci chiediamo: “C’è della Matematica nella “Storia del bruco Pelù”?”
3. Geometria e spazio dell’esperienza
Una prima, ovvia risposta è: “Sicuramente c’è della Geometria”. Ma quale?
Come già detto, le diverse forme assunte dall’animale suggeriscono figure geometriche: segmenti, curve, spirali, cerchi, ma nella storia si utilizza un concetto geometrico che è ancora più importante per la geometria moderna, quello di trasformazione geometrica. Nel passare da una pagina alla successiva il bruco si trasforma, cambia forma, posizione, lunghezza:
precisamente il passaggio da “orizzontale” a “verticale” (da fig. 1 a fig. 2) si può ottenere mediante una rotazione di 90°, quello da “verticale” a “obliquo”
(da fig. 2 a fig. 3) ruotando ancora di 45° in senso orario. Le rotazioni sono particolari trasformazioni geometriche, che rientrano nel gruppo delle cosiddette isometrie, trasformazioni che conservano le distanze. Nel passaggio da fig. 3 a fig. 4 c’è un cambiamento maggiore, più vistoso: il segmento è stato deformato, è come se l’avessimo disegnato su di un foglio di gomma ed avessimo poi tirato il foglio un po’ verso l’alto e un po’ verso il basso (oppure è come se, dopo aver disegnato un segmento sulla gomma opportunamente tesa, l’avessimo lasciata andare). In realtà, c’è un altro cambiamento: il bruco, oltre che ondulato, è stato anche allungato. La trasformazione coinvolta rientra
allora nelle trasformazioni topologiche, così chiamate in quanto relative alla cosiddetta topologia o, come si usa dire, “geometria del foglio di gomma”.
Poiché la posizione di fig. 4, che pure è abbastanza naturale per un bruco, nella narrazione viene descritta come scomoda, il bruco decide di cambiare:
possiamo immaginare che prima si distenda e poi assuma la postura di fig. 5, dondolando. Dalla posizione a “C” passa a quella di “lumachina” o di
“spirale”, per poi distendersi disponendosi come una circonferenza. Risulta difficile immaginare una deformazione della gomma che faccia passare dalla fig. 4 alle figure successive, si tratta comunque di linee aperte (fig. 4, 5, 6 e 7), mentre in fig. 8 c’è una linea chiusa. Una linea chiusa si può percorrere tutta a partire da un suo punto qualunque, invece per compiere un’operazione analoga con una linea aperta ci sono solo due punti di partenza e, in ogni caso, partendo dall’uno si arriva all’altro. Per esempio, nel caso della spirale si può partire dall’estremo “più esterno” per arrivare a quello “più interno” o viceversa. Una linea chiusa individua un dentro ed un fuori, una linea aperta no; la distinzione in aperta e chiusa è un primo fondamentale modo di classificare le linee, di cui si occupa appunto la topologia: linea aperta e linea chiusa non sono topologicamente equivalenti, nel senso che non si possono ottenere l’una dall’altra mediante stiramenti o deformazioni di un foglio di gomma, senza effettuare tagli o incollare pezzi. In realtà, nella realizzazione del tondo con un nettapipe si sono proprio incollati i due estremi! Può darsi che qualche bambino continui a vedere nella fig. 8 una linea aperta con gli estremi molto vicini: occorrerà fare chiarezza anche su questo aspetto, in modo da eliminare ambiguità.
Un altro importante concetto geometrico presente nelle figure che accompagnano il racconto è quello di lunghezza: il bruco non solo cambia la forma, ma si allunga o accorcia … a piacere! Ovviamente in topologia non si può parlare di lunghezza di una linea, poiché, per dirla in parole semplici, essa varia a seconda degli stiramenti applicati alla gomma.
Infine nella storia del bruco si trova il concetto di posizione rispetto al foglio: i segmenti di fig. 1, 2 e 3 sono “uguali” nel senso che si possono sovrapporre
“esattamente”, ma sono diversamente posti, uno è orizzontale, uno è verticale, l’altro è “di traverso” o “diagonale” o “obliquo”.
Un itinerario didattico
Dopo aver fatto luce su quali e quanti concetti geometrici siano “nascosti”
nella storia del bruco, approfittiamone! In altre parole, non limitiamoci a raccontare la storia, ma prendiamola come il punto di partenza di un itinerario didattico. Troppo spesso le attività proposte nella scuola dell’infanzia sono episodiche, talvolta perché gli insegnanti non ne vedono ulteriori sviluppi, non
sono consapevoli delle potenzialità nascoste in esse. Qui di seguito delineiamo i tratti fondamentali di un possibile percorso di lavoro, suggerito dalla storia.
• Una prima attività può essere quella che consiste nel mostrare ai bambini di volta in volta una immagine (pagina di destra del libricino) e nel far ripetere loro, parafrasandolo, il racconto. A questo proposito è bene che l’insegnante faccia attenzione alle espressioni linguistiche utilizzate dagli allievi. Per esempio, può darsi che essi preferiscano all’espressione “di traverso” usata nel libricino, l’aggettivo “storto”
oppure “diagonale”; così per la “spirale” potrebbero usare l’aggettivo
“raggomitolato” e così via. Occorrerà dunque concordare insieme le locuzioni da usare per descrivere ciascuna forma. Questa attività può risultare difficile per alcuni bambini, infatti, come si sa, “I discorsi sullo spazio sono certo fra i più impegnativi” (Speranza, 1996), ma si tratta anche di “uno dei modi più semplici di interagire con lo spazio”
(Speranza, ibidem). D’altra parte non si può dimenticare che “Il linguaggio si sviluppa assieme al pensiero, ma non è uno strumento neutro: dalla sua struttura, dal suo uso dipende il modo in cui si formano i concetti” (Medici, Speranza, Vighi, 1986/87).
• Un’altra attività può essere quella che consiste nel “far agire” la situazione invitando ogni bambino a coricarsi a terra e a riprodurre, nei limiti del possibile, con il proprio corpo le posizioni assunte dal bruco.
Successivamente il bambino dovrà cambiare di volta in volta disposizione in corrispondenza a ben precisi comandi dati dall’insegnante.
• Attività iconica: copiare su fogli di cartoncino (magari quadrati come le pagine del libricino) le diverse forme assunte dal bruco. In alcuni casi il disegno risulterà semplice, in altri, come per la spirale, più impegnativo: non pretenderemo ovviamente una buona qualità, ma solleciteremo i bambini a rifare il disegno solo quando esso si discosta troppo dall’originale (dove “troppo” è da intendersi rispetto al tipo di geometria che adottiamo solitamente); eventualmente li aiuteremo quando li vedremo insoddisfatti del proprio elaborato. Inoltre nei casi di fig. 1 e 2 sarà necessario contrassegnare in modo opportuno i cartoncini corrispondenti per distinguerli senza ambiguità; un suggerimento può venire proprio dal libricino, in cui sulla parte in basso di ciascuna pagina di destra è stato incollato un rettangolo di cartoncino ondulato, facilmente distinguibile al tatto. Qui si può decidere in modo analogo di ricorrere ad un rettangolo colorato per comprendere come orientare il foglio, prima ancora di eseguire i disegni.
• Al termine dell’attività di disegno ogni allievo avrà a disposizione un mazzo di 7 carte con cui ... giocare. Come? Il gioco può consistere nel
“trovare la carta giusta”: l’insegnante mostra una pagina del libro, il bambino trova la figura corrispondente. Oppure il gioco può essere di tipo “linguistico”: l’insegnante pronuncia la parola “arrotolato” ed il bambino cerca la carta con il disegno della spirale e così via.
• Gioco del diritto o curvo. Quando l’insegnante dice “diritto” il bambino deve scegliere una carta su cui ha disegnato un segmento, quando dice “curvo” una delle altre. Si comincia così a distinguere una retta (o meglio una sua porzione) da una linea curva.
• Un altro gioco si può fare dopo aver messo insieme tre o quattro mazzi ed aver ben mescolato le carte: l’insegnante estrae una carta alla volta, ciascun bambino deve disegnare in sequenza ciò che vede. Si può scegliere di eliminare dal mazzo le fig. 4 e 6, in quanto più difficili da disegnare, e di far lavorare i bambini su carta a quadretti. Ecco un possibile risultato:
Ritroviamo le vecchie aste con cui venivano riempite le prime pagine dei quaderni di scuola tempo fa! Niente di male: la coordinazione oculo-manuale viene così rinforzata e sviluppata.
In un secondo tempo l’attività può essere ripetuta sotto dettatura:
l’insegnante detta, per esempio, “orizzontale”, “di traverso”,
“raggomitolato” ed il bambino disegna le figure corrispondenti.
• Gioco sulle sequenze. Continua tu questa sequenza:
/ | / | / |
• Gioco sulla lunghezza. Ogni tanto il bruco esclama: “Oh! mi sono allungato!” Come possiamo controllarlo? Prendiamo il libricino, un pezzetto di corda, lo sovrapponiamo, tenendolo ben teso, al segmento di fig. 1 e ne ritagliamo un pezzo che abbia la stessa lunghezza del segmento. Sovrapponiamolo poi a ciascuno degli altri disegni e descriviamo quello che osserviamo, commentandolo con frasi come
“Qui è poco più lungo”, “Qui si è allungato di molto” ecc. Oltre all’attività di misura è importante l’attività linguistica: per esempio, dopo aver ritagliato una corda lunga come il bruco di fig. 1, sovrapponendola ai bruchi delle fig. 2 e 3 del libricino si osserva che la corda ha la stessa lunghezza del bruco, nel caso di fig. 4 il bruco è lungo esattamente il doppio, in fig. 5 “è lungo come la corda e un pezzo”, in fig. 6 “è lungo poco più di due volte la corda” e così via.
• Gioco di lateralizzazione. Prendiamo un tavolo quadrato e facciamo sedere quattro bambini, che per comodità indichiamo nell’ordine con A,B,C,D, attorno ad esso, uno per ogni lato. Posiamo sul tavolo un
foglio con il bruco come in fig. 1. A dice: “il bruco è orizzontale”.
Ovviamente B dice “il bruco è verticale”, C dice la stessa cosa di A, D è d’accordo con B. Dunque le opinioni sono diverse a seconda dei ...
punti di vista! Presentiamo ora un tavolo con sopra la carta di fig. 2 e poniamo il seguente quesito: “Luca afferma che il bruco è orizzontale.
Dove può essere seduto?”. Inizialmente lasceremo la possibilità di spostarsi attorno al tavolo, poi potremo anche chiedere di rispondere direttamente. Questo esercizio mostra la relatività dei concetti, comporta inoltre la distinzione tra destra e sinistra ecc.; questo esercizio non è facile relativamente all’età scolare, ma con un’opportuna mediazione da parte dell’insegnante può essere proposto.
Fornisce l’opportunità di affrontare un argomento che andrà ripreso alla scuola elementare.
• Gioco di costruzione. Ciascun bambino ha a disposizione un cartoncino quadrato ed un nettapipe (o materiale simile). Deve inventare una nuova posizione per il bruco e, quando ne è convinto, deve fissarla incollando il filo sul cartoncino. In questo modo l’insegnante ha a disposizione ulteriore materiale su cui inventare giochi, anche in base alle caratteristiche degli oggetti prodotti. L’allievo può lavorare in modo nuovo su materiale diverso e non si annoia.
• L’insegnante può proporre una terna di bruchi, di colori diversi, come questi:
e interrogare i bambini sulla lunghezza dei tre animali. Qui c’è un tranello in cui cadono spesso anche gli allievi della scuola elementare:
pensare che la diagonale di un quadrato sia lunga quanto il lato ... o poco più; il teorema di Pitagora è ancora molto lontano, ma perché non preparare già il terreno? In fondo, basta misurare con la solita corda e osservare!
4. Conclusioni
Quando, su sollecitazione degli organizzatori di questo convegno, abbiamo pensato al titolo di questa conferenza, avevamo in mente un discorso teorico, magari con esempi, sul concetto di spazio. Poi, per caso, siamo venuti a conoscenza dei libretti di Elena, che ci hanno fatto cambiare idea. Ci sono
sembrati infatti molto divertenti nonché stimolanti per i bambini e, perché no, anche per gli insegnanti.
Le attività che abbiamo descritto sono in alcuni casi semplici, in altri decisamente impegnative; inoltre non sono accompagnate da un’adeguata descrizione del materiale da usare, delle modalità e dei tempi, dell’età dei allievi a cui proporle, ma … non potevamo certo farlo noi! E non avrebbe nemmeno avuto senso cimentarsi in questo: lasciamo agli insegnanti la cura di questi aspetti, fiduciosi nel fatto che sapranno trarre molte altre idee e spunti di lavoro da quanto illustrato, facendo ricorso alla loro esperienza.
Bibliografia
D’Amore, B.: 1980, Approcci matematici nella scuola d’infanzia, La Nuova Italia, FI.
De Flora, A.: 1982, 44 gatti, SEI, TO.
Loschi, T.: 2000, Guida 5 anni. Manuale operativo per fare scuola, progettare, osservare, valutare, Nicola Milano Editore.
Medici, D., Speranza, F., Vighi, P.: 1986/87, Sulla formazione dei concetti geometrici e sul lessico geometrico, Quaderno n° 12, Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, PR.
Speranza F.: 1996, Esplorando lo spazio e il tempo, Atti del Convegno ‘Lo spazio e il tempo: esperienza e apprendimento, (Caredda C., Piochi, B. &
Vighi P. Eds.), Pitagora, BO.
Speranza F.: 1997, ‘Dallo spazio alla geometria’, Atti del 2° Internuclei Scuola dell’Obbligo, Salsomaggiore Terme (PR) 10-12 aprile 1997, (Grugnetti L.
Ed.), Università degli Studi di Parma.
